CC BY
17
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 621.317
Ю. Н. САНКИН, С. Л. ПИРОЖКОВ
ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ОБРАБОТКИ АМПЛИТУДНО-ФАЗО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК (АФЧХ) ПРИ НАЛИЧИИ ИНТЕГРИРУЮЩИХ ЗВЕНЬЕВ В ЦЕПИ ИЗМЕРЕНИЯ
В ряде практически важных задач необходимо охарактеризовать сложную колебательную систему, когда её внутреннее строение неизвестно, ограниченным числом параметров [1, 2]. К числу подобных задач, например, относится определение параметров активных и пассивных четырёхполюсников [3] или таких колебательных систем, как автомобиль или метшиюрежущий станок.
Рассматривается математическое моделирование сложных колебательных систем. л* числу которых относятся электрические цепи с малым активным сопротивлением, содержащие ёмкости и индуктивности, а таю/се цепи с распределёнными параметрами в виде последовательности колебательных звеньев, умноженных на одно или два интегрирующих звена. Число таких звеньев может оказаться значительно меньше, чем число контуров цепи или число степеней свободы системы. Методика основана на обработке экспериментальных или теоретических АФЧХ [4, 5, б, 7, 8, 9].
Ключевые слова: передаточная функция, математические модели, колебательные звенья, амплитудо-фазочастотные характеристики.
Передаточная функция колебательной системы с относительно малым демпфированием может быть представлена в виде [5]:
-22. -* 0>
п=1-Т2п0) +.)С0Т1п+1
Этот ряд является аналогом спектрального решения Гильберта-Шмидта для самосопряжённого вполне непрерывного оператора.
Рассмотрим один член ряда (1). Определим вещественную и мнимую части:
W(jcD) = Яе \У(ю) + ) 1т \У(со).
Если нанести в комплексной плоскости точки вектора W(jco), то получим кривую (рис. 1). которая называется АФЧХ. Она начинается со значения
11в А¥(со) = к; 1т \¥(со) = 0.
Величина со„мах означает частоту, при которой вещественная часть характеристики п-го витка приобретает максимальное значение. Величина со„ - резонансная частота, при которой мнимая часть п-го витка АФЧХ приобретает максимальное по модулю значение.
По построенной АФЧХ легко находятся со„мах, со„, а также максимальная амплитуда А„ п-го витка. Постоянные времени Т}п и Т2„ и коэффициент усиления кп, находятся по следующим формулам [10]:
Т - —!— • - 1 - Г2 ГА2 - 1 _ в^тах .
12п ' т 12пшптгх 1 2 '
со„ 12п со;
Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков, 2008
м/Н
т
I - А —^
Л ~ /7
т>
2п
тох
О 1
Ке^ы))
Рис. 1. АФЧХ по перемещению [10]
Данная кривая может служить средством для исследования рассеяния энергии, а также для приближенного моделирования сложных электромеханических систем.
Пусть рассматривается механическая система. Возможны ситуации, когда АФЧХ по перемещению снимать затруднительно. В этих случаях целесообразно в качестве кинематического параметра для АФЧХ использовать скорость перемещения объекта.
Передаточная функция по скорости [5] получается умножением на множитель у СО, то
есть
-Г22 со2+7]ую + 1
(3)
со-
при этом ¡V (/со) на комплексной плоскости поворачивается на — по сравнению с 1^(уСо), и
ответствующие расстояния между началом координат и точками характеристики Ж(усо) умножаются на СО .
Постоянные времени для этого случая находятся [5]:
Г,
1 _
СО
1
СО
1тах
ъ
(4)
СО
1тах
СО
1
где С0| - частота, соответствующая максимуму вещественной характеристики АФЧХ по скорости; С0|тах- частота, соответствующая максимуму мнимой характеристики.
л *
Определив максимальную амплитуду А , находим соответствующий коэффициент усиления
к = А*ТХ. (5)
АФЧХ по скорости для колебательного контура это АФЧХ по току при 1=1 Гн; Д=0,2 Ом; С=0,5 Ф показана на рис. 2 [11].
В случае, когда используется АФЧХ по ускорению, то есть, если в качестве кинематического параметра берётся ускорение перемещения объекта [6], передаточная функция будет иметь вид
а
(усо) к
- Г22со2 + 7]/со +1
Передаточная функция W (усо) получается из И^(усо) умножением её на (усо)^. При этом
W (усо) на комплексной плоскости повёрнута на /Г по отношению к Ж(уоз) (рис. 3). Постоянные времени определят по формуле [6]:
(7)
1 2 max
где СО] - частота, соответствующая максимуму мнимой характеристики АФЧХ по ускорению; (О, тах- частота, соответствующая минимуму вещественной характеристики.
Im(WGw))
Im(W(j а))) 4
-5
0 RefWCi ш)) 6
Рис. 2. АФЧХ по току колебательного контура
о
-4 -2 0 2 4 А
Рис. 3. АФЧХ по скорости изменения тока колебательного контура
Коэффициент усиления равен
к =-. (8)
¿У,
Была решена задача определения коэффициентов усиления и постоянных времени динамических систем, представляющих собой произведение интегрирующего и колебательных звеньев, по их АФЧХ, например таких, как сложная электрическая сеть, когда её внутреннее строение неизвестно.
