Аппроксимационный подход к решению обратных задач анализа и интерпретации экспериментальных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационные технологии

УДК 621.391

В.И. Батищев, А.Г. Золин, Д.Н. Косарев, А,Е. Романеев

АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ АНАЛИЗА И ИНТЕРПРЕТАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Рассматриваются возможности применения аппроксимационного подхода к решению обратных задач предварительной обработки экспериментальных данных, анализа сигналов, оценивания значений информативных параметров и интерпретации результатов. Определяются основные направления системно-аналитических исследований, способствующих эффективному использованию подхода в различных прикладных задачах. Предлагается методика разделения эффектов, обусловленных совместным влиянием разнохарактерных аппаратурных искажений на результаты эксперимента, и устранения этих искажений.

Получаемые в результате эксперимента зависимости являются многокомпонентными сигналами, содержащими полезную, физически обусловленную составляющую, искаженную совместным влиянием многих сопутствующих факторов (фоновое излучение, помехи, аппаратные искажения). В связи с этим задача обработки логически распадается на ряд подзадач: предварительную обработку экспериментальных данных, включающую в себя нормировку, группировки, разделение различных физических эффектов и фильтрацию с целью исключения аномальных результатов, устранения трендов и фоновых составляющих, сглаживания шумов; основную обработку,, предполагающую анализ экспериментальных данных и оценивание значений информативных параметров; интерпретацию результатов, при которой определяются количественные характеристики исследуемых объектов и явлений и принимаются необходимые решения. При этом для получения искомых результатов необходимо решение обратных задач [1].

В технических приложениях, связанных с проведением экспериментальных исследований, осуществлением контрольно-измерительных процедур и наблюдений с решением обратных задач связаны проблемы восстановления «истинной» картины явления по результатам «грубых» измерений (редукция к идеальному прибору, восстановление изображений), определения информативных интерпретируемых показателей на основе измерений результатов их косвенных проявлений [1, 2]. С необходимостью решения этих проблем связаны все аналитические измерения, позволяющие решать широкий комплекс задач прочностных и усталостных испытаний, исследования свойств конструкционных материалов, качественного и количественного анализа сырья, готового продукта, отходов в любом агрегатном состоянии. Общая методология медицинской и технической диагностики, распознавания образов также базируется на решении обратных задач с экспериментально определенными и, следовательно, содержащими случайные и систематические погрешности, исходными данными [2, 3]. Характерным примером служит проблема диагностики и мониторинга состояния сложных, экологически опасных объектов тепло- и электроэнергетики, гидротехнических сооружений.

Математически обратная задача формулируется в форме операторного уравнения первого рода Ки = /, иеи, /еР, где К - оператор К :11 ^ ;/- экспериментально определяемые

элементы множества Р;и- искомое решение. В классе линейных операторов примерами математических форм обратных задач являются системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения первого рода Фредгольма и Вольтерра. Их характерной особенностью является то, что оператор К не имеет ограниченного обратного оператора, т.е. задача в названных постановках некорректна.

Исследования в области теории и приложений обратных задач шли в основном по пути поиска общих, универсальных решений, приемлемых в теоретических расчетах, и не нашедших, в силу своей сложности и плохой интерпретируемости, применения в технических приложениях. Существенный прорыв в этом направлении произошел с появлением и интенсивным развитием методов регуляризации, базирующихся на привлечении априорной информации о решении, которая может быть как качественной (неотрицательность и гладкость решения), так и количественной [1,4, 5]. Концепция регуляризации, по А.Н. Тихонову, сводится к отказу от «точного» решения и поиску смещенного решения, обеспечивающего минимум сглаживающего функционала Ма [и, /* ]- р{ки, /*)+ а£}[и], где а - параметр регуляризации, 0[«] - стабилизирующий функционал, р(/£ы,/*) - функционал невязки.

