Прогнозирование региональной инфляции Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 528.06

С. Г. ВАЛЕЕВ, Ю. Е. КУВАЙСКОВА ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕГИОНАЛЬНОЙ ИНФЛЯЦИИ

Проведен о исследование и сравнительный анализ двух временных рядов (индекса потребительских цен Российской Федерации и Ульяновской области) с целью построения моделей, описывающих динамику индекса инфляции, и краткосрочного прогнозирования.

Ключевые слова: временной ряд, динамическое регрессионное моделирование, индекс

потребительских цен, инфляция, прогнозирование.

Введение

Индекс потребительских цен (индекс инфляции), являясь одним из важнейших показателей инфляционных процессов в стране, используется для анализа и прогноза ценовых процессов в экономике. Индекс потребительских цен выражает относительное изменение среднего уровня цен группы товаров и услуг (потребительской корзины) за определённый период.

Для математического описания и

прогнозирования темпов инфляции используется методология динамического регрессионного моделирования-ДРМ-подход [I], позволяющий комплексировать модели в одну общую модель предсказания и осуществлять прогноз экономических показателей с повышенной точностью. ДРМ-подход реализован в виде программного комплекса - автоматизированной системы динамического регрессионного

моделирования (АС ДРМ) [1,2, 5].

Алгоритм ДРМ-п од ход а

При практическом анализе временных рядов в рамках ДРМ-подхода последовательно

выполняются следующие этапы.

Вначале временной ряд (ВР) исследуется на стационарность, т. е. постоянство среднего и дисперсии. Далее методами мультифрактального и фрактального анализов определяется трендоустойчивость ВР.

На следующем этапе выделяется и удаляется трендовая составляющая, описывающая долговременную компоненту ВР.

На втором этапе остатки после выделения тренда исследуются на существование периодических компонент при помощи авто-

(© С. Г. Валеев, Ю. Е. Кувайскова, 2008

корреляционной функции, Фурье-анализа и других методов.

Остаточные колебания после выделения гармонической составляющей сглаживаются авторегрессионной моделью подходящего порядка или одной из перечисленных ниже структур, включая их комбинации друг с другом: смешанной моделью авторегрессии-

скользящего среднего, одной из комплекса авторегрессионных моделей с условной гетероскедастичностыо, моделью фильтрации Калмана, мартингальной аппроксимацией и др.

На последнем этапе комплексная модель ВР

?•

используется для прогнозирования.

Пакет программ АС ДРМ

Программное обеспечение АС ДРМ предназначено для разработки комплексных моделей процессов, представленных в форме временных рядов, с последующим их использованием для прогноза динамики ряда.

Применение методов объектно-

ориентированного программирования для формирования кода программы позволяет добавлять новые методы расчёта без изменения основной части программного обеспечения [2].

Пакет АС ДРМ состоит из интерфейсной, управляющей части и модулей, реализующих схемы вычислений.

Программный комплекс имеет широкий набор процедур и функций, необходимых для детального анализа свойств ВР, моделирования, прогнозирования, а также проверки остатков на выполнение предпосылок метода наименьших квадратов и дискриминации моделей по различным критериям качества.

В настоящее время программный комплекс АС ДРМ развивается в двух направлениях:

для обработки ВР, порождённых природными процессами (в геофизике, астрофизике, сейсмологии и др);

- для обработки техногенных ВР, связанных с деятельностью человека (в технике, экономике, экологии и др.) [5].

Версия пакета для обработки техногенных и экономических временных рядов состоит из базовой части и программных модулей, расширяющих возможности ДРМ по обработке экономических и технологических характеристик.

Базовая версия включает средства описательной статистики количественных данных; методы анализа ВР: спектральный, совместный спектральный и вейвлет-анализы; методы описания одномерных ВР: простая

регрессия (17 парных зависимостей), множественная регрессия (метод Хаусхолдера), гармоническая модель, авторегрессия, мартингал ьная аппроксимация. Программа содержит процедуру «Критерии качества» для анализа остатков смешанными, внешними и внутренними мерами соответствия. Для получения оптимальной модели в программе существует возможность диагностики соблюдения предположений регрессионного анализа. В зависимости от нарушения предлагается применить соответствующий метод адаптации. Программа позволяет проводить анализ и прогнозирование по комплексной модели ВР.