Это позволяет практически полностью исключать случайную помеху с нулевым средним значением, и этим самым повысить точность определения постоянных времени рассматриваемой динамической системы.
Данный способ позволяет определять коэффициенты усиления и постоянные времени динамических систем. Для этого возбуждаются колебания системы гармоническим воздействием в диапазоне её собственных частот, измеряют кинематический параметр колебаний, регистрируют амплитудно-фазовую частотную характеристику измеряемого кинематического параметра. Для каждого витка АФЧХ фиксируют характерные частоты, соответствующие экстремумам действительной и мнимой составляющих кинематического параметра, и по её частотам рассчитывают постоянные времени и коэффициенты усиления. В качестве кинематического параметра используют интеграл от выходного сигнала колебательной системы.
Получена новая формула для определения коэффициента демпфирования по экстремальным точкам АФЧХ для динамических систем, представляющих собой произведение интегрирующего и колебательных звеньев.
Передаточная функция для электромеханических колебательных систем при наличии интегрирующего усилителя в цепи измерения получается умножением РУ(у'ю) на 1/р [7]:
к
п
1
¿\Т1р2+Т1пр +1 р
(9)
ЛФЧХ для этого случая приведена на рис. 4.
Ас2
В
1.5
Ы^(уш)) 0.5
-0.5
«■» ■ НИИ
-1.5
♦ I И*
-1
-0.5
0.5
Е.е со))
1
Ас
В
Рис. 4. АФЧХ двухконтурной электрической цепи при наличии интегрирующего звена в цепи измерения
АФЧХ, представленная на рис. 5, построена по следующей формуле [7]:
м с/Н
2 10
-10
ЬО^Осо))
-3 10
•10
-3 10
10
КеО^О^))
О м с/Н
Рис. 5. АФХЧ для вертикально-фрезерного станка модели 654, при наличии интегрирующего звена в цепи измерения
Значения характерных частот равны:
СО] = 157,6 с"1 со,тах = 148,9 с"1
С02 =339,5 с"1 С02тах =321,1 с"'
©3=971,1 с"1 со3тах =923,7 с'1.
Формула для определения коэффициента демпфирования по экстремальным точкам АФЧХ для динамических систем, представляющих собой произведение интегрирующего и колебательных звеньев [7]:
Уп =
_Т\п _ |1-3(®^тах/««)6+'7(сОА7тах/сО/7)4-5(сО/7тах/с^)'
Т2п ]1 (Млтах/ЫнУ - 3(©ятах/(Оя)2
(Ю)
где С0ятах и СО^ — частоты, соответствующие экстремальным значениям мнимой и вещественной
части АФЧХ.
Коэффициенты усиления находим по формуле
Кп=-ЛпТ\п<й2п> (1])
где Ап- размер петли АФЧХ по вещественной оси.
Соответствующая передаточная функция, аппроксимирующая экспериментальную АФЧХ с весьма высокой точностью, приведена в работе [5].
Были получены формулы для определения коэффициентов усиления и постоянных времени динамических систем, представляющих собой произведение двух интегрирующих и колебательных звеньев. Это позволяет, как и в случае одного интегрирующего звена, практически полностью исключать случайную помеху с нулевым средним значением, и этим самым повысить точность определения постоянных времени динамической системы.
В качестве кинематического параметра используется двойной интеграл от выходного сигнала колебательной системы, то есть берётся передаточная функция
НР) = Е Кп 1
~ ТгпР2 + ТХпР +1 р2'
для которой постоянные времени определяются по формулам [9]:
(12)
Г, =
2д/(2 ~ ЭДяЮитах + 27^0)^тах С0„тах + лептах
]п , Дм2
,Т2п = 1/с0]„ , (13)
где СОп тах и С0Я- частоты, соответствующие экстремальным значениям мнимой и вещественной
части АФЧХ, построенной по вышеприведённой формуле 1¥(р).
АФЧХ двухконтурной электрической цепи при наличии двух интегрирующих звеньев в цепи измерения показана на рис. 6.
АФЧХ вертикально-фрезерного станка модели 654 при наличии двух интегрирующих звеньев в цепи измерения построена по формуле
\У(р) =
(
\
_3^5_
0.405 ■ 10-4 р2 + 0.647 • 1СГ3 р +1
+
-5 2
-3
+
0.87 -Юр + 0.295 • 10 р +1
+
14.5
N
0Л06-10~5р2+0Л03-10^р + 1
4-ю-10
(14)
/
р
и приведена на рис. 7.