Общим фундаментальным свойством методов регуляризации является их ориентация на принципиально смещенные решения. Это же свойство является фундаментальным для аппрок-симационных методов, имеющих явные перспективы в решении обратных задач [б, 7]. Более того, многие допущения, принимаемые в различных методах регуляризации, в рамках аппрок-симационного подхода получают логическое обоснование в понятиях «априорная информация», «адекватность», «работоспособность модели» и т.д.

Аппроксимационный подход обобщает принципы, методы и технологии получения информации об исследуемых объектах и явлениях экспериментальным путем по результатам измерении, испытаний, наблюдений и контроля с использованием аналитических моделей функциональных характеристик этих объектов и явлений, выбранных на основе априорной информации с учетом целей проводимых исследований. Математическая модель при этом выступает как системная интерпретационная конструкция, объединяющая объект, субъект, цели и условия измерений, контроля, испытаний [6, 7]. «История методологии математического моделирования убеждает: она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий» [9].

В теории некорректных задач к проблеме построения аналитических аппроксимаций обращаются довольно часто. Развитию этого направления способствовали работы, посвященные приближенно-аналитическим методам исследования [2, 3]. Эти методы используются для решения задач прикладной математики, математической физики, интерпретации результатов экспериментальных исследований.

В инженерной практике и разработке методов и средств измерения, контроля и диагностики производственно-технического назначения аппроксимационные методы не нашли должного распространения, хотя достоинства их отмечались многими специалистами [3, 7, 10], и известно использование приближенно-аналитических методов при разработке алгоритмического обеспечения измерительно-вычислительных и моделирующих комплексов и систем.

В пользу аппроксимационных методов решения обратных задач говорит то, что в различных областях, таких как аналитическая химия, рентгеновская дифрактометрия, у-спектроскопия, гидродинамика, известно большое количество работ, посвященных обоснованию аналитических математических моделей, свойственных и адекватных различным объектам, процессам и ситуациям. Известна обширная база элементарных математических моделей аналитических пиков, позволяющих достаточно точно описать фрагменты практически любого реального аналитического сигнала. В работах [11, 12] предложены различные способы комбинаций и модификаций элементарных пиков для получения широкого спектра математических моделей аналитических сигналов, предприняты попытки обобщения и систематизации подходов к описанию сигналов и предложена классификация моделей аналитических пиков. Наличие такой модельной базы и разработка соответствующих методов и алгоритмов оптимального параметрического доопределения моделей составляют основу для существенного расширения функциональных возможностей и областей применения аппроксимационных методов.

Рассмотрим методику применения предлагаемого подхода к решению непрерывных обратных задач на примере алгебраизации интегрального уравнения I рода

ь

(л, ;уНу)ф = /(*), (1)

а

где к(х, у) - ядро, характеризующее в общем случае объект исследования, средства и условия измерений;

/(х) — экспериментально полученная зависимость, как правило, определенная совокупностью отсчетов /4*1

м(у) - подлежащая определению функциональная характеристика либо функция, параметры или характерные свойства которой информативны в отношении интерпретационных показателей.

Во всех конкретных случаях, независимо от метода решения задачи, функция ЛТ(х,_у) предполагается известной. При аппроксимации правой части ■/(*) и искомого решения и(у) уравнения (1) соответственно моделями /м[х, Дй) и им {у,а,а) задача сводится к параметрической. Приближенное решение задачи будет найдено при оценивании параметров а ~ аь...,а,, а. = а{,...,ат модели им{у,а,а).

Сам факт наличия общего решения, однако, не снимает проблем, возникающих в конкретных прикладных задачах. Прежде всего, эти проблемы связаны с обоснованием и выбором видов моделей /м(г,Дй), им{т,а,а) и критерия аппроксимации. Причем эти вопросы оказываются взаимосвязанными, когда речь идет о возможности или допустимой сложности технической реализации получаемых алгоритмов. При построении эмпирических математических моделей часто используются простые зависимости для описания процессов (например, многочлены), которые лишены интерпретационного смысла и описывают экспериментальные данные в ограниченном диапазоне их изменения, соответствующем проведенным опытным исследованиям.