Для моделирования техногенных ВР предлагается расширение инструментария ДРМ-подхода с помощью программных модулей, осуществляющих построение моделей сглаживания данных, смешанной модели авторегрессии-скользящего среднего (АРСС) [3], набора авторегрессионных моделей условной геге рос кедастичн ости (АЯСН) [4],

мультифрактального анализа и др.

Исследование временных рядов

Проведено исследование и сравнительный анализ двух временных рядов: индексов

потребительских цен Российской Федерации и Ульяновской области.

При моделировании индекса потребительских цен РФ были привлечены ежемесячные данные за период 01.2000 - 04.2008; временной ряд содержит 100 наблюдений (уу\у\у.цагапГт/).

На первом этапе анализа ряд признан нестационарным.

На рис. 1 представлен график исходного ряда индекса потребительских цен РФ в зависимости от времени. По оси абсцисс отложен временной интервал от 1 до 100, а по оси ординат значения индекса инфляции.

Г

I

I,

!

I

4 г*

1_____________________________

< ! • * 1 I •!•••• Ч £* и > А •>•*.* м 4- V •« и М** *. •• / * *- • - ^ - • ■ - « -

Рис. 1. График исходного временного ряда индекса потребительских цен РФ

По результатам мультифрактального анализа делается заключение о наличии корреляции к динамике процесса; следовательно, за большим значением чаще следует большое, за малым -малое: процесс является более «гладким» и сохраняет эту тенденцию какое-то время в будущем, что свидетельствует о присутствии трендовой составляющей.

Выделен квадратичный тренд (рис. 2). являющийся оптимальным из 17 парных зависимостей по «внутреннему» среднеквадратическому отклонению <т - 0,63 и по «внешнему» - аа - 0,85.

Рис. 2. График квадратичного тренда ряда

, Результаты спектрального анализа свидетельствуют о присутствии циклической составляющей. Методом пошаговой регрессии выделены две значимые гармоники с периодами полгода и год (рис. 3).

Рис. 3. Графики прогноза по гармонической модели ряда и исходного ВР

Остатки сглаживались авторегрессионной моделью условной гетероскедастичности (ЛКСН(1)). Среднеквадратическое отклонение итоговой модели составило ст= 0,29 и ад = 0,45.

Ма рис. 4 представлен график прогноза по комплексной модели с использованием индекса потребительских цен РФ, описываемой в виде суммы квадратичного тренда, двух гармоник и ЛЯС! 1(1).

г I • • і •

і.

г I

і

I

і ‘і! Г'.

Чі

і і1:

; л

•

I.

1

Ч?

I

•• «4

* А4

•V

Рис. 4. График прогноза по комплексной модели временного ряда индекса потребительских цен РФ

Результаты диагностики остатков последнего шага свидетельствуют о соблюдение основных условий применения метода наименьших квадратов.

Комплексная модель динамики имеет вид:

Х(1) = 101,7777 - 0,02720 • / + 0,0002 • /2 +

^ тй

+ 0,2864 • (— + 83,277) + 0,4936 • (-+ 47,8) +

6 12

+ 0,2854 •*(/-!) + 0,263 • Х{( - 2) + е(1),

где Х(1) - наблюдения индекса инфляции Российской Федерации в момент времени /, е(1)

- остаток.

Для исследования темпов инфляции Ульяновской области использовались скорректированные месячные данные потребительских цен Ульяновской области за период 01.2000-04.2008, полученные в Ульяновекстате. Их динамика представлена на рис. 5.

с . ч и ^ 2? :• ^ л •: •• * -«с %с и м %а к г* « <з м я « ^ г »

Рис. 5. График исходного временного ряда индекса потребительских цен Ульяновской области

На первом этапе анализа данных в рамках ДРМ-подхода проверяемая гипотеза о стационарности ряда была отвергнута с вероятностью 0,95.

