CC BY
16
УДК 517-952
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATE MULTI-DIMENSIONAL HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATIONS
С.А. Алдашев S.A. Aldashev
Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Казахстан Kazakh National Pedagogical University named after Abai, Almaty, Kazakhstan
E-mail: Aldash51@mail.ru
Аннотация. Адамаром показоно, что одна из фундаментальных задач математической физики - изучение поведения колебающейся струны - некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как заметили А.В. Бицадзе, А.М. Нахушев задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. Автором ранее изучена задача Дирихле для многомерных гиперболических уравнений, где показана корректность этой задачи, существенно зависящия от высоты рассматриваемой цилиндрической области. В работе используется метод, предложенный в работах автора, показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений.
Resume. It has been shown by Hadamard that one of the fundamentalproblems of mathematicalphysics -the analysis of the behavior of oscillating string - is an ill-posedproblemwhen the boundary-value conditions are imposed on the entireboudary of the domain. As noted by A.V. Bitsadze and A.M. Nakhushev, the Dirichlet problemisill-posed not only for the waveequation but for hyperbolicPDEs in general. This author has earlierstudied the Dirichlet problem for multi-dimensionalhyperbolicPDEs, wherehe has shownthat the well-posedness of thisproblemcrucial-lydepends on the height of the analyzedcylindricdomain. This paper, using the methoddeveloped in the authorsprevi-ouspapers, shows the unique solvability (and obtains an explicit form of the classical solution) of the Dirichlet problem in the cylindricdomain for degeneratemulti-dimensionalhyperbolic-parabolicequations.
Ключевые слова: корректность, задачи Дирихле, вырождающихся уравнения, критерия, функция
Бесселя.
Key words: well-posedness, Dirichlet problems, degenerateequations, Bessel function.
1. Постановка задачи и результат
Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо-параболических уравнений хорошо изучена ([1]). Их многомерные аналоги в обобщенных пространствах исследованы в ([2,3]).
Задача Дирихле для многомерных гиперболо-параболических уравнений изучена в ([4,5]).
В данной работе для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений доказано, однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задача Дирихле в цилиндрической области. В работе используется метод, предложенный в работах ([6,7]).
Пусть цилиндрическая область евклидова пространства Ет+1 точек (Хх,...,Хт,огра-
ниченная цилиндром Г = {(х, /) :| X |= 1}, плоскостями ^ = Р >0 и ^ = Р < 0 где | X | — длина вектора Х = (Xl,..., Хт ).
Обозначим через Оа и Ор части области Оар, а через Га, Г^ — части поверхности Г лежащие в полупространствах t >0 и ? < 0; са — верхнее, а <Ср — нижнее основание области Оар. Пусть далее Б — общая часть границ областей Оа, Ор представляющее множество = 0,0 < |х| < 1} в Em .
В области Оар, рассмотрим вырождающихся многомерные гиперболо-параболические уравнения
ш
р(1)Дхи — ыи а (х, 1)и. + ь (х, 1)и + с (х, t)и, 1 > 0
о И
-иа аг (х,г)их + b(х,t)u + с(х,t)и,t х
i=1 т
q(t)Ахи - и d (х, t) и + е (х, t) и, t < 0 i =1 i
где,
(1)
;р(t) > 0при t > 0,р(0) = 0, p(t) е с([0,a])n C2 ((0,а)), g(t) > о при t > 0, g(0) = 0, g(t) е C ([Д0]), а Ах - оператор Лапласа по переменным х = (х1,..., хт ), m > 2. В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат хх,..., хт, t к сферическим
гД,...,0т-1, t, r > 0,0 <в,<х, i = 1,2,..., т - 2,0 <в< 2я,в = {в1,..,вгп_1).
