CC BY
40
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.444
А.И. Акимов
канд. техн. наук, доцент, кафедра информатики и методики преподавания информатики, ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет»
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА КОМПЛЕКСИРОВАННЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА, МАССООБМЕНА И ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЙ В ПРОИЗВОДСТВЕ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Аннотация. В работе представлены результаты изучения общей постановки комплекси-рованных задач теплообмена, массобмена и термонапряжений в производстве композиционных материалов. Композиционные материалы для авиационной промышленности и космической техники изготавливаются в установках автоматического ведения технологического процесса.
Ключевые слова: композиционные материалы, установки автоматического ведения технологического процесса, полимеризация.
A.I. Akimov, Orenburg State Pedagogical University
THE GENERAL SETTING OF COMPLEXED PROBLEMS OF HEAT TRANSFER, MASS
TRANSFER AND THERMAL STRESSES IN THE PRODUCTION OF COMPOSITION
MATERIALS
Abstract. The work presents the results of a study of the overall performances of complexed problems of heat transfer, mass transfer and thermal stresses in composite materials manufacturing. Composite materials for aircraft industry and space technology are made in installations of automatic logging of technological process.
Keywords: composite materials, the installation of automatic maintenance of technological processes, polymerization.
Как известно, композиционные материалы относятся к пятому поколению материалов, используемых человеком. Особенно такие материалы востребованы в авиационной промышленности и космической технике. Многочисленные области их применения требуют ясного понимания закономерностей производства таких материалов для получения их с требуемыми физико-механическими и эксплуатационными характеристиками.
В работе представлена общая постановка комплексированных задач теплообмена, массообмена и термонапряжений в производстве композиционных материалов в установках автоматического ведения технологического процесса (АВТП), изготавливаемых методом полимеризации.
Уравнения, описывающие температурные поля в таких условиях включают соответствующие слагаемые, учитывающие изменение жидкости в системе.
Определим геометрию задачи в цилиндрической системе координат, соответствующую технологической установке (рис. 1, рис. 2, рис. 3).
Рисунок 1 - Геометрия узла для получения композиционных материалов в разрезе
Рисунок 2 - Схема расположения зон
0 < г < И (ф); к = 1,..., п; I = I, II; 0 < ф < 2п; т > 0
I, 0С
160
60
20
т, час
Рисунок 3 - График зависимости температуры от времени в установках АВТП
Заготовка имеет форму полого многослойного цилиндрического тела, состоящего из п -1 слоев, область к-го слоя
'Ик (ф)< г (ф)< Ик+1 (ф), к = 1 -(п -1); 0 < ф < 2п; 0 < 2 < Л.
Чк =
Область композиционного материала Уц равна сумме областей всех слоев
2
8
п-1
Уц = ^Уцк. Внутри этого тела вмонтирован технологический мешок
к=1
У. =
0 < г (ф)< И (ф); 0 < ф < 2п; 0 < 2 < Л,
с резиновой оболочкой
V =
¡Я (ф)< г (ф)< Я (ф); 0 < ф < 2п; 0 < 2 < Л.
Здесь Я (ф) / = 0,1,2..., п - уравнение соответствующих цилиндрических поверхностей. В качестве обобщенной цилиндрической системы координат (г, ф, 2) принят
центр одного из торцов цилиндрического тела.
Положим, что Уц, Ур и Ум изотропны в отношении теплообмена (а тело Уц и в
отношении массообмена). Изменение температуры в этих телах вызывает в них напряжения и деформации.