По результатам мультифрактального анализа фиксируется корреляция в динамике процесса, что свидетельствует о присутствии тренда.

Выделен квадратичный тренд (рис. 6), являющийся оптимальным из 17 парных зависимостей по «внутреннему» среднеквадратическому отклонению су - 1.27 и по «внешнему» - с% = 1,77.

•4#

ч:

•с

«ГІ

і (

I

. н

(і і-, І! ч і г{г\к.

і і ■

\і

V

•

І '

Н І і і:

\ І \}‘ > ; . , 1 м Г > \/

. М

г

і

■ і 4* :

1:1

ІІ

і .

N

І

І

!|

•

І І

і

»

V»

'І

І - І к

І

Рис. 6. График квадратичного тренда ряда

По результатам спектрального анализа делается заключение о присутствии гармонических составляющих. Методом пошаговой регрессии выделена одна значимая гармоника с периодом 4 месяца (рис. 7). Среднеквадратическое отклонение составило <т= 1,18, внешняя точность - стл = 1,53.

Рис. 7. Графики прогноза по гармонической модели ряда и исходного ВР

Построена авторегрессионная модель условной гетероскедастичности АЯСН(1) со среднеквадратическим отклонением о = 0,87 и внешней точностью стА - 1,87.

Результаты диагностики остатков последнего шага свидетельствуют о соблюдение основных условий применения метода наименьших квадратов.

Рис. 8. График прогноза по комплексной модели временного ряда индекса потребительских цен

Ульяновской области

Итоговая комплексная модель ряда описывается суммой квадратичного тренда, двух гармоник и авторегрессионной модели условной гетероскедастичности АЯСН( 1).:

Х(1) = 102,4169 - 0,04257 • I + 0,0003 • /2 +

А

+ 0,6468• (— - 53,588) + 0,3 151 • Х{1 - I) -

4

- 0,188 ЛЧ/-2)+ <?(/),

где Х(1) - наблюдения индекса инфляции

Ульяновской области в момент времени /, «?(/) -

остаток.

По приведённым комплексным моделям построены точечные и интервальные оценки прогноза индекса инфляции для каждого ряда на май 2008 года.

Получена точечная оценка прогноза для индекса потребительских цен РФ, равная -101,05%, для Ульяновской области - 101,62%.

Доверительные интервалы для интервальных оценок вычислялись по формуле

у,±!а-°г (!)

где у, - точечная оценка прогноза, 1а -

квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1-а, сг- - внутреннее

среднеквадратическое отклонение для комплексной модели.

По формуле (1) были построены интервалы для каждого прогноза с доверительной вероятностью 0,95 нахождения в них истинного значения.

В итоге интервальная оценка для индекса инфляции РФ равна 101,05% - 0,48%», для Ульяновской области - 101,62%^ 1,44%).

Заключение

По результатам обработки рядов получены оптимальные по критерию минимума среднеквадратического отклонения модели, описывающие динамику индекса потреби-

тельских цен по Российской Федерации в целом и по Ульяновской области. Для обоих временных рядов комплексная модель представляется в виде суммы трендовой, периодических составляющих и авторегрессионной модели условной гстероскедастичпости.

Точность построенной модели для индекса потребительских цен РФ в 4 раза выше, чем для индекса потребительских цен Ульяновской области. Это можно объяснить тем, что темпы инфляции по стране в целом имеют более сглаженный и периодичный характер, чем для региона страны.

Для каждого из рядов были построены точечные и интервальные оценки прогноза на май 2008 года. Истинное значение индекса инфляции по стране с вероятностью 0,95 попадает в интервап 101,05%± 0,48%. а для Ульяновской области в интервал 101,62% - 1,44%, что соответствует реально полученным данным: 101,4% для индекса

потребительских цен РФ и 101,1% для Ульяновской области.

Полученные результаты подтверждают возможность моделирования динамики индекса потребительских цен и прогнозирования с удовлетворительной точностью для Ульяновской области, а математический аппарат и программное обеспечение могут быть использованы для моделирования динамики и прогнозирования других характеристик экономической и производствен ной деятел ьности.