Задача 1(Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области Q.ap при t Ф 0 из класса C (о.ар ) nÑ (fi^ ) n C2 (Qa ^ Qp ), удовлетворяющее краевым условиям
и
= 01 (г,6), и Г =¥1 М), (2)
и|Г =¥2 ,6), ис =02 (г,6), (3)
чр V /
при этом 0 (1, 6) = ¥1 (а, 6), 02 (1,0) = ¥2 (Р, 6), ¥1 (0, 6) = ¥2 (0,6)
Пусть (6)}система линейно независимых сферических функций порядка п,1 < к < кп,
(ш — 2)!п!ки = (п + ш — 3)!(2п + ш — 2), (5^),/ = 0,1,... - пространства Соболева. Имеет место ([8])
Лемма 1. Пусть /(г, 6) е Wl (Б). Если / > ш — 1, то ряд
ад кп
/ (г,6)=ТТ/Пк (г )уПк,ш (6), (4)
п=0 к=1
а также ряды, полученные из него дифференцированием р < / — ш +1, сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того, чтобы /(г, 6) е W2/ (Б), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
/ М ш кп 2
/0 (r)< C, — n21\fk(r)| < C2, q,c2 = const..
n=1 к=1
Через ЗЩ (r, t), dkn (r, t), ~k (r, t), ~ (r, t), pkn, pkn (r), p (r), p (t), Ъкп (r, t) P (t), обозначим коэффициенты разложения ряда (4), соответственно функций
d(r,0,t)p, dl xp, e(r,e,t)p, d(r,0,t)p, p(0), i = 1,...,m, p(r,0), p2M), Щ (t,0), Щ(t,0), r
причем p(0) e C Ш (H), H- единичная сфера в Em.
Пусть ai (r, 0, t), b(r, 0, t), c(r, 0, t) e W2l (fiu ) с C(QU ), dt (r, 0, t), e(r, 0, t) e W2l (p.p ), i = 1,..., m, l > m +1, e(r,0, t)< C, V(r,0, t)eQ.p. Тогда справедлива
Теорема 1. Если p (r, 0), p2 (r, 0) e W p (S), щ (t, 0) e Wp (Га ), щ (t, 0) e W2 (rfi ),
3m
p >-и
2
cos jus,na'^ C,s = 1,2,..., (5)
то задача 1 однозначно разрешима, где №sn — положительные нули функций Бесселя первого ро-
и
да J (m—2)(zi =
(т—2)
2 0
2. Разрешимость задачи 1
Сначала покажем разрешимость задачи (1), (3). В сферических координатах уравнения (1) в области имеет вид
(т — 1 1 Л т
игг +-иг — —8и\ — иа + ^ d (г,9,1 )иХ. + е(гв,1 )и = 0, (6)
u = g(t\ urr +-иг ——ди I — utt + - d(r,0,t)u„ + e
V r r J t=1
1 5 ^m—j—1 d Л „ _1 ^ oin Й )2 ,•>■
d^J-1-1--(sin , g1 = 1, g = (sin01...sin0. 1 )2, j >1.
„ „;„ m—j—1 Л д/j V Д/Э ^ 1 °j V 1 j—1
j=1 gj sinm—j—0 50/ d0j
Известно ([8]), что спектр оператора 8 состоит из собственных Яп = п(п + т — 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует &и ортонормированных собственных функций Ук (в).
п,т V /
Искомое решение задачи 1 в области О р будем искать в виде
Ш кп
и, (r,0,t) = —nk(r,t)Ylm (0), (7)
и V ? ? / / j / j n V ? / n,m n=C к=1
где и{к (г, 1) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (7) в (6), умножив полученное выражение на р(6) ^ 0 и проинтегрировав по
сфере Н для ип получим ([6,7])
ш — 1
£)рХгг—рХ«
V г ¿=1 У
Хог + е0и1 +
Л
I ш — 1 ш ^
+УУ1 ё(х)ркпиПкгг—ркпи1 + — £(0рП +У <
п=1 к=1 [ V г ¿=1 У
и к +
пг
(8)
+
~пк — А (1) +У (~г-П—а — <) йкп }= 0.
