Математическая модель операции изотермической вытяжки прямоугольных коробок с небольшими угловыми радиусами Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.983; 539.374

С.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц.,

(4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru,

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru, (Россия, Тула, ТулГУ)

В.Н. Чудин, д-р техн. наук, проф., (499) 901-51-44, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Москва, МИИТ)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ВЫТЯЖКИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КОРОБОК С НЕБОЛЬШИМИ УГЛОВЫМИ РАДИУСАМИ

Приведены математическая модель и результаты теоретических исследований операции изотермической вытяжки низких коробчатых деталей с небольшими угловыми радиусами из прямоугольной формы заготовки с угловыми радиусами закругления.

Ключевые слова: коробчатая деталь, математическая модель, напряжение, деформация, кратковременная ползучесть, анизотропия, матргща, пуансон, вытяжка.

Расчеты силовых параметров рассматриваемого процесса деформирования будем вести исходя из экстремальной верхнеграничной теоремы, в соответствии с которой справедливо неравенство

РГ„<1Гвн+1Гр+1Гтр, (1)

где левая часть - мощность внешних сил Р при скорости перемещения пуансона Уп; правая часть - соответственно мощность сил деформаций 1Ув11, мощность на линиях разрыва скоростей IVр и мощность трения на поверхностях контакта материала с инструментом ^тр.

Коробки с небольшим относительным угловым радиусом

Уу^л

ОД 7 < ——— < 0,4 вытягивают из заготовок прямоугольной формы с угло-2 а-Ь

выми радиальными закруглениями (рис. 1 и 2), где И - высота коробчатой детали [1,2].

Расчетная схема вытяжки показана на рис. 2. Фланец заготовки имеет пластические зоны, ограниченные дугами окружностей по внешнему и внутреннему контурам в угловых областях, и жесткие зоны напротив прямых сторон внутреннего контура фланца.

Материал заготовки примем трансверсально-изотропным, механическое состояние которого определяется функцией [3, 4]

(2)

где <5е - эквивалентное напряжение (интенсивность напряжений); ее, Ъ>е -

эквивалентные деформация (интенсивность деформаций) и скорость де формации соответственно; к, т, п - константы материала.

Рис. 1. Формы заготовок для вытяжки коробок прямоугольной формы

Скорости в названных зонах: Уг - по направлению к центрам угловых радиусов (т. О2)', Уп - по нормалям к прямым сторонам вытяжной матрицы. Линии разрыва прямые, соединяющие точки сопряжения радиальных и прямых участков внутреннего и внешнего контуров фланца.

При этом уравнения угловых радиусов внутреннего и внешнего контуров зоны деформаций фланца относительно точки 0\ - точки пересечения линий разрыва - имеют вид

А, а, 01,02 - линейные размеры заготовки; ф - угловая координата точек внешнего углового контура фланца радиуса (^0)01 как и в предыдущем

К

варианте расчета, - Р < ф < — + Р.

>

2 2 а\ (бш ф + соб ф)

(3)

(4)

где

а

б

в

Рис. 2. Вытяжка прямоугольной коробки с небольшими угловыми радиусами: а - заготовка и поле скоростей; б - план скоростей на линии разрыва {1р)\; в - то же на линии (1р) 2

Значения радиусов {гп)01, (^о)01 принимаются по уравнениям (3), (4) при ф = 0.

Установим кинематику в зонах деформаций. Скорости перемещения точек по радиальным направлениям зададим функцией [4]

Я

V = V

у г у п

1+Я

(5)

где Уг, Уп - соответственно радиальная скорость перемещения точки и скорость пуансона; К - коэффициент анизотропии материала. Функция соответствует граничным условиям, т.е. г = гп, Уг = Уп, г = гд,

1'г=Гп(г„1г0)К,{Х+К\

Выражения для определения компонент скоростей деформаций в точках зон деформаций по радиальному, окружному направлениям и по толщине заготовки, исходя из соотношения (5), запишутся в виде

Я

1+2 Я

Эг 1 + Я п п

Кг

5ф

^8_ЧгЧф_

1

Л+Я п . г 1+Я

Я 1+2 Я

Л+Я п . г 1+Я

Я 1+2 Я

1 + Я

V . г 1+Я . г 1+Я

гп Ап ' •

(6)

Соотношение для эквивалентной скорости деформаций при учете зависимостей (6) будет иметь вид

. _ У2(2 + Я)

Л/3(1 + 2Я)[(^Ф - Я^5)2 +(Я^5 -^г)2 + Я(^г - ^Ф)2]1/2 _

хКл

1+2 Я Я /(1+Я) г 1+Я

(7)

где X

2(2 +Я)

1/2

3(1 + Я)

Эквивалентную деформацию получим интегрированием соотношения (7), т.е.

