Научная статья на тему 'Корректность локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения'

Корректность локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
106
29
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МНОГОМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ / ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ / ЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / РАЗРЕШИМОСТЬ / ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ / MULTI-DIMENSIONAL WAVE EQUATION / CYLINDRICAL DOMAIN / LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM / SOLVABILITY / UNIQUENESS OF SOLUTIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Алдашев Серик Аймурзаевич

Показана однозначная разрешимость локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения, которая является обобщением задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The well-posedness of the local boundary value problem in a cylindric domain for the multi-dimensional wave equation

This paper proves the unique solvability of the local boundary value problem in a cylindric domain for the multi-dimensional wave equation, which is the generalization of the Dirichlet and Poincare problems. We also obtain the criterion for the uniqueness of the regular solution.

Текст научной работы на тему «Корректность локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения»

УДК 517.956.3

КОРРЕКТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

С. А. Алдашев

Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова,

030000, Казахстан, Актобе, ул. Бр. Жубановых, 263.

E-mail: aldash51@mail .ru

Показана однозначная разрешимость локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения, которая является обобщением задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения.

Ключевые слова: многомерное волновое уравнение, цилиндрическая область, локальная краевая задача, 'разрешимость, единственность решения.

В работе показана однозначная разрешимость локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения, которая является обобщением задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения.

Для двумерного пространства в [1] было показано, что одна из фундаментальных задач математической физики — изучение поведения колебаний струны — некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как замечено в [2,3], задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4] показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], которые сложно применить в приложениях.

Для трёхмерного пространства получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболических уравнений [6,7], а в [8,9] доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения.

Пусть Da — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+\ точек {х\,х2, ■ ■ ■ ,хт, t), ограниченная цилиндром Г = {(x,t) : \х\ = 1}, плоскостями i = а > 0 и i = 0, где |ж| — длина вектора х = (х\,х2, ■ ■ ■ ,хт). Части этих поверхностей, образующих границу dDa области Da, обозначим через Га, Sa, So соответственно.

В области Da рассмотрим многомерное волновое уравнение

Ахи - utt = 0, (1)

где Ах — оператор Лапласа по переменным х\,..., хт, т ^ 2.

В дальнейшем для удобства перейдём от декартовых координат х\, Х2, ■ ■ ■, Хт, t К сферическим Г, в\, 02, ... ,вт-1, t, Г ^ 0, 0 ^ 9\ < 2-7Г, 0 ^ Oi ^ 7Г, i = 2,3,..., т — 1.

Серик Аймурзаевич Алдашев (д.ф.-м.н., проф.), директор, институт прикладной математики и информатики.

Рассмотрим следующую локальную краевую задачу.

Задача 1. Haumu решение уравнения (1) в области Da из класса C(Da) П Cl(Da U So) П C2(Da), удовлетворяющее краевым условиям

u\sa=^^r’e^ и\Га=ф1^,в), (Pu + rfUt)\So=<P2(r,e),

где /5, 7 = const, /5 2 + 72 /0, которая является обобщением задач Дирихле (7 = 0) и Пуанкаре (/5 = 0).

Пусть {Упт(0)}—система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ k ^ кп, (m—2)\n\kn = (п+т—3)!(2n+m—2), в = (в\,..., 0m_i), W\ (I = 0,1,...) — пространства Соболева.

Имеют место следующие утверждения [10].

Лемма 1. Пусть /(г, 9) € W!,(S). Если I ^ т — 1, то 'ряд

ОС кп

/(^) = ЕЁ/Жт№ (2)

п=0к=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ l—m+1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2. Для того чтобы f(r,6) € И7^»?), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (2) удовлетворяли неравенствам

ОС кп

I/o1 Ml ^ сь ЕЕ n2l\fn(r)\2 ^ С2, СЬ С2 = COnst. п=1к=1

Через <^in(r), ÿn(t), ф\п(г) обозначим коэффициенты разложения ряда (2), соответственно функций ipi (г,в), ip(t,6), ip2(r,6).

