Построение математической модели операции изотермической вытяжки квадратных коробок из высокопрочных анизотропных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Пасынков Андрей Александрович, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Нуждин Георгий Анатолиевич, mpf-tiilaarambler.ru, Россия, Москва, Орган по сертификации систем качества «Консерсиум»

ISOTHERMAL EXTRUSION BRANCH PIPES WITH NONSTATIONARY DEFORMA TION OF FLANGES

V.N. Chudin, A.A. Pasynkov, G.A. Nuzhdin

The article describes the process of isothermal extrusion nozzle with a median external flange. To calculate the parameters of technological regimes was used extreme verhne-granichnaya theorem of plasticity in relation to discontinuous velocity field movements. The expressions for the evaluation ofpower and deformation parameters.

Key words: squeezing the flange, pipe, verhnegranichnaya theorem of plasticity, strength, defect.

Chudin Vladimir Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Moscow, Moskow State University Ways of communications,

Pasynkov Andrey Aleksandrovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Nuzhdin Georgiy Anatolievich, mpf-tnla aramhler. ru, Russia, Moscow, Organ by Quality System Certification "Konsersium "

УДК 621.983; 539.374

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОПЕРАЦИИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ВЫТЯЖКИ КВАДРАТНЫХ КОРОБОК ИЗ ВЫСОКОПРОЧНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Ю.В. Бессмертная, Б.С. Яковлев, А.Н. Малышев

Приведены выражения для оценки напряженно-деформированного состояния и силы процесса изотермической вытяжки квадратных коробок из высокопрочных анизотропных материалов. Деформирование осуществлялось по схеме «круг - квадрат». Полученные выражения позволяют произвести оценку влияния технологических параметров на протекание процесса.

Ключевые слова: вытяжка; коробчатые детали, анизотропия, математическая модель, сила.

Во фланце заготовки имеются зоны деформаций и жесткие зоны в соответствии с разрывным полем скоростей (рис. 1). Данные зоны разделены линиями разрыва скоростей перемещений точек фланца. В зоне

деформаций точки перемещаются к центру углового радиуса матрицы, а в жестких зонах - по нормалям к прямолинейным участкам матрицы. В зонах деформаций скорости движения точек Уг переменны вдоль радиуса; жесткие зоны движутся с постоянной скоростью Ул. Скорость имеет разрыв на границах зон. В общем случае при плоском напряженном состоянии скорость разрыва имеет касательную и нормальную составляющие к линии разрыва.

заготовка

разрыва

в

Рис. 1. Однооперационная вытяжка квадратной коробки: а - схема операции; б - разрывное поле скоростей; в - план составляющих скоростей; г - полные скорости на линии разрыва

Установим в зонах деформаций кинематику течения материала. Скорости перемещения точек по радиальным направлениям определяются функцией

V = V

у г у п

Я

(1)

где Я - коэффициент анизотропии материала, Уг, Уп - соответственно радиальная скорость перемещения точки и скорость пуансона. Функция (1) соответствует граничным условиям, т.е. г = гп, Уг = Уп, г = гр,

Исходя из соотношения (1), выражения для определения компонент скоростей деформаций в точках зон деформаций по радиальному, окружному направлениям и по толщине заготовки определяются так:

7? 1+27? "

ЭК.

7?

Эг 1 + 7?

V,-

V . г 1+7? . г 1+7?

уп 41 '

7?

1+27?

£ - --V .1-1+7?.г 1+7? • Ьф - - уп 'н 1 Г

=Чг =

1

7?

1+27?

1 + 7?

V .7-1+7?.г 1+Л уп 'н '

(2)

При учете зависимостей (2) выражения для эквивалентной скорости деформаций запишутся в виде

= [&Р - + № - ^ )2 + ВДг ~^)2]1,2 =

2(2 +К) 3(1 + 7?)

1/2

1+27?

у 7?/(1+7?) 1+Е _ уи 'п ' ~

1+27?

(3)

где % =

2(2 +К)

1/2

3(1 + 7?)

Эквивалентную деформацию получим интегрированием соотношения (3), т.е.

/ Л я/(1+7?)

' Г ф. г

О

О

Г

1 Г

—¿г = х 1п—

V г

УП 41

(4)

В точках зоны деформаций эквивалентное напряжение определяется уравнением состояния при подстановке в него выражений (3), (4).

Изменение толщины края материала можно рассчитать, учитывая,

^5 =

Отсюда следует, что

¿5 М

1 + Д

с!г

(1 + К)гЛ

(5)

5 = 5г

'о

а

Бт-

к

1/(1+Л)

1+/?

