Мехатроника виброзащитных систем. Особенности структурных преобразований Текст научной статьи по специальности «Физика»

Димов А. В., Насников Д. Н. УДК 621.01

МЕХАТРОНИКА ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ. ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Сравнительный обзор в области теоретических разработок и экспериментальных исследований ВЗС показывает, что элементная база набора типовых элементов механических колебательных систем расширяется. В состав набора типовых элементов виброзащитных систем (ВЗС) вводятся рычажные механизмы, которые реализуют функции изменения величины сигналов на входе и выходе звеньев, а также могут изменить направления скорости сигнала (то есть изменяют направление движения сигнала на выходе по отношению ко входу). При этом рычаг не обязательно должен принимать форму невесомого стержня. Рычаг может обладать массой и иметь форму плоской фигуры (треугольник, многоугольник и т.д.) [1].

Развитие структурной теории ВЗС оказывается удобным подходом, который мог бы объединить идеи цифрового управления с представлениями о типовых активных элементах, имеющих передаточные функции элементарного вида. В структурных подходах используются, в качестве графического аналога системы дифференциальных уравнений движения ВЗС в установившемся режиме, эквивалентные в динамическом отношении системы автоматического управления (САУ). Передаточные функции ВЗС в этом случае определяются на основе обычных правил преобразования, используемых в теории автоматического управления (ТАУ). Однако, реализация некоторых приложений концепции введения дополнительных связей [2^5], требует учета некоторых особенностей.

Во-первых, структурная схема ВЗС строится на основе предварительно полученных дифференциальных уравнений движения, для составления которых используются принцип Даламбера или формализм Лагранжа. Поэтому существующие в структурной схеме связи имеют конкретное физическое содержание, а точки приложения силовых или кинематических возмущений на расчетной схеме соотносятся с соответствующими точками на базовых элементах структурной схемы ВЗС.

Базовый элемент имеет вид звена с передаточной

функцией Ж = —-. Входом такого звена являет-тр

ся сила, а выходом - смещение. Все остальные звенья структурной схема ВЗС за исключением единичной обратной связи, [2] являются элементарными типовыми звеньями, входом которого является смещение, а выходом - сила.

Во-вторых, типовые элементарные звенья, в силу вышеприведенных свойств, имеют различные передаточные функции, но все они, по-существу, являются различными пружинами, то есть все элементарные звенья ВЗС принадлежат одному классу - классу пружин.

Обычный упругий элемент представляет собой элементарное звено с передаточной функцией усилительного звена. Существуют и другие виды элементарных звеньев, о чем будут в дальнейшем приведены соответствующие сведения.

В-третьих, в рамках структурной теории ВЗС дополнительные связи вводятся в структурную схему ВЗС, только как параллельные цепи, к упругому элементу базовой модели ВЗС. Таким образом, по определению, дополнительная цепь является «пружиной». Поэтому приведенная жесткость определяется, а обобщенная пружина формируется (как физическая сущность дополнительной связи) на основе правил параллельного и последовательного соединение пружин. За пределами упомянутого обстоятельства структурные схемы ВЗС и САУ подчиняются одним и тем же правилам структурных преобразований.

В-четвертых, типовые элементарные звенья ВЗС состоят из элементарных звеньев, которые не могут быть упрощены. Все другие звенья представляют собой результат сборки [2].

Типовые звенья САУ имеют совсем другой вид и формируются на основе представлений о возможности записи сложной передаточной функции, дробно-рационального вида как результат некоторого перемножения передаточных функций элементарных (типовых) звеньев САУ [6].

Рис. 1. Базовая модель ВЗС (а) и ее структурная схема (б)

Приведенные отличия связаны с тем обстоятельством, что структурные схемы ВЗС связаны с формализованными методами составления дифференциальных движений. Тогда как структурные схемы САУ основаны на более сложных приемах (в том числе эвристических) составления математических моделей. При этом часть уравнений отражает физические особенности построения систем, наличие тех или иных технических средств сбора, передачи и обработки информации о динамическом состоянии объекта [7].

