CC BY
14
Список литературы:
1. Тархов Д. А. Нейронные сети как средство математического моделирования. - М.: Радиотехника, 2006. - 48 с.
2. Тархов Д.А. Нейронные сети. Модели и алгоритмы. Кн. 18. - М.: Радиотехника, 2005. - 256 с.
3. Донской Д.А., Зияутдинов В.С., Слепцов Н.В., Щербаков М.А. Моделирование искусственных сетей в системе МЛТЬЛБ: учебное пособие / Под общ. ред. В.С.Зияутдинова. - Липецк, 2008. - 238 с.
ВЫБОР ОРТОГОНАЛЬНОГО БАЗИСА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ © Золин А.Г.*
Самарский государственный технический университет, г. Самара
Рассматриваются методы построения и оптимизации ортогональных базисных систем на основе обобщенного семейства дробно-рациональных функций, методы их параметрической оптимизации.
Важной составной частью технической диагностики является идентификация и определение характеристик промышленных систем и процессов. При современном состоянии автоматического управления, идентификация сложных производственных объектов представляет собой актуальную задачу.
В случае, когда объект линеен, а наблюдаемые случайные процессы стационарны и стационарно связаны, основным уравнением статистической идентификации линейных динамических объектов является интегральное уравнение Винера-Хопфа:
да
кху(0) = | {0-т)ёт (1)
0
Данное уравнение связывает искомую импульсную переходную функцию (ИПФ) w(т) с автокорреляционной функцией (АКФ) входного сигнала Яхх(т) и взаимной корреляционной функцией (ВКФ) входного и выходного сигналов Кху(в) объекта идентификации. Нахождение w(т) и является основной задачей идентификации линейных динамических объектов.
Для решения уравнения (1), запишем правую часть Кху(в) и неизвестную ИПФ w(т) в виде аппроксимационных моделей.
* Доцент кафедры «Информационные технологии»
К в) - ^ в, Ь ) = £ ЬкП (в) (2)
к=0 т
Нт) ~ ™М (т,а) = Е ^к(т) (3)
к=0
Подставим (2) и (3) в (1):
т т
| к* (т-в)Е акП(т)=Е ^(в) (4)
0
Умножим левую и правую части полученного уравнения на ф/6) и проинтегрируем их в пределах ортогональности базисных функций.
т т
11 <Р^ (в) Кхх(Т - в)Е акФк (т)Лтйв = | фJ (вУ£ Ъкфк (в)dв,} = ад..^ т (5)
к=0
Меняя местами линейные операторы интегрирования и суммирования и полагая, что фк(х) семейство ортонормированных функций, получим:
где
Е а,с,} =Ьі , і=о,і,~,т (6)
/=0
сіі = Я Кхх(т - в)% (т)<Рі (в^Шт (7)
XX
0 0
Однако, сам факт наличия общего решения, не снимает проблем, возникающих в конкретных прикладных задачах. Прежде всего, эти проблемы связаны с обоснованием и выбором видов моделей и подходящего ортогонального или ортонормированного базиса ф(х).
При выборе или разработке базисных систем для полученного решения следует учитывать дробно-рациональный характер Фурье-преобразо-вания ВКФ и ИПФ.
Рассмотрим семейство дробно-рациональных функций:
N-1 N
ЕауО®У к-і Е(- О'®)”
фк^ О®) = ІТ---------------П^----------- (8)
Елу,к0® 4=0 Елу,9 0®У
у=0 у=0
В [1] доказано, что в случае, если корни полинома:
N
ЕК,к 0'®)"’ к = 01
имеют отрицательные вещественные части, то функции:
(9)
ортогональны, причем их Фурье-преобразования - дробно-рациональные функции, что соответствует свойствам спектральной плотности мощности стационарных процессов (СП).
Рассмотрим некоторые частные случаи базиса {фк, ы( т)}. При N = 1, семейство (8) представляет собой обобщенные функции Дирихле. Уточняя параметры получим: при N = 1, А0 = 1, Л0:У = (V + 1)а - ортогональные функции Дирихле, при N = 1, А0 = (-1)к, Лу,9 = а/2 получаются ортогональные функции Лагерра.
На использовании ортогональных функций Лагерра базируется большинство известных методов и средств аппроксимационного корреляционного анализа [2, 3].
Больший интерес вызывает следующий уровень обобщения рассматриваемого класса функции при N = 2.
Фк ,2 ( ®) =
_____________П N -К'®-®
\к + Кк!® - ® 2 9=0 \д + Кщ® - ®2
А0 + Ау®
(10)
Данный класс дробно-рациональных соотношений порождает большое множество базисных систем {фк, 2(т)}, получаемое соответствующим выбором параметров А0, А1, К, К, 9. Эти функции относят к классу орто-гонализированных экспоненциальных функций [3]. Рассмотрим характерные частные случаи.
