Постановка задачи тепломассообмена в многослойных конструкциях с фазовыми переходами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Постановка задачи тепломассообмена в многослойных конструкциях с фазовыми переходами

И.А. Акимов, дт.н, профессор, Оренбургский ГПУ;

.И. Акимов, к.т.н, И.Р. Мурзагулов, соискатель,

С.А. Саратов, соискатель, Оренбургский ГАУ

В процессе изготовления многослойных изделий из композиционных материалов тепломассообмен нередко связан с изменением агрегатного состояния тела или физико-химической природы материала. Теплофизические коэффициенты при этом изменяются скачкообразно, и для переходов требуются теплота плавления (сорбции, испарения,...) или теплота химических реакций.

Такие проблемы часто возникают при изготовлении многослойных изделий с изменяющимся агрегатным состоянием материалов в установках автоматического ведения технологического процесса (АВТП).

Процесс изготовления изделия по особенностям теплофизических процессов представлен в виде трех этапов. На первом этапе изготовления осуществляется нагрев изделия до режима полимеризации, на втором — процесс полимеризации многослойных конструкций, на третьем происходит процесс охлаждения до температуры окружающей среды. На всех трех этапах предъявляются жесткие требования к скорости изменения температуры, давления в технологическом мешке и температурному режиму среды [1—2].

Уравнения, описывающие температурные поля при полимеризации, включают соответствующие слагаемые, учитывающие изменение жидкости систем.

Определим геометрию задачи в цилиндрической системе координат, соответствующую технологической установке.

Заготовка имеет форму полого многослойного цилиндрического тела, состоящего из п— 1 слоев, область к-го слоя

Уцк

Кк (ф) <г (ф) ^Кк+і (ф), к = 1+(и -1);

0 < ф < 2п;

0 < г < к,

— цилиндр, ось которой совпадает с осью 02. Область композиционного материала ¥м равна

п—1

сумме областей всех слоев

к=1

цк

Внутри

этого тела вмонтирован технологический мешок О < г(ф) < Д0(ср),

ум = <0 < Ф< 2п;

О < г < к с резиновой оболочкой

^ г (ф) < ^ (ф);

0 < ф < 2п;

0 < г < к.

Ур =

Здесь Я,( ) I = 0,1,2..., п — уравнение соответствующих цилиндрических поверхностей. В качестве обобщенной цилиндрической системы координат (г, , 2) принят центр одного из торцов цилиндрического тела.

Положим, что Уц, Ур и Ум изотропны как в отношении теплообмена, так и в отношении массо-обмена. Изменение температуры в этих телах вызывает в них напряжения и деформации.

На первых двух этапах теплообмен в теле Уц описывается, соответственно, следующей системой уравнений, включающей уравнения теплопроводности с учетом массообменных слагаемых [3]:

дік (Кф)> ф. г.т)

дт

= ак(г (ф), ф. г. т)+

+ -

ес

-V,

^к (Кф). ф. г. т)

о'

с дт

уравнение, описывающее массообмен:

дук(г (ф), Ф.^т).

Эт

(1 -е)

Аук (г (ф) Ф,г, т), к = 1 + (и -1)

Перемещения описываются системой уравнений:

Аиг к (г (ф). ф. г.т)-

иг к (г (Ф)’ ф. г.т)

!(ф!

+

+ в д¿іуик(г(ф).ф.г.т) Ы(г(ф),ф.г.т)

Рі дг(ф) Ъ дг (ф)

Аи ф,к (г(ФІ Ф. г. т)+

+ в д¿іУик(г(Ф),ф.г.т) дік(г(Ф),ф.г.т)

і'Рг Л ~ Ь -ч

дф дф

к = 1 + (п -1)

Аиг.к (г (фТ Ф. г. т)+ _______________

+ в д¿іу/к(г(ф).ф.г.т) дік(Кф).ф.г.т)

+ Рг -ч = 1 г

дг дг

к = 1 + (п -1).