Мехатроника ВЗС. Основой виброзащитной системы является механическая колебательная система. Ее простейшая форма - это объект массой (т) и упругий элемент (к) . Такую систему

можно назвать базовой моделью. Ей соответствует эквивалентная в динамическом отношении система автоматического регулирования (Рис. 1а, б).

Структурная схема дает представление о месте и роли упругого элемента, на вход которого подается смещение (у) . Выходом звена с передаточной функцией Щ = к является сила. Эта сила подается на вход второго звена с передаточной

функцией Щ = —. Выходным сигналом являет-

тр

ся смещение (у) . В такой системе минимальной сложности звено Щ = к создает силу упругого взаимодействия. С позиции теории автоматического управления (ТАУ) упомянутое звено называется усилителем. Второе звено является интегрирующим звеном второго порядка и упругую силу «трансформирует» в смещение. Обе схемы на рис. 1а,б соответствуют одним и тем же дифференциальным уравнением ту + ку = кг + Р(г). (1)

Структурная схема на рис. 1б является графической формой отображения дифференциального

уравнения (1). Получение уравнения (1) может быть реализовано на основе принципа Даламбера или путем использования уравнения Лагранжа. Для нас важным обстоятельством является выбор в базовой модели «ключевого» элемента - это объект массой т . Точнее - «ключевым» элементом является материальной точкой массой т , относительно которой составляется уравнение кинетостатики. Упругий элемент с коэффициентом жесткости к является таким образом элементарным звеном.

Усложнение ВЗС может идти через параллельное введение к упругому элементу дополнительной цепи, передаточная функция которой может быть представлена в виде дробно-рационального выражения

Щдоп (р ) =

ао +ахр + ... + апр Ь()+Ь1Р + ... + Ьтрт

(2)

где т, п - целые числа (п < т); а , ^ - коэффициенты, определяемые конструктивными особенностями ВЗС, г = 1, п, ] = 1, т .

Дополнительная цепь с передаточной функцией Щоя (р) является дополнительной обратной

связью, вводимой в структурную схему (Рис. 1б). В этом случае можно использовать известные в ТАУ принципы введения управления по абсолютному, относительному отклонениям, а также по внешнему возмущению (Рис. 2а,б).

Если принять, что Щ = к , а Щ = к2, то на рис. 2б можно увидеть форму физической реализации таких связей - это пружины, которые вводятся между объектом защиты и основанием: подвижным и неподвижным. Что касается введения связи по возмущению (Щ), то ее реализация требует построения специальной цепи, состоящей из ряда звеньев; эту связь можно показать в структуре передаточной функции ВЗС

Рис. 2. Виды дополнительных связей на структурной (а) и расчетной (б) схемах

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Ж = У = -

к + Ж + Ж

-7 (3)

г тр + к + Ж + Ж

Если система имеет несколько степеней свободы, то структурная схема ВЗС будет состоять из парциальных систем, имеющих каждая одну степень свободы, но эти системы будут соединяться между собой через упругие звенья. Последнее реализует в системе принцип - «действие равно противодействию». Построение структурных схем может вестись непосредственно по расчетной схеме. Однако предварительное составление дифференциальных уравнений движения может оказаться полезным. В частности матрицы коэффициентов системы уравнений обладают определенными свойствами симметрии, что позволяет контролировать правильность составления уравнений ВЗС.

Различные виды дополнительных связей, рассмотренные выше, по-существу, являются обобщенными пружинами, поскольку входом для них является координата объекта (или его смещение), выходом является усиление. Точка А (Рис. 2а) представляет собой «сумматор», в котором сумма всех приложенных сил равна нулю (в соответствии с принципом Даламбера).

