Построение коннективных оценок погрешностей линеаризации многосвязных нелинейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е. В. Щенпикова

ПОСТРОЕНИЕ КОННЕКТИВНЫХ ОЦЕНОК ПОГРЕШНОСТЕЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ МНОГОСВЯЗНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Введение. В настоящей статье с помощью метода функций Ляпунова строятся кон-нективные оценки погрешностей линеаризации нелинейных систем. Идейной основой статьи послужили работы [1; 2, с. 84-89, 428--437; 3, гл. 2; 4]. Полученные результаты являются развитием и продолжением статей [5, 6].

Постановка задачи коннективной устойчивости обусловлена тем, что в некоторых многосвязных системах устойчивость должна сохраняться при включении или отключении связей.

С помощью метода функций Ляпунова и построенных с его помощью уравнений сравнения удается в некоторых случаях решать задачи об устойчивости к связыванию (коннективной устойчивости). Чтобы отразить структурные изменения в таких системах, вводят в систему так называемую фундаментальную матрицу связей Е = ) 1,

где ёSj = 1 (если возможна связь между подсистемами) и 0 (если связи нет).

Следует отметить, что матрица Е отражает лишь ту структуру системы, при которой включены все связи. Из определения [2, с. 88] матрицы текущих связей Е{Ь) следует, что ее элементы е^-(£) непрерывны и eSj(t) € [0,1], = 1,д. Нетрудно заметить,

что элементы матрицы текущих связей могут быть одновременно кусочно-непрерыв-ными по I и непрерывными по фазовым переменным, т. е. esj{t,y) £ [0,1], в,] — 1,г/. Здесь у есть вектор фазовых переменных системы. Однако для получения с помощью метода функций Ляпунова искомых оценок не требуется выполнения указанных выше условий. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, не умаляя общности исследований, что элементы матрицы £7(й) принимают, так же как и элементы матрицы Е, значения 0 и 1 [7, с. 279], т. е.

В дальнейшем матрица текущих связей обозначается через Е. Очевидно, Е ^ Е (неравенство поэлементное). При этом будем говорить, что Е £ Е. Подробное описание многосвязных систем при указанных структурных изменениях можно найти в монографиях [2, с. 84-104, 428-444; 3, гл. 2; 7, с. 276-300].

Следует отметить, что количество всех возможных матриц текущих связей может оказаться достаточно большим. С целью сокращения числа варьируемых связей некоторые связи фиксируются.

В этой статье рассматривается случай, когда исследуемая система есть семейство систем, каждая из которых имеет «свои» фиксированные матрицы текущих связей.

Под коннективными оценками погрешностей линеаризации нелинейных динамических систем будем понимать оценки погрешностей линеаризации при структурных изменениях их правых частей.

© Е. В. Щенникова, 2007

0, если ёц = 0,

0, если ёsj = 1, но соответствующая связь отсутствует,

1, в остальных случаях.

Построение коннективных оценок погрешностей линеаризации. Рассмотрим систему

пд! ___

= fs(t,ys) + fu(t,yi, ■ ■ • ,yq) + . . ,yq) + rs(t), s=l,q, (1)

где fs(t,ys) £ C(J+ x Rn• -> Rn°)- fis{t,yi,...,yq) e C(J+ x Д"» x ... x Дп’ -> Д"-) (t = 1,2); r,(<) £ C(J+ ->■ Л"*); = {<_J_ t ^ 0}; ||rs(£)|| ^ 7, 0 < 7 = const;

у = (yj;, yJ)T; Д"1 0 ... ф Д71* = Д"; s = 1, <7. Индекс г означает транспонирование, а в качестве нормы вектора будем использовать евклидову норму.

Пусть (у[(to),..., yJ(to))T = у(t0) = Уо- Примем, что при rs(t) = 0 (s = 1 ,q) система (1) имеет единственное состояние равновесия у\ = ... = yq = 0, причем fs(t, 0) ЕЕ fls(t, 0, . . . , 0) ЕЕ f2s(t, О, . . . , 0) ЕЕ 0, S = Т7£. ___

Предположим также, что fs(t,ys), /»*(*,г/i,... ,yq) (г = 1,2; s = l,g) достаточно гладкие относительно фазовых переменных и при этом решения системы (1) существуют для начальных данных (to,yo) £ J+ х Д”.