¿=1
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
^ ч 1_1 1 1 ш 1 , ч 1_1
£)Р°и0гг — Рио1 +-£)Роиог = 0, ,
г
£ (1 )р1кХ1кгг — аХ + — £ (1 )р1ки1к —А £ (1 РХ =
¡т-1 , ш — 1
— к Л
1
П V ¿=1
(9)
(10)
У +~о1и0, п =1, к=1, ки
£(1)ркик —Ркй\ + £(1)ркХк —А^£(Лркйк = ——У|У¿.\ик , +
/г п пгг гп пс о\*/Нп пг 2 о\*/Нп п ] ' ' | / ' гп—1 а,п—1г
г г к
ш \
£1 + У(<2 — (п —1>£, )
к=1 I ¿=1
¿=1
(11)
Хп-1 Г' к = 1 кп , п = 2'3' .. .
Суммируя уравнение (10) от 1 до к а уравнение (11) - от 1 до кп, а затем сложив полученные выражения вместо с (9), приходим к уравнению (8).
Отсюда следует, что если {и к }, к = 1, кп , п = 0,1,2,... - решение системы (9) - (11),то оно является решением уравнения (8).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить ввиде
£(1 )| икгг +
ик —Аик | — йк = /к(г, 1),
пг 2 п п п V ' /'
г г
(12)
где /к (г, 1) определяются из предыдущих уравнений этой системы, причем /к (г, 1) = 0. Далее, из краевого условия (3) в силу (7), будем иметь
; (г, Р) = 02п (г), йкп (1,1) = ¥2к„ (1), к = 1Л , п = 0,1,...
икп (г,
В (12), (13) произведя замену О^ (г, 1) = и^ (г, 1) — у\п (), получим
£(1)| Октг + ш—1 Окг —Ап О^ | —О„к = /к (г, 1),
Ок(г,р) = 0к2п(г),Оик(1,1 ) = 0,к = 1,кп,п = 0,1,...,
(13)
(14)
(15)
ш
г
г
ш
кп—1 ш
/к (г, 1)=гп (г, ^^ ^, $ М=$£, (г)—< (Р).
(1—т)
Произведя замену о« (г, 1) = г 2 и« (г, 1) задачу (14), (15) приведем к следующей задаче
' X л
о = я (1
Ок +х ок
пгг 2 п
г
—о1=1к (г, 1),
ок (г, Р) = $к (г)0 (1,1 ) = 0,
т _(т —1)(3 — т) — 4Х
(1—т)
(1—т)
X =
4
7п (г, 1) = г 2 Лк(г, 1), $(г) = г 2 $(г).
Решение задачи (16), (17) ищем в виде
(16)
(17)
где о\п (г, 1) - решение задачи
а о2кп (г, 1) - решение задачи
ок (г, 1 ) = и (г, 1 )+ок2п (г, 1),
О = ~к (г, 1), о!„ (г, Р) = 0, оп (1,1 ) = 0,
о = 0,
оПп (г, Р) = Й (г), ок„ (1,1 ) = 0.
Решениевышеуказанныхзадачрассмотримввиде
ад
ок (г, 1 )=! я (гу, (1),
,=1
при этом пусть
(г, 1 )=! а, (1 Я (г), $ (г )=! Ь,Л (г).
Подставляя (23) в (19), (20), с учетом (24), получим
X
Кг + + = 0,0 < г < 1, г
Я,(1) = 0, |Я,(0)<ад, тл (г)у =—а,п(г), Р<г<0,
У (Р) = 0.
Ограниченным решением задачи (25), (26) является ([9])
(18)
(19)
(20)
(21) (22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Я, (г ) = л/Т/^г ),
(29)
(ш — 2)
(ш
где у = п + ', и = и:,п-
Решением задачи (27), (28) является
| С Т*,п( )= ехР
V V 0
Подставляя (29) в (24) получим
— VI |£| I |а^п (Щ ехр |£Щ )Щ к
(30)
ад 1 ад
г/(г, 1 ) = Уа,,я(1 К(Я,иг), г(г) = У(1 К(^иг),0<г< 1.
