Построение J-самосопряжённой дилатации линейного оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.24

Построение J-самосопряжённой дилатации линейного оператора

Ю. Л. Кудряшов

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: [email protected]

Аннотация. В статье, используя понятие операторного узла для линейного ограниченного оператора и преобразование Кэли, вводится понятие операторного узла для линейного оператора с непустым множеством регулярных точек. С помощью этого понятия производится явное построение J-самосопряжённой дилатации линейного, плотно заданного в гильбертовом пространстве оператора, у которого —i является регулярной точкой. Построенные ранее дилатации являются частным случаем этой дилатации или ей изоморфны.

Ключевые слова: дилатация, J-самосопряжённый оператор, операторный узел.

Constructing the J-self-adjoint dilatation of a linear operator

Yu. L. Kudryashov

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.

Abstract. Using the notion of an operator node for a bounded linear operator and the Cayley transform, the article introduces the notion of an operator node for a linear operator with a nonempty set of regular points. Using this concept, an explicit construction of a J-self-adjoint dilatation of a linear operator densely defined in a Hilbert space is carried out for which —i is a regular point. The dilations constructed earlier are a special case of this dilatation or are isomorphic to it. Keywords: dilatation, J-selfadjoint operator, operator knot. MSC 2010: 47A20, 47A48

1. Введение

Определение 1. Ограниченный оператор B, действующий в гильбертовом пространстве H, называется дилатацией ограниченного оператора A, который действует в гильбертовом пространстве H С H, если

Anh = PBnh (Vn Е N AVh Е H) , (1.1)

где P — оператор ортогонального проектирования в H на H. При этом условие (1.1) эквивалентно любому из следующих условий:

1) (Anh, g) = (Bnh, g) (V{h, g} С H ЛVn Е N) ;

© Ю. Л. КУДРЯШОВ

2) (А - XI)-1Н = Р(В - XI)-1Н (УН е Н ЛУХ е Ш (Хо,е) с р (А) п р (В)),

где Ш (Хо, е) — е-окрестность точки Хо;

3) Яп (А,а) Н = РЯп (В, а) Н (УН е Н ЛУи е N Л а е р (А) П р (В)), где Я (Г, а) = (Т - аI)-1.

Последние два условия имеют смысл и в случае неограниченных операторов и, таким образом, любое из них можно принять в качестве определения дилатации произвольного линейного оператора А, у которого р (А) = 0.

Определение 2. Дилатации В1 и В2 оператора А, действующие соответственно в пространствах Н1 и Н2, называются изоморфными, если существует унитарное отображение и пространства Н1 на Н2 такое, что

1) иН = Н (УН е Н),

2) В2 = иВхи-1.

Пусть А — линейный, плотно заданный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, -г е р (А). Рассмотрим операторы

Я =(А + П)-1,В = гя - гЯ* - 2Я*Я, В = гЯ - гЯ* - 2ЯЯ*. (1.2)

Используя понятие операторного узла для ограниченного оператора, введённое в [1, 2, 3], и учитывая преобразование Кэли, дадим определение операторного узла для линейного оператора.

Определение 3. Совокупность гильбертовых пространств Н, Е- и Е+ и операторов

Ф е [Е-,Н], Ф е [Н,Е+] ,К е [Е-,Е+], ■1- е [Е-,Е-], е [Е+, Е+] , А : Н ^ Н, где 3± = = 3±, которые удовлетворяют соотношениям:

В = Ф*3+Ф,

Т *Ф + Ф*3+К = 0, 2Ф*Ф + К *3+К = 3-,

В = ф^Ф*,

Т Ф* + Ф3-К * = 0, 2ФФ* + К3-К * = 3+,

называется операторным узлом для оператора А.

1.3)

1.4)

1.5)

1.6)

1.7)

1.8)

Из (1.4), получаем

Ф*Т + K *J+Ф = 0. (1.9)

Из (1.7), получаем

ФТ* + KJ-Ф* = 0. (1.10)

2. Построение дилатации

При доказательстве основной теоремы будем использовать следующие леммы.