«Линейным» приближением системы (1) будем считать систему

dx ___

-— = fs(t,xa) +fis(t,xi,...,x4)+rs(t), s = l,q, (2)

для которой (xf (to), ■ ■ ■,xj(t,0))T = x(t0) = X0 = y0 = y(t0) = (y[(k>), —,yj(t0))r•

С целью описания структуры системы (1) введем фундаментальные матрицы связей L = (Isj)i'i и Е = (csj)i’i, а также матрицы текущих связей L = (lsj)i’i и Е = (eSJ . L EL, Е еЁ.

Тогда векторные функции взаимосвязей можно представить следующим образом:

fls(t,Vl, ■ ■ ■ ■ У q) = fls(tilsiyii ■ ■ ■ jlsqVq),

f2s(t,yi,- ■ ■ ,Уд) = f2s(t,esiyi,. . .,esqyq), S = 1 ,q, а системы (1) и (2) в этом случае примут соответственно вид

dy § ___

“77“ = fsi^iUs) "Ь /is IslVl > • ■ • »IsqVq) /2s ^slVl ? ■ • ■ > esqVq) "Ь ^*s (0 » 5=1,^, (1 )

at

dx ____

^ — fs(t T x s) fls(t, I slX \ I Sq£q) 1 s(t) , S — 1,9- (2)

Исходя из условий, накладываемых на правые части системы (1) (равно как и системы (2)), и способа задания матриц E,E,L,L, следует, что все условия теоремы Ка-ратеодори о существовании и единственности решения задачи Коши для системы (1') ((2')) выполнены [8, гл. 1]. Следовательно [8, гл. 1], решениями системы (1') ((2')) являются абсолютно непрерывные векторные функции.

Будем считать, что для систем

~=fs(t,zs), s = T7?, (3)

существуют функции vs(t, zs), удовлетворяющие при t £ J+, zs £ Д"а и каждом s = 1, q условиям

a) alsw;(||z»||) ^ vs(t,zs) ^ a2sw(||25||);

б) 5^ -2^5 11 1

в) D + Vs(t,Zs)\(3) ^ -Сяш(||2я||),

где /?+и5(^ 2*)|(3) = Пт .чир у{уя(г + Н, г8 + Л/8(£, г„)) - и* (г, г8)} - производная Дини

/1->+0 <1

[7, с. 183]; гу(|| • |() - неограниченно строго возрастающая функция, ы;(0) = 0; £ 6 7+, 24. £ Вп’\ а\я, а2я, Ь81 с3 - положительные постоянные вещественные числа; в = 1, <у; г = (гГ,...,^)г.

Предположим, что взаимосвязи в (1') и (2') подчинены условиям для всех Ь € Ь и Е<=Ё:

ч

Г) ^«1 У\ 1 * • ■ 1 ^ 53 '^-15,/]]) ; ^187 ^ 0)

^=1

ч

д) 11/25(^е.,1 г/1,... ,е.,(/г/7)|| ^ 5] Л2^ё8/ш2(||^||), А2ву £0,

.7=1

9 _ </ • ___

причем -41*^8/ > о, Л2з]ё$3 > 0, г £ ./+, г/5 £ Д'ь, 6- = 1,г/.

_/ = ! ^ = 1

Вычислим

£)+^(<,?у8)|(г) = Пш вир + /г,г/3 + МЛ(М^) +

/1-^+0 11

“Ь /1*’ (^} ^«1 У\ •> * • • 5 2/<7) "Ь /2й(^> ^«12/1 э * • • 5 “Ь Г5(£))) Ув)} ^

ч я

^ -с,ш(||г/,||) + ^ Ли.Д5/ш(||^||) + Л2^ё^и;2(||^||) + Ь3'у, в = Т^.

j=^ з~ 1

Здесь у*.) при каждом я = 1,</ удовлетворяют условиям а)-в).

Выберем для системы (1) функцию Ляпунова в виде

(4)

Vу) = Ё г/*). ^ > о.

5=1

Тогда

У(*о,Уо) = Т'о = 51й,ив(*о,уо)-

*=1

Исходя из неравенств (4) и способа задания функции У(£, 1/), получим

(5)

0+У(1,у)\{г) = '^Г(130+ь3Ц,ув)\{1,)

<

в=1

51''

>=!

