Случайные колебания сложной электромеханической системы при слабом демпфировании Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Валеев. С. Г. Программная реализация Д РМ-подхода для обработки и a i !ал иза временных рядов / С. Г. Валеев, С. В. Куркииа // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. -2006. - № 5. - С. 10-21.

3. Валеев, С. Г. Смешанные процессы авторегрессии и скользящего среднего для обработки временных рядов / С. Г. Валеев, Ю. Е. Кувайскова // Вестник УлГТУ. - 2006. - №4. -С. 37-41 .

4. Валеев, С. Г. Использование ARCH-структур и фильтра Калмаиа для моделирования динамики технико-экономических показателей / С. Г. Валеев. 10. Е. Кувайскова // Вестник УлГТУ. - 2007. - №2. - С. 29-33.

5. Валеев, С. Г. Адаптация пакета АС ДРМ к решению экономических и производственных задач / С. Г. Валеев, 10. Е. Кувайскова // Вопросы

современной н ау к и и п ра кти к и. У н и ве рс и 1 с I им. В. И. Вернадского. - 2008. -№2(12). С. 60-63.

ОООООФЭООООФЭООООООО

Валеев Султан Галимзяноаич, доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области астрометрии и небесной механики, математической статистики и разработки информационных технологий.

Кувайскова Юлия Евгеньевна, аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика» УлПУ. Имеет публикации в области математического моделирования и разработки инф орма ц ион 11 ых техи о л о г и й.

УДК 519.21

Ю. Н. САНКИН, С. Л. ПИРОЖКОВ

СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ СЛАБОМ ДЕМПФИРОВАНИИ

В практике расчёта современных динамических систем интенсивно используются статистические методы. Применение статистических методов и методов теории случайных функций, позволяет рассчитывать системы так, чтобы она не только успешно противостояла помехам, но и успешно работала при наличии спектра возможных воздействий, которые возникают в реальных условиях работы системы. Сказанное, прежде всего, относится к оценке работы электрических сетей. электропривода, а также металлообрабатывающего оборудования и наземных транспортных средств. Динамические характеристики вышеуказанных объектов часто моделируются в виде суммы колебательных звеньев. В связи с этим в данной работе рассматривается задача о случайных колебаниях системы при действии стационарного случайного процесса, передаточная функция которой моделируется в виде суммы колебательных звеньев, умноженных на форсирующее звено, причём форсирующее звено может, в принципе, и отсутствовать.

Ключевые слова: автокорреляционные функции, среднеквадратичные отклонения.

Поведение колебательной системы второго порядка при случайных возмущениях хорошо изучено [ I ]. Однако существуют системы, где существенно проявляют себя несколько степеней свободы. К таковым относятся, например, буровые установки, металлорежущие станки, электрические линии.

При исследовании поведения колебательных объектов при случайных возмущениях обычно интересуются среднеквадратичными отклонениями [1, 2, 3, 4]. Для вычисления среднеквадратичных отклонений необходимо знать соответствующие корреляционные функции. В предлагаемой работе осуществляется вычисление корреляционной функции сложной электромеханической системы, передаточные функции которой могут быть представлены в виде суммы колебательных звеньев.

Дифференциальное уравнение сложной электромеханической системы при случайном возмущении в матричном виде

тх + Ьх.+ сх = /(/),

€> Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков, 2008

где /77 - матрица масс и индуктивностей; Ь- матрица рассеяния энергии и сопротивлений: С матрица жест к остей системы и ёмкостных сопротивлений; х- вектор перемещений и зарядов; / (/)

вектор возмущающих воздействий.

Решая задачу о вынужденных колебаниях, строим АФЧХ. Для этого. полагая / (/) = ке1^1, х = Хе '()1, решаем систему уравнений:

(- /я СО 2 + у©6 + с)Х - к , (I)

где Х- вектор амплитуд. Формально решение системы (I), если Ь — ОС | /7? + СХ+ Ь\, 1де Ь| « Ь , можно записать в виде

X - (- /770)2 + Ую6 + с)ГЧ * X -, ? "----,

п=]-Т{п ю - + Г1яуа) + 1

где число степеней свободы электромеханической системы. Величина

п=\Т2пР +Т\пР+ 1 представляет собой передаточную функцию системы.

Преимуществом записи (2) является то, что не все члены под знаком суммы равноправны. В выражении (2) реально проявляется не более трёх-четырёх членов.