Теорема 1. Пусть ipi(г, в) € Wl2(Sa), ip(t,9) € W^(Ta), <р2(г,в) € WÏ,(S0), I > 3m/2 и

Р sin ц3>па ф 7 cos ц3>па, s = 1,2,.... (3)

Тогда задача 1 однозначно разрешима, где ц3 — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+(m-2)/2ÍZ)■

Доказательство. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид

771 — 1 1

Uгг Н- xàiJj Uft — 0; (^)

rp 4 '

т—1 1 „

s = - V_________-________

g¡ sin"1“-i -1 dj дв] V J ddj ) ’

5-1 = 1, = (sin 6>i * * * sin 6»j_i)2, j > 1.

Известно [10], что спектр оператора 6 состоит из собственных чисел \п = = п(п + т — 2), п = 0,1,... , каждому из которых соответствует кп ортонор-мированных собственных функций

Так как искомое решение задачи И принадлежит классу С{Оа) П С2(Оа), его можно искать в виде

СЮ кп

и(г,е,г) (5)

п=0к=1

где и^{г, ¿) — функции, подлежащие определению.

Подставляя (5) в (4), используя ортогональность сферических функций ¥п,т(0) (см- [Ю]), будем иметь

ик„ + т ^ик = цик, к = 1,2,..., кп, п = 0,1,..., (6)

при этом первое условие краевых условий (2) с учётом леммы 1 запишется в виде

ик(г, а) = <р$п(г), ик{ 1, г) = фк(Ь),

Рик(г, 0) + 7й^(г,0) = <р$п(г), к = 1,2,... кп, п = 0,1,... .

Произведя замену ьк(г, ¿) = ик(г,1) — фк(Ь) в соотношениях (6), (7), получим

I _______1,-Л _ = л

ипгг 1 ипг 2 п пЫ Vй/

йп(г,а) = <Р1п(г), ьк(1,1) = 0, /3ьк(г,0) + 7^*(г,0) = <р^(г), (9)

/п(г, *) = Фпгг + ^Фп, <Р1п(г) = <р$п(г) - ф„(а), к /м\ -к /м\ Оп1,к(г\\ Л,Л/,&

¥2п(г) = <¿2п(г) ~ РФп(о) - 7^(0), к = 1,2,..., кп, тг = 0,1,-----

После замены г^(г,¿) = г(-1~т^2ук(г,1) задача (8), (9) приводится к следующему виду:

Ььк = ьк„ - ьки + ^ьк = ¡к(г, *), (10)

г£(г,а) = фкп(г), ук{ 1,4) = 0, /3г£(г,0) + 71&(г,0) = ^(г), (11)

Лга = ((ш-1)(3-ш)-4Лп)/4, ¡к(г,г) = г(т_1)/2/^(г,£),

фкп(г) = г^-1У2^кп(г), ¿ = 1,2.

Решение задачи (10), (11) представляется так:

<&*) = ^1пМ) +'Ь>2пМ), (12)

где ^п(г, ¿) — решение задачи

£г>1п = /пМ)> (13)

^1п(^ «) = °> *) = 0, МпМ) + 7^1п*(^0) = 0, (14)

а г>2п(г, ¿) — решение задачи

Ьь\п = О, (15)

^2п(г, а) = Фы(г), г>2п(М) = О, МпМ) + 7^2п*(^0) = фкп{г). (16)

Решение вышеуказанных задач будем искать в виде

СЮ

$ = '52 Яа{г)Т8(^), (17)

8=1

при этом

fn(r,t) = J2as,n(t)Rs(r), фк1п{г) = J2bs,nRs(r),

8 =1 8=1

СО

<pL(r) = J2es>nRs(r)-

(18)

8=1

Подставляя (17) в (13), (14), с учётом (18) получим

Rsrr H---2^s I^RS = 0 < r < 1, (19)

Rs( 1) = 0, |iîs(0)| < oo, (20)

Tstt + nTs(t) = —aSin(t), 0 < t < a, (21)

Ts(a) = 0, f3Ts( 0) + 7Tsi( 0) = 0. (22)

Согласно [11], ограниченным решением задачи (19), (20) является

Rs(r) = VrJ„(ns,nr), (23)

где v = {n + {m- 2))/2, /л = n2s n.

Общее решение уравнения (21) представимо в виде

COS Lls fit f^

Ts,n(t) = Cis COS /J.s,nt + c2s sin ns,nt H-— / as>n(0 sin nSin£d£-

l^s,n Jo

Sin fXs,nt f* , . , .

---------— / asAOcos^s^dÇ, (24)

H-s,n J0

где C\si C2s — произвольные постоянные [10].