¿=1
¿=1
Ряды (31)- разложения в ряды Фурье-Бесселя ([10]),если
1
к* (1)=2[л+1 )]" №~пк Щ, 1К к/к, 0
1
(1)=2[л+1 )]—21 лЩ~к к/к,
(31)
(32)
(33)
V „ , к = 1,2,... — положительные нули функций Бесселя / (т.) расположенные в порядке возрастания их величины.
Из (23),(29),(30) получим решение задачи (19), (20)
ад . .
окп (г, 1ЬУ^ (1 /„(^„г ),
к=1
где а\п (1) определяются из (32).
Далее, подставляя (23) в (21), (22), с учетом (24), будем иметь задачу
(34)
решением, которого является
Ткп + &£(№ = 0, Тк(р)=ь*, р< 1 <0,
| р 1 ^ (1 ) = ь,,я ехр |£.
V 1
Из (29), (35) будем иметь
( Р
2
"I (г, 1) = У ехр 1 £(/)/ /„(^г)
* т г
к=1 V 1
(35)
(36)
где Ьк п находятся из (33).
Следовательно, сначала решив задачу (9), (13) (п=0), а затем(10), (13)(п=1) и т.д. найдем последовательно все икп (г, 1) из (18), где о\п (г, 1), о\п (г, 1) определяются из (34) и (36).
Итак, в области О в, имеет место
| р6%иШ = 0.
(37)
0
Пусть /(г, в, t) = Я(г)р(в)Г(1), причем Я(г) еК0, V — плотна в £2 ((0,1)), р(в) е С ад (и) — плотна в Ь2 (И), Тфе У,^ — плотна в Ь2 ((Р,0)) Тогда /(г, в, 1) е = V ® И ® V — плотна в Ь2 (Ор)([11]).
Отсюда и из (37), следует, что
| / (г,в, 1 = 0
и
!и = 0, У(г, в, 1 )еО. ■
Таким образом, решением задачи (1), (3) в области является функция
(1— т)
и(г,в, 0 = ^2 \¥к2п (1)+ г 2 и (г, 1)+ок2п (г, 4у„кт (в),
п=0 к=1
где о1кп (г, 1), о^ (г, 1) находятся из (34), (36).
Учитывая формулу ([10]) 2.^ (г) = Зу—1 (г) — Зу+1 (г), оценки([12,8])
2 ( ж ж Л / 1 Л
(г) =,/ —соб! г--V--1 + 0
\жг У 2 4)
v> 0,
V г'2)
\К\ < с1пт-2,
д4
С (в)< с2п2 ^,] = 1,т —1,4 = 0,1,...,
дв4
(38)
(39)
а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции
\у2 ((, в), (р2 ((, в), как в [4,5], можно доказать, что полученное решение (38)принадлежит классу
С(0р)о С2 (Ор).
Далее, из (34), (36),(38) 1 ^ —0 имеем
ш (2—т)
гк(г) = Щт.п(0)+Ег 2
,=1
и(г,в,0)=г(г,в) = ХЕг„к (г )С (в),
п=0 к=1
|а,,„Й ехр |+ ь,,„ ехр|^2,„|
3
(т—2)
(40)
т—2 ) (^х, пг)
Из (32)-(34), (36), а также из лемм вытекает, что г(г, в) е Ж2 ($), I > 3—.
Таким образом, учитывая краевые условия (2) и (40), мы получим в области Ор задачу Дирихле для уравнения
О
р
к
ад
0
0
2
Ь2и = р(г)АЖи - ий + Е (г, в, г)их + ¿(г, в, г+ с(г, г)и = 0, (41)
сданными
и
я ¿(г,в), и р =¥1(г,в) и| „ = <(г,в). (42)
г г^ И „
В [6] доказана следующая теорема
Теорема 2. Если ¿(г, в), < (г, в) е (Я), (г, в) е Ж2 (Га ), I > 3т и выполняется соотношение (5), то задача (41),(42) в классе с(о.а )о С2 ). однозначно разрешима. Далее, используя теорему 2 приходим разрешимости задачи 1.
В [6] приводится явный вид решения задачи (41),(42) поэтому можно записать представления решения и для задачи 1.