^ ^ ^г г

ге = &еЖ = &е — = | £

0

0

гг

г

\гл у

Я /(1+Я)

1г

—^г _х Ь—•

ги

(8)

Можно показать, что кинематические соотношения (5), (6) для зоны деформаций представим как

'(^)01Л

V _ V

Кг Кп

1+д

\ Г )

Я 1+2 Я

1+Я г 1+Я

хКп (гп )0_1

Эквивалентная деформация (8) записана соотношением

£е=%Ы

(гп )01

(9)

(10)

(11)

Распределение толщины по фланцу определяется по выражению

1

5_5

1+Я

0

Ои)01

(12)

Соотношения (10), (11) определяют эквивалентные напряжения по уравнению состояния (2). Подставим уравнение (2) с учетом названных зависимостей и зависимостей (10), (11) в уравнение мощности внутренних сил:

к

+Р1

Гт=4»х1ш+"* 0¥'+"1

-Р2

1+(1+и)(1+2Я) ґ

' (1+и)Я-1

((Г/7 )01 ) 1+Я Х

(го)оі X I

(ги)01

1+Я

\ т

1п-

(гп ) 01

яф

(13)

Здесь необходимо произвести внутреннее интегрирование по г, после чего проинтегрировать по ф •

Заменим подынтегральное выражение внутреннего интеграла приближенным разложением

1+(1+я)(1+2Я)

1

\т ґ

(гп ) 01

1-т

1+т-

1+Я

и проинтегрируем уравнение (13) по координате г. Получим

ІУвн =4кх.1+т+п&0УҐ

к

2+р‘ $2

1- п

Х{

ґМоі_лР

(гп ) 01

т

Ґ, ч

(го)р1

(гп ) 01

¿/ф,

(14)

где

р = 2 + т +

1 - (1 + п)(1 + 2 Я)

1 + Я

Примем, что разрывы постоянны, исходя из рис. 2, б и 2, в, получим

(15)

(V^)1 = Vn[1 + К2 - 2К С08(а1 -Рх)]1/2= *1 Vп;

( Кр)2 _ Кп [1 + ^2 - 2^2 С08(а2 - р2)]1/ 2_ *2^,

где «1, (3^ - углы между линией 1р и векторами скоростей Уг, Уп соответственно; «2, Р2 - то же для линии разрыва 1р , отметим, что углы «|, а2 переменны на линии разрыва^

Примем их осредненные значения, исходя из рис. 2, а, т.е.

1

Р1 + агс^-

(Ь2 - Ь1)ги

(А - а)(А - а - ) + (Ь2 - Ь1^

а 2 =

1

Р 2 + агс^-

аги

(16)

(В - Ь)(В - Ь - ) + а

где Р^ и Р2 - углы в их положительных значениях.

Величины углов 0С1, ос 2, вычисленных по выражениям (16), необходимо внести в соотношения (15) для расчета разрыва скоростей.

Эквивалентные скорости деформаций и деформации на линиях разрыва представлены соотношениями (10), (11). Касательные напряжения на линиях разрыва в соотношениях (10)- (11) будут записаны как

пЯ —п(\+2К) / \т

1п-

(17)

х (гп\и

Толщину материала на линиях разрыва принимаем 8р - 80.

Учитывая, что интегрирование необходимо проводить по двум разным линиям разрыва, получим, используя соотношения (15) - (16), что

(18)

= 4( М1 + М2)4гаШ+”80К„1+и,

где

\Р2~1

1

т

^2 -1

(го)о1

0и) 01

М2 - к2^11 + Збш2 у2 [()01]Р1

\Р2 —1

т

.Р2 -1

(го)о1

Оъ)о1

-1

(го)о1

^2 ^(гл)01. И/7М ф = -Р2;

71 о

И/7И ф = - + р1;

-1

(19)

где

и* , и(1 + 2 *)

Р1 - Р? - т н--------------------; р2 -1 + т----------------------------------

1 2 1 + * 2 1 + *

*

(^)01

(го)о1

1+Д п о ~

-при;ф = - + р1; К 2 =

Оя)01

(го)о1

*

при ф = -р2

Значения радиусов (^)о1, (го)о1 принимаются по формулам (3), (4)

при соответствующих значениях ф. Значения углов между линиями разрыва и векторами скоростей разрыва следуют из плана скоростей, т.е.