Если известна передаточная функция интересующего элемента электромеханической системы и спектральная плотность б'Дсо) случайного входного воздействия, тогда для спектральной плотности перемещения или заряда получим следующее выражение:

5хс=ИУ<й)Ч(со), <4>

где

0 4 с1 I к

~ " 2 .2 Г „ .Л т2 2

о а а

пм = 11

т

(5)

Т2п(0 + уТ,„со + Т2тсо - уТ1шсо +1

Рассмотрим определение корреляционной функции стационарных случайных колебаний сложной электромеханической системы. Пусть колебания некоторого элемента описываются линейным дифференциальным уравнением [1]:

О, (/>)"• <6>

где р- оператор дифференцирования; ^ = случайное возмущение, обладающее свойствами

белого шума;

= + (7)

Коэффициенты многочленов (7) и (8) постоянны, при этом с1 < 5. Согласно общей формуле спектральная плотность выходного сигнала будет

-2С

& о®} ~

где с - спектральная плотность входного сигнала, обладающего свойством белого шума, для которого в диапазоне частот, существенном для рассматриваемой динамической системы, можно считать с~соп,ч1.

Автокорреляционная функция Кхх(т) находится как обратное преобразование Фурье:

00

2 я

-ОС

рЛМ

а 0<°}

9

?

б/со,

(10)

где Т- интервал времени, разделяющий произвольные моменты времени наблюдения случайного процесса.

Интеграл (10) вычисляется в конечном виде с помощью теоремы вычетов.

Найдем корни характеристического уравнения:

аМ=о.

Обозначим их А,], А^,..., . Тогда знаменатель в формуле (9) можно представить в виде:

в* О®)2 = П (- К + С -7®)= К* ОК (- 7со),

(И)

(12)

/77 = 1

.V

где Я, (у СО) - П (" К + ^ (- У СО

/?? = 1 т=1

г'со)= П(-С-7'со); С-

комплексное сопряженное

Так как рассматривается устойчивая система, то вещественная часть всех корней Xт — отрицательные. Поэтому многочлен ^Д^) комплексного переменного г будет иметь корни в левой

полуплоскости, а многочлен

в правой полуплоскости.

Вместо интеграла (10) рассмотрим интеграл от функции комплексного переменного 2:

У

2ту

; \е" *,

I

Г о 9

\ / г X

(13)

где полином от г, полученный заменой у СО на 2.

Контур Ь состоит из отрезка мнимой оси, замкнутого полуокружностью радиуса Г, расположенного в левой

полуплоскости (рис. 1). Так как 7?хх:(т) = Яхх (—т) для

вещественного процесса, то достаточно рассмотреть Т одного знака.

Пусть Т>0.

Рис. I. Комплексная полуплоскость

В левой полуплоскости при X < О, £ЛТ меньше единицы, а модуль дроби

¡ФШ-г)

при

росте

стремиться к нулю не медленнее, чем 1/2 . Тогда при Г —> со часть интеграла (13) по

окружности будет стремиться к нулю, а сам интеграл (13) будет стремиться к интеграл}- (10). Поскольку под знаком интеграла (13) находится аналитическая функция комплексной переменной г.

то сам интеграл равен сумме вычетов относительно полюсов этой функции, лежащих в левой

полуплоскости, умноженных на 271/ . Так как корнями знаменателя, являющимися этими полюсами, будут корни полинома ЛДг), то для нахождения вычета С соответствующего ///-чу полюсу.

тегрируемую функцию на (г — Хт ) и положить затем 2 = Хт . Тогда для

достаточно умножить ин Т > 0 получим:

Хт\

рЛК)РЛ-К)

п (К-ЬШ-К)

(14)

/=1 / * т

Здесь учтено, что б/г = /¿/СО. Для нахождения Яхх(х} при Т<0 берём вместо (14) его комплексное сопряжённое значение и меняем знак Т .

Для нахождения дисперсии полагаем в (14) 1 = 0. Тогда:

)-с± /^Ш . (|5)

/=1

Формулы (14) и (15) применимы, если спектральная плотность входного воздействия отличается от белого шума.

