CC BY
29
€ГОШ;Ш;ШЙ ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
ОЦЕНКА НОРМЫ ПОГРЕШНОСТИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
Е.В. Щенникова, доцент кафедры информатики и вычислительной техники МГУ им. Н.П. Огарева
Найдена оценка нормы погрешности линеаризации одной квазилинейной сложной системы дифференциальных уравнений, являющейся математической моделью движения твердого тела в потенциальном поле сил, с применением двух векторных функций Ляпунова. Тем самым создана методологическая основа математического моделирования реальных динамических процессов.
The estimation of the norm of linearization error for one quasi-linear complex system of the differential equations being mathematical model of solid body movement in a potential field of forces with application of two vector functions of Lyapunov is found. This results in basic methods of mathematic modelling of real dynamic processes.
Математическое моделирование в ном поле сил1. Для указанной системы с
современном мире является одним из ос- помощью метода векторных функций
новных методов исследования реальных динамических (и не только) процессов. При использовании этого метода для исследователя на первый план выдвигается вопрос о степени владения им смежными областями знаний. Тем самым подтверждается необходимость учета межпредметных связей в процессе преподавания математических дисциплин. Важно, чтобы примеры, в которых показывается межпредметная связь, не носили иллюстративный характер, способствовали выработке методологии и практических навыков использования достижений исследований в смежных областях знаний. Другими словами, необходимо развивать творческий подход к исследованиям реальных динамических процессов.
Следует отметить, что создаваемая математическая модель реального динамического процесса оказывается нелинейной системой дифференциальных уравнений, трудноисследуемой с помощью качественных методов и труднорешаемой численными методами. Для решения проблемы систему нужно линеаризовать. При этом исходная математическая модель «загрубляется». Следовательно, с целью корректного использования линеаризованных систем дифференциальных уравнений в качестве математических моделей реальных динамических процессов необходимо выстроить оценку погрешности линеаризации.
Рассматриваемая в работе нелинейная система дифференциальных уравнений является математической моделью движения твердого тела в потенциаль-
Ляпунова решается проблема корректного использования линейных систем дифференциальных уравнений при описании и анализе движения твердого тела в потенциальном поле сил. В данной работе показывается, каким образом можно использовать математические методы при решении серьезных задач механики. Тем самым осуществляются развитие методологии и получение практических навыков использования математических методов в смежных областях знаний, т.е. устанавливаются межпредметные связи (в частности, математической теории устойчивости и механики).
В настоящей работе найдена оценка нормы погрешности линеаризации одной квазилинейной сложной системы дифференциальных уравнений, являющейся математической моделью движения твердого тела в потенциальном поле сил с применением двух векторных функций Ляпунова.
Идейной основой данной работы послужили результаты, изложенные в статье Б.С. Дарховского2 и примененные нами для части и всех фазовых переменных3.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1x21 — 1
1------= —П>Х21 — 1 + х2 г , х2г —1(0) = х2г —1,0 ,
1ху; 2 2
—ц— = (п{ — М>г- )х2г — 1 — пгх2г + (1)
+ т2г(х1 -, х2г, °- ■■, 0) + г2г х2г(0) = х2г,0’
где 0 < п. < м — постоянные вещественные числа; л — вещественный параметр,
© Е.В. Щенникова, 2004
№ 4, 2004
функции F(-xix2i,0,...,0)e C1 (G сR122) и,
кроме того, IF(xi>.">x2i’0’.. ’0)£ aX>
0 < a = const, r (г) — вещественные п<«5сто-янно действующие возмущения,
г;- (t)| < R, 0 < R = const; 2i: := 2 • i, i = 1,6.
Под нормой любого вектора здесь и далее будем понимать евклидову норму,
т.е. ||x| = (x,xT)1/2, знак T означает транспонирование.
Линеаризованный вариант этой системы имеет вид
= W, (x2,-1t x2, ) + Эр- (i (x1 t■■■t x2, >0v>0) + Г2і ОЛ (1) Эх2, (3)
dVt dt
Vi (x2i-1t0 t Х2і,0) = Vi (0)
где
Wi (x2i-1t x2i) = -2n; ((w? - n,2)x|--1 + x| ) 1 = 1tб .
(2)
dУ2i -1
—dt— = _ni>’2i -1 + y2i t y2i -1(0) = y2i -1,01
= (ni2 - W)У2і -1 - ni>’2i + r2i (t)t У2і (0) = = У2і,0, i = 1t&
Данная система является совокупностью шести не связанных между собой систем дифференциальных уравнений второго порядка.