+Ь8 ^ Л2^е^№2(||^|

7=1

(6)

Введем в рассмотрение матрицы 1Уг(Ь) = = -с» + Ь3А]_3^133

при в = ] и = Ь3Аи~13] при в ф IV 2{Е) = (е^))и,

Л31

Л.2 sj^sj ’

Матрица XV\ есть матрица Метцлера. Будем считать, что существуют значения коэффициентов е?1,..., (1Ч, для которых справедливы- неравенства

= с?1 (—С] + Ь\ Ащ/н) + <^2-^24-121^21 + (1ЧЬЧА\Ч\ 1Я1 < О,

— й\Ь\А\\111\ч + (1.2А12ц 1*2(1 + • ■ • + <!(](—Сд + ЬЧА\ЧЧ1ЧЧ)] < 0.

(1) — 9 _ ____

Обозначим через V] (Е) = 53 dsLsA2sjeSj, j = 1,д. Тогда имеем

5 = 1

— и(Ь) = тах{г/^\ ..., г/<9^} < 0,

(Е) = тах{г/|1),... ,г^1}} > 0.

Исходя из определения функции V(£,»/) в виде (5), всегда можно найти такие положительные постоянные «1,«2,аз, что при t € 7+, ?/., 6 Нп“ (в — 1,д) будут выполняться неравенства

я я ч я

а\ 6^5^15^(1 (З/з 11) ^ ^ 5 2/) ^ ^ ^ |Уа 11) ^ &2 $>аып.

5=1 в = 1 6=1 5=1

а\ ^ш2(||2/я||) «С У2Ц,у) ^ а3]Г]ю2(|Ы|).

6=1 5 = 1

С учетом условий а)-д) и неравенств (4) и (6) получаем оценку

В+У(1,у)|(1,} <: -^У(1,у)+'^Ф-У2{1,у)+1^(18'Ь8. (7)

Неравенству (7) соответствует дифференциальное уравнение сравнения

О+р = - ^1р+ ^Щр-Р2 +7(1Ь, р0 =р(*0) = У{10,Уо) - У(\, (8)

а<2

где с1=((1и..., (1ЧУ, Ь~(ЬХ,..., Ьд)т.

Предположим, что в области р ^ 0 уравнение

Н(р) = -^-р + ^Ф-р1 + 7 с!Ь = 0 (8')

а2

/г^(1) ^ (£) Л

имеет вещественные решения 0 < Рг --------------)—9—, 7^// , г = 1,2. Будем их обозна-

V «2 «1 /

чать через г = 1,2. Пусть 0 ^ р1(-) ^ р2(-). Тогда Н(р) ^ 0 при 0 ^ р ^ р)(-)

и р ^ Рг(-), Н(р) ^ 0 ПРИ 7;1 (’) ^ Р ^ Рг(■)- Из этого следует, что р\{-) есть коп-

нективно асимптотически устойчивое положение равновесия уравнения (8), а Р2{-) -неустойчивое. Значит, решение <о,Ро) уравнения (8) монотонно стремится к /?!(■) при ро < р2(-) и £ — <о —> +оо. Таким образом, будет справедлива оценка

Бирр(г, <о,ро) ^ тах(р(<0),р1 (

<^4о I V а2 ах

)}

при p{to) ^ из которой вытекает

1 IMMo,Z/o)ll < w~l | — maxi a2 Y] ШМ*о)||),Р1

\ «1 I \ «2 al )

sup

t^to

для всех s = 1 ,q.

Наконец, найдем искомую оценку погрешности линеаризации системы (1') при указанных структурных изменениях правых частей системы (1). Для этого введем в рассмотрение систему

^ = <fs(t,es,Xs) +<pis(t,e1,...,ev,X1,...,XQ) + f'2s(t, j/i,..., yq) (10)

с начальным условием es(t,0) - es0 = 0, где ips(t,es,xs) = fs(t,es + xs) - fs{t,xs)\ <Pis(t,ei,. ..,eq,x1,...,xq) = fis(t,Xi + ei,...,Xg + eq) - fis(t,xu.. .,Xg); es = ys - xs; s = l,q.