Лемма 1. Если h = h0 + Фй_(0) G D (A) и h+ (0) = -Kh- (0) + iФ (A + iI) h, то h = ho + Ф* J+h+(0) G D(A*) и

(A + iI)h - (A* - iI)h =2iho (2.1)

Доказательство.

h+(0) = -Kh_(0) + iФ(A + iI )h. Подействуем на это равенство оператором Ф*J+

Ф* J+h+(0) = -Ф* J+Kh_(0) + iФ* J+Ф(A + iI)h.

Используем соотношение (1.3)

Ф*J+h+(0) = -Ф*J+Kh_(0) + (-R + R* - 2iR*R)(A + iI)h,

Ф* J+h+(0) = -Ф* J+Kh_(0) - h + R*(A + iI)h - 2iR*h,

или

Ф* J+h+(0) + Ф*J+Kh_(0) + h = R*(A + iI)h - 2iR*h. (2.2)

Преобразуем левую часть равенства, используя (1.4)

Ф* J+h+(0) - Т*Фh_(0) + ho + ФЛ,_(0) =

= Ф* J+ h+(0) + ho - 2iR*Фh_(0) = h - 2iR*Фh_(0). Подставляя в (2.2), получим

Ф* J+h+(0) + ho = 2iR*Фh_(0) + R*(A + iI)h - 2iR*h. (2.3)

Следовательно, вектор h = Ф* J+h+(0) + ho G D(A*). Подействуем на равенство (2.3) оператором (A* - iI).

(A* - iI)h = 2iФh_(0) + (A + iI)h - 2ih,

(A* - iI)h = 2iФh_(0) + (A + iI)h - 2iho - 2iФh_(0). и получаем (2.1).

□

Лемма 2. Если h = h0 + Ф*"+ (0) Е D(A*) и h- (0) = -K*"+ (0) - гФ* (A* - iI) h, то h! = ho + ФЗ-h-^) Е DD (A) и

(A + iI)"' - (A* - iI)h = 2iho, (2.4)

Доказательство.

h-(0) = -K*"+ (0) - iФ*(A* - iI)h

и подействуем на это равенство оператором Ф.]-

Ф,1^-(0) = -Ф.-K*"+ (0) - iФJ-Ф*(A* - iI)h. Используя равенства (1.6) и (1.7), получаем

Ф.^-(0) = ТФ*h+(0) - i(iR - iR* - 2RR*)(A - iI)h,

Ф.-^(0) = Ф*"+(0) - 2iR-V*h+(0) + R(A* - iI)h - h + 2iRh. (2.5)

Тогда h' = h0 + Ф.^Д0) Е D(A). Подействуем на равенство (2.5) оператором (A + iI)

(A + iI)h' = -2i^V*h+(0) + (A* - iI)h + 2i(ho + Ф*"+(0)),

(A + iI)h' - (A* - iI)h = 2iho и (2.4) доказано.

□

Используя введённое понятие операторного узла построим J-самосопряжённую дилатацию S линейного оператора A следующим образом.

Пусть H- = L2 ((-ж; 0] , E-), H+ = L2 ([0; ж) ,E+), H = H- 0 H Ф H+. Введём в H индефинитную метрику:

/h\ Í.J- h- (t) Jh = J í h0 I = í h0

\h+j \j+ h+ (t),

("A

Вектор h = h0 Е D (S) тогда и только тогда, когда выполняются условия: h-

1) {h±, ^}С H±,

2) h = h0 + Ф"- (0) Е D (A),

3) h+ (0) = -Kh- (0) + i^V(A + iI) h.

Б I ко I = I -гко + (А + г/) к \Н+) \ г^

Теорема 1. Оператор Б является .]-самосопряженной дилатацией оператора А.

Доказательство. Найдём сопряжённый оператор Б*. Обозначим Г±к±(£) = г .

Используя свойства оператора дифференцирования, получим (Г±1,Ф)Н± - (/, Г±ф)я± = Тг(/ (0),Ф(0))Й-(Бк,д)н = (к_ г-д-)н_ + (k+, г+д+)н+ - г(к+(0),д+(0))Е+ +г(М0),д_(0))я_ - г(Ко,до)н + ((А + г1 )к,до)й,

где к = ко + Фк_(0) е ®(А). Введем обозначение

С =(ко,гдо)н - г(к+(0),д+(0))Е+ + г(к_(0),д_(0)Е + ((А + г1 )к,до)в. Используем условие 3) на ®(Б).

