Оценки погрешности линеаризации в критических случаях Текст научной статьи по специальности «Математика»

имело единственное решение. Для этого приравняем дискриминант к нулю:

414хР2 - 4(1 - 12)[с2 -12(хР2 + уР2)] = 0.

Отсюда

1 хр

12, 2 1 Ур

(1 - 12)с2

: 1.

(2)

Искомая граница является верхней половиной эллипса (2). Внутренность эллипса, лежащая в полуплоскости Я, является выигрывающим множеством игрока Р в позиции Е0.

Заметим, что в данном случае абсцисса точки касания окружности Аполлония для начальных положений 21 = (хр; ур), 20 = (0; с)

12

1 -12

Р(хр; Ур )

М(х;0)

Рис. 2

1. Петросян Л. А. Геометрия простого преследования восибирск : Наука, 1983. 144 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Л. А. Петросян, Г. В. Томский.

Но-

Поступила 10.03.2012.

УДК 517.977.8:53.088

ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ*

О. В. Дружинина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова

Объектом исследования является многосвязная нелинейная система дифференциальных уравнений, для которой построены верхние оценки на решения и найдена оценка погрешности ее линеаризации. Следует отметить, что система первого приближения является также нелинейной. Рассматриваемая система является более общей по сравнению с системами, описывающими критические случаи к нулевых и 2к чисто мнимых корней.

Рассмотрим нелинейную многосвязную ^ (т+а) С ч ^ / л_

систему дифференциальных уравнений + ^ (/>х1> ■■■>хд) + (^) _

У=1

^=хт (х^)+хт (г, х1,..., х„) + (1)

^ ^ ' ^ 1 ^ - М3 {I, х) + Д5 (*)

© Дружинина О. В., Щенников В. Н., Щенникова Е. В., 2012

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-00826-а).

с начальными условиями

(х[ (to), ...,хтя (to)) = х (to) = х(¿о) - (t0) = х0-

Здесь (х,): Я"* ^ Я" и (ь,X, ■■■, ..., ) : Я+х Я"1 х ... х Я" ^ Я", (5 = , х, е Я", Я" © ... © Я"" = Я", Я+ = [Ь: Ь > > ¿о > 0}, х = (хт, ..., хТ) , векторные функции х5т) (х5) и (¿,х^, ...,х^) являются

непрерывными по совокупности переменных, кроме того, непрерывно дифференцируемыми по переменным х^, ..., х^. Векторные функции

(ь, х!, ..., хЦ) : Я+х Я" х ... х Я" ^ Я"

(х, / = 1, я), х5т) (х5) определяют связи в

подсистемах, а (ь,х^, ...,х^) описывают взаимосвязи подсистем, т. е.

х, = х5т) (х,) + (ь, х, ..., х9), 5 =

векторные функции ху+а (¿, хь ..., ): : Я + х Л" обладают теми же свойствами, что и (ь,х1, ..., х^), Д5 (Ь) — непрерыв-

ные ограниченные векторные функции,

||д5 (ь| < д5, д5 > о, м5 (¿, о) = о, ^ = 1Я.

Верхний индекс т означает транспонирова-

Будем предполагать, что справедливы неравенства

q

?) < Z aisj Ikf , (3) j=i

xim} (t, yi,

q

(m+a)

t, Уь

q

У9) < I |у;[+а (4) у=1

при ||ху|| < Гу, = г. Здесь а15у и Ьу —

некоторые положительные вещественные числа и, кроме того, а^у достаточно малы [3],

■ 1 = 1, я.

Предположим, что нулевое решение систем

: — > 1, p и q

q

нечетные,

% = X(m) (ys ), s = 1, q.

dt

(5)

асимптотически устойчиво. Тогда согласно теореме об асимптотической устойчивости Зубова — Красовского [2, гл. 1; 3; 4] для каждой системы (5) существует функция Ляпунова, удовлетворяющая условиям:

с 11« ||т+1-т < Т/ (« ) < с ||у цт+1-т

Цбгаау^ («2 )|| < с35 |«5 |т-т, (6)

dK

dt

(8)

- -c4s ||ys||

ние, а индекс m :

q

указывает на порядок однородности xSm) (xs) и (t, Х11, ..., Xjq), для векторных функций х|;т+а) (t,Xj, ..., Xq) верхний индекс

m + a, 0 < a = const также указывает на однородность относительно xi, ..., Xq. Всюду в дальнейшем будем считать, что норма вектора является евклидовой.

В качестве системы первого приближения по отношению к системе (1) примем систему

dtr = xSm) (ys) + (t, yb ..., yq) + (t), (2)

для которой (xf (to), ..., xf (to)) = x(to) =

= У (t0) = (yf (t0)> ...> yf (t)) > s = 1,q. Посу-ществу, система (2) является линеаризованным вариантом системы (1).