Для повышения точности прогнозирования на уровне региона предполагается оптимизировать длину временного интервала, используемого для моделирования.

Представляет интерес построить ценовые модели для основных товаров на рынке и сравнить их методом взаимного спектрального анализа с региональными моделями индекса потребительских цен.

Авторы выражают благодарность департаменту социально-экономического развития за предоставленные для обработки материалы и министру экономики правительства Ульяновской области В. А. Шерину за интерес к работе и содействие.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валеев, С. Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений / С. Г. Валеев. - М. : Наука, 1991. - 272 с. (второе издание, дополненное и переработанное: Валеев С. Г. Регрессионное моделирование при обработке данных. - Казань : ФЭН, 2001. - 296 с.).

2. Валеев. С. Г. Программная реализация ДРМ-подхода для обработки и анализа временных рядов / С. Г. Валеев, С. В. Куркина // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. -2006. - № 5.-С. 10-21.

3. Валеев, С. Г. Смешанные процессы авторегрессии и скользящего среднего для обработки временных рядов/ С. Г. Валеев, Ю. Е. Кувайскова // Вестник УлГТУ. - 2006. - №4. -С.37-41 .

4. Валеев, С. Г. Использование АЯСН-структур и фильтра Калмана для моделирования динамики технико-экономических показателей / С. Г. Валеев. Ю. Е. Кувайскова // Вестник УлГТУ. - 2007. - №2. - С. 29-33.

5. Валеев, С. Г. Адаптация пакета АС ДРМ к решению экономических и производственных задач / С. Г. Валеев, 10. Е. Кувайскова // Вопросы

современной науки и практики. Университет им. В. И. Вернадского. - 2008. -№2(12).

С. 60-63.

00000030000000000000

Валеев Султан Галимзянович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области астрометрии и небесной механики, математической статистики и разработки информационных технологий.

Кувайскова Юлия Евгеньевна, аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика» УлГГУ. Имеет публикации в области математического моделирования и разработки информационных технологий.

УДК 519.21 Ю. Н. САНКИН, С. Л. ПИРОЖКОВ

СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ СЛАБОМ ДЕМПФИРОВАНИИ

В практике расчёта современных динамических систем интенсивно используются статистические методы. Применение статистических методов и методов теории случайных функций, позволяет рассчитывать системы так, чтобы она не только успешно противостояла помехам, но и успешно работала при наличии спектра возможных воздействий, которые возникают в реальных условиях работы системы. Сказанное, прежде всего, относится к оценке работы электрических сетей, электропривода, а также металлообрабатывающего оборудования и наземных транспортных средств. Динамические характеристики вышеуказанных объектов часто моделируются в виде суммы колебательных звеньев. В связи с этим в данной работе рассматривается задача о случайных колебаниях системы при действии стационарного случайного процесса, передаточная функция которой моделируется в виде суммы колебательных звеньев, умноженных на форсирующее звено, причём форсирующее звено может, в принципе, и отсутствовать.

Ключевые слова: автокорреляционные функции, среднеквадратичные отклонения.

Поведение колебательной системы второго порядка при случайных возмущениях хорошо изучено [ 1 ]. Однако существуют системы, где существенно проявляют себя несколько степеней свободы. К таковым относятся, например, буровые установки, металлорежущие станки, электрические линии.

При исследовании поведения колебательных объектов при случайных возмущениях обычно интересуются среднеквадратичными отклонениями [1, 2, 3, 4]. Для вычисления среднеквадратичных отклонений необходимо знать соответствующие корреляционные функции. В предлагаемой работе осуществляется вычисление корреляционной функции сложной электромеханической системы, передаточные функции которой могут быть представлены в виде суммы колебательных звеньев.

Дифференциальное уравнение сложной электромеханической системы при случайном возмущении в матричном виде

тх + Ьх + сх = /(1),

© 10. 11. Санкин, С. Л. Пирожков, 2008