3. Единственность решения задачи 1
Сначала рассмотрим задачу (1), (3) в области и докажем ее единственность решения. Для этого сначала построим решение первой краевой задачи для уравнения
т
Ё\и = g (г) Ахи + и( - Е арх + dр = 0, (6*)
г=1
с данными
ад к,
Ря=Кг, в)=Е Е ¿к (гК (в), р = о, (43)
п=0 к=1
т
где d(х, г) = е - Е ^ , ¿„к (г) е С, С - множество функций ¿(г) из класса С([0,1]) о С1 ((0,1)). Мно-
г=1
жество G плотно всюду в £2 ((0,1)) [11]. Решение задачи (6*), (43) будем искать в виде (7), где функции ок(г,г) будут определены ниже. Тогда, аналогично п.2, функции Р^(г,г) удовлетворяют систему уравнений вида(9)-(11), где dJkn, йкы заменены соответственно на — dkn, — dkn а ~к, на dk,
г = 1,...,т,к = 1,кп, п=о,1,... .
Далее, из краевого условия (43), в силу (7), получим
Рк(г,0) = ¿П(г), Рк(1,г) = 0, к = 1а,п = 0,1,... . (44)
Как ранее замечено, что каждое уравнение системы (9)-(11) представимо в виде (12). Задачу (12),(44) приведем к следующей задаче
£ Рк - g(гр + ^ Ркп ] + оП, = ~ (г, г), (45)
Ркп (г,0)=¿к (г), Рк (1, г) = 0, (46)
г=1
(1—т) (1—т) (1—т)
ок (г, 0 = г~о* (г, 1), ~к (г, 1) = г^/пк (г, 1), гкп (г) = г~Г (г).
Решение задачи (45), (46) будем искать в виде (18), где окп (г, 1)— решение задачи для уравнения (19) с данными
ок (г,0) = 0, ок (г, 1 ) = 0, (47)
а о\п (г, 1) — решение задачи для уравнения (21) с условием
о1 (г,0) = гик (г), о2ки (1,1) = 0. (48)
Решения задач (19), (47) и (21), (48), соответственно имеют вид
ад ( ( 1 \Л( 1 ( ( и \ ЛЛ ок (г,0 = ехр 1I I |а,,й(ц) ехр — }к
V V 0
V 0
))
ад ( ( ' 11
окп (г, 0 = 2^ ехр ^ | I
х=1 V V 0
где
1
г,,я=2^1 )]—2 /ЛГ (ц, 1 кЬ.п.еН
0
Таким образом, решение задачи (6*), (43) в виде ряда
К (!—т).
ад "-п ' ' г 1
и(г,в, 0 = Е2> 2 [ок (г, 0+о2к„ (г, ^ (в),
п=0 к=1
построено, которая в силу (39) принадлежит классу с(Ор ) С2 (Ор ). В результате интегрирования по области Ор тождество [13]
оЬи — и!* о = —оР(и)+иР(о)—и о<2,
где
т , ч , ^ т , ч
Р(и) = я(0£их С08(ЖХ,X,) < = С08(ЖХ,хг)—;а1 С08(ЖХ,X,)
а N1 - внутренняя нормаль к границе дОр, по формуле Грина, получим
|г(г,в)/(г,в,0)^, = 0. (49)
Поскольку линейная оболочка системы функций |гк (г)?икиг (в)} плотна !2 (5)([11]),то из (49) заключаем, что и(г,
в,0)С = 0, У(г, в) е 5. Стало быть, по принцип экстремума для параболического уравнения (6) [14] и = 0 в Ор .
Далее, используя теорему 2 получим единственность решения задачи 1.
,=1
0
г=1
г=1
Отметим, что доказанная теорема для модельного многомерного вырождающегося гиперболо-параболического уравнения получена в [15].
Список литературы
1. Нахушев А. М. 2006. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М.: Наука: 287.
Nakhushev, A.M. 2006. Problems with a Shift for Partial Differential Equations. Moscow: Nauka (in Russian).