при |«51 < Г5, Ч5=1 Г1 = г, , = 1, Ц- Здесь т — достаточно большое четное вещественное положительное число; с^, С25, Сз5, £4, — постоянные положительные вещественные числа, 5 = 1, д.

С целью получения искомых оценок найдем вначале верхние оценки на решения системы (1). Для этого зададим функцию Ляпунова для системы (1) в виде

V (х) = X ¿V (х5), (7)

5=1

где <Л5 > 0 — вещественные числа. Здесь У5 (х5) удовлетворяет условиям (6).

Найдем далее

dt

= ¿ds dVs (xs) <

(1) s=1 S dt

< X ds (- c4s Ilxs|Г + (gradFs (xs), j=i

(Xsm) (t,

(8)

7) X

(m+a)

j=i

(^ x1, xq ) + D s (t))).

Очевидно, что V (х0) = У0 = £ ¿5У5 (х0) =

5=1

ч

= Е ^0-

5=1

С учетом оценок (3), (4), (6) и ограничений на Д5(0 неравенство (8) преобразуется в неравенство

dV dt

q

< X ds (1) j=i

( \ II llm

(-c4s + c3sa1ss) |\xs\\ +

+ c3s ||xs

I m-m

v* II im ii im-m X a1sj ||xy|| + c3s ||xs|| x

X bsj ||xj

m+a

+ Д s

4,4

Введем в рассмотрение матрицы W = wj где W1 = -c4s + c-isa[sj при s = j, а при s * j

1,1

(1) ■ > — ,

-s3 = c3sa1sj и W =

(2)

q,q 1,1

(2)

где wSj =

+ d2<-c42 + c31a122> +

+ dqc31a1q2 < °>

В(ч) = ¿1с3чйИч1 + Л2с3дд12д + --- +

+ с4д + с3дй1дд) < 0-Далее введем обозначение

V) > = Е ^зА) ] = 19.

5=1

Очевидно, что справедливы неравенства: V« Л*)}

,(1)

o«

vi = max

vq>} > о.

Исходя из определения функции У(х) в виде (10), всегда можно найти положительные вещественные числа «1, «2, аз и «4 такие, что будут выполняться неравенства:

а3 x<

im+1-m

^ I lim+1-m ^

< ai XI KII <

s=1

< X dscis |xs|m+1-m < V (x) <

s=1

(11)

(9)

^ 1 Ii lim+1-m ^ ^ II iim+1-m < X dsc2s ||xs|| < a2 XIlxs|| <

s=1

■ ад x

s=1 m+1-m

где

= с35Ь15у. Матрица Wl является матрицей

Метцлера [1, с. 199 — 207]. Будем считать, что величины такие, что разности

-б45 + сз^с^у будут отрицательными при 5 = = У, т. е. -в45 + сз^а^ < 0 и, кроме того, существуют такие значения постоянных (5 = 1, ч), для которых справедливы неравенства:

0(1) = ¿1 (-с11 + сз1а111) + ¿2с31а121 + ■■■ + + с31«1д1 < 0, = Л1с32а112 +

a1 = min {dsC1s}, = min {dsC2s}. 1<s<4 1<s<4

Введем преобразование p = V1 (m+1-m). Тогда

исходя из преобразования и условий (11) будем иметь:

x ^ ■

x < ■

(12)

сУ(т+1-т) ' |Г" " с31(т+1-т)

Перепишем далее неравенство (9) с учетом неравенств (10) и (11). В результате получим неравенство

dV и um и nm+a

< -a^o + a6»1 x +

dt

(1)

+ С3ДД IIx

m-m

(13)

где «5, «6 и С3 — положительные веществен-% * _

ные числа, Д = Е Д

5=1

С учетом введенного преобразования и неравенства (12) в неравенстве (13) перейдем к одной неизвестной функции р = р (Ь), т. е.

dp

1

dt m + 1 - m

va5

(m+a )/(m+1-m)

c3D

pm +

(10)

+ Р1Д6С3 гт+а +_^_

(т+а )/(т+1-т) Р 1т-т )/(т+1-т)

"3 а3

дифференциальное уравнение сравнения для которого имеет вид:

du 1

dt m + 1 - m

u,

va5

u+

(v, Vb a3, a4, a5, a6, c3)} (141>

(m+a)/(m+1-m)

a4 (14> при Ы < (o,o1,a3,a4, a5, a6, c3).

v1a6c3 „,m+a , C3um+aDD

a(m+a)/(m+1-m) (m-m )/(m+1-m)

a3 a3

Перейдем к построению искомой оценки

= Ф (и) ■ /.Ч тг

4 ' погрешности линеаризации системы (1). Для этого введем в рассмотрение систему

Зд;сь * =р(;°)=^"Т0 (х (г°) , %=& е)+в,) - ^ ^ »+

X, (<°)) = (<°) < 4т+(-Цх°\. При- Л ()