Критерий среднеквадратического приближения является естественным основанием при использовании моделей, построенных на базе ортогональных функций и полиномов .

Подставляя в правую часть уравнения (1) /(л)»/м{х>ь)=^Ьк<рк(х), в подынтегральное вы-

*=о

т

ражение и(у)» им(х,5)=^акфк(у), умножая левую и правую части полученного уравнения

к=0

на функцию 0>у(х) и интегрируя их в пределах [а,й] ортогональности базисных функций после перестановки линейных операторов интегрирования и суммирования, получим

т

У = 0,1,..., т, (2)

1=0

ьь

ГДе С,у = | ^К{х,у)(р>{у)р^х)с1хс1у. а а

Полученная система т +1 линейных уравнений решается относительно т +1 неизвестных а0 >—•

Эти известные и очевидные соотношения определяют лишь исходную позицию при решении конкретно-прикладных задач. В общем случае выбор системы базисных функций определяется областью определения регистрируемой и искомой зависимостей, их локальными свойствами, уровнем и характером изменения погрешности результатов в диапазоне измерения [6,8].

При полубесконечной области определения решения в качестве базисных функций целесообразно использовать ортогональные на интервале ге(0-<ю) с весом и{г) = е~ат полиномы

к / V*

Лагерра ^(от) = (и)*У(--1)* ’ ■, с единичным весом функции Лагерра

к к 1к{Т)=е 1 УНУ'“"(«О'' > функции Дирихле Р*д(г)= " и имею-

у=0 У' у=о

щие экспоненциально затухающий колебательный характер ортогонализированные экспонен-

циальные функции: ^0(г)*е"в1Г cosa2r + £r3-^-sinar2r , <Pk+\{*) = <Pk{*)~ {фк(*Ь*(т - u)du,

V а2 J I

где w{r) = 4aie~a,t

f ax . 4

cosa2r-------sina^r

, * = 0,1.............

При ограниченной симметричной области определения решения могут быть применены

полиномы Лежандра, ортогональные с единичным весом w(r) = l на интервале

1 1 а' а

^fc(ar) = 2~*^ (“^)* s\{k^s)(k^ 2s)t (gr^~2j ’ где [*^] = А/2 при к - четном и [Л / 2] = при к - нечетном.

В том случае, когда исследуемый сигнал является дискретным, применение непрерывных базисов ведет к дополнительным погрешностям и, следовательно, предпочтительнее использовать дискретные полиномы.

Дискретные полиномы Лагерра, ортонормированные с весом v‘ на интервале [0,оо], Lk O') = ijvk 0 - уУУ] (-1)5 -гг—\ ■ -——] , v=e~x <1. При использовании дискретных

J=0 * — srs‘ v — Vs- \ v )

полиномов Лагерра необходимо учитывать, что их ортогональность обеспечивается при N ->ао, Поэтому при ограниченной последовательности (x0—*Ar_i) следует соответствующим

образом выбирать весовую функцию так, чтобы vN~l -»0, и обеспечивалось тем самым условие Пт/*(()к’ *0.

i-*N

Дискретные полиномы Лежандра, ортонормированные с единичным весом на ограниченном множестве N значений,

/л J(2* + lXw-l/‘* YY .у *! (t + s) Ы ,л .w, л

Л(,)1 (JV+*)•**'> h{ r (jv-i/')' ' +

Лучшими в этом отношении свойствами обладают системы ортогональных функций, не пересекающихся или частично пересекающихся в области определения аргумента. Примерами таких базисных систем могут служить функции Хаара и получившие в последнее время широкое распространение вейвлеты (wavelet). К тому же модели, построенные в базисе таких функций, позволяют более тонко отслеживать локальные свойства анализируемых зависимостей.

Вейвлет-преобразование зависимости состоит в ее разложении по базису, сконструированному из солитоноподобной функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени) [14, 15]. Таким образом, вейвлет-преобразование обеспечивает двумерное представление одномерной функции. При этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные, и, следовательно, появляется возможность анализировать свойства исследуемой зависимости одновременно в физическом (время, пространство) и частотном пространствах.