(^) и

Yl = arcig-

(Fr) „ sin Ві - sin ai sin В 2 - sin a 7

v r)n = arcig--------^-L, Y2 = arrfg- K2 7

(^)x - (^)x w cos Pi - cos ai cos P2 - cos a2

где (Vn )/7, (Vn )T, (Vr )/7, (Vr )T - нормальные и касательные к линиям разрыва составляющие скоростей Vn и Vr.

Значения радиусов {гп)о , (Ц))о1 принимаются по уравнениям (3),

(4) при ф = ~Р.

Выражение для мощности трения запишется следующим образом:

2+R

Жгр 8цд Vn

л о

т+Рі 1 + R 2

2 + R

i (r« )2і

-Р2

(г0)0І (гЬ)0І

І+R

- І

яф

К

І

(А - а - r„ )[^(А - а - r„ ^gfr +

(20)

+ (Ь - (^ - а - )^яР1 )] + (5 - Ь - ) ^

Здесь {гп)ох, (^о)о! - радиусы, принимаемые по формулам (4), (5). Подстановка соотношений (14), (18), (20) в энергетическое неравенство (1) приводит к оценке силы вытяжки прямоугольной коробки. В частном случае при а = Ь, А = В расчет соответствует вытяжке квадратной коробки.

Мощность трения заготовки на матрице и под прижимом рассчитывается в соответствии с выражением (20), где интегрирование должно быть произведено при подстановке уравнений (3), (4). Величина угла

71

Р1 = Р. Предел интегрирования ~ + Р1 - Ф - -Р1 •

Полученные соотношения для мощностей (14), (18), (20) необходимо внести в энергетическое неравенство (1) и получить оценку максимальной силы вытяжки:

Р =

w +W +W ” вн ~ ” р ~ ” тр

К,

Силовые режимы процесса изотермической вытяжки низких коробчатых деталей из прямоугольной листовой заготовки исследовались в зависимости от анизотропии механических свойств листовой заготовки, скорости перемещения пуансона ¥л, условий трения на контактной поверхности рабочего инструмента и заготовки и давления прижима с/ на силовые режимы процесса.

На рис. 3 приведены графические зависимости изменения относительной максимальной величины силы Р = /5/(77о*) процесса изотермической вытяжки от скорости перемещения пуансона Ул, коэффициента трения на контактной поверхности рабочего инструмента и заготовки ^, давления прижима с/ для алюминиевого сплава АМгб при температурах

обработки Т = 450 °С и Г = 530 °С, а также титанового сплава ВТ6С при

Т = 930 °С, где і7 = 4(а + Ь + кгп /2)5д. Механические характеристики исследуемых материалов приведены в таблице [1]. Расчеты выполнены при В= 60 мм; А = 35 мм; а = 15 мм; ¿ = 40 мм; = 8 мм; §д = 1 мм; о* = 50 МПа. Величина давления прижима с/ назначалась в соответствии с рекомендациями [3,4].

Механические характеристики алюминиевого АМгб и титанового ВТ6С сплавов

Сплав Т, С° Я <5е — к£е ^в ’ МПа

к, МПа/ сп т п

Алюминиевый АМгб 450 0,68 54,57 0,104 0,0263 80

530 0,86 36,94 0,072 0,0306 60

Титановый ВТ6С 930 1,06 66,75 0,028 0,0582 100

Рис. 3. Зависимости изменения Р от Уп (а) и ц (б): кривая 1 - сплав ВТ6С (Т = 930 °С); кривая 2 - сплав АМгб (Т = 450 °С);

кривая 3 - сплав АМгб (Т = 530 °С)

Анализ результатов расчетов показывает, что с увеличением скоро-

465

сти перемещения пуансона Уп, коэффициента трения на контактной поверхности рабочего инструмента и заготовки ц, давления прижима с/ относительная величина максимальной силы процесса вытяжки Р возрастает. Увеличение коэффициента нормальной анизотропии приводит к уменьшению относительной величины силы Р .