2. Врагов В. Н. 1983. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Новосибирск, НГУ: 84.
Vragov, V.N. 1983. Boundary Value Problems for Non-classical Equations of Mathematical Physics. Novosibirsk, NGU (in Russian): 84.
3. Каратопраклиев Г. Д. 1983. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в многомерных областях. Partial Diffential Equations ВамЛ center publications, 10: 261-269.
Karatoprakliev G.D. 1983. Boundary Value Problems for Mixed Type Equations in Multi-dimensional Domains. Partial Differential Equations Banach Center Publications, 10: 261-269 (in Russian).
4. Алдашев С. А. 2013. Корректность задачи Дирихле для одного класса многомерных гиперболо-параболических уравнений, Укр. матем. Вестник, 10: 147-157.
Aldashev, S.A. 2013. Well-posedness of Dirichlet problem for one class of multi-dimensional hyperbolic-parabolic equations. Ukrainskii Matematicheskii Vestnik, 10(2): 147-157 (in Russian).
5. Aldashev S. A. 2013. Correctntss of the Dirichlet problem for a class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations. Journal of Mathematical Sciences, 194 (5): 491-498.
Aldashev S.A. 2013. Correctness of the Dirichlet Problem for a Class of Multidimensional Hyperbolic-Parabolic Equations. Journal of Mathematical Sciences, 194(5): 491-498.
6. Алдашев С. А. 2012. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина, Научные ведомости Бел-ГУ, Математика, физика, вып. 6. №5(124): 12-25.
Aldashev S. A. 2012. Correctness of Dirichlet's and Poincare's problems' in cylindrical domain for degenerated multidimensional hyperbolic equations with CHapligin's operator. Belgorod State University Scientific bulletin Mathematics & Physics, vol. 6. №5(124): 12-25(in Russian).
7. Алдашев С. А. 2013. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина. Владикавказский матем. журнал, т 15, вып.2 : 3-10.
Aldashev S.A. 2013. The well-posedness of the Dirichlet and Poincare problems in a cylindric domain for the multi-demensional CHapligin. Vladikavkaz Mathematical Journal, vol. 15( 2) : 3-10 (in Russian).
8. Михлин С. Г. 1962. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М.: Физматгиз: 254 .
Mikhlin, S.G. 1962 . Multi-dimensional Singular Integrals and Integral Equations. Moscow: Fizmatgiz (in Russian).
9. Камке Э. 1965. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Наука: 703.
Kamke E. 1965. Handbook of Ordinary Differential Equations. Moscow: Nauka (Russian translation).
10. Бейтмен Г., Эрдейи А. 1974. Высшие трансцендентные функции, т.2, М.: Наука: 297.
Bateman H., Erdelyi A. 1974. Higher Transcendental Functions, Vol. 2. Moscow: Nauka (Russian translation).
11. Колмогоров А. Н., Фомин С.В. 1976. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука: 543.
Kolmogorov A.N., Fomin S.V. 1976. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow: Nauka (in Russian).
12. Тихонов А. Н., Самарский А.А. 1966. Уравнения математической физики, М.: Наука: 724.
Tikhonov A.N., Samarskii A.A. 1977. Equations of Mathematical Physics. Moscow: Nauka (in Russian).
13. Смирнов В. И. 1981. Курс высшей математики, Т.4, N.2, М.: Наука: 550.
Smirnov V.I. 1981. A Course of Higher Mathematics, Vol. 4, part 2. Moscow: Nauka (in Russian).
14. Фридман А. 1968. Уравнения с частными производными параболического типа, М.: Мир: 527.
Fridman A. 1968. Hyperbolic Partial Differential Equations. Moscow: Mir (in Russian).
15. Алдашев С.А. 2014. Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений. Владикавказский матем. журнал, т 16, вып.4: 3-8.
Aldashev S.A. 2014. Well-posedness of the Dirichlet problem for the degenerate multidimensional hyperbolic-parabolic equations. Vladikavkaz Mathematical Journal, vol. 16(42): 3-8 (in Russian).