На первых двух этапах теплообмен в теле Уц описывается, соответственно,
следующей системой уравнений, включающей уравнения теплопроводности с учетом массообменных слагаемых [1, 2]:
Ык (г (ф),Ф,2,т) £0 дУк (г (ф),ф,2,т) —-- = акМк (г (ф), ф,2,т) + — у0-х—=тт-- - к = 1 - п, (1)
уравнение, описывающее массообмен:
дук (г(ф),Ф,2,т)_ аук
Аук (г (ф), ф, 2, т), к = 1 -(п -1). (2)
дт ак (1 - е) Перемещения описываются системой уравнений:
Л,. (, ч \ иг,к (г (ф) , Ф, 2,т) Л д div ик (г (ф) , Ф, 2,т)
Аигк (г (ф) ,ф,2,т)--^-+ Д-д7(ф)-=
= У э,(г(ф)ф, 2,т) (3) дг (ф)
... ( Г Л \ Л д div ик (г (ф), Ф, 2,т) (г (ф), Ф, 2,т)
^ (г(ф),ф,2,т) + Д-дф-= *-дф-, (4)
к = 1 - (п -1) Эdiv 0к (г (ф),ф,2,т) Э?к (г (Ф),Ф,2,т)
Аи2,к (г (ф) , Ф,2,т)+Д-э2-= Г(-д2-■ (5)
к = 1 - (п -1)
В области Ур происходит только кондуктивный теплообмен, который описывает-
ся уравнением:
д?0 (г (ф),ф,. , ч . 01 - = аоЛ?о (г (ф),Ф,* т), (6)
а перемещения системой уравнений вида (3)-(5) для
Ц, ={Uг,0,4,0,^,0 } .
В технологическом мешке Vм происходит конвективный теплообмен, который опишем системой уравнений:
Э Щ, ф, ^т)] + ^ ^ ( г (ф), ф, W ( г (ф) , ф, *т)] =
С|Г дP (г (ф), ф,^т)
= ЯЛ? (г(ф),ф,^т) + Cp С^ + ' Ч (7)
и Ст дт
AG _ 2 _
+СрУ£еЙ дгаС P (г (ф),ф, ^ т) + —— + 2^ □¡ее f (Й) - -^ (Сiv Й)2 ;
Биг(ф) 3
д\уЙ (г (ф), ф, г,т)] ч , ч
1 У -11 = уЛЙ (г (ф), ф, 2,т)-дгаС Р (г (ф), ф, 2,т) +
дт
+- у дгаС (См Й); 3
(8)
д\^(г (ф), ф, ^т)
+
дт . div (уЙ) = 0; (9)
Р (г (ф), ф, ^т) = Ппу(г (ф), ф, ^т) ? (г (ф), ф, ^т). (10)
Здесь ак,аук,Ср,,мь,у - температуропроводность, потенциалопроводность (жидкости), удельная теплоемкость, скрытая теплота кристаллизации, динамическая вязкость, плотность; Я - теплоемкость, Й - скорость движения, ?к - температура, ук - жидкоемкость, £ - критерий фазового превращения, У0 - начальная жидкоемкость, ее - коэффициент Джоуля-Томсона, А - тепловой эквивалент механической работы, G - весовой расход воздуха, Иг - газовая постоянная, V' - потенциальная энергия.
С завершением образования многослойного композиционного материала, в конце второго этапа, в теле Vц прекращается массообмен, а теплообмен в нем описывается одним уравнением:
д?, (г(ф),ф,г,т) . , ч .
3/-~ = аЛ?, (г (ф),ф,2,т). (11)
Кондуктивный теплообмен в области Vp и конвективный теплообмен в области Vм описываются, соответственно, уравнениями (6) и (7)-(10).
Начальные условия температуры всех слоев в начальный момент времени приняты одинаковыми и равными f (г (ф),ф,z):
(г(ф),ф,^0) = ?(г(ф),ф,^0) = f (г(ф),ф^), к = 0,1,2,....,п; (12)
начальная жидкоемкость всех слоев равна у0:
Ук (г (ф),ф,2,0) = У0, к = 1 - п ; (13)
скорость течения жидкости в Ум равна нулю:
& (г (ф), ф, 2,0) = 0; (14)
давление при т = 0 равно Р0, плотность у0:
Р (г (ф), ф, 2,0 ) = Р0; (15)
г( г (ф), Ф, 2,0 ) = я>; (16)
скорость перемещения при т = 0 равна нулю:
и (г (ф), ф, 2,0) = 0, к = 0,1,2,...., п. (17)
Граничные условия.
Теплообмен по