Число элементарных звеньев может быть расширено, и оно не ограничивается только пружинами, как было показано в работе [8]. Если под элементарным звеном понимать звено, передаточная функция, которого не может быть получена путем простейших преобразований, то к числу элементарных звеньев можно было бы отнести: звенья одинарного и двойного дифференцирования, одинарного и двойного интегрирования. Будем полагать, что из таких элементарных звеньев, составляющих расширенную элементарную базу ВЗС, можно будет получать другие типовые звенья, но они уже будут звеньями второго уровня поскольку будут состоять из упомянутых элементарных звеньев. В этом смысле типовые звенья в ТАУ, за несколькими исключениями, являются звеньями второго уровня с позиции структурной теории ВЗС. Таким образом набор элементарных звеньев ВЗС в первом приближении состоит из пяти элементов:

• упругий элемент (или звено) с передаточной функцией Ж = к ;

• дифференцирующее звено первого рода (или порядка) с передаточной функцией Ж = Ар;

• дифференцирующее звено второго порядка Ж = Ар2;

А

• интегрирующее звено первого порядка Ж = —;

Р

• интегрирующее звено второго порядка Ж = —7;

Р

• как особый случай можно рассмотреть звено чистого запаздывания Ж = Ав~ар.

Отметим, что все передаточные функции элементарных звеньев могут быть получены из выражения (2) при соответствующем выборе значений коэффициентов. Упругий элемент имеет

а

передаточную функцию Ж = к = —; дифференци-

К

пг л а Р рующее звено первого порядка - Ж = Ар = —;

К

дифференцирующее звено второго порядка -

Ж = Ар2 =

а2 Р К

; интегрирующее звено первого

тжг А а0

порядка - Ж = — = — ; интегрирующее звено

р V

«г А а0 второго порядка - Ж = ~~г =

и т.д.

р2 ър

Можно было бы расширить элементную базу и дополнить ее другими элементами, предлагаемый подход формально это позволяет. Вопрос в другом - имеются ли физически реализуемые формы таких звеньев. В настоящее время на практике известны пружины, демпфера вязкого трения ( Ар ), устройства с преобразованием движения (

Ар2) [9]. Отметим, что на предварительном этапе рассмотрения представляется целесообразным оценить возможности так называемых пассивных виброзащитных средств. Такие средства не используют внешние источники энергии. Если виброзащитная система использует источники энергии, то это связано с построением достаточно сложных цепей, включающих в свой состав измерительные, усилительные, корректирующие звенья и др. Такая система называется активной ВЗС (АВЗС) и представляет собой, по-существу, систему автоматического управления [10].

В теории автоматического управления также используются типовые звенья. Однако, выбор типовых звеньев основан на других подходах. В частности, передаточная функция всей системы, рассматривается как результат некоторых преобразований, которые позволяют передаточную функцию системы рассматривать как результат последовательного и параллельного соединения типовых звеньев [6].

Учетом такого обстоятельства определяются различия в методах динамического синтеза ВЗС и САУ, хотя они и имеют общую основу. Уточним

еще одно обстоятельство, которое связано с тем, что вводимая дополнительная связь (дополнительная цепь), по-существу, является обобщенной пружиной и состоит из элементарных звеньев, каждое из которых является своеобразной пружиной: на входе смещение - на выходе сила. Во всех остальных случаях САУ и ВЗС подчиняются общим правилам структурных преобразований [2].

Детализация представлений об элементарных звеньях

1. Упругий элемент - пружина с передаточной функцией Щ = к имеет следующие частотные характеристики:

• вещественная частотная характеристика Ц = к,

• мнимая частотная характеристика V = 0,

• фазовая частотная характеристика (Р1 = 0, атсгр = 0 ,

• амплитудно-частотная характеристика

А =к,

• амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) представляет собой вектор лежащий на оси 0V и имеющий длину к (от частоты не зависит), как показано на рис. 3.

аг^р2 (а) = да, р2 (а) = —, А (а) = ^(Аа)2 = Аа.

вектора зависит от частоты а, сдвиг по фазе со-

—

ставляет — .

2

Рис. 4. АФЧХ дифференцирующего звена первого порядка

Дифференцирующее звено первого порядка в ТАУ называется чаще всего [6] дифференцирующим звеном.

3. Дифференцирующее звено второго порядка имеет передаточную функцию Щ = Ар и частотные характеристики Щ (]а>) = -Аа2, V (а) = 0, Ц (а) = -Аа2, р^(а} = аг(0) = 0, А3(а) = Аа2.