Основой построения ортогонального базиса вейвлет-разложения служит быстро убывающая солитоноподобная функция времени Wаb(j)~—~|> где а ~ масштабный коэффи-

1 М L- “ J

циент, определяющий сжатие вейвлета; Ь - параметр сдвига функции. Так, например, изменяя параметры масштаба и сдвига пропорционально степени двойки (а=1/2/; Ь =к/2^; j, к - целые числа), можно перекрыть частотную и временную оси, имея единственный базисный вейвлет Кг).

В контексте каждой конкретной задачи приведенный выше перечень условий выбора базисных функций дополняется объемом и характером имеющейся априорной информации, целями исследования, ограничениями на возможности привлечения технических и программных ресурсов. Из этого следует, что решение рассматриваемых задач возможно лишь системноаналитическими методами. Замкнутые оптимизационные процедуры возможны только для от-60

дельных этапов и частных сторон задачи. Важными являются системные исследования в направлениях выбора и обоснования базисных функций для определенных классов сигналов, параметрической оптимизации базисов, поиск формализованных решений по определению размерностей моделей.

Самостоятельным направлением является исследование аппроксимационных форм и моделей специального для конкретных ситуаций вида. Здесь необходимы системно-аналитические исследования в предметных областях, решение задач параметрической оптимизации моделей и определения интерпретирующих характеристик. »

При использовании априорных моделей с нелинейно входящими в них параметрами могут возникнуть алгоритмические и вычислительные трудности решений, основанных на среднеквадратической аппроксимации экспериментальных и искомых зависимостей. Для разработки алгоритмов прикладного анализа возможно привлечение альтернативных среднеквадратическому критерию приближения критериев. Простые и статистически устойчивые решения могут быть получены при использовании критерия моментов.

При известной функции и выбранной модели им(у,а), а =ай,...,ат на основании

уравнения (1) составляется система т +1 уравнений, каждое из которых представляется равенством моментов порядка ц, вычисленных для левой и правой частей (I): ль 4

|^хя= |л9/(х)оЬс, ^ = 0,1,...т . (3)

с а с

Полученная таким образом система уравнений решается относительно искомых параметров а0,...,ат.

К общим проблемам решения обратных задач, связанным с некорректностью последних, добавляются серьезные проблемы разделения взаимосвязанных физических эффектов.

Так, например, выделение функции истинного физического уширения рентгенографического сигнала связано с обнаружением и устранением искажений, вносимых экспериментальной установкой (аппаратом). Полная аппаратная функция измерительного канала дифрактометра определяется сверткой аппаратных функций его оптической ^(я) и приемно-

регистрирующей частей А^2(л) [7,10):

00

*:(*)= (4)

—00

В выражении (4) £ = С0£>^ А(2в) - изменение брэгговского угла дифракции в, выраженное

А

расстоянием в обратной решетке; Л - длина волны рентгеновских лучей*

Влияние ^1(5) проявляется в размытости контуров регистрируемых профилей. Наличие £2($) приводит к понижению пиковых интенсивностей, уширению и смещению профилей. Степень искажения спектра растет с увеличением скорости сканирования, что накладывает ограничения на время анализа. Таким образом, при обработке экспериментального распределения интенсивностей дифракционной линии возникает необходимость деконволюции двух сверток.

Корректное решение такой задачи возможно только путем ее доопределения априорной информацией, позволяющей сделать обоснованный для конкретной предметной области выбор математических моделей исследуемых процессов и явлений [10].

В общем случае речь может идти о деконволюции нескольких сверток:

К*щ*и2

где К- оператор, определяемый аппаратурной функцией экспериментальной установки;

- распределения, совместно определяющие профиль линии.

Для решения задачи разделения двух эффектов на примере ренттенодифрактометрического эксперимента может быть предложена следующая методика.

