Построение и оптимизация ортогональных базисных систем для аппроксимационного спектрально-корреляционного анализа и идентификации линейных динамических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационные технологии

УДК 681.518.3

В. И. Батищев, И.И. Волков, А. Г. Золип

ПОСТРОЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ СИСТЕМ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИОННОГО СПЕКТРАЛЬНО-КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА И ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ1

Рассматриваются методы построения и оптимизации ортогональных базисных систем на основе обобщенного семейства дробно-раг^ючачьных функций, методы их параметрической оптимизации применительно к спектрально-корреляционному анализу и идентификации линейных динамических объектов.

Классические ортогональные функции и полиномы нашли широкое применение в задачах анализа случайных процессов и идентификации динамических объектов [1, 2]. Проблемы повышения эффективности их использования решались в основном путем перебора вариантов и выбора «наиболее подходящей» базисной системы.

При выборе или разработке базисных систем для аппроксимационного корреляционного анализа и задач идентификации линейных динамических систем следует учитывать дробнорациональный характер Фур ье-п реобразования автокорреляционных функций (АКФ) и импульсных характеристик соответственно. В статье предлагается способ формирования базисных систем на основе обобщенного семейства дробно-рациональных функций и рассматриваются методы их параметрической оптимизации.

Рассмотрим семейство дробно-рациональных функций

На основании равенства Парсеваля выразим скалярное произведение функций (Рк.ы и

,У-|

N

(1)

Л-1

Докажем, что в случае, если корни полинома ные вещественные части, то функции

имеют отрицатель-

(2)

ортогональны, т.е.

о

Р,д следующим образом:

Ік і = (ф,- , (т V д. (т\іх — — \фк д., (/“К* (“ }=

(3)

1 Работа поддержана грантом РФФИ (проект 07-08-00468-а).

где

Л’-1

г=0

1л,* О)"

г-0

Цд.л(-1)'0«Г

л - I Л' - г

г=о

г=А г=0

(5)

ХЕл^М'О^Г *- Е(-0Ч*(/®Г

1'=0 '=0 г=0

+1 Ъх^о)У

к.т<к^1

IX* (а»)1'

1-0

2к.„М-

г=0

ц=т

(6)

1-=0

Из первоначального условия отрицательности вещественных частей полинома

Л'

Ха.,0*>У следует, что корни знаменателей функций также имеют отрицательные вещество

венные части. На основании этого

1 ^

Л.«<* = -г- = 11т РК,т<кЛр)=° ■ О)

2ж *

— 05

Аналогично можно показать, что = 0 .

Таким образом, функции

к,Дг))

представляют ортогональный базис, А—0,1,— , причем их Фурье-преобразования - дробно-рациональные функции, что соответствует свойствам спектральной плотности мощности стационарных процессов (СП).

Рассмотрим некоторые частные случаи базиса к.ЛО).

I. N ~ I

ФкЛ 0°^)-

= лЕт

А) Т~Г Л м; 1(0

П (Л),;+)

у=0

-пк-л.,.)пк-л,)К+]ш

С/ = Г+1

П (л,,у+л,,-)

?>*, |(гЬл£-

(8)

‘’ЛП(^-^.)П(^-^.,)

«/=0 7=г+1

Полученные выражения (8) представляют собой обобщенные функции Дирихле. Обобщенные функции Дирихле применяются в прикладном корреляционном анализе. Однако, по мнению многих авторов [3, 4], их использование неэффективно из-за сложности алгоритмов, построенных на их основе, и громоздкости самой модели. Чаще применяются частные случаи: функции Дирихле и функции Лагерра.

2. *=1, Ап =1, ^,=(у + 1)а

*-|

-п

(у+ 1 )а-]0>т

{к + і)ог + ]С0 *=о (</ + \)а + }<о ’

Выражения (9) определяют ортогональные функции Дирихле.

Свойства ортогонального базиса Дирихле имеют недостатки, связанные с неадекватностью моделей основным классам АКФ и относительной сложностью реализации алгоритмов и устройств, построенных на его основе.

з. ЛГ = 1, Л =(-1)*, 4„=|;

ФиОа>) = —

1

16) +а 2

}<о - а; 2 І го + а '2

к ґ<\ V '- і-

г=Г>

ІМОІІ2=

(10)

и а

В этом случае получаются ортогональные функции Лагерра.

На использовании ортогональных функций Лагерра базируется большинство известных методов и средств аппроксимационного корреляционного анализа [5, 6, 7],

Больший интерес вызывает следующий уровень обобщения рассматриваемого класса функции.