С = (ко, гдо)^ - г(-Кк_ (0) + гФ(А + г1 )к, д+(0)Е +

+г(к_(0),д_(0))Е- + ((А + г1 )к ,до)й-Положим к_ (0) = 0, тогда к = ко и

С = (ко,гдо)н + (Ф(А + г1 )ко,д+(0)Е + ((А + г1 )ко,до)й = = (ко ,гдо)н + ((А + г/)ко, Ф*д+(0)^+ + ((А + г1 )ко,до)н = = (ко, гдо)й + ((А + г/)ко, до + Ф*д+(0))й. Если д' = до + Ф*д+(0) е ®(А*), то

С = (ко, гдо)н + (ко, (А * -г/)д')й = (ко, гдо + (А * -г/)д')й.

Теперь

С =(ко,гдо)н + г(к_(0),К *д+(0)Е + ((А + г/)к,до+

+ Ф*7+д+ (0))н + г(к_(0),д_(0))Е- = = (ко,гдо)н + г(к_(0),К*д+(0)Е + (ко + Фк_(0), (А* - г/)д')й +

+ г(к_(0),д_(0))Е- = = (ко, гдо)й + (к_(0), -гК*д+(0)Е + (ко, (А* - г/)д')й + + (Фк_(0), (А* - г/)д')й + г (к_(0),д_(0))Е_ = = (ко, гдо + (А* - г/)д')й + (к_(0), -гК*д+(0) + Ф*(А* - г/)д' - гд_(0)Е,

тогда

-iK*g+(0) + Ф*(А* - iI)g' - ig-(0) = 0,

т.е.

д-(0) = -К*д+(0) - гФ*(А* - 11)д'. Таким образом о ператор Б* определяется следующим образом.

ЛЛ

Вектор К = Ко \ € Я (Б*) тогда и только тогда, когда выполняются условия \К+)

1) {К±, Г±н±]с н±,

2) h' = ho + ^*h+(0) е D(A*),

3) h-(0) = -K*h+(0) - i<^*(A* - iI)h'

Докажем равенство

'h-\ ( T-h-(t) S* I ho I = ( iho + (A* - il)h'

h+J V r+h+(t)

S = JS* J, где

h-

JI ho

h+

' J-h-(t) ho

J+h+(t),

Пусть К € Я (Б) и ЗК € Я (Б *), тогда

'З+К+\ ( \

'+h+

S* Jh = S* I ho Jh

dt

ih0 + (A* - il)h

■ J-dh- (t)

V i~d-1 У

где К = Ко + ФЗ+К+(0) € Я(А*). Используя (2.1), получаем

S*Jh

( J ^ \

-iho + (A + il )h ij_ j-dh-(t)

dt

( i J+dh+(t) \

J S*Jh

dt

-iho + (A + il )h ■ dh-(t)

= Sh.

dt

(2.6)

Надо доказать, что

D(S*) = JD(S). (2.7)

Равенство (2.6) было доказано в предположении (2.7). Пусть h £ D(S), докажем что Jh £ D(S*).

h+(0) = -Kh-(0) + гФ(Л + iI )h, (2.8)

где h = ho + Ф^(0) £ D(A). Надо доказать, что

J-h-(0) = -K*J+h+(0) - 1Ф*(А* - iI)h, где h = h0 + Ф* J+h+(0) £ D(A*). Из (2.1) получим

(A + iI)h = 2ih0 + (A* - II)h.

Подействуем на равенство (2.8) оператором K*J+ и применим равенства (1.5) и (1.9), получаем:

K*J+h+ (0) = -K*J+ Kh-(0) + гК* J+Ф(2гho + (A* - iI)h),

К * J+h+(0) = (2Ф*Ф - J-)h-(0) - гФ*Т (2iho + (A* - iI )h),

K* J+h+(0) + J-h-(0) = 2Ф*ФЛ—(0) - гТ(2iho + (A* - II)h). Преобразуем правую часть равенства.

2Ф*Фh-(0) - гФ*(I - 2гR)(2гho + (A* - iI)^ = = 2Ф*ФЛ-(0) + 2Ф*Тho - гФ*(A* - II)}I - 2Ф*R(A* - И)h.