Уравнение (1) в частотной области записывается в виде

К(а>)и(й)) = р{ш),

где ЛТ(й>), и{б>) и /г(а>) - Фурье-преобразования соответственно аппаратной функции, функции истинного физического уширения и выходного сигнала дифрактометра.

Из уравнения (4) функция истинного физического уширения определяется соотношением

00

и{з)= ~ [РІр)Кш‘1{а)е*вшіі& (5)

2л •

—яо

и может быть определена численно или аналитически. Для численного решения задачи достаточно использования модели аппаратной функции.

При использовании дифрактометра, оптическая часть которого включает двухщелевой монохроматор, а регистрирующая система является апериодическим звеном первого порядка, мо-

2,2

дели соответствующих аппаратных функций будут следующими: Кш (&>)= 1-----,

К1М (са) = -—Ї——, где V - скорость сканирования; Т- время сканирования. Тогда 1 +

(®) = Кім (®) * 1 + УйЛ'Г + ^ Г. (6)

Подставляя правую часть выражения (б) в уравнение (5) и учитывая, что умножение функции частоты на (у’ш)* соответствует ^-кратному дифференцированию функции, отображенной во временную область, получим

«(г) = /(0+"УІО - —/"(*) + /'(0 • (7>

Таким образом, для восстановления искомого решения 11(5) необходимо осуществить весовое суммирование выходного сигнала и его производных. При этом коэффициент при первой производной /'{$) связан с параметрами модели регистрирующей системы, а коэффициент при второй производной /*(ї) - с параметром X модели оптической системы. Коэффициент при третьей производной /"(5) определяется взаимным влиянием оптических искажений и инерционностью регистратора.

Алгоритм (7) получен для конкретного примера устранения аппаратных влияний рентгеновского дифрактометра ДРОН-3 на результаты эксперимента. Предложенная методика разработки алгоритмов может быть распространена и на другие случаи, которые допускают аппроксимацию аппаратных функций дробно-рациональными моделями.

Серьезные ограничения на использование метода накладывают погрешности и шумы в измерительном сигнале /(я), усиливаемые к тому же многократным дифференцированием.

Эго утверждение поясняется простым примером. Допустим, есть две функции /о(ї) И /,($)= /0(.у)+ Лэшй» , различающиеся в метрике С на величину рс{/о,/і) = И при любых значениях Ф. Однако их производные различаются в метрике С на величину рс(/{о,/і) = .

Очевидно, ЧТО Рс (/о > л) -> 00 при условии, что &> -» со .

Преодолеть эти ограничения можно аппроксимацией сигнала /(л) и его производных аналитическими моделями. Безусловными преимуществами при этом обладают модельные представления, на основе которых производится интерпретационный процесс. Концепция интерпретационных моделей фактически есть наиболее гибкая и общая форма применения идеи аналитической аппроксимации.

Синтезируем алгоритм оценивания параметров а = а1,...уат модели гт(з,а)> аппроксимирующей производную зависимости /(я) по критерию минимума взвешенной среднеквадратической погрешности:

ь

ттр(г,/)= *а/(*,“)Р /К»)*- (8)

а

Условию (8) соответствует следующая система уравнений:

|/'№і і?* = 1. і = т,

і-і

где яД^,й)=- |гм(л,д)~^Л,а^(?)с& 1 дгУ^,а)Ж).

І; даі ) даі Осуществляя в (8) интегрирование по частям, получим

ь ь '

/(і)Яу (а,а)| - |/(ї)»;(г,а)* = 1, і = .

Система уравнений (9) определяет алгоритм вычисления параметров щ,...,ат модели 2М{$,а). Вид и характеристики операторов преобразования Я,(л,а) и Н\(і,а) полностью определяются видом модели гм(з,а) и весовой функцией //(г).

Проанализируем свойства полученных алгоритмов на примере, когда в качестве модели

измерительного сигнала использована полиномиальная зависимость /дДж,д)= .