4. N -2 ш

(П)

Л).к + 4=0 Л),ч + Л,ч(® ^

Данный класс дробно-рациональных соотношений пороткдает множество базисных систем получаемое соответствующим выбором параметров Ли Л,</‘ Эти

функции относят к классу ортогонапизированных экспоненциальных функций [8, 9]. Рассмотрим характерные частные случаи.

5. N=2, 4, = ог2 +®гг Я, (/ = 2а ч _

к к

(лд.-лУ+лЧ2 к-О2+{<*>,-ч)2

хе“аг СОБ^Г + б* Д

(12)

где

я.. =■

1-І

п

«=0

«, - <*ч + ./(©, - ) П к " + Л®.- ~ фц))

7=14 I

л п , 0).+ О) со

в,, = - агс!£Лу + агс!£-----------агс(^

а, -а,.

11„ /-.М!2 А + Л2 (а* + а]) 1К.^Г1 = А„иг^лл\ .

- А

где

4огДог2 +й)1)

Функции Фк.2(г) (12) можно представить в более компактном виде:

Р*.:>(г) = X В‘е~а Т со8(^г + 9,),

В, =,[с?75>.

9, = йтсщ О- ,

;=0

С. =22К||Л|.|4^:^и^_с08Й

г=0

А

(от,-от,.)2 + (о, + а»,.)2

,=0 1|(а,-ог,,)2+(^+й),)-

Функции (13) имеют экспоненциально затухающий колебательный характер и являются обобщением ортогональных функций Дирихле (5). Дальнейшая конкретизация вида функций (13) фиксированием параметров Ац,к и А/,*■ дает возможность получить функции <ри(т) , обобщающие класс ортогональных функций Лагерра.

6. N = 2, А0 =1, ^ =0, ач =огр в>ч =а2.

Г , V-. , “I*

1

А. 2С/®) =

( /Л> + «, )2 + ОГ22

О'д-д,)2 +а22 (/ш + аг, )2 + а;

к к

СГ-1 (=0 г=| 1=0

-у+1-

«Г +^2

соэ

а,

1Ь.2^1’ = /! 2у

11 11 4 сгДа, +«2]

(14)

И, наконец, рассмотрим частный случай (13), позволяющий получить ортогонализиро-ванные экспоненциальные функции, соответствующие обобщенному виду АКФ реально осуществимых процессов [9].

7, N = 2. Л0 =«,(! + «,), Л, =1, ач =аг,, й>(; = аг,.

т*

АлЫ4" + ",(1 + в>)

(усу + а;,)2 + я

(Усу-а,)’ + а22 (/су + аг,)2 +а.

(15)

Поскольку для функций справедливо выражение

л / * \ ^ ■ ч (./*> — от, )Э +аг22

Фк*\.гО®)-Фкл0®)/ . у т (уш + сг,^ +а;

./4а,«

= Л.2(>)

1-

(/(У + ог, )2 +йг,2

то для соответствующих им во временной области функций ^,:(г) рентные соотношения

(16)

можно записать рекур-

Фыл(г) = 9к(г)- ]<Рь (г'Мг - «Vй'

где

/

ОТ, .

СОвСТ,Г---------- БШ СС-,Т

и >{г)=4а]е~а'1

{ а 2

/ ч||Э а: +а; + а,2(1 + с)2

М - 7^-—2Т—•

л

Предложенный здесь общий подход к построению базисных систем и рассмотренные примеры показывают широкие возможности использования дробно-рациональных функций в прикладном корреляционно-спектральном анализе. Однако для реализации этих возможностей необходимо решить задачи параметрической оптимизации базисных функций.

Задача оценивания коэффициентов разложения АКФ в ортогональном базисе с оптимальной подстройкой параметров &\*—>аР базисных функций есть частный случай общей задачи аппроксимации

ЯА11р,а,а)='£а&(т,а\ (!8)

£=0

когда функции в модели составляют ортогональный базис {а(г,ог| к =0,1,...

т.е.

0, при к фу

|£*Г’ПРИ* = ^

(!9)

м

}б*(^«ЬДт’сгМ'г*а}/г=

О и^*11 ’ “н

Без потери общности перейдем от функций ()к{т,а') к функция

<рк[т,а}= (.~)к ортогональным с единичным весом.

С учетом этой замены и условия (19) система уравнений, определяющая алгоритм оценивания параметров модели АКФ. имеет следующий вид:

<*к=М

*=о *=о

(■=п

(20)

где

Ък, = М

о _

К (г,а)= %(г,а|/]^2(г.ог):/г ;

! Шг.аУ

(21)

(22)

(23)

Таким образом, параметрическая оптимизация модели, построенной на основе любой системы ортогональных функций или полиномов, может быть осуществлена в общем случае

путем оценивания дополнительных коэффициентов V,, к = 0,...,т / = 0согласно (21) и выполнения условий, определяемых системой (20).