Вычислим

2Ф*ФЛ-(0) + 2Ф*Тho - 2Ф*R(A* - II% = используя (2.1), получаем

= 2Ф*ФЛ-(0) + 2Ф*(I - 2гR)ho - 2Ф*R((A + H)h - 2гho) =

= Ф*(2ФЛ,-(0) + 2ho - 4гRho - 2ho - 2Ф^(0) + 4гRho) = 0, таким образом

J-h-(0) = K* J+h+(0) - гФ^* - iI)1i. Пусть Jh £ D(S*) и докажем, что h £ D(S),

fh-\ f.J- h-\

h = I ho I ,Jh = I ho I ,Jh £ D(S*).

\hj \J+h+J

Это означает, что

h = ho + Ф* J+h+(0) е D(A*) и J-h-(0) = -K*J+h+(0) - i<^*(A* - iI)h. (2.9)

Из равенства (2.1), если Jh е D(S*), получаем

(A + il)h - (A* - il)h =2iho,

h е D(A*), h е D(A), h = ho + ^9*J+h+(0),h = ho + <^h-(0) е D(A),

т.е. условие 2) на D(S) выполняется.

Проверим выполнение условия 3) на D(S) для вектора h. Надо доказать равенство

h+(0) = -Kh-(0) + i*k(A + il )h,

где h = ho + Ф^(0) е D(A). Подействуем на равенство (2.9) оператором KJ-, получим

Kh-(0) = -KJ-K*J+h+(0) - iKJ^*(A* - iI)h. Используя (1.8) и (1.10), получаем

Kh-(0) = (2ФФ* - J+)J+h+(0) + + 2iR*)(A* - iI)h,

Kh-(0) + h+(0) = 2ФФ* J+h+(0) + + 2iR*)(A* - iI)h. Преобразуем правую часть равенства

2-Ф-Ф* J+h+(0) + ity(A* - iI)h - 2ty(ho + ty*J+h+(0)) =

= 2ФФ* J+h+(0) + ity((A + iI)h - 2iho) - 2^Vho - 2-ф-ф* J+h+(0) =

= i-fy(A + iI )h.

h+ (0) = -Kh-(0) + + iI)h, где h = ho + Ф^(0). Докажем, что S-дилатация оператора A. Обозначим

ro = Т+\м, где M = {h+ (t) е D (r+)\h+ (0) = 0}. Рассмотрим в пространстве H = H- ф H Ф H оператор R.

jh-\ j (Г- - AI)-1h- \ /у-Rh = R ( ho I = ( Rxho - (I + ßR\)Qv-(0) I = ( vo \h+J - АI)-1h+ + e-iXtv+(0) J \v+,

где А е р(Г-) Пp(ro) Пp(A) = р(А). Так как -i е р(А), то А принадлежит некоторой окрестности точки -i, которая содержится в р(А).

1 Сx

(ro - AI)-1h+(x) = - e-iX(x-t)h+(t)dt, io

1 i'x

(Г- - XI)-1h-(t) = г e-lX(x-t)h-(t)dt.

г J-<x>

При этом

М0) = [(Г- - XI)-1h-(t)]t=o, v+(0) = -Kv-(0) + гФ*(I + ¡Rx)(ho - ^Ф^-(0)), 1 = X + 1,Rx = (A - XI)-1.

Пусть h £ D(S), тогда

jh-\ j (Г- - XI)h-(S - XI) I ho I = I -¡ho + (A + iI)h I . W V (Г+ - XI)h+

Докажем, что R = (S - XI)-1.

jh-\ j (Г- - XI)h- \ jh-R(S - XI) I ho | = R I (A - XI)h + ¡^h-(0) | = I yo \h+) V (Г+ - XI)h+ ) \y+f

Докажем, что yo = ho,y+ = h+.

yo = R\((A - XI)h + lФh-(0)) - (I + ¡Rx^v-(0) =

= h + ¡RxФh-(0) - Фh-(0) - lRxФv-(0) = ho,

т.к. v-(0) = h-(0).

v+(0) = -Kv-(0) + гФ*(! + ¡Rx)((A - XI)h - lФh-(0) - lФv-(0)) =

= -Kh-(0) + гФ*(! + ¡Rx)(A - XI)h = = -Kh-(0) + гФ*(A - XI)h + г!Ф*Н = = -Kh-(0) + гФ^ + Ii )h = h+(0),

таким образом y+ = h+.