Рассмотрим колебательную систему с двумя степенями свободы, передаточная функция которой:

г(Р)=

к

1

+

к

-Т22[Р2+]ТиР + \ Т22р2+]Т2]р + \

(- Т^со2 + уТ, + Г2>2 - ]ТХ ,со +1

+

кЛ2

(- Г22,со2 + ]ТХ ,(0 +1)(- Г22со2 - уТ]2со +1)

+

+

к^ к'

(- 7£о2 + ]Т21<о + \1-Т&2-]Ти<о + 0 +

+

_к^_

г Г22 О)2 + уТ21© + Ц- Т22 со2 - уТ21со +1

+

(16)

Характеристические уравнения имеют вид:

?

Аг + 2пл\ + <л)\ = О, А2 + 2/72Х + 0)2 = О-

Корпи этих характеристических уравнений:

= -/7, ± 7со,,

^3.4 = ~п2 ± 7 \/а)2

9

}Ь

~ = ~/70 ± /СО9

Составляющие автокорреляционной функция для перекрестных членов выражения (16) имеют

вид:

1

(«1 - + п2 + М ХЛ1 - М + «2 - М)

+

+ е

1

+ е

{-"2 +)<*ЛГ

- 2 у ¿у, (/?, + у ¿у, + п2 + у&>2 ХЛ1 + + ~ М)

___1___

2(п2 - ]0)2 + /7| + у ¿У, ){п2 - ]СОг + пх- ¡со,)

+

+

+ е

1

- 2у'<У2 (п2 + ](02 + /7, + У ¿У, Х«2 + ]°)2 + П\ ~ JC0\)\

Рассмотрим первые два члена (17).Учтём, что

,(-л+;со)

= е

-п I

соэсот + у'зтсот), г

(-«-7ш)|т| = -л|т|

СОЭСОТ-уБЩСОТ).

Тогда

СОБС0]Т + у СО,

2усо,[(гс1 +л2)-у(©, -С02)][(«, + л2)-уЦ +со2)]

+

+

СОБС0]Т - УБШСО! * 1

-270)! _(/7]+^2)+у(со1+со2)][|

Приведём к общему знаменателю:

(17)

-"||г| [(собг + Уз1псо,+п2)+ у(й>, +^2)][(/7, -¿у2)]

(л, + /72 )2 + (¿У, - й>2 )2 1(л, + п2 У + (¿У] + С02 )

+

+

-I СОБ СО, Т - 7 ¿У, -¿>2® (л, +л2)-у •ч '(¿У, + ¿У2

(л, + л2)' 1 +{й),~ (02 )2 ¡(/7, +Я2)2 + (¿у, +со2)2

ечм (соъ ¿У] г + уБику, М1(«1 7^1 - ^2Х"1 + "2)- Й2 - ) +

2/со •к. — . _ (я, +л2] >2 + {со, - ¿У2 )2 + /72 )2 + {со, + С02 У

+ ¡(со, + 0.)2 X/7, + П2 )] - (cOSr6),r ~ j Sin СО,

T

n

+ n2)2-j(Q>l -(°2 X'2l + "2 ) -

(;?, + иj Y + {со, - co2 Y J(/7, + и2 У + (¿y, + (o2)

(

n

-1 [со; j{(¿)\ + оо2\п, +п2)

i + пг) [со, - со2 У I |(/7, + П2 У + (¿У, -

g [ (cOSíü,r + y Sin r¿>! ¡r¡

2 jco

(;?, + n2)2 - (со; - co¡)

(П\ + П2 У + ~ Y (>h + «2 )2 + (^1 + ^2 )2

+

2 jco, (/7, + n2) - (eos ¿y, г - jsin со, Ir! Дя, + и2 Y - щ - co\)- 2 jco, (/7, + «2)

(

«1 + "2 )2 + (<*>! -

/7, + /7 2

Ы

- >

Преобразуем числитель этого выражения:

COSCO,! + j sin CoJllYtf +

eos со, x- / sin со, |т lia

- jb) =

-a coso),i + jb cosco,т + sin со, jxl — a sin со, |x -a cosco,.T + y7?cosco,T +

+ ya sin со, т| 4- ¿3 sin со, т = 2aj sin со, т + 2 //?coso),i.

=(

a-\n

2 ( 2

-Ico,

— со2b = 2®](n] + n2).