По аналогии с системой (2) предположим, что

^Pls (^, €l , • ■ - , €д j Х\ , . . . i Хд') — ^ls(tj^sl^l) • • • , Isq^qi ls\X\ , • • • , IsqXq ),

тогда система (10) примет вид

^ — V^s(t,Csi*^s) “Ь \ sit ,1 s\£ \ 1 ‘ ‘ ,1 sq£q->l s\X \ , • • • ,1 sqX q) "f" , • • • , ^sqVq) • (Ю )

Предположим, ЧТО ДЛЯ систем

^ = <ps(t,es,xs), s = ТТ<7, (11)

существуют функции Ляпунова Vis(t,Is), удовлетворяющие условиям, подобным а)~в), т. е.

а') a3s^(||es||) ^ vls{t,е$) ^ «4S'0(||es||), o3s > 0, a4s > 0;

б ) j^l s (t, 62s) ^ls(t,£ls)| ^ -^1s|]€2s Elsll, ^1 s ^ 0,

в') D+?;is(t,6s)|(11) ^ -С1Я^(||ё*||), cis > 0 при t G J+, £ Д"',6, G Д"*, s = l,g.

Здесь -0(|| • ||) - неограниченно строго возрастающая функция, ^(0) = 0. Обозначим ее через 6 = (е[,..., б^)т. Будем считать, что при t G J+, a:s G ДПл, es G Д”3 справедливы неравенства

я

) 11 fls (t, hi (x\ Cj),. .. , I sq^Xq “b ) ) f 1 , IslX\ , . . . , lSqXq )ll < E s.i^(IMI),

3=1

Я _ _

где Bsj ^ 0, J2 Bsjlsj > 0, s = l,q. Тогда

i=i

9 \ 4

£+г>1*(*,е«)|(ю') ^ -сиШ^эЦ) + + -^"}2ьиА2^ё8]У2Ц,у). (12)

3 = 1 3 = 1

Для системы (10') в качестве функции Ляпунова выберем функцию

УЛ*,е) = ^2d(s1)vls(t,es),

где >0, s = l,q. 80

С учетом условий а')-г') и неравенства (12) получим

(1)

С1 (11 11) + •£'1* Ё

7 = 1

+

'>.7 = 1

Рассмотрим матрицу М\{Ь) = (77г1Я^(^sJО)?’?5 ’гпизИз]) = ~ с* + Ь18В88188 при в = ; Ь\3Вв^18^ при в ф ]. Матрица М\{Ь) есть матрица Метцлера. Будем считать, что

гД1^ = ^( Сх + ЬцВц1ц) + ^-^12-^21 ^‘21 + • • • + Ь\ЧВЧ\1Ч1 < О,

ЬцВх^хд + ... + <1^1Ь\Л-1ВЧ-\УЧ1Ч-1Л + $ц\—Сд + Ь\ЯВЧЧ1ЧЧ) < 0. Положим —г/г(Ь) = тах^1^, .. -, и\ч'>) < 0. Выберем вещественные постоянные числа

> 0 и >0 так, чтобы выполнялись неравенства

а1Х) Х^(1|е*11) < ХХ>а3.^(||е,||) ^ У(£,б) 5С ^41)а4»^(||е8||) ^ а(2] ^2 ^(И£

в=1

5=1

в=1

Пусть У(<о,Уо) ^ Р2(-)- Тогда неравенство (13) примет вид

-Е>+У (^, е) | (ю') ^----(*>е) +

- — 2 2 тах{р(г0),р1 ( ^, 7 <1Ь) | ^ с!^1 ЬиА28^8^.

' * 5,,7 = 1

+

(14)

Дифференциальному неравенству (14) соответствует дифференциальное уравнение сравнения

р+р(1) - -Ь>2^)р^ + а2

тах {р(Ь),р1 ( “~>~^,7<1Ь) [• ^с1(81]ЬиА2^е^

л 1 2 4 }

} 6=1

(15)

с начальным условием

я

Р{1)(1 о) = ^о1’ = ^(*0, Со) = ^2^1]у8Цо,е8о) = Ую.

в=1

Следует отметить, что б(£о) = 0. Значит, Ую = 0. Применяя теорему сравнения [7, гл. 6], находим

У1(г,е(£)) 0(1)(£) при Ь ^ £0-

Уравнение (15) имеет равномерно асимптотически устойчивое в целом положение равновесия

Е ^5 LlSA•2SjЄsj

«,7 = 1

рї1) =

а\и2{Ь)

" У

тах < РсьРі (

Таким образом, получим оценку

,(!)