Ас
В
о*
-0.5
М-С
-1.5
-1
"0-5 0 0.5
Ье^-ш))
Н
0,015-10
-ю
Ас
В
О
•0,02 10
ЬеО^Ош))
О -10 м
0,005 10
I
Рис. 6. АФХЧ двухконтурной электрической цепи при наличии двух интегрирующих звеньев в цепи измерения
Рис. 7. АФЧХ вертикально-фрезерного станка модели 654 при наличии двух интегрирующих
звеньев в цепи измерения
Значения характерных частот следующие:
СО! = 156,5 с"1 ®1тах = 146,7 с"1
со2 = 337,7 с-1 ш2тах = 319,4 с"1
со3 = 967,7 с"1 ш3тах = 918,1 с"1.
Коэффициенты усиления находим по формуле
К„ = ±А„Ти«>1 , (15)
где Ап - размер петли АФЧХ по мнимой оси; Кп > 0, если петля АФЧХ находится выше своей
начальной точки, Кп < 0, если петля АФЧХ лежит ниже начальной точки. Относительный коэффициент демпфирования находим по формуле
У =
тл
п
(16)
Также для получения переходного процесса может быть использовано дискретное преобразование Фурье. Результат можно получить, осуществив численное интегрирование при /=0... оо по формуле
00
1 / \ 71 л
о
Учитывая то обстоятельство, что при учёте рассеяния энергии амплитуда спектральной характеристики с увеличением частоты стремится к нулю, т. е. высокочастотные составляющие амплитуды с
ростом частоты оказывают всё меньшее влияние на функцию перемещений, можно ограничиться конкретным верхним значением частоты. Пределы частотного диапазона в некоторых случаях можно определять с помощью теоремы Котельникова. Однако в нашем случае частотный диапазон проще всего оценивается при помощи численного эксперимента и выбирается таким образом, чтобы результат решения от верхнего предела интегрирования пределах заданной точности не зависел.
Разработанные методы математического моделирования сложных электрических сетей использованы в работе [12].
Выводы. Разработан способ расчёта электромеханических систем и электрических цепей как с сосредоточенными, так и с распределёнными параметрами, позволяющий строить переходные процессы, например, в любой точке линии при любых узловых нагрузках и любом характере зависимости входного напряжения от времени, а также исследовать устойчивость их работы при наличии нелинейных элементов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Белецкий, А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей/ А. Ф. Белецкий. - М. : Связь, -1967.-608 с.
2. Климовский, В. В. Исследование виброустойчивости тяжёлых вертикально-фрезерных станков/
B. В., Климовский, В. Ф. Гришандин// СТИН. - 1977. - №5. - С. 2-14.
3. Нейман, М. Р. Теоретические основы электротехники / М. Р. Нейман, К. С. Демирчян. - М.: Энергия, Ч. 1. - 1967. - 524 е.; Ч. 2. -1967. - 408 с.
4. Санкин, Ю. Н. Переходные процессы в длинных электрических линиях со ступенчатыми характеристиками/ Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков// Электротехника. - 2000. - №6. - С. 13-16.
5. Способ определения относительных коэффициентов демпфирования механических и электромеханических систем /Санкин Ю. Н., Санкин Н. Ю. Патент № 2093808 от 20.10.97.
6. Санкин, Ю. Н. Динамика несущих систем металлорежущих станков / Ю. Н. Санкин. - М. : Машиностроение, 1986. - 96 е., ил.
7. Санкин, Ю. Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределёнными параметрами/ Ю. Н. Санкин. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1977. - 309 с.
8. Способ определения относительных коэффициентов демпфирования механических и электромеханических колебательных систем по ускорению/ Санкин Ю. Н., Санкин Н. Ю. Патент №2108502 РФ, МКИ в¥\6¥ 15/00, в 01 М 7/02.
9. Способ определения постоянных времени механических и электромеханических колебательных систем при наличии интегрирующего усилителя в цепи измерения/ Санкин Ю. Н., Пирожков С. Л. Патент №2152603, МКИ 7 в 01 М 7/02.
10. Способ расчёта переходных процессов в сложных электрических цепях с распределёнными параметрами/ Санкин Ю. Н., Пирожков С. Л. Патент № 2159938, МКИ7 7 О 01 Я 27/00.
11. Способ определения постоянных времени механических и электромеханических колебательных систем при наличии двух интегрирующих усилителей в цепи измерения/ Санкин Ю. Н., Пирожков
C. Л. Патент №2163361, МКИ7 7 в 01 М 7/02.
12. Санкин, Ю. Н. Лекции по теоретической механике/ Ю. Н. Санкин. Ч. 1. - Ульяновск : УлГТУ, 2003.-119 е., 4.2. - Ульяновск : УлГТУ, 2004. - 267 с.
13. Санкин, Ю. Н. Спектральный метод анализа сложных электрических цепей. Электрические системы и комплексы : Межвузовский сб. науч. тр. / Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков; под ред. А. С. Ка-рандаева. - Магнитогорск : МГТУ, 1998. Вып. 4. - С. 163-168.
14. Санкин, Ю. Н. Динамика разветвлённых электрических сетей/ Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Математическая. - 2007. -№1(5)-С. 101-109.
о©®©©©®©©©®®®®
Санкин Юрий Николаевич, д-р техн. наук, профессор, действительный член Российской академии инженерных наук и Академии нелинейных наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.
Пирожков Станислав Леонидович, кандидат технических наук.