Алгоритмы (20)-^ (23) синтезированы для произвольного вида функций <рк (г,й) и в некоторых конкретных случаях могут быть преобразованы к более простым формам. Так, на-

51

пример, если ^Дг,аг]= Ьк{т,а) - ортогональные функции Лагерра , то, подставляя в выражение (23)

^(г:д) = _ (т,а)+ Ц{тм)-{к +1)1,„(г,от)},

аа 2а

а затем Нк ,(г,сг) из (23) в выражения (20) и (21), получим условие оптимальности параметра а в виде ат~!= 0. Такой метод впервые был предложен в [10], устройство на его основе защищено авторским свидетельством [11]. Проблемы оптимизации параметра ортогональных функций Лагерра решены в работах [6, 7, 12].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

]. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов / Ф.Ф, Дедус. С.А. Махортых. М.Н. Устинин. А.Ф. Деду с: Под общ. ред. Ф.Ф. Дедуса. М.: Машиностроение. 1999. 357 с.

2. Зарубин ВС. Математическое моделирование в технике / Под ред. В.С. Зарубина. А.П. Крищенко: М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э.Баумана, 2001. 496 с.

3. Шрский Г.Я. Характеристики стохастический взаимосвязи и их измерение. М.: Энергоиздат. 1982. 320 с.

4. Никифоров А.Ф., Суслов С.К.. Уваров В.В. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. М.: Наука. 1985. 2!5 с.

5. Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов. 2-е изд.. перераб. и доп. Самара, СНЦ РАН.

2001.380 с. '

6. Батищев В.И. Сравнительный анализ методов аппроксимации корреляционных функций параметрическими моделями / Куйбышев, политехи, ин-т. Куйбышев. 1980. 5 с. Деп. в ВИНИТИ. 12.12.80. №5263-В80,

7. Волков И.И., Батищев В.И. Метод оптимизации параметров разложения корреляционных функций в базисе

ортогональных функций Лагерра в темпе экс пер и мента / Куйбышев, политехи, ин-т. Куйбышев. 1979. 5 с. Деп. в ВИНИТИ, 06,04.79. №1215-1*79. '

8. Бебих Н.В., Денисов а. И. Взаимная спектрально-корреляционная обработка сигналов в различных ортогональных базисах, // Изп, Кузов. Радиоэлектроника. 1983. 'Г. 26. №3. С. 3-7.

9. Волков И, И., Батищев В.И. Применение ортогоиализированных экспоненциальных функций в аппроксимативном корреляционном анализе// Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. Т. 23. 1980. №5. С, 66-68.

10. Волков И.И., Мотов В.ВПрохоров С.А.. Батищев В.И. Метод повышения точности аппроксимации корреляционных функций ортогональными функциями Лагерра // Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей: Труды VIII Всесоюзного симпозиума. Т,5. Л„ 1975. С. 48-52.

11. А.с.463121 СССР. МКИ 006 £ 7/19, Коррелятор / И.И. Волков, В.В, Мотов, С.А. Прохоров. В.И. Батищев (СССР), №1932239/18-24: Заявлено 14.06.73. Опубл. 05.03.75. Бюлл. №9. 2 с.

12. Волков И.И.. Батищев В.И. Метод повышения точности аппроксимативных взаимных спектральнокорреляционных анализаторов// Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1979. Т.22. №8. С. 17-22.

Статья поступила в редакцию 30 октября 2007 ,г

УДК 681.3 Ю.В. Варламов

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СПОСОБОВ ИЗМЕРЕНИЯ НЕСИММЕТРИИ ТРЕХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Проанализированы способы измерения несимметрии трехфазных электрических сетей. Предложен способ, обеспечивающий высокую точность измерения в высоковольтных линиях электропередач. Показано, что применение фазовых измерений и современных достижении оптоэлектронных технологий обеспечивает существенное упрощение аппаратурной реализации и снижение объема вычислительных процедур при допустимых согласно ГОСТ значениях погрешностей измерений.

Согласно ГОСТ 13109-97 []] одним из основных показателей качества электроэнергии (ПКЭ) для трехфазных электрических сетей переменного тока является коэффициент несимметрии напряжений по обратной последовательности. Для определения значения этого коэффициента рекомендуется следующий способ.

!. Для каждого /-того наблюдения проводят одновременные измерения действующих значений каждого междуфазного напряжения основной частоты, т.е. (У ;Шт/, V и