. *=1

В этом случае в качестве модели 2дД$,а) целесообразно взять полином такого же порядка

т

. Если ограничить область определения решения конечным интервалом

к=1

О < ^ < 5”, а весовую функцию, полагая измерения равноточными, принять з 1, на основании системы (9) получим систему линейных относительно искомых параметров уравнений

*=1

к + / -1

(10)

і = 2,3,.-,»і

Система уравнений (10) имеет единственное решение, поскольку 8кк

* + /-1

Если в качестве весовой функции принять //(лг) = е ^, а областью определения решения 0 £ л < *, получим из (9)

т, к\аъ

к~0 0к

“Г* -0-1>'-2в^1* = £а4

(П)

о *=1

Единственность решения системы уравнений (11) следует из условия

Ф 0. Подставляя в систему уравнений (И) зашумленный сигнал

т

/(і)=/0(л)+ = + Лвіпа» и преобразуя ее таким образом, чтобы в качестве ис-

*=0

„ „ ак-ак

комых величин выступали относительные ошибки вычисления параметров дк =----------, зави-

ак

сящие от отношения X = тЦ}, получим следующую систему уравнений:

^akk\, AX "її?

& акк\к\ s aA-£)

lnrs*=J^f

■^atkt(k+\f 2Лл(і-ЗЯ3)

Ы />* (l + ^

,2

Так, для линейной модели /А/(я,а) = а*; £ = /^5^ При ®->оо £-»0, т.е. алголу2 + ео2}

ритм, получаемый на основе (11), обладает явно выраженными сглаживающими свойствами.

Рассмотренный метод оценивания параметров моделей экспериментальных зависимостей обеспечивает получение гладких, смещенных решений, т.е. обладает регуляризующими свойствами. Подтверждением эффективности метода служат результаты модельных имитаций, а также опыт эксплуатации системы автоматизации рентгеновских дифрактометров ДРОН, в состав математического обеспечения которой включены разработанные алгоритмы.

Причинно-следственные обратные задачи, для решения которых применяются математические модели, как правило, очень индивидуальны. При их решении практически невозможно воспользоваться готовым программным пакетом. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех в этой области сильно зависит как от количества и качества полученной из эксперимента информации, так и от способов ее обработки.

Решение обратных задач проводится, как правило, в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта. При этом исследованию обратной задачи предшествует исследование свойств прямой задачи. Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач. Так, с ее помощью достигнут значительный прогресс в компьютерной томографии.

В заключение следует отметить, что существующая потребность в развитии и внедрении измерительных технологий и средств, основанных на методах решения обратных задач, с одной стороны, и прогресс в теории и приложениях математического моделирования, с другой стороны, делают необходимым и возможным создание новых методов и средств экспериментальных исследований, построенных на аппроксимационных принципах.

Безусловно, аппроксимационные методы требуют более полной и структурированной априорной информации, что ограничивает их применимость случаями с достаточной степенью модельной определенности. Однако в таких ситуациях методы аппроксимации позволяют получать устойчивые, адекватные исходным данным и работоспособные решения значительно более простыми средствами, чем при использовании методов регуляризации. Привлечение априорных моделей позволяет осуществлять принципиально новые постановки задач и получать устойчивые методы решения обратных задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб.: Политехника, 2001.240 с.

2. ВасиленкоГ.И, Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов. радио, 1979.272 с.

3. Пытьее Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Фиэмаглит, 2002. 384 с.

4. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., СтепановВ.В., ЯгаяаА.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 200 с.

5. Апарцин А.С., Солодуща СВ., Таиров Э.А. Математические модели нелинейной динамики на базе рядов Воль-терра и их приложения//Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 1997. Т. 1. №2. С. 115-125.

6. Ганеев P.M. Математические модели в задачах обработки сигналов. М.: Горячая линия - Телеком, 2002. 83 с.

7. Батищев В.И. Аппроксимашюнный подход к обработке и интерпретации результатов рентгено-дифракгометрических экспериментов // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. VII Междунар. конф. Самара: Самар, науч. центр РАН. 2005. С. 197-202.