(6)

где 8, 50 - текущая и начальная толщины заготовки; 2а - расстояние между угловыми центрами пуансона (матрицы).

Мощность внутренних сил в одной зоне деформаций

го

^вн= Ф ¡ае^еЫг.

(7)

гп+-

а

к

8111-

Здесь го, гп - радиус заготовки и угловой радиус пуансона; г - радиальная координата точки в зоне деформации; ф - угол, определяющий зону деформаций.

Для расчета мощности в зонах деформаций фланца необходимо установить входящие в это уравнение величины.

Мощность внутренних сил в зонах деформаций можно рассчитать, используя выражения (3), (4), (6) и уравнение состояния при подстановке в

(7).

По углу ф при этом необходимо определить границы зоны деформаций. Обратимся к линии разрыва скорости, которая принята прямой, проходящей через две точки. Одна из них задана на внутреннем контуре фланца и является точкой касания прямоугольного и углового радиального участков контура. Вторая точка определяется пересечением искомой линии с линией внешнего контура фланца.

Положим, что линия разрыва является характеристикой [1]. Известно соотношение для расчета угла между пересекающимися характеристиками. Используя его, получим

1

\1/ = — агссоз т 2

С/£СО

у/1 + 2 Я

(8)

Здесь \|/ - угол между линией разрыва и касательной к внешнему контуру фланца в точке их пересечения; со - параметр, определяемый из соотношения для напряжений в точках внешнего контура фланца, где известно главное нормальное напряжение

81П СО +

13(1 + 27?) \ г

1 2 + Я

(9)

При этом

Ц<2

я5г0

Здесь ог - радиальное (нормальное) напряжение в точках внешнего контура фланца; ое - эквивалентное напряжение в этих точках; <2 - сила прижима; гр, 5 - радиус заготовки и толщина ее края; - коэффициент трения заготовки на поверхности штампа.

В частном случае, если не учитывать влияние прижима, ог = 0. Таким образом, по соотношению (8) и (9) определяется положение линии разрыва как проходящей через две известные точки, и угол ср между ними в угловой зоне фланца. На линиях разрыва имеются скачки касательной и нормальной компонент скорости (рис. 1, б). Полный разрыв (скачок скорости) составляет величину

Ур=[{Ур)2п + (Ур)\}1'2, (10)

а угол между вектором скорости разрыва и линией разрыва

, <Ур)п /1П

, (11)

\Ур) X

где (Ур)п, (Ур)х - нормальная и касательная компоненты (составляющие)

скорости разрыва. Эти составляющие, учитывая принадлежность точки на линии разрыва одновременно зоне деформаций и жесткой зоне, записываются в следующем виде:

(Ур)п ~ (Уп)п ~(Уг)п> | (Ур\={У„) х-(Уг)т>

где (Уп)п, (У/?)т - нормальная и касательная составляющие скорости точки на линии разрыва со стороны жесткой зоны; (Уг)п, (Уг)т - то же со стороны зоны деформаций.

Направления векторов скоростей Уг и Уп заданы относительно линии разрыва углами а и р. В соответствии с соотношениями (8), (9) положение линии разрыва определено углом ц/. В результате получим

<Уг)п = УГ а> (Уп)п = Уп Р;

(Уг)х = У г ^а, (Уп)х = Уп С0Бр,]

что позволяет вычислить составляющие (13), скорость разрыва (10) и угол между вектором этой скорости и линией разрыва (11).

(12)

(13)

Радиальная скорость Уг в выражениях (13) определяется по соотношению (1).

Мощность на одной линии разрыва представим в виде равенства ^Р = \ърУрьЛ + Ъът2^1р = \трУрьЛ^ (14)

h

sinp

где хр - касательное напряжение на линии разрыва скорости; 1р - длина линии разрыва; i\ - расстояние от центра углового радиуса до точки выхода линии разрыва на внешний контур фланца; Ьр - толщина материала на

линии разрыва.

В интеграле (14) линия разрыва имеет вид

_ sin(p-cO

Р о

^ sinp

а в интеграле (14) произведена замена переменной.

Установим входящие в уравнение (14) величины. Касательное напряжение [2] при плоском напряженном состоянии будет иметь вид

V=*n(ee)J($e)J, (15)

г ~|1/2

1+ R

Л =

2(1 + 2 Д + (4)

|иа - коэффициент вида напряженного состояния (принимаем для вытяжки ц0 = 0,553 [2,3]).