Удовлетворив условиям (22), получим систему алгебраических уравнений

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f I • cœfjis>na fa

Cis cos ¡j,s>na + c2s sin /ns>na =-------!— / as>n(Ç) sin ц3,п£(К +

l^s,n Jo

sin fj,sna Г (25)

H--------!— / asAOcos^s^dÇ,

l^s,n Jo

fiCu + 7 fIsC2s = 0, которое имеет единственное решение, если выполняется условие (3).

(26)

Подставляя (23) в (18), определяем

СЮ СЮ

Г~1/2й{г, ¿) = 52 аз,п{Ь)’]ЛИз,пГ), Г~1/2ф1п(г) = 52 ЬЗ'П^ЦЗ'ПГ),

8=1 8=1

СЮ

г~1/2Ф2п(г) = ^е5)Г1Л(^;гаг), 0 < Г < 1.

8=1

Ряды (26)—разложения в ряды Фурье—Бесселя [12], если

ав)„(£) = 2[Л+1(^;Г1)]“2 [ лД/п(С,$^(^з,пО^, (27)

■)о

Ь.в,п = 2[<7г/_|_1(//8)П)] / \/С^’1гг,(С)^(/^«,гаС)^С)

■)о

&з,п = 2[<Л/+1 (/^8,п)] [ л/С(^2гг,(С)^(/^«,гаС)^С) (28)

■)о

ц3, 8 = 1,2,... —положительные нули функций Бесселя «Л, (-г), расположенные в порядке возрастания их величины.

Из (23), (24) получим решение задачи (13), (14) в виде

СЮ

п(г’ *) = 52 у/гТзА^М^пГ), (29)

8=1

где а8)П(£), С1в, С2« определяются из (27), (25).

Далее, подставляя (23) в (15) и (16), с учётом (18) будем иметь задачу

Увы + ^Уз = 0) (30)

Уа{а) = Ъ3,п, (ЗУ3(0) + 7^(0) = е3. (31)

Общее решение уравнения (30) имеет вид

Уз,п{Ь) = сЛз СОй ИзА + с'2з эт ц3,пг, (32)

где с'1з1 ¿2ц — произвольные постоянные. Удовлетворив условиям (31), полу-

чим

/^С18 'У/^з^з — &з,п-

Из (23), (32) имеем

С^з СОЭ -\- С23 6Ш 1Л8п(Х — Ь8^п, (33)

У2п(г, I) = 52 у/гу8,п(1)МРз,пГ), (34)

8=1

где Ь3, е3, с!и, с'2з находятся из (28), (33).

Таким образом, из (5), (12) следует, что решением задачи 1 является ряд

СЮ кп

¿(г, в, г) = 5252 {'Фп^) + Г(1“т)/2 ь\п(г, *) + ь$п(г, ¿) } у£т(в), (35)

оо кп

и{ _ ", ■'

п=0к=1

где У1п(г, ¿), 1’2п(г!^) определяются ИЗ (29), (34).

Отметим следующие свойства нулей функций Бесселя (см. [12,13]):

1°) если ци>1, ци>2, ■ ■ ■ — положительные нули функций «Л,(-г), упорядоченные по возрастанию значений, то

О < 1^и,1 ^ ц-и+1,1 ^ Цч*,2 ^ ц-и+1,2 ^ Цч>,з ..., у > 1; (36)

2°) если /.¿г,, /х^, [л!1 являются наименьшими положительными нулями функ-

ций «Л,(-г), <7^,(-г), </^(<г) соответственно, то справедливы неравенства

л/г/(г/ + 2) < < л/2(г/ + 1)(г/ + 3), г/ > О,

л/г/(г/ + 2) < ¡л^ < л/2г/(г/ + 1), г/ > 0, (37)

л/г/(г/ - 1) < ¡л’1 < \/(и2 - 1), г/ > 1

и формулы

sinz = — z ^(4n2 — 1) 1[Jra(nz)]2) ,

71= 1

Mz) = yvzcos(z-r--i) + 0(im)-

2J¿(z) = J^-i(z) - J^+i(z).

(38)

Учитывая (36)—(38) и применяя признак Даламбера, можно показать, что ряды (29), (34) и продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно.

Далее, используя формулы (38) и оценки [12]

г¥1

\kn\ < cm“-2, gfirfmW) < c2nm/2-1+9, (39)

где j = 1,2,... ,m — l,g = 0,l,...,a также леммы, ограничения на заданные функции Lp\(r,0), Lp2(r,0), i¡){t,9), аналогично [8,9] показывается, что полученное решение в виде ряда (35) и дважды продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно. Это означает, что решение (35) принадлежит классу C(Da) П Cl(Da U So) П C2(Da). □

Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (3).