8. Лабутин С.А. Статистические модели и методы в измерительных задачах. Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2000. 120 с.

9. Самарский А. А., Михайлов АЛ. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. М.: Физмат лит, 2001.-320 с.

10. Каган А.С., Щимлянникова Л.М., У никель А.П. Применение тройной свертки в методе аппроксимации формы профилей рентгеновских дифракционных линий // Зав. лаб. 1980. №10, С. 903-906.

11. Романенко С.В., Страмберг А.Г. Классификация математических моделей аналитических сигналов в форме пиков//Журнал аналитической химии. 2000. Т. 55. №11. С. 1144-1148.

12. Страмберг А.Г., Романенко С.В., СтасюкН.В., Селиванова Е.В. Аппроксимационные математические модели аналитических сигналов. Универсальная математическая модель трех элементарных пиков в аналитической химии // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2002. Т. 45. №3. С. 97-102.

13. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов / Ф.Ф. Деяус, С.А. Махортых, М.Н. Усгинин, А.Ф. Дедус; Под. общ. рея. Ф.Ф. Дедуса. М.: Машиностроение, 1999. 357 с.

14. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996, Т. 166. №1, С, 1145-1170.

15. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование// Успехи физических наук. 2001, Т. 171. №5. С. 465-501.

Статья поступила в редакцию 13 февраля 2006 г.

УДК 57.01+577.4 Л. С. Бекасов

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КРИТЕРИИ ЭЛЕМЕНТОВ ГЕНЕТИКИ

Рассмотрены принципы переноса информации в структуре «ДНК-белок». Описаны структуры аминокислот - основных компонент белка и предложен способ их трансформации в числовую последовательность через четверичную систему. Приведен анализ полного перечня аминокислот исходя из их нуклеотидного состава и выявлены некоторые особенности, обеспечивающие точность транскрибируемых данных. Предложен системный подход формального представления длинных последовательностей нуклеотидов, учитывающий их взаимное расположение в структурных компонентах генетики на основе физических параметров, в частности молекулярный вес и энергию связанности оснований, с учетом теоретических и экспериментальных данных по организации основных структурных компонент.

Процедура раздвоения молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) - ретикацш имеет своей целью создавать идентичные копии родительской молекулы, обеспечивая тем самым генетическую непрерывность фенотипов. Ещё одна процедура, в которой участвует ДНК,

- переписывание (транскрипция) характера упорядоченности её элементарных звеньев для синтеза серии других биологических конструкций, в том числе системы рибонуклеиновых кислот (РНК); матричных (мРНК), транспортных (тРНК) и рибосомных (рРНК), которые при содействии ферментов-катализаторов в дальнейшем переводят (транслируют) закодированную в ДНК последовательность расположения нуклеиновых кислот в белки [1].

Белки - основные детерминанты фенотипа организма. Из них построены и ферментативный аппарат, обеспечивающий метаболическую, энергетическую и биосинтетическую активность всех клеток, и регуляторные элементы, координирующие эти виды активности в ответ на эндогенные и экзогенные сигналы. Они являются также основными компонентами многих структурных элементов, характеризующих морфологию клетки и опосредующих ее движение. Все организмы - это, в конечном счете, те белки, которые они сами и производят. С разработкой новых методов (например, клонирования) анализа белковых структуры было установлено, что каждый белок обладает уникальной линейной аминокислотной последовательностью. Эта последовательность, называемая первичной структурой, обусловливает характер укладки поли-пептидной цепи с образованием биологически активной трехмерной формы. Таким образом, структура белка определяется его аминокислотной последовательностью, которая, в свою очередь, кодируется генами. Доказательством этого является тот факт, что мутации в гене приводят к изменению аминокислотной последовательности соответствующего белка. Более того, последовательности мутантных участков в генах и последовательности измененных аминокислот в соответствующих белках коллинеарны, т.е. порядок их следования одинаков. Отсюда можно сделать вывод, что линейное расположение нуклеотидов в ДНК и аминокислот в белках