Аппроксимационный метод решения обратных задач идентификации динамических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Мартынов A. Back / Forward и Undo / Redo в .NET-приложениях // RSDN Magazine. - 2003. - № 2.

6. Гумеров M.M., Фридлянд A.M. Модели операции удаления примитивов редактирования в прикладных программных продуктах // Вестник УГАТУ - 2008. - Т. 11. - № 1. - С. 157-163.

7. Гумеров М., Костригин И. Некоторые проблемы реализации отмены операций в приложениях // Новые информационные технологии и системы: труды VII международной научно-технической конференции. Т. 2. -Пенза: ПГХ 2006. - С. 104-109.

АППРОКСИМАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

© Золин А.Г.*, Сатонина А.О.

Самарский государственный технический университет, г. Самара

В работе проведены исследования аппроксимационных свойств классических ортогональных полиномов при аппроксимации импульсных переходных функций.

При обработке экспериментальных данных можно выделить два основных типа задач: прямые и обратные. Обратные задачи связаны с отысканием неизвестных причин по известным следствиям. Однако, среди множества математических подходов, лежащих в основе методов обработки экспериментальных данных, можно выделить широкий класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Такие задачи называются некорректными и для решения требуют применения специальных методов регуляризации.

При решении задач идентификации линейных динамических объектов, в случае, когда объект линеен, а наблюдаемые случайные процессы стационарны и стационарно связаны, основным уравнением является интегральное уравнение Винера-Хопфа:

да

Rxy(t) = Jh(z)Ria(t -z)dz (1)

0

Данное уравнение связывает искомую импульсную переходную функцию (ИПФ) h (т) с автокорреляционной функцией (АКФ) входного сигнала

* Доцент кафедры «Информационные технологии», кандидат технических наук

Яхх (т) и взаимной корреляционной функцией (ВКФ) входного и выходного сигналов Яху А) объекта идентификации. Нахождение к (т) и является основной задачей идентификации линейных динамических объектов.

Зависимость (1) представляет собой частный случай интегрального уравнения Фредгольма I рода с разностным ядром на полуоси, решение которого является неустойчивым.

Рассмотрим известный [1] аппроксимационный подход решения уравнения (1). Запишем правую часть Яху и неизвестную ИПФ к (т) в виде аппроксимационных моделей.

т

Ку (О * Ку С, Ь) = х Ькук (0 (2)

к=0 т

к(г) ~ (%,а) = £ а^(О (3)

к=0

Подставим (2) и (3) в (1):

т т

| Кхх (г- ОХ акук (г) = £ ЬкРк С). (4)

0 к=0 к=0

Умножим левую и правую части полученного уравнения на ^ (в) и проинтегрируем их в пределах ортогональности базисных функций.

да да т т

Я<Ру(0«хх«й^Й = (0^,1 = 0,1,...,т (5)

0 0 к=0 0 к=0

Меняя местами линейные операторы интегрирования и суммирования и полагая, что фк(х) семейство ортонормированных функций, получим

т

X аСу = Ь1, 1 = 0,1,...,т (6)

I=0

где

да да

С/ = Ц-«хх (^ "*Ж (7)<Р/ (*(7)

0 0

Однако, сам факт наличия общего решения, не снимает проблем, возникающих в конкретных прикладных задачах. Прежде всего, эти проблемы связаны с обоснованием и выбором видов моделей и подходящего ортогонального или ортонормированного базиса у (х).

Рассмотрим аппроксимационные характеристики известных ортогональных базисов: Чебышева 1-го и 2-го рода, Лежандра и Лагерра. Облас-

ти ортогональности, производящие формулы и весовые функции для них приведены в табл. 1.

Таблица 1

Ортогональные полиномы

Название Область ортог. Формула Весовая ф-я

Чебышева 1 [-1; 1] Тп (г) = соз(и х агсео8(г)) , ч 1 ^¡(г) = ,-

Чебышева 2 [-1; 1] и „(г) = 1 и1(/) = 2/ ип+1(г) = 2и (г) - Ц^г) К(г) = 41 - г2

Лежандра [-1; 1] ) = 1 ) = г ) = ^ Рп (/) Р.-&) п +1 п + 1 1

Лагерра [0; ®] А,« = 1 4(0 = 1 - г 4+1« = ((2п +1 - г)Ьп (г) - пЬп_, (г) п + 1 V (г) = вх

Для данных полиномов была выполнена нормализация. Полученные ортонормированные базисы были использованы для построения аппрок-симационных моделей ИПФ. В [2] приведены корреляционные функции и соответствующие им ИПФ, наиболее часто встречающиеся на практике.

Для каждой ИПФ вычислялись модели произвольного порядка до тех пор, пока относительная среднеквадратическая погрешность, определяемая по формуле:

Г (км(0 - КГ})2 сг

А = ---г--(8)

^ I к(г)2 Сг

не становилась меньше 5 %. При аппроксимации полиномами, определенными на конечном интервале, брался интервал [0,100] и использовалась замена переменной:

2/ - а - Ь

х =-

Ь - а

где а и Ь - границы интервала.

Полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода не дали необходимого качества аппроксимации. Результаты аппроксимации полиномами Лагерра и Ле-жандра приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты аппроксимации ИПФ

№ ИПФ Порядок модели Погрешность А

Лагерра Лежандра Лагерра Лежандра

1. h(t) = K / Te-'/T 3 3 0,039055 0,0358

2. h(t) = Ce-* sin Xt 5 19 0,048765 0,0436

3. h(t) = K(1 - e~'/T ) 24 0 0,032165 0,002

4. h(t) = C(e-'/T - e/Tl) 2 15 0,042098 0,0456

5. h(t) = K (Cle't/T + C2e't/T3) 1 11 0,024307 0,047

6. h(t) = K (1 + Cle~t/T + C^-'/T3) 24 0 0,031216 0,017

7. h(t ) = KT (e -t / T -1) + Kt 26 1 0,028367 0,000

8. h(t) = K(1 + Ce-{,/T)t sin(lt + в)) 24 0 0,0316 0,0018

Таким образом, данные исследования показали, что при аппроксимации ИПФ под номерами 1, 2, 4 и 5 целесообразно использовать полиномы Лагерра. Для для ИПФ 1, 3, 6, 7, 8 более компактные модели получаются при применении полиномов Лежандра.

Список литературы:

1. Батищев В.И., Мелентьев B.C. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики. - М.: Машиностроение, 2007. - 393 с.

2. Бессонов A.A. и др. Методы и средства идентификации динамических объектов / A.A. Бессонов, Ю.В. Загашвили, A.C. Маркелов. - Л.: Энер-гоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1989. - 280 с.

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ АДАПТАЦИИ

© Кабаева О.Н.*, Пантелеев Е.Ю.*, Кузнецова C.B.4

Ковровская государственная технологическая академия им. В.А. Дегтярева,

г. Ковров

Приведены краткие характеристики методов адаптации с точки зрения возникновения погрешностей, возможных при реализации того или иного метода адаптации.

Существующие методы управления движением детали на этапе адаптации можно разделить следующим образом: метод адаптивного позици-

* Доцент кафедры «Приборостроение», кандидат технических наук.

" Доцент кафедры «Приборостроение», кандидат технических наук, доцент.

* Старший преподаватель кафедры «Приборостроение».