Нулевое решение соответствующей системы (2) линейной однородной системы асимптотически устойчиво (выполнены условия Рауса — Гурвица). Следовательно, для каждой подсистемы системы (2) при г (0 ° 0 существует определенно-положительная квадратичная
форма у, = V,(у2М,у2і) (і = 1,6), полная производная которой по времени г на решениях соответствующей подсистемы есть определенно-отрицательная квадратичная форма (у2,_і, У2і), і = 1,6 •
Для построения оценки нормы погрешности линеаризации системы (1) выберем векторную функцию Ляпунова
У(хг..., х12) = (¥1(л1, х2), V (х3, х4), Г3(х5,
X6), V4(X7, X8), V5(X9, ^
где ¥і = ^і(х2і _ 1’ х2і)’ Уі(х2і _ 1’ х2і) =
= (м/2 _иг2)х'>і_1 + х|і, і = 1,6 • Тогда при
каждом і на решениях системы (1) будем иметь
Функции V- (Х2,—1, Х2,.) и №. (х2 — ^ х2;. ) (' = 1,6)
являются квадратичными формами. Следовательно, справедливы неравенства
£ (Х2г—1,х2г) £«2,г||х(')|| ,
— У1,Лх(‘1Г £ № (Х2'—1, Х2' ) < —^2,ЛхС'^Га (4)
дК < 2 I
< 2Х2,'
Эх 2, i
при х < г, г есть произвольное конечное
положительное число, (і) = .
положительное число, X4' = (Х2і _1, х^і ) • Проведем в системе (3) преобразование
р. = Г1/2(і = 1,6) •
С учетом оценок (4) и ограничений на функции ^ (х1,..., х 2і ,0,...,0) и г(і) (і = 1,6)
система (3) преобразовывается в систему дифференциальных неравенств
dpi V2, uai
-LL <—±L p + i
dt 2 i
S 2 + г 3/2 + 1/2
«1, i j =1
«1, i
Pi(0) = V1/2(0)t i = 1,б,
(5)
которой соответствует система сравнения
dvi
dt
'2i
V; +
Uai 2i 2
i S v2 +
R
3/2 , j „1/2 ’
-V-1 .
1, i
1/2
(6)
v, (0) = Vi1' 2 (0), i = ^
Положение равновесия системы (6) находится из системы
Ua ■ i V r
----— S v2 —2lv +----------------= 0, i = 1,б „ .
3/2 1 j 2 i «1/2 ’ (6а)
a ' j = l 1, i
a
1, i
';:В1Шша ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
Следует отметить, что система (6а) имеет «треугольный» вид.
Пусть I = 1. Тогда в области V. > 0 за
счет выбора параметра л найдем вещественные решения уравнения
Подставив v1(1)(•) во второе уравнение системы (6а), найдем в области V! > 0, V2 > 0 устойчивое решение
R
a
Ua 2 V2i 3/2vl -!Tviі«1/2
= 0.
1,1 1,1 Их будет не более двух, т.е.
v1(1)(0 ° V1 (и a1,V2,1 ’«1,1) =
1/2 2 2 «11 («1 1V2 i ^«1 1V2 і - ^ua/R)
4uai
v12) О ° V2(U a1, V2, 1, «1 , 1) =
1/2
а\,\(а1, 'У2,' + Уа1дп2д — 16Лг1^)
4л«1
Параметр л выбирается из условия а11У2 1 —16ЛЙ1^ > 0.
0 (1)/ч^ (2)/ч гр /ч при г > 0 ,' = 1,6. Так как х(г) = (х(1)(г),
Очевидно, 0 < V1(1, (•) < v1(2, (•). Тогда V (•) г ’
есть асимптотически устойчивое поло- х(2)(г) х(6)(г)), то справедлива оценка
жение равновесия уравнения (6), а v2 (•) —
неустойчивое положение равновесия. В
v2,1)(0 (0 < v(,1) < v2,2)). Далее, подставляя
(1) м (1) м V1 ( 2 в третье уравнение систе-
мы (6а), аналогично тому как это сделано для i = 2 в области v > 0, V2 > 0, V3 > 0, найдем устойчивое решение третьего уравнения. По аналогии нахо-
(1)/' ^ (1)^
дятся устойчивые корни v^' (•), v£ ' (•),
v6 ( • ) системы (6а), т.е. в результате определяется устойчивое решение системы (6а) v1(1)( •),vf(•),...,v61)( •). Следовательно, справедливы неравенства
III x(i)(t) lll< max{(w2 - n2)(^q)2 + (x4.20)2,
v^f. vi(1)()}
= ( x(1)(
x(t) |||К max(||| x(1) (t) |||t■■■t || x(б) (t) |||) (9)
(б)
этом нетрудно убедиться. Достаточно при t>Q.
провести в системе (6) преобразование v = z і v1 ( • )(v = z і v2 ( • )) и воспользовать-
Оценка (9) по сравнению с оценками (8) более грубая.
Обратимся к нахождению оценки нор-
ся функцией Ляпунова V = z . Решения мы линеаризации e2i-/(t)=x2i- 1(t)-У2і- 1(t)>
системы (6) монотонно стремятся к v1( ) при v(0) < v2( • ) и t ® . Следовательно,
(1)
e2i(t) = x2i(t) - У2і (t)t i = ^б .Функции e2i-1(t) и e2i(t) являются решением си-
если V11(0) К v2 ( • ), то решение xv '(t) стемы системы (1) допускает оценку
| x(1)(t)|||::= sup
x (1)(t)
t > Q
К max{(w12 -n2)(x[1Q)2 і(x2/0)2; (7) altV2ltal 1)}-
Є2і_1 ”і£2і_1 +Є2і, Є2і_1(0) 0’
(10)
е2і = ("г1 _ №/2 )є2і _ 1 _ "іе2і + т2і (х1(г),-, х2і А™>0)>
е2і, е2і(0) = 0 і = 1,6‘
В качестве функции Ляпунова для системы (10) выберем векторную функцию Ляпунова
№ 4, 2004
V(£1,...,£12) = ( V 1(£1,е2),Г2(£э,£4)^3(е5,£6), V4(e7»e8)»V5(£9,е10),V6(е11»е12))Т .
Здесь V' = Г- (е2'—1,е2'X ^ (е2'—1,е2') =
= (^' — п' )х2'—1 + х2', ' = 1,6 .
Полная производная векторной функции V(£1£12) по времени t на решениях системы (10) имеет вид
IV'
Итак, искомая оценка имеет вид
Лі
: Щ (е2і _ 1, е2і) +
(1)
+ -Є- (і (х(),..., х2і (і),0,...,0)}
дє2і
где Щі(е2і_1,е2і) = _2пі[Ог2 _ "2)х2і_ 1 + х|-]; і = 1,6.
Проводя аналогичные действия, что и при получении системы дифференциальных неравенств (5), получим систему
Л рі п2і - таі 2і 2
— <—21 р;- +—гк 2 х2,
2 а3 / 2 у = 1 ]
1, і ■)
рі(0) = ^і/2(£2і_1 0,е2і0> = ^і/2(0) = °> і' =16
(11)
Здесь р. = V-/2, ' = 1,6.
Из системы дифференциальных неравенств (11) с учетом начальных данных, т.е. с учетом Р'(0) = 0 (' = 1,6) следует оценка
Рі(і):
2 та- 2і 2
——----------®иР( 2 х •(і)), і =1,6
аг'гп- . у = 1 7 1, і 2, і
і > 0
£(і)(і) |||::= 8ир
і > 0
е(і)(і)
(12)
2та;-
а? ;
1, і 2,*
( 2ІІ|х(7)(і)|||), і = 1,6. 7 = 1
Таким образом, доказана теорема. Теорема. Предположим, что для системы (1) выполнены ограничения на
функции ^(Х1,...,х2',0,...,0), г. (t), п. < м
(' = 1,6), справедливы неравенства (4), а вещественный параметр л такой, что уравнения (6) при каждом ' (' = 1,6) в области > 0 имеют вещественные решения, тогда решение х(г,0, х0)
(х0 =(xl(0),•••, х12(0))) уравнения (1) существует при всех г > 0 и, кроме того, справедливы оценки (9) и (12).
ПРИМЕЧАНИЯ
1 См.: ЗубовВ.И. Аналитическая динамика системы тел. Л., 1983; Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М., 1976; Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л., 1970; Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М., 1991. Ч. 2; Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М., 2001.
2 См.: Дарховский Б.С. Оценка погрешности линеаризации // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 7. С. 1313—1316.
3 См.: Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Оценки погрешности линеаризации относительно части и всех фазовых переменных // Там же. 2001. Т. 37, № 1. С. 132—133.
Поступила 31.08.04.