Тогда

~п\ Л е + п2У- Й2 - ) sin ¿y, rj + 2 j2co, {л, + n2 )cos¿y,r

- > 2ja (/7, + Л2 ) 2 +(со,-со2У\п,+п2У + (со,+со2 )2J

-»l'r / + и2 )2 - (со1; - со22) sinСУ, \r\ + 2¿y,(nx + w2)cos¿y,r

" \ со (/7, + и2 )2 + ((У, - )2 {(л, + n2 У + (¿y, + ¿y2 )2 _

Для вторых двух членов формулы (17) преобразования будут аналогичными. Автокорреляционная функция в общем виде запишется так:

d d к k

п=\т = \Т2пТ2т 2(Х>п

-n T e (>v • sin со • T +

2co„

+ 2со/? (пп +пт) cosco/7x

(18)

(п„ + птУ+{ со„+со т)2

В частности, для системы с одной степенью свободы автокорреляционная функция будет [1]:

се

~п

Í

4Ы/72 +со2

\

п .

eos сот + — sin со

со

\

/

Вестник УлГТУ 3/2008

Формулы (18) и (19) могут быть также полезны при исследовании, например, случайных колебаний транспортных средств, а также при обработке записей случайных процессов, когда следует отделить характеристики измерительных цепей.

Рассмотрим передаточную функцию с форсирующим звеном:

Щр) =

к, I 71°

+

к2(т?р+\)

Т2\ р2 + тир+ 1 Т22р2 + т2]р+ 1

И М2 -

(- 7>2 + ]Тисо + \\- Т2]со2 - Д ¡йГи)

+

+

1 2 v i

Гт& + ]Тисо + \1-Т?2со2-]Т12со + \)

+

+

(^2 J

]Сд +

(-7>2 + уТ2 х(о + \ Т2] со1 - ]Тио) +1)

+

+

Составляющие автокорреляционной функции для перекрёстных членов запишутся так

п^ 2 7*^2 121122

(-«) +7«! )|т|

2у'со, (и, - усо, + и2 + у©2 )(/7, - усо, + Л2 - У®2)

+

+ г

/7, — У С0|

- 2у'(0|(и, + У СО] + П2 + У СО 2 )(/7, + у СО] + ^2 - у'С02 )

+

+ е

(_/72 +7С02 )1т1

ч (-г,°(-

/72 +

усо2)+1)(г20(-^2ч-усо2)+1)

2ус0 2(п2 - У СО 2 + "] + У СО] Х«2 - >2 + «1 ~ >1)

+

(-"2-ую 2 И

(- Г]° (- л2 - усо2)+ (- и2 - усо2

- 2 у СО 2 (л2 + усо2 + /?, + у СО] )(/72 + у со 2 + «] - У'СО] ) I

Рассмотрим первый перекрёстный член, так как остальные имеют одинаковую структуру

гг2 т2 21 22

,(-«1

+ е

(-»\-jo\b\

2ую, [(и, +",)-- ®2 )][(«! + Щ ) - М + «2 )]

-«II

- Ущ [("| + Л2 ) ■+ + ^2 Ж". + П2 )+ У - )]

\С08 6У|Г + уБШбУ, Г

Т21Т22

(«I + ^ + (^1 - ^У («. + ^ + + к»

+

+ •

(/7, + П; • ,)2 - (СУ, -СУ2)2 +2усу,( }}\ + "2 ) - (с О Б СУ|Г - / ЯШ (

(/7, + п2 У 4- (СУ, - СУ2 )2 » - (/7, + /72 )2 + (су, 4- су2 )2 » —

-щ. )2 ■ - 2 /су, (/7, 4- п2)

+ п2 У + (со\ ~ со2 )2 (/7, + П2 )2 + (су, • 4- (Х)2 )" ■

Затем рассмотрим первую составляющую этого выражения и удвоим её.

~п\ Г 1 # (сОБ СУ, Т 4- уэт СУ, ¡г|)(г,0 (- П\ + усу,)+1) (-^(-Л, 4- у СУ,))

2]со\ | (/7, + п2 У 4- (¿У, - СУ2 У • • (/7, + п2 )2 + (¿У, 4- СУ2 )2

+

("1 + п2 У ~ - ОЬ У + УЩ (и, + п2 )

(/7, + п2 У + (сУ, - С02 У (/7] + п2 У + {со 1 + со2)

Упростим выражение:

(соэ (0\ т + у зт су, |т|Хт10 (- + )(0\) + !)(- Г2° (- щ + усу,) + 1) +

+

(/?] + п2 у - (су, - су2 )2 + 2у7су, (я, + п2)