На рис. 5 показано, что вектор АФЧХ расположен на оси 0и и имеет отрицательное направление. Величина вектора зависит от квадрата частоты а .

Рис. 3. АФЧХ упругого элемента

Упругий элемент с передаточной функцией Щ = к соответствует в ТАУ [6] пропорциональному звену. Элементарные звенья могут иметь различные формы физической реализации. Упругий элемент - пружину - широко распространенный элемент ВЗС и обычно представлен винтовыми пружинами, листовые рессоры и т.д.

2. Демпфер вязкого трения состоит из нескольких деталей (поршень, цилиндр), то есть используется механизм. Дифференцирующее звено первого порядка имеет передаточную функцию Щ = Ар и частотные характеристики:

Щ (]а) = ]Аа, V (а) = Аа, Ц (а) = 0,

На рис. 4 показано, что АФЧХ имеет вид вектора, расположенного на оси 0]'¥. Величина

Рис. 5. АФЧХ дифференцирующего звена второго порядка

Звено двойного дифференцирования обычно в ТАУ не рассматривается. Вместо этого рассматривают форсирующие звенья второго порядка, однако передаточная функция такого звена имеет другой вид [6]: Щ(р) = к(Т2р2 + 2%Тр +1) (0<£< 1) .

В рамках предлагаемого подхода такое форсирующее звено представляет собой параллельное соединение трех звеньев: пропорционального звена Щ (р) = к, дифференцирующего звена первого

порядка - Щ (р) = Ар и дифференцирующего

звена второго порядка Щ = Ар2 . Таким образом форсирующее звено (типовое звено в ТАУ) является в механике ВЗС звеном второго уровня, собираемым по определенным правилам из элементарных звеньев.

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Рис. 6. АФЧХ интегрирующего звена первого порядка

4. Интегрирующее звено первого порядка

А

имеет передаточную функцию Ж = -

и частот-

Р

ные

характеристики:

ж (]я)=А=-]-,

]а а

Г4 (а) = -А, и4 (а) = 0, % (а) = -^-, А4 (а) = А. а 2 а

На рис. 6 показано АФЧХ интегрирующего звена первого порядка. Вектор АФЧХ имеет отрицательное направление, а его величина зависит от а таким образом, что при малых а его величина имеет большие значение, а с увеличением а -модуль вектора уменьшается (то есть имеет место гиперболическое зависимость).

5. Интегрирующее звено второго порядка

А

имеет передаточную функцию вида Ж = —7 и

р

частотные

характеристики: Ж ( J®) = ~

A

ю

V5 (ю) = 0, U5 (ю) = -

A

ю

tg% = 0, (Р5 (ю) = 0,

A5 (ю) =

A

ю

2 '

На рис. 7 показана АФЧХ интегрирующего звена второго порядка. Вектор ориентирован в отрицательном направлении по оси 0и, а его величина обратно пропорциональна квадрату частоты а.

Пограничный случай. Звено чистого запаздывания с передаточной функцией Ж = Ав~ар за-

нимает особое место в числе элементарных звень-

ев. Это связано с тем, что передаточная функция элементарного звена чистого запаздывания не может быть получена путем упрощения выражения (2). Запаздывание проявляется в том, что при изменении входного воздействия (смещения) выходная величина (сила) начинает изменяться не сразу, а спустя некоторый промежуток времени (а), называемый временем чистого или транспортного запаздывания [6]. Частотные характеристики звена чистого запаздывания имеют вид:

Ж(j®) = Ae-Ja = A(cosаю-jsinаю); V (ю^-Asinаю ; U6 (ю) = Acosаю ; A (ю) = A; р6 (ю) = -аю ; tgp (ю) = -tgaю. Это звено без искажения (при A=1) воспроизводит на выходе входную амплитуду как идеальное статическое звено [11], но с той разницей, что выходная величина запаздывает относительно входной на постоянное время.