Теперь докажем, что Wh £ H, Rh £ D(S). Действительно,

1) очевидно, что vT £ HT.

2) h = vo + Фv-(0) = Rxho- (I + ¡Rx^v-(0^v-(0) = Rx(ho-^v-(0)) £ D(A)

3) Проверим равенство

v+(0) = -Kv-(0) + гФ*(А + iI)(vo + Фг—(0)).

-Kv-(0) + iФ*(A + iI )(vo + Фv-(0)) =

= -Kv-(0) + iФ*(A + iI)(R\ho - (I + ^Ял)Ф^-(О) + Ф*v-(0))

= -Kv-(0) + Ф*(! + ¡iR\)(ho - ^v-(0)) = v+ (0).

Таким образом Rh G D(S)(Vh G H). Теперь докажем, что (S - XI)Rh = h, Vh G H.

(S - XI)Rh = (S - XI) I vo

'v-\ / (Г- - XI)v-

-- I (A - XI)(vo + Фv-(0)) + ^v-(0)

v+; V (Г+ - XI )v+

'0-

©o

Докажем, что в = h.

0- = (Г- - XI)(Г- - XI)-1h- = h-

где

0o = (A - XI)(vo + Фv-(0)) + ^v-(0) = (A - XI)(Rh - (I + R^v-(0) - Фv-(0)) + (0) = ho, 0+ = (Г+ - XI)[(Г - XI)-1ho + e-Uiv+(0)],

v+(0) = -Kv-(0) + iФ*(I + ßR\)(ho - ^v^0)).

0.

Т.к. (Г+ - XI)е-гМу-(0) = 0, то 0+ = к+.

Как легко видеть оператор R ограничен и определен на всем пространстве Н.

□

Следствие 1. Самосопряженная дилатация диссипаивного оператора А из [4, 5] является частным случаем дилатации из теоремы 1, если положить О = \[Б, \[Ъ, Е_

Q

QH, E+ = QH, Ф = Q, Ф = Q, J = I.

Следствие 2. .]-самосопряженная дилатация линейного оператора А из [6] является частным случаем дилатации из теоремы 1, если положить Q = л/\Б\,

( =\[\Ё\, Е- = ОН, Е+ = Щ = 81диБ, .+ = зъдиБ, Ф = Q, Ф =

Список цитируемых источников

1. Temme D. The point spectrum of unitary dilation in krein space. Mathematische Nachrichten, 1-20 (1995).

2. Золотарёв В. A. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряжённых и неунитарных операторов. Харьков: ХНУ, 343 c., 2003.

Zolotaryov V. A. Analytic Methods of Spectral Representations of Nonself-adjoint and Nounitary Operators, Kharkov University, 2003. (in Russian)

3. Биданец A. В., Кудряшов Ю. Л. J-изометрические и J-унитарные дилатации операторного узла. Таврический вестник информатики и математики КФУ, №3, 21-30 (2016).

Bidanets A. V., Kudryashov Yu. L. J-isometric and J-unitary dilations opetor knot. Taurida Journal of Computer Science theory and Mathematics, Crimea Federal University, №3, 21-30 (2016).

4. Кудряшов Ю. Л. Симметрические и самосопряжённые дилатации диссипативных операторов. — Сб.: Теория функций, функц. анализ и их прил., вып. 37, с. 51 - 54 (1982).

Kudryashov Yu. L. Symmetric and self-adjoint dilations of dissipative operators. Function theory, functional analysis and their applications. vol. 37. pp. 51-54 (1982). (in Russian)

5. Кужель А. В., Кудряшов Ю. Л. Симметрические и самосопряжённые дилатации диссипативных операторов. Докл. АН СССР, т. 253, №4, с 812 -815 (1980).

Kuzhel A. V., Kudryashov Yu. L. Symmetric and selfadjoint dilations of dissipative operators. Science, Reports of the USSR Academy of Science, vol. 253, №4, pp. 812-815 (1980).

6. Кудряшов Ю. Л. J-эрмитовы и J-самосопряжённые дилатации линейных операторов. Динам. системы, вып. 3, 94-98 (1984).

Kudryashov Yu. L. J-hermitian and J-selfadjoint dilations of linear operators. Dinamicheskie sistemy 3, 94-98 (1984).

Получена 03.04.2019