Введём обозначения:

Тогда

а = (/ 7, + я2)2-(<у, -су2)2,

6 = 2су,(>7| + и2). соб о, т + ] Я1п (о, | т|) (Т,° (-п, + ¡со,) +1) (-Т2° (-п, + ¡со,) +1) (а + ]Ь) =

= +п2)2-{со?-со22))+2со]{п] + л2)(/!?-))+

+ п2 )2 - (су,2 - со\))+ 2щщ 2со1 (п{ + п2))+

+ - Т2 А- п\ Ш

+ п2У - (су,2 - су?))- 2л)2(л, + л2 )) + (("1 + "2)2 - - ))^п

т

Автокорреляционная функция в этом случае будет иметь вид:

/с1/с2

Г,2Т2 21 22

-Я||Г

(

п. + пг)2 + (со, - а2)2 (и, + п2)2 + (а>, + <а2)

_ _

г Г,0Г20(- 2]щСУ, ((л, + /г2)2 - (СУ,2 - <У22)) + 2СУ,(Л| 4- п2^ - с^))

+

+

+ (т;0 - Т2 )(сУ, ((/7, +п2)2- (су,2 - СО2 )) + 2 СУ, (л, + /7 2 Х- Щ + СУ, ))+ 2 СУ, (/7, + /72 ))с05 СУ, Т +

+ /72 )2 - (су,2 - СУ2))- 2СУ,2 (я, + п2))+ ((и, + п2 )2 - (су,2 - СУ2 ))}б1П су,

г

В общем виде автокорреляционная функция запишется так:

(] ц к к «я(г) = С I I Ш—

/7=1/;?=1 12п12т

к!

О

(»„ + )2 + + )

Пт КПп ~ <*>„

+

О

п

• К- +«,„ )2 - к - <))++

'С К (к + "„, У - (й>! - <))+ 2®„ («„ + п,„ Х- /?„ + си„))+ 2со,, (»„ + п,„ ))со5 <о

+ (- тхЛ"1 - <\(>ь,+о2 - к

г +

+ П,„ > I +

+ (7-; - ПI- Пп ((„. + )2 - [со; - ^))- 2 со] (пп + „ж)) + (к + л„ - («,; - ^

г

В частном случае, когда 0),?=(0/?г, корреляционная функция будет иметь вид:

ск2

М' г

О

т;4 4/76Д/72+ )

-Г ¿у - 2п + п - со + со коз сот +

+ - Т°~ \2со2 + п2 - со2 )+ п

т

2 -иг

ск" е

Т2 4/7

^о2

\

7

+ 1

\

/

СОЯ сот +

+

г Т02

\

%

Т{со

+

/7

со

т

/

2 2 1 где ¿У + п - ~

т 2 '

2

Таким образом, получена формула для вычисления автокорреляционных функций и среднеквадратичных отклонений выходного параметра электромеханической системы для случая, когда передаточная функция системы представлена в виде суммы колебательных звеньев, умноженных на форсирующее звено, при случайных возмущениях в электрических цепях, в задачах электропривода, а также при исследовании механических систем. При этом соответствующие постоянные времени определяются по характерным точкам и размерам петель ЛФЧХ системы [5]. Полученные соотношения существенно уменьшают вычислительные трудности для данного случая по сравнению с известными методами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. - М.: Из-во физ-мат. лит-ры, 1961. -406 с.

2. Николаенко, Н. А. Вероятностные методы динамического расчёта машиностроительных конструкций / Н. А. Николаенко. - М. : Машиностроение, 1967. - 368 с.

3. Свешников, А. А. Прикладные методы теории случайных функций / А. А. Свешников. - М. : Наука, 1968.-464 с.

4. Болотин, В. В. Случайные колебания упругих систем / В. В. Болотин. - М. : Паука, 1979. - 336 с.

5. Саикин, К). Н. Построение динамических моделей колебательных систем на основе обработки амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ) при наличии интегрирующих звеньев в цепи измерения/ Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков// Вестник УлГГУ. - 2008. -№1. - С.25-31.

ООО©ОООООв0©ОООООООО

Сапкип Юрии Николаевичу - доктор технических наук профессор, действительный член Российской Академии инженерных наук и Академии нелинейных наук. профессор кафедры « Теоретическая и прикладная механика» УлГГУ. Пирожков Станислав Леонидович, кандидат технических наук.