Доказательство. Если выполняется условие (3), то из теоремы 1 вытекает единственность решения задачи 1. Пусть теперь условие (3) нарушено хотя бы для одного s = р. Тогда нетривальным решением однородной задачи, соответствующей задаче 1, является функция

СО кп

u(r,t>,t) = £5>-V('2—,/2 \/3 sin flpt - JUp COS Hpt\ Jn+(m-2)/2(^Pr)Y^m(e),

n=0k= 1

при этом из (38), (39) следует, что она принадлежит искомому классу, если

I > 3m/2.D

В заключение отметим, что в [14] для уравнения (1) внутри характеристической области приведены корректные постановки задач Дирихле и Пуанкаре.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivés partielles et leur signification physique// Princeton University Bulletin, 1902. Vol. 13. Pp. 49-52.

2. Бицадзе A. В. Уравнения смешанного типа. М.: АН СССР, 1959. 164 с. [Bitsadze А. V. Mixed-Type Equations. Moscow: Akad. Nauk USSR, 1959. 164 pp.]

3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с. [Nakhushev А. М. Problems with Displacement for a Partial Differential Equation. Moscow: Nauka, 2006. 287 pp.]

4. Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem for the virbrating string equation // Bull. Amer. Math. Soc., 1939. Vol. 45. Pp. 851-858.

5. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem for the wave equation // Ann. Mat. Рига Appl. (4), 1958. Vol. 46. Pp. 155-182.

6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области// Диффер. уравн., 1970. Т. 6, №1. С. 190-191.

[Nakhushev А. М. Uniqueness Criterion for the Dirichlet Problem for an Equation of Mixed Type in a Cylindrical Domain// Differ. Uravn., 1970. Vol. 6, no. 1. Pp. 190-191].

7. Dunninger D. R.; Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Dirichlet problem for hyperbolic equations in cylindrical domains // J. Math. Mech., 1969. Vol. 18. Pp. 763-766.

8. Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation // Math. Probl. Eng, 2010. Vol. 2010, 653215. 7 pp.

9. Алдашев С. А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения / Современная математика и ее приложения, Т. 67, Уравнения с частными производными, 2010. С. 28-32; Aldashev S. A. The well-posedness of the Poincaré problem in the cylindric domain for the higher-dimensional wave equation // J. Math. Sci. (N. Y.), 2011. Vol. 173, no. 2. Pp. 150-154.

10. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматлит, 1962. 254 с. [Mihlin S. G. Higher-dimensional singular integrals and integral equations. Moscow: Fizmatlit, 1962. 254 pp.]

11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука,

1965. 703 с. \Kamke Е. Manual of ordinary differential equations. Moscow: Nauka, 1965. 703 pp.]

12. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. II / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 396 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. 295 с.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с. [Tihonov A. N., Samarskiy A. A. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka,

1966. 724 pp.]

14. Алдашев С. А. Задачи Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения// Изв. НАН РК, Сер. физ.-мат., 2010. №1. С. 3-6. [Aldashev S.A. Dirichlet and Poincaré problems for higher-dimensional wave equation// Izv. NAN RK, Ser. Fiz.-Mat., 2010. no. 1. Pp. 3-6].

Поступила в редакцию 10/V/2012; в окончательном варианте — 12/VIII/2012.

MSC: 35L05; 35R25

THE WELL-POSEDNESS OF THE LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM IN A CYLINDRIC DOMAIN FOR THE MULTI-DIMENSIONAL WAVE EQUATION

S. A. Aldashev

Aktobe State University after K. Zhubanov,

263, Zhubanov Bruthers St., Aktobe, Kazakhstan, 030000.

E-mail: aldash5iamail.ru

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

This paper proves the unique solvability of the local boundary value problem in a cylindric domain for the multi-dimensional wave equation, which is the generalization of the Dirichlet and Poincare problems. We also obtain the criterion for the uniqueness of the regular solution.

Key words: multi-dimensional wave equation, cylindrical domain, local boundary value problem, solvability, uniqueness of solutions.

Original article submitted 10/V/2012; revision submitted 12/VIII/2012.

Serik A. Aldashev (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Director, Institute of Applied Mathematics.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.