В области Ур происходит только кондуктив-ный теплообмен, который описывается уравнением:

ді о (г(ф). Ф.г.т) дт

и о = /

г.0 . иф.0 .иг.0

В технологическом мешке Ум происходит конвективный теплообмен, который опишем системой уравнений:

С р д[(г(ф) фгт) + ((ф) ф, (ф) ф, г, т) =

р Эт

,,//! ч „ dV/ ЭР(г(ф)ф,г,т)

= ХЛґ(г(ф) ф, г, т)+Ср-----------------------1- - +

+ Ср уєеЖ grad Р(г(ф) ф, г, т)

Эт

АО

Биг(ф)

(7)

(1)

+ 2ц6 БІ88/(г )-3(divW У;

д[уЖ (г (ф) ф, г, т)] =

Эт

= уЛЖ (г (ф), ф, г, т) - grad Р(г (ф), ф, г, т)+

+ 3 у grad(divW ),

а[г(г(ф),ф,г,т)] + div(тr )=0;

дт

(8)

(9)

(2)

(3)

(4)

Р(г(ф),ф,г,т) = Я„у(г(ф),ф,г,т)(г(ф),ф, г,т). (10)

Здесь ак, ау,к, Ср, , мъ, У — температуропро-

водность, потенциалопроводность (жидкости), удельная теплоемкость, скрытая теплота кристаллизации, динамическая вязкость, плотность; X — теплоемкость, W — скорость движения, ^ — температура, vk — жидкоемкость, є — критерий фазового превращения, VI) — начальная жидкоемкость, Ve — коэффициент Джоуля-Томсона, А — тепловой эквивалент механической работы, О — весовой расход воздуха, Яг — газовая постоянная, V — потенциальная энергия.

С завершением образования многослойного композиционного материала, в конце второго этапа, в теле Vц прекращается массообмен, а теплообмен в нем описывается одним уравнением:

дґ! (г (ф) ф, г, т)

Эт

■ = а! Лґ! (г (ф) ф, г, т). (11)

(5)

Кондуктивный теплообмен в области Ур и конвективный теплообмен в области Ум описываются, соответственно, уравнениями (6) и (7)—(10).

Начальные условия.

Температуры всех слоев в начальный момент времени приняты одинаковыми и равными / (г(ф), ф, г)

*к(г (ф). Ф, 2,0) = і(г (ф). Ф, 2,0) = = /(г (ф!), Ф,г), к = 0,1,2,...., п;

12)

начальная жидкоемкость всех слоев равна V0:

= ао Аі о (г (Ф)5 Ф.г. ^, (6)

Ч {г (ф), Ф, г,0) = у0

(13)

а перемещения — системой уравнений вида (3)— (5) для

скорость течения жидкости в Ум равна нулю:

Ж (г (ф), ф, г,0)= 0 ; (14)

давление при т =0 равно Р0, плотность у0:

р(г(ф),ф,г,0) = Ро ; (15)

у(г(ф), ф, 2,0) = Уо; (16)

а

к

V

а

к

скорость перемещения при т = 0 равна нулю:

и(г(ф),ф, 2,0) = 0, к = 0,1,2,....,п . (17)

Граничные условия.

Теплообмен по Ньютону на внешней границе задается Р1 (т):

на хорде 2 = 0 задана скорость истечения щ (т):

Ж(г(ф), ф,0,т) = Щ (т). (31)

Давление внутри технологического мешка

с боковой поверхности:

X п п ч + а п ( — *п)

дг (ф)

(32)

= 0;

'=хп (ф)

и с торцевых поверхностей

дг (ф)

+ а

к (ср _ {к)

= 0;

температуры соприкасающихся слоев совпадают:

*к ( (ф), ф, 2, т)=*к -1(() ф, 2, т) (20)

тепловые потоки на границах соприкасающихся слоев одинаковы:

р(( Ы, ф, ¿, т)=р ();

(18) аналогично при г = 0 :

Р(г(ф),ф,0,т) = р (). (33)

При г = к , т.е. на другом конце, давление равно Р0:

р(г(ф),ф,к,т) = Р0. (34)

Плотность материала технологического мешка получена и равна у 0:

(19)

у(^0 (ф), ф, г, т)=у 0;

(35)

дк (к (Ф), Ф,т)

= Т

к+1

аналогично на торцах:

у(г(ф),ф,0,т)= у(г(ф),ф,к,т) = у0 . (36)

На втором этапе к граничным условиям (18)— , , ч ч (36) добавляются условия на образовавшейся

к+1 (к(ф) Ф, 2 т) к = 012 (п — 1)(21) поверхности (полимеризации) :

г = ^ т)

дг(ф)

дг(ф)

(22)

жидкоемкость на торцах цилиндров равна нулю:

Vк (+1 (ф), Ф, 2 т) = Vк (Кф), Ф,0, т) =

= ^ (Кф), Ф, k, т) = 0

а на границах соприкосновения она одинакова:

^ (к (ф), Ф, 2, т)=^ -1 ( () Ф, 2, т); (23)

совпадают на границах и потоки:

I дҐ! ((ф), ф, 2, т) _І дґп ((ф), ф, 2, т)

дг (ф)

= уъ,о У ь,о°

11 дг (ф)

д% т)

;(37)

дт

ґі (% т) Ф, ^,т) = іп т), ф, ^ т) = іКр (38)

Т д^к ( (ф), Ф, 2 т)

Тк,Ь ~

= Т

дг(ф)

^к+1 ( Ы Ф, 2 т);

аь,і

^Ь.і (Кф)= Ф,•

(24)

к+1, Ь"

дг (ф)

перемещения на границах одинаковы:

ик((ф), Ф, 2, т)=ик-1 ( Ы Ф, 2, т); (25)

для их производных заданы условия: дик ( (ф), Ф, ^ т) =

~аЬ,П

дг(ф)

дУьц (Кф), Ф, 2 т)

дг(ф)

дґІ ((ф) ф, г, т) дг(ф)

г дґіі (Кф), Ф, 2 т

6 дг(ф)

; (39)

Уь,о

У к-

Vb,I ( т) Ф, 2, т) = vb,II (^ 4 ф, 2, т) . (40) С завершением процесса затвердевания изделия его рассматриваем как сплошное твердое тело. Поэтому на 3-м этапе задача (6), (7)-(11) решается при граничных условиях:

:У к+1

дг (ф) дик+1((ф), Ф, 2, т);

(26)

(27)

дг (ф)

торцы цилиндров жестко закреплены:

ик (Кф), ф,0, т)=

= и к ((ф) ф, к, т) = 0, к = 0,1,2,...., п ;

заданы начальные перемещения каждого слоя:

ип (п-1 (ф), Ф, 2, т)= ип , (28)

и0 (0 (ф) ф, 2, т) = им; (29)

скорости движения жидкости на границе 2 = к и внутри технологического мешка равны нулю:

Ж (р0 (ф), ф, 2, т) = Ж (г (ф), ф, к, т) = 0 ; (30)

дґ і

дг (ф)

+ а і (ґср _ ґі )

= 0; (41)

=«П+1(ф)

дґі 1 дг (ф)

Л \Л- і

I г—тЧ- + а

і (ср _ Ґі)

= 0; (42)

т і ~д2+а іі (ґср _ (і)

-=^1(ф)

= 0

2=0,к

Ґ1 ((1 (ф!>, Ф, ^ т) = ґі ((1 (ф^ ф, 2, т);

(43)

(44)

І1

дґ1 ((1 (ф;>, Ф, 2, т) = Т1 дґі ((1 (Ф), Ф, 2, т) ; (45)

дг (ф)

дг (ф)

Ґ0 ((0 (ф;>, Ф, 2, т) = Ґ1 ((0 (ф), Ф, 2, т) ; (46)

г

к = ОД.

Здесь а — коэффициент теплоотдачи; 1ср-11 .1 а — температура среды, зоны затвердевания и зоны жидкостного состояния соответственно; Г — термоградиентный коэффициент; £ о — поток жидкости к поверхности £ из II зоны; g — величина скачка плотности потока жидкости подводимого из II зоны к поверхности она характеризует интенсивность затвердевания; у — плотность жидкости; у0 и V 0 — доля жидкости в олигомере в начальный момент и перед началом

полимеризации; у 0 — плотность жидкости перед началом полимеризации; у 0 - температура затвердевания жидкости.

Система дифференциальных уравнений (1)— (11) в совокупности с краевыми условиями (12)— (48) полностью определяет основные конкретные особенности рассматриваемого единичного процесса создания многослойной конструкции из композиционного полимерного материала.

Литература

1. Шафеев, М.Н. Исследование нестационарных процессов затвердевания дисперсных материалов методом теории подобия // Сб. науч. трудов Куйб. АИ, 1975. Вып. 1. С. 44-63.

2. Шафеев, М.Н. Решение одной общей задачи теплообмена в четырехслойной области при наличии свободных границ // Сб. науч. трудов. Куйб. АИ, 1975. Вып. 1. С. 44-63.

3. Фридман, А. Уравнение с частными производными параболического типа. М., 1968.