Использование передаточной функции элементарного звена чистого запаздывания в различных ситуациях образование звеньев второго уровня не вызывает особых сложностей, однако получаемые частотные уравнения включают экспоненциальные члены, что создает при поиске решений определенные трудности. Поэтому часто звено чистого запаздывания заменяют его упрощением в виде апериодического звена [2]. В этом случае вводимое как упрощенное элементарное звено, как таковое, отличающееся тем, что оно не разделяется на составные части, выпадает из общей схемы рассмотрения. Отметим, что апериодическое звено не является в мехатронике ВЗС, элементарным звеном и представляет собой последовательное соединение упругого элемента (пропорциональное звено) и интегрирующего звена первого порядка w _ к • A/p _ Ак 6 к + AР кр + A Таким образом, звено чистого запаздывания, с одной стороны, может рассматриваться как звено элементарное. С другой стороны, его первое приближение является звеном второго уровня, состоящим из выше рассмотренных элементарных типовых звеньев.

Хотелось бы отметить, что появление специфичных задач виброзащита может привести к расширению числа элементарных звеньев. Вопрос заключается в возможностях их физической реализации. В настоящее время известные различные формы физической реализации пропорционального звена, а также элементарных дифференцирующих звеньев первого и второго порядков. Эти звенья могут быть отнесены к группе, так называемых пассивных средств, поскольку они могут ра-

ботать без использования энергии внешних источников. Звенья интегрирующего типа имеют более сложную природу, что связано с использованием внешних источников энергии и появлением более сложной структуры самого звена. Последнее в ме-хатронике ВЗС связано с использованием активных элементов [2,10].

В теории автоматического управления [6,11,13,14] также используется типовые элементарные звенья. Произвольный полином можно разложить на простые множители [6], то передаточную функцию системы (звена), представленную выражением (2) , всегда можно записать в виде произведения простых множителей и дробей вида

k, p,—,Tp ± 1,—1—, F р Tp ± 1

T2р2 ± 2T +1,

1

(4)

T2р2 ± 2T +1

Напомним, что к в ТАУ называется передаточным коэффициентом, Т - постоянной времени и 0 < ^ < 1) - коэффициентом демпфирования. С выше приведенных позиций в понимании элементарных звеньев в (4) можно увидеть, что к, р,—

р

являются элементарными, а остальные могут быть получены путем использования правил последовательных и параллельных соединений, как это принять в теории автоматического управления [6]. Схема соотношения правил преобразования показано на рис. 8. Хотелось бы отметить существенную особенность мехатроники ВЗС. Она связана с тем, что дополнительная связь или дополнительная цепь имеет размерность звена, на входе которого имеется смещение, а выходом является сила. То есть мы рассматриваем, по-существу, механическую цепь, состоящую из однотипных элементов. Таких элементов пять, но к ним на таких же условиях может быть добавлено при определенных условиях звено чистого запаздывания. Такие ВЗС элементы являются дуальными элементами и соединяются между собой для образования более сложных структур по правилам последовательного и параллельного сложения пружин [15,16].

Передаточная функция (2) в нашем случае относится к дополнительной механической цепи, вводимой определенным образом в структурную схему эквивалентной в динамическом отношении САУ. Сложность этой цепи предопределяет структуру, число элементарных звеньев и правила их коммутации.

При рассмотрении САУ, как таковой, определяется передаточная функция ВЗС в целом, что

приводит к появлению выражения, имеющему, в общем случае, такой же тип, что и выражение (2). Но в двух случаях, эти выражения при всей внешней схожести, имеют разный физический смысл. Подчеркнем, что элементарная база ВЗС формируется в рамках дополнительной механической цепи. В свою очередь, элементная база САУ формируется для всей системы в целом. Элементная база ВЗС состоит из дуальных элементов вполне определенной размерности - все элементы имеют вход - смещение и выход - силу, то есть каждый элемент является элементарной пружиной, но со своими зависимостями от частоты и т.д.