УЗ sA.2sjЄsj

вирр11)(Ь,Ьо,р{о1)) ^ тах^ро

і^і0 I

(!)

8.7 = 1

а?і/2(£)

тах< р0,Рі

02

,7£<и-

5=1

Тогда с учетом задания функции VI (£, е) искомую оценку погрешностей линеаризации системы (1) можно представить в виде

йчр ||є8(і)Ц ^ ф 1

р(1)(£)

І>(п

,(1)

'■'2 53 L\sЛ.2sjЄ■sj

5,І=1

а а

тах< Р0,Рі

'уЩ и^Е) 4

02

V

(16)

/

где .5 = 1, ([.

Предположим, что в системах (1') и (2') происходит замена, а следовательно, и в системе (10') І8і на 1^ и на esj (в, ^ = 1, д), т. е. замена фундаментальных матриц связей Ь и Е соответственно на матрицы текущих связей Ь и Е. Тогда с учетом того, что выполнены условия г), д) и г'), неравенства (9), (16) справедливы при всех Ь Є Ь и Е Є Е.

Таким образом, доказана

Теорема. Пусть: 1) для систем (3), (11) существуют функции Ляпунова

і>5(£, 28), г>і8(£, е„), в,= 1,<7, удовлетворяющие соответственно условиям а)-в), а!)-в1); 2) уравнение (8') имеет решения О Рі(-) ^ Рг(0 при у{Ь) > 0 и г/2(Ь) > 0. Тогда: 1) решение 2/(і,ісь2/о) системы, (1') существует при всех і ^ £о и, кроме того, при

а-2

,7с1Ь \ справедлива коннективная оценка (9), т. е. оценка (9)

выполняется для всех Ь £ Ь, Е £ Е\ 2) для разностей решений уравнения (1') и его линеаризованного варианта (2') справедлива коннективная оценка (16), т. е. оценка (16) также выполняется для всех Ь £ Ь, Е £ Е.

Примечание 1. В теореме условия > 0, > 0 (у = 1,д) равносильны

требованиям выполнимости условий Севастьянова-Котелянского \7, с. 2061 для матриц

П р и м е ч а н и е 2. Оценки вида (9) и (16), но более точные, можно установить, если воспользоваться соответственно системами дифференциальных неравенств (4), (12) и

условиями а)-д), а')-г'). Техника вывода этих оценок остается той же, что и при получении оценок (9). Следует отметить, что в процессе нахождения оценок (9) вопрос свелся к разрешимости уравнения (8') в области р ^ 0. Если же в основу получения оценок вида (9) будет взята система дифференциальных неравенств (4), то в результате вопрос сведется к разрешимости системы алгебраических уравнений Риккати. А как известно [9, гл. 2], в общем случае такая система точно решается только в частных случаях. Поэтому указанные оценки будут более точными по сравнению с оценками (9) и (16) только в частных случаях разрешимости системы алгебраических уравнений Риккати.

Заключение. Доказательство теоремы содержит конструктивный алгоритм построения коннективных оценок погрешностей линеаризации.

Summary

Schennikova Е-. V. Construction of connective estimations of linearization errors for multiconnected nonlinear systems.

The nonlinear multiconnected systems of differential equations are investigated. By the use of Lyapunov’s direct method the connective estimations of linearization errors for systems considered are obtained.

Литература

1. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346, № 3. С. 295-296.

2. Шильяк Д. Д. Децентрализованное управление сложными системами / Пер. с англ.; Под ред. В. М. Матросова, С. В. Савастюка. М.: Мир, 1994. 576 с.

3. Siljak D. D. Large-scale dynamic systems: Stability and structure. New York: North-Holland, 1978. 416 p.

4. Araki M. Stability of large-scale nonlinear systems: Quadratic-order theory of composite-system method // IEEE Transactions, AC-23. 1978. N 2. P. 129-142.

5. Щенпиков В. H., Щеиникова Е. В. Оценка погрешности линеаризации относительно части и всех фазовых неременных // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 1. С. 132-133.

6. Щеппикова Е. В. Оценка погрешности линеаризации и векторные функции Ляпунова // Интеграция образования. 2004. № 4 (37). С. 166-169.

7. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. 351 с.

8. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

9. Егоров А.И. Уравнение Риккати. М.: Наука, 2001. 320 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А. П. Жабко.

Статья принята к печати 18 сентября 2006 г.