Упрощение расчетов можно достигнуть, если считать, что линии разрыва скоростей - ортогональные прямые, проходящие через центры угловых радиусов дна изделия (рис. 4). Установим для этого варианта расчета соотношения для мощностей в зонах деформаций, на линиях разрыва скоростей и мощность трения в соответствии с энергетическим неравенством (1). Кинематика в зонах деформаций характеризуется скоростью перемещения точек заготовки (4), эквивалентными скоростями деформаций (10) и деформаций (11). Эквивалентное напряжение здесь следует из уравнения состояния (2). Запишем уравнение окружности гд относительно центра ОI углового радиуса, т.е. центра движения точек зоны деформаций, в форме

{a sin ф + (Ь - с) cos ф)

Здесь а,Ь,с- геометрические размеры элементов заготовки; ф- текущая угловая координата точек внешнего контура зоны деформаций.

Рис. 4. К расчету однооперационной вытяжки прямоугольной коробки а - поле скоростей во фланце; б - разрыв скорости линии разрыва

а2 + {Ъ - с)2 - го

Ч деформаций

И

2 В

>

а

б

Кинематика в зонах деформаций определена соотношениями (5) -(7), а эквивалентные напряжения - уравнением состояния (2). Таким образом,

Я

V = V

у г у п

д

п

V Г у 1+2 Д

1+д

=Х Ь—•

(22)

(23)

Изменение толщины во фланце будем учитывать формулой (12).

В этом случае мощность внутренних сил в зонах деформаций в соответствии с зависимостью (1) вычисляется при подстановке соотношений (23) с учетом уравнения (2) по выражению

(1+п) Я

*Гв„=кХ1+т+^+”г^80х

2п(г0)оі 1-(1+'7)(1+2І?)Ґ г Л X | | Г 1+Я 1п —

О г„ V гп;

т

^гаф,

(24)

где г- текущая радиальная координата точки; (/())01~ радиус контура фланца в соответствии с формулой окружности (21).

В уравнении (24) вычисляется внутренний интеграл по радиусу г, после чего производится интегрирование по угловой координате ф при подстановке уравнения (21).

Приняв приближенное разложение

1п—

V ГП J

\т

Чгпу

г

1-т —

выражение (24) запишем после внутреннего интегрирования в виде

»'в„=4^1+т+',^1+''80г>-'’х

/('-0)01Л'Р

V 'п

т

Р -1

(го)оі

V 'п

Р~ 1

¿/ф,

(25)

„ 1 - (1 + п)(\ + 2К) , ч

где р = 2 + тЛ-------------------; (гд)о1 определяется по выражению (21).

1 + Л

Окончательно численное интегрирование уравнения (25) производится, как отмечено, после подстановки формулы (21).

Перейдем к расчету мощности на линии разрыва скорости. Разрыв скорости на ней (рис. 4, б)

V = V

у р у п

гп

V г )

Д

1+Д

(26)

Запишем выражение для определения мощности на линии разры-

вов:

пД

Гр = 4*ПХт+п80^п+пгп1+д х-

1+Д

1п—

V гп У

+

при ф=0

+

(г0)0і _»(1+2^

1+Д

ІП-

г

V Апу

(27)

при ф=фк

Если подынтегральную функцию заменить, как это сделано выше, приближенной, то выражение (27) интегрируется в конечном виде, т.е.

Гр = 4( М1 + М2)кц%т+п8о^-п^1+п,

(28)

где

М1 =■

р

"(го)оЛ Р

V 'п у

-1

т

р-1

А/ ч ЛР-1 (г0)01

V 'п у

-1

при (го)оі по уравнению (11) при ф = 0; М2 -М\ при (гд)оі по уравнению

.... 71 . п{\ + 2К)

(21) при ф = фк =-; р = \ + т------- .

Контактная скорость в зонах деформаций определяется выражением (22), где Уг = Ук, а в жестких зонах Уп=Ук. При этих условиях запишем интеграл мощности трения в виде

ґп Л

' д 2(го)оі 1 Ь-с " 1 "

г 1+Д гп | | r^+Rdrd^) + < і (гО - х2)2 dx - (Ь - с)(а + гп)

о г 0

+

а

Ч

(г0 -у2)2(1у-а(Ь-с + гп)

+ с(г0 - гп - а)

(29)

Проинтегрируем по координате г, учитывая, что интегралы по декартовым координатам х,у решаются в конечном виде. В этой связи получим

И^тр 8 ¡Ад Уп

к

1 + Я 2?