При рассмотрении передаточной функции САУ в целом и ВЗС, в частности, типовые элементы предлагаемые в ТАУ не несут в себе ограничений, которые налагаются в дуальных механических цепей. При рассмотрении сложных механических колебательных систем определяются передаточные соответствующие функции и используются общеизвестные правила структурных преобразований. При формировании дополнительных обратных связей и дополнительных механических цепей в рамках структурной теории ВЗС, составляющей основу мехатроники ВЗС, имеются некоторые особенности в правилах построения структур, что не противоречит законам механики и теории автоматического управления.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Елисеев С. В., Упырь Р. Ю. Рычажные механизмы в системах балочного типа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 1 (17). С. 23-33.

2. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хо-менко А. П., Засядко А. А. Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та. 2008. 523с.

3. Кузнецов Н. К. Методы снижения динамических ошибок управляемых машин с упругими звеньями на основе концепции дополнительных связей : автореф. дис. ... док. техн. наук / ИрГУПС. Иркутск, 2006. 32 с.

4. Лукьянов А. В. Методы и средства управления по состоянию технических систем переменной структуры : дис. ... докт. техн. наук. Иркутск : ИрГУПС, 2002. 391 с.

5. Елисеев С. В., Кузнецов Н. К., Лукьянов А. В. Упругие колебания роботов. Новосибирск.: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 312 с.

6. Ким. Теория автоматического управления. М. : Физматлит, 2003. Т. 1 : Линейные системы. 288 с. ISBN - 5-9221-0379-2.

Базовая модель Передаточная функция дополнительной связи ВЗС:

Ь„+Ь,р + ... + Ьг,р-£

Элементарные звенья ВЗС:

Ж = к = — - упругое звено ъ0 а р

Ж = Ар = - дифференцирующее звено первого порядка ъ0

2 а р ^

Ж3 = Ар2 = —--дифференцирующее звено второго порядка

ъ0

«г А а0

Ж = — = —0— интегрирующее звено первого порядка

р V

«г А а0

Ж = —- = —- интегрирующее звено второго порядка

р Ъ2 р

Ж = У =-

К + Ж

0 доп.отн.

тр +Ж +Ж й

01 доп.отн. доп.абс.

е л с о п

о г о н ь л е л

ля раа яин па нен

и

д

е о с

Передаточная функция САУ:

Ж =

а0+а1Р + ... + апР

н и

ж

у

р п

Ж = П

ь'+ь;р+...+ь'арт

к ■ р (Тр ± 1)-(г У ± 2#Тр +1) р (Тр ± 1у(т 2р2 ± 2#Тр +1)

а л и

в ао

рг п ог

оп ьн п л ее

ие теа

в

о

д

Элементарные звенья САУ:

к, р, —, Тр ± 1, —1—, р Тр ± 1

Т2р2 ± 2#Тр +1, 1

а в о

з

а р

б о

е реП

Т2р2 ± 2#Тр +1

#(0 <#< 1).

Общие правила преобразования САУ

г

к

Рис. 8. Схема, поясняющая взаимосвязь между правилами преобразования в дополнительной цепи обратной связи и в структурной схеме САУ

7. Гальперин И. Н. Автоматика как односторонняя механика. М. : Машиностроение, 1964. 248 с.

8. Насников Д. Н., Логунов А. С. Типовые звенья в структурных интерпретациях механических колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2006. № 6 (12). С. 46-58.

9. Елисеев С. В., Волков Л. Н., Кухаренко В. П. Динамика механических систем с дополнительными связями. Новосибирск. Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 214 с.

10. Коловский М. З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М. : Наука, 1976. 320 с.

11. Юревич Е. И. Теория автоматического управления : учеб. для втузов. Л. : Энергия, 1969. 375 с.

12. Логунов А. С. Колебательные структуры с элементами запаздывания // Проблемы механики современных машин : материалы четвертой междунар. конф. / ВСГТУ. Улан-Удэ. 2009. Т. 1. С. 272-279.

13. Иващенко И. И. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. М. : Машиностроение, 1993. 632 с.

14. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Ч.1. [М.] : Энегрия. 1965. 468 с.

15. Дружинский И. А. Механические цепи. М. : Машиностроение, 1977. 238 с.

16. Димов А. В. Моделирование и динамические процессы в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов : авто-реф. дис. ... канд. техн. наук. Иркутск. Ир-ГУПС, 2006. 24 с