В соответствии с выражениями (3), (4) рассчитываются эквивалентные деформация и скорость деформаций на линии разрыва между зоной деформаций и жесткой зоной. Подстановка их в условие (15) приводит к зависимости

"R n(l+2R) , у„

V Гп у

(16)

Таким образом, скорость на линии разрыва определена соотношением (10), а угол между вектором скорости и линией разрыва - соотношением (11). Для расчета мощности необходимо в уравнение мощности (14) внести соотношения (6), (10), (11), (16). Интегрирование этого уравнения затруднительно. Упростить расчеты можно, если принять, что мощность на линии разрыва определяется краевой точкой фланца. Тогда входящие соотношения не зависят от текущей радиальной координаты, и в выраже-

ниях (16) и (1) нужно положить г-г\ - расстояние от центра углового радиуса до точки пересечения линии разрыва с внешним краем фланца. При этом выражения (10), (11) получат вид

Я

БШр

Vr

= v„

81П у

вша

rn 11+R

Л)

вша

sin у

(17)

у = arctg

R

sinp

sma

с \ }JL

vi у

l+i?

R

-tga

СОБ

cosa

(18)

а длина линии разрыва

_ sin^-a) lp-П——-—• r sinp

(19)

Если = 50, то необходимость интегрирования отпадает, и уравнение для мощности на линии разрыва (14) сводится к виду

у у у sinp

(20)

где входящие величины определены выражениями (16) - (19).

Мощность трения заготовки на инструменте определяется с помощью интеграла

Щпр = \Ч№- (21)

Здесь т^- касательное напряжение на поверхности контакта заготовки с инструментом; У^- скорость движения заготовки; 5 - поверхность трения (площадь прижима и матрицы). Приближенно

(22)

где \х - коэффициент трения заготовки на инструменте; q - давление прижима.

Необходимо учесть, что мощность трения создается на поверхностях фланца между прижимом и матрицей в зонах деформаций и жестких зонах. Контактные скорости в этих зонах соответственно Уг, определяемые выражением (1), и Уп - заданная скорость пуансона. Подстановка не-

обходимых выражений в интеграл (21), интегрирование по зонам деформаций в полярных координатах и учет трения жестких зон приводит к соотношению

2+7?'

/ >

2+7?

... г/ (2(1 + 7?) К,р=МК\ 2 + к фГ„

-1+7? О

а

Бт-

к

1+7?

+

+

71

-Ф

Го~(а + г„)2

(23)

что соответствует мощности трения на поверхностях матрицы и прижима для четверти заготовки.

Расчеты мощности деформаций (7), мощности на линиях разрыва скоростей (20) и трения (23) позволяют сделать верхнеграничную оценку силы вытяжки по энергетическому неравенству.

Упрощение расчетов можно достигнуть, если в качестве линий разрыва принять ортогональные прямые, проходящие через центры угловых радиусов (точка О1) параллельно осям х, у (рис. 2). Этой схеме расчета соответствует кинематика в зонах деформаций, записанная соотношениями (1) - (4). Установим распределение толщины фланца в зонах деформаций.

Так как

с, ¿/г* ¿/5 1 7 ¿/г 1

Л 5 Л'

V V

V У V п

( -Л

\гп ;

к

1+Я

• ¿/г

то в соответствии с принятой функцией скорости (1) получим соотношение для распределения толщины в виде

1

5 = 5

о

( „ \

V гп у

1+К

(24)

что удовлетворяет условиям г = гп, 5 = 5о; г = , 5 = Ъкр - 5о

Г

\Ч1 у

1+Л

Радиус дуги окружности внешнего контура зоны деформаций относительно центра перемещений, т.е. с точки 0\, запишем так:

Г01 =я(8Ц1ф+С08ф)

1-

2а2 +г02

'1

а (втф + созф)

-1

(25)

где го - радиус заготовки с центром в точке О; 0 < г < г^ - текущая ради-

к

альная координата точки в зоне деформаций; 0 < ф < — - угловая коорди ната этой точки; 2а - расстояние между угловыми центрами.

а

б

Рис. 2. Разрывное поле скоростей (а) и план скоростей (б) на линии разрыва при вытяжке низкой квадратной коробки

Учитывая соотношения (3), (4), (24), (25), выражение для мощности внутренних сил (7) определяются как

(1+/?)Д-1 Ч

I

О

>01 1+ \г

1-(1+7/)(1+2тг) 1+Ё

/ ч/И

1п—

V Гп

(Лг

¿/ф.

Полученный интеграл решается численно. Для упрощения полученного выражения подынтегральную функцию внутреннего интеграла представим в приближенном виде:

'о

V гп J

т

1-лД |г

1+/н-

1-(1+»)(1+2Д)

1+д

После интегрирования по координате г мощность внутренних сил будет записана в форме

(1+я)Л-1

1+Л

-///+р

х

X/ о

( \р V гп у

-1

т

р-1

701

V 'п у

-1

£/ф,

(26)

где р = 2 + тл

1-(1 + л)(1 + 2Д) 1 + Я

Для последующего численного интегрирования по координате (р необходимо в выражение (26) подставить формулу (25).

Запишем необходимые выражения для расчета мощности на линиях

разрыва скоростей. Здесь Уг

1 V

1 р •> у п

, и вектор скорости разрыва совпа-

дает с линией разрыва. Величина разрыва скорости

V =У -V -V

У р У п У г У п

я

1-1г»

I '01

1+7?

(27)

Принято, как это записано в соотношении (27), что разрыв постоянен на всей линии разрыва и определяется по внешней краевой точке фланца. Положение этой точки задано радиусом гр], что следует из формулы (25) при ф = 0.

Считаем толщину фланца на линии разрыва также постоянной, равной толщине в точке пересечения внешнего контура фланца и линии разрыва, т.е.

1

1

Ър =50

с \

М

г

V 'п у

1+7?

(

= 50

Го 2

-Й + Л/Г0 ~а

\

1+7?

(28)

2

Го -а , что следует из формулы (24)

(25), где <р = 0.

Эквивалентная деформация на линии разрыва

после подстановки

г

) V ~ (£е)пл ~~ ~~ X ^ >

гп

(29)

где (ге)т, (£е)ж - эквивалентные деформации в пластической и жесткой зонах соответственно.

Соотношение (29) и его производная по времени, т.е. эквивалентная скорость деформаций, позволяют вычислить касательное напряжение (16) на линиях разрыва.

Последующая подстановка соотношений (27), (28), (16) в равенство (13) при ф = 0 приводит к интегралу мощности на линиях разрыва скоростей, а именно

пЯ-\

IV, = ЫШ>"+" ■ 80 • У}^ •

1-

0"о)о1

/г 1+/?

х

х(г01)1+к • I

1 ,.о1 п(1+2Л)

1+Л . г у 1+7?

/ уи г

V п У

(¡Г.

Подынтегральную функцию заменим разложением

V,

V Гп у

1-ти-

гле р = 1 + т

л(1 + 2Д) 1 + 7?

Учитываем, что на линии разрыва радиус внешнего контура фланца Г01 ~~а + д/г0 ~ величина постоянная, независимая от координат г,

Ф-

После интегрирования получим

1

Р~П1+-( г—-

2 1+Д

Л

1-

X

-а + у/г^ -а2

-1

«7

р-1

~а + у1г0 ~а

Г~2-

-а + у]г0 -а

1+д

х

(30)

Обратимся к расчету мощности сил трения, записанной в общем виде интегралом (21). Принимаем контактное напряжение трения зависящим от нормального давления прижима, что определяется соотношением (22). Контактная скорость в зонах деформаций выражена соотношением (1), скорость жестких зон - Уп. Учитывая это, запишем

Л V 1 2 Г01

( а, \1

V 0

¡2

(Лх - а (а + гп)

После интегрирования по координате г получим:

2+R

Wmp = %\iqVn

м/2

2 + R " JQ

^Yl+R

V rn

— 1

+

2 2/ \ 2 a aJrn -a + + arcsin—

V '0

(31)

Здесь радиус /qi должен быть записан формулой (25), после чего произведено интегрирование по ф.

Подстановка полученных выражений для мощностей (11), (30), (31) в энергетическое неравенство приводит к оценке максимального значения силы при вытяжке квадратной коробки в зависимости от скорости операции.

Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 16-38-00082 мол а.

Список литературы

1.Качанов J1.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

420 с.

2. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 332 с.

3. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.П. Яковлев, В.Н. Чудин, С.С. Яковлев, Я.А. Соболев. М.: Машиностроение, 2004. 427 с.

Бессмертная Юлия Вячеславовна, канд. техн. наук, ассист., myf-tula(cvrambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственныи университет,

Яковлев Борис Сергеевич, канд. техн. наук, доц., mvf-tula(a)rambler. ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Малышев Александр Николаевич, канд. техн. наук, доц., amalv-shev(cvru.zestamp. com, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL MODELS OPERATIONS SQUARE BOXES ISOTHERMAL EXTRACT OFHIGH-ANISOTROPIC MATERIALS

Y.V. Bessmertnaya, B.S. Yakovlev, A.N. Malyshev

The article gives expression to evaluate the stress-strain state and strength of isothermal extraction of square boxes of high anisotropic materials. Deformation was carried out on a "circle - square". These expressions allow to evaluate the influence of process parameters on the process.

Key words: hood; box-shaped parts, anisotropy, a mathematical model, force.