----------гп 1

2 + І? %

(го)оі

2+Я

Ї+Я

-1

dф +

1

+ — 2

а(го

1 '

2^2 2 ■ а

а )2 + го агсБіп—

го

а(Ь - с + гп ) +

1

+ — 2

(Ь - с)(г2 - (Ь - с)2)2 + г2 агсБІп

Ь - с

го

(Ь - с)(а + Гп)

+

+ с(го

а

)}•

(зо)

В выражении (23) радиус (/() )о ] должен быть записан уравнением (21), после чего произведено численное интегрирование по координате ф. Зависимости (25), (27), (28) определяют в соответствии с энергетическим неравенством (1) силу вытяжки низкой прямоугольной коробки. В частном случае при а1 = Ь, с = О, А = В = гд расчет соответствует вытяжке квадратной коробки.

Дальнейшее интегрирование по координате ф производится численно.

Графические зависимости изменения относительной величины силы процесса Р от скорости перемещения пуансона Уп при фиксированных величинах коэффициента нормальной анизотропии Л представлены на рис. 5. Расчеты выполнены для геометрических размеров заготовки и детали, приведенных выше, при £=54,57 МПа/с”; т =0,104; п =0,0263; о* =50 МПа. Установлено, что с уменьшением коэффициента нормальной

анизотропии Л относительная величина силы процесса Р возрастает.

Анализ графических зависимостей показывает, что для более точных расчетов силовых параметров процесса вытяжки низких коробчатых деталей с небольшим угловым радиусом необходимо использовать более точную схему расчета силовых параметров (погрешность расчетов составляет более 50 %).

Рис. 5. Зависимости изменения Р от Уп для титанового сплава

ВТ6 (930 С) (а), алюминиевых

сплавов АМгб (450°) и АМгб

(560 ° С): (кривая 1 - расчеты выполнены по первой схеме деформирования; кривая 2 -поупрощенной схеме)

Выводы

1. Разработана математическая модель изотермической вытяжки прямоугольных коробчатых деталей с относительно большими угловыми радиусами, которые вытягивают из овальных заготовок. На базе экстремальной верхнеграничной теоремы пластичности предложен кинематический расчет сил.

2. Установлены влияние технологических параметров, скорости перемещения пуансона, анизотропии механических свойств листового материала на силовые режимы изотермической вытяжки прямоугольных коробчатых деталей из анизотропных высокопрочных листовых материалов. Показано, что с увеличением скорости перемещения пуансона ¥п, коэффициента трения на контактной поверхности рабочего инструмента и заготовки ¡1 величина силы Р возрастает.

3. Оценено влияние коэффициента нормальной анизотропии на силовые режимы процесса. Установлено, что с уменьшением коэффициента нормальной анизотропии Я величина силы процесса Р возрастает.

Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на

2009-2013 годы.

Список литературы

1. Ковка и штамповка: справочник: в 4 т. Т. 4. Листовая штамповка / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2010. 717 с.

2. Романовский В.П. Справочник по холодной штамповке. JL: Машиностроение, 1979. 520 с.

3. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 332 с.

4. Изотермическое формоизменение анизотропных материалов жестким инструментом в режиме кратковременной ползучести / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 412 с.

5.N. Larin, S.S. Yakovlev, V.N. Chudin

THE MATHEMATICAL MODEL OF THE ISOTHERMAL DRAWING OF THE ORTHOGONAL BOXES WITH SMALL ANGULAR RADIUSES

The mathematical model and results of theoretical investigations of the low box-type details with small angular radiuses isothermal drawing operation from orthogonal pieces with angular radiuses are presented.

Key words: box-type detail, mathematical model, stress, deformation speed, deformation, short-durated creeping, anisotropy, forming, die, punch, drawing.

УДК 621.983; 539.374

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф.,

(4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru,

Д.В. Дудка, канд. техн. наук, доц.,

(4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru,

М.В. Суков, канд. техн. наук, (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ОПЕРАЦИИ ОБРАТНОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Исследовано влияние технологических параметров на предельные возможности формоизменения операции обратного выдавливания анизотропных трубных заготовок

Ключевые слова: анизотропия, разрушение, обратное выдавливание, напряжение, деформация, сила, коэффгщиент трения, повреждаемость, труба, пуансон, матрица.

Рассмотрим операцию обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении анизотропного упрочняющегося материала