N = 2, к = а +®q, к = 2а
Ф ( ■ ) А0 +А!®
фк,2 °®) = Т-. '
^ 1
0 ® + ак )2 + ®к 9=0 0® + а» )2 +®9
(! ®-а9 )
12+®9
Фк ,2 Т)=£ 1К1 К
(АЛ - А0)2 + А12®,2 у '(а,-а^ + ( -®у)г
X е~ат 008 (®,Т + в1 у )
(11)
у=0
к-1
П [
ау+а„ + У
(-а)]
гДе А, = -
д=0
П
д=0
к
ау-ач+-ач )П( -а+-ач Я
д=у+\
а,
^ л л а, + а„
0.у = arctgA. - аг^Ау + агс^ —---------------- - аг^ -
’ а -ау А1а,■- Ао
(_)||2 = Ао + А12 («к2 + ак ) . 2 4ак ( +ак)
II Фк ,2\
Функции фк: 2(т) (11) можно представить в более компактном виде:
к
Фк,2(т) = Е В*е~а'т С05(ат+в1) (12)
где
В, =^С[+Д в, = аг^я С, ,
С = 2Е №|'уЧ* А|Ч
к=о \{а-ау) +(а+а)
,=о
1,У
(Да- Ао)2 + ДЧ2
ца-ау)2 +(а+аУ)2
Функции (12) имеют экспоненциально затухающий колебательный характер и являются обобщением ортогональных функций Дирихле.
Частный случай (12), позволяющий получить ортогонализированные экспоненциальные функции, соответствующие обобщенному виду АКФ реально осуществимых процессов [3]. При N = 2, А0 = а(1 + а3), А} = 1,
ад аЬ ац а2.
ф,, (к»)=(+4+4
(а + а )2 + а22
(а-а1)2 + а
(а + а1 )2 + а22
(13)
Поскольку для функций фк, (а) справедливо выражение:
Фк+1,2 (а) = фк,2 О'®)
1 -
у 4а1а (а + а1 )2 + а
(14)
к
то для соответствующих им во временной области функций р 2(0 можно записать рекуррентные соотношения:
(
Ро,2 00=
Рк+1,2 (7) = Рк (Г) -\Рк (и МТ - и ^ где ж(т) = 4ахе
Л
(15)
Л
V
со$а2т------- $та2т
а0
/
и / \ц2 а, + а9 + а, (1 + с)
Р ^ И = 4а( + а2 )
Предложенный подход к построению базисных систем и рассмотренные примеры показывают широкие возможности использования дробнорациональных функций в прикладном корреляционно-спектральном анализе. Однако для реализации этих возможностей необходимо решить задачу параметрической оптимизации базисных функций.
Задача оценивания коэффициентов разложения корреляционных функций в ортогональном базисе с оптимальной подстройкой параметров а1у ар
базисных функций есть частный случай общей задачи аппроксимации:
Км (г, а,а)= ЕакЯк (Г,а)
(16)
когда функции Qk(т, а) в модели составляют ортогональный базис {<2к(т а)}, к = 0, 1, ... т.е.
| Qk (,а)б,(,а)(,а)т = ■
Г 0, при к фу
(17)
о У1 &\, при к = у
Без потери общности перейдем от функций Qk(т, а) к функциям рк ( а)= Qk (т,а) ^(т,а), ортогональным с единичным весом.
С учетом этой замены и условия (17) система уравнений, определяющая алгоритм оценивания параметров модели корреляционной функции, имеет следующий вид:
ак = М
к = 0,..., т,
т т т
Еа2 - Е акьк = Е ак (ак- ьк )=0, > = 1,...,
к=0
к=0
к=0
где
Ьк,, = м
()| х( - г)Нк(а)
0
Ик(т,а)=рк(г,а)/\р2к (,а)т (20)
/ 0
Нк' (Т,а)= 2 дР^а,а)/д^{Рк2 (21)
Таким образом, параметрическая оптимизация модели, построенной на основе любой системы ортогональных функций или полиномов, может быть осуществлена в общем случае путем оценивания дополнительных коэффициентов Ьк, ,, к = 0, ..., т; / = 0, ..., р согласно (19) и выполнения условий, определяемых системой (18).
Список литературы:
1. Батищев В.И., Мелентьев В.С. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики. -М.: Машиностроение, 2007. - 393 с.
2. Батищев В.И., Волков И. И., Золин А.Г. Построение и оптимизация ортогональных базисных систем для аппроксимационного спектральнокорреляционного анализа и идентификации линейных динамических объектов // Вестник СамГТУ Сер «Технические науки». - Самара: СамГТУ 2007. - Вып 2 (20). - С. 47-52.
3. Волков И.И., Батищев В.И. Применение ортогонализированных экспоненциальных функций в аппроксимативном корреляционном анализе // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. - 1980. - Т. XXIII. - № 5. - С. 66-68.
К ВОПРОСУ НЕЧЁТКИХ ЗАПРОСОВ К РЕЛЯЦИОННЫМ БАЗАМ ДАННЫХ © Коновалов Д.П.*
Кубанский государственный технологический университет, г. Краснодар
Данные обрабатываемые в современных информационных системах зачастую имеют чёткий, числовой характер. Однако в запросах к реляционным базам данных, которые пытается формулировать пользова-
* Преподаватель кафедры Информатики