+ ХГ (г, у1(г) + в1, ■■■, (г) + ) -

мем Р0 = Р (¿о) = и0 = и (¿0) = а4 х0 . /Л, ч (15)

П _ - (г, У1 (г),■■■, у, (г)) + ((5)

Постоянная а4 определяется из уравнения 4 '

(¿о) = а^ЦхО^ Тогда по тео- + £ (г, х1 (г), ■ ■, х, (г)) , =

реме сравнения [1, гл. 5; 5, гл. 1] имеем: ]=1

р (г) < и (1) при г > ¿°. Здесь в, (г) = х, (г) - у, (г), 5 = 1, д. Так

Пусть алгебраическое уравнение х, (¿°) = у, (¿°), то в, (¿°) = 0, 5 = ■

Ф (и) = 0 Систему (15) можно записать в виде:

в области и > 0 имеет решение. В данном des , , / , .

. * V, -¿г = Ф* (8,-у, (г)) + л* (г,у\ (г), -.

случае их будет не более двух, т. е. (о, ¿г

а3, а4, «5, а6, с3), (о, о1, а3, а4, «5, у, (г)'81' ■■■' 8,) + (16)

а§, С3) ■В дальнейшем будем их обозначать х(т+а) (г х (г) х (г))

через и/т (•) и и1 т (■) ■ Пусть 0 < и1 т (■) < /.

где Ф5 (в5, у 5 (г)) = ) (у 5 (г) + ) - ) (у 5 (г)) ,

< и1т (■) ■

Очевидно, что ^ (г- у1(г) - ■■■ > уч (Г) - 81> ■■■ > 8я ) =

[> о при (о < и < и1 т (■)) Л (и > 4т (■)), = 4т} (г, У1 (г) + Е1> ..., у, (г) + ) -Ф (и) = \ 4 7 4 7

[< 0 пРи и1т < и < и1т О■ - (г,у1 (г), ..., у, (г)), 5 =

Отсюда следует, что и1 т (■) является асимп- Предположим, что для каждой системы

тотически устойчивым положением равнове-

des

сия уравнения (17), а (■) — неустойчи- - js (Ss>))> s - !>q (17>

вым. Значит, решение и(i,io, uo) уравнения существует функция Ляпунова V1s (t, ),

(17) монотонно стремится к и(m (■) при удовлетворяющая условиям:

uo < и^m (■) и t - to ^ 1) ai5Y s5||) < Fi5 (t, es) < a25Y (||s5||);

Так как p (t) < u (t) при t > to > 0, причем po = p (to) = u (to) = uo, то с учетом неравенств (13) и (11) следует верхняя оценка

2)

3F1s (t, es)

5sc

на решения системы (1), т. е. 3) dV1s (t, es

sup ||x to, xo )\\ < w(m1+1-m) max {a4/(m+1-m) 11 x Jl dt

t>to a," ' v

< M1s; (18)

<-cl5Y es]|) пРи

(17)

IM < 2rs, s - 1, q,

116 ВЕСТНИК Мордовского университета | 2o12 | № 2

где Оу3, <22^, и М5 — положительные вещественные числа, функция ¥ ( ) — неограниченно строго возрастающая, ¥ (0) = 0.

Будем считать, что при у3 е Я"3, е Я"3 и t > £о > 0 справедливы неравенства:

4)

jls

(t, ei, ..., eq, У1 (t), ..., yq (t)) <

< I j e j)

j=1

5) I j*) (t, xi (t), ..., (t)) <

j=i

< I bsj IIxj (t)| j=1

где Bsj и ь5у

m+a

положительные веществен-

dV dt

(16)

< -C1sY (|Ы|) + (gradEjV1s (t, es),

Y1s (t> У1 (t) > -> Уд (t) > e1 -> eq )) +

+ £xfa) (t, X1 (t) , ..., Xq (t)) <

j=1

< -qsY (||es||) + Ms I BY e|) +

dV1 dt

(16) j=1

-clsY (||es I) +

MXs I Bsj Y (e j j) j=1

(21)

+ I ¿(1)М151 Ь^. ||x, (tIm+a , s = 1, q.

j=1

j=1

Далее применим тот же прием, что и при построении верхней оценки на решения системы (1), т. е. введем в рассмотрение матрицу

M :

iiq.q

||mls/| | , в которой

m1 sj

ные числа при ||уу| < гу, еу < 2г5. Тогда с

учетом неравенств 4 и 5 и того, что для каждой системы (17) существует функция Ляпунова, удовлетворяющая условиям (18), будем иметь:

(19)

+ М X Ь} \\х} (Ь) , 5 = 1, q.

} =1

Для системы (16) выберем функцию Ляпунова в виде:

VI (Ь, е) = X df)vs (Ь, е,), (20)

}=1

где > 0, 5 = 1, q. Учитывая неравенства

(18), условия 4 и 5, а также задание функции Ляпунова V (Ь,е) в виде (20), из неравенств

(19) получим:

J-c1s + M1s Bsj при s = j,

[MisBj пРи s * /■

Матрица M есть матрица Метцлера [1, с. 199 — 207]. Пусть -c1s + M1sBsjM < 0 при

s = j и существуют такие ds (s = 1, q), при которых выполняются неравенства:

41} = dj1 (-c11 + M11B11) + dWM12B21 + ■■■ +

+ d«M1qB1q < 0, 4q) = di(1)MiiBiq + ... + dJVq-l,, + ... +

+ d,q1)(-C1q + MXqBqq) < 0.

Тогда -v2 = max{&2Я ■■■, v21)} < 0. Выберем

(1)

положительные вещественные числа а\ , а21)' а41) такими, чтобы выполнялись

нервенства:

a«Y(||e||) < af) £ d^Y (||es||) <

s=1

<Z d(1)«1sY (I|es I) < V (t, e) <

(211)

<^d1a2sY (I|e^|) < а« I d^1)Y (I|es||) <

s=1 s=1

< a«Y (|e||). Тогда неравенство (21) примет вид:

Л

(16)

< - -Оу VI (¿, е) + £ 41 х

* М £ Ъу х у ^)

у=1

q

£

У=1

т+а

¿р = _ »2 |

^ а21^ " у=1 у=1

с начальным условием

Р (ь) < ^ I мА, ||*, (ь)||т+а

В2 5,=1

ц+а

V- (ь, е (ь)) <

^ £ II (ь)||т+а .

В2 5,у=1

Исходя из определения функции Ляпунова в виде (23) и с учетом неравенств (211) и (241), получим искомую оценку, т. е.

(22)

(1)

п , чц а2 ;а6»3 1 sup Е (ь| < 2 6 3 ^-1

»2

г>г,

1

1/ (т+1-т)

Дифференциальному неравенству (22) соответствует дифференциальное уравнение сравнения

: тах ||х о||, и.т

(242)

р + £ ¿«М^ £ ЪуЛху (í)||т+а (23)

х (о,Й3, Й4, а5, Й6, сз)}

т+а

р (¿0) = р (*) = V (¿0, Е0) =

= ЯI 44 (¿0,Е0) = Ую-

5=1

Отметим при этом, что е (¿0) = 0. Значит,

V«, = 0.

Применяя снова теорему сравнения, получим:

V (¿,е ^)) < р (t) при t > t0 > 0. Интегрируя уравнения (23), находим:

а« Х иуЧм

) М и, ИЛ у

из которого следует неравенство: V! (ь, е (ь)) < £ мд, |к (ь)|

В2 s,j=1

(24)

при t > ¿0.

Введем в рассмотрение величины ^ = = МДу. Пусть

в3 = тах } > 0.

3 1<I 3 1

Тогда неравенство (24) получит вид:

(24!)

Таким образом, доказана теорема.

Теорема. Пусть:

а) х5 = 0 — положения равновесий системы хх = Мх (Ь, х), (х = 1, д);

б) выполнены все ограничения на правые части системы (1);

в) для систем (5) и (17) существуют функции Ляпунова У (¿, 5) и V (¿, е5), удовлетворяющие соответственно условиям (6) и (18) (5 = 1Я);

г) алгебраическое уравнение Ф (и) = 0 в

области и > 0 имеет решения 0 < и}/4 (о, vi, а3,в4,«5,в6,с3) < и.4 (о,о.,а3,в4,«5,в6,с3);

д) а/4 ||х0| < и14 (о,01,«3,«4,«5,«6,С3).

Тогда:

1) решения системы (1) существуют для всех t > ¿0 > 0;

2) справедливы оценки (141) и (242).

Замечание. Исходная система (1) является более общей по сравнению с системами дифференциальных уравнений в критических случаях. Однако если одна из векторных функций окажется линейной, то такая система будет описывать критический случай нулевых корней [2; 6]. Также можно рассматривать другие критические случаи. Метод получения верхних оценок в критических случаях и оценок погрешностей линеаризации совпадает с разработанным в данной работе методом построения указанных оценок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем / А. А. Воронов. М. : Наука, 1985. 352 с.

2. Зубов В. И. Устойчивость движения / В. И. Зубов. М. : Высш. шк., 1973. 272 с.

3. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению / А. А. Ко-сов // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 10. С. 1432 1434.

4. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. М. : Физматгиз. 1959. 211 с.

5. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / под ред. А. А. Воронова, В. М. Матросова. М. : Наука, 1987. 309 с.

6. Шестаков А. А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородной системы / А. А. Шестаков // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 8. С. 1427 1436.

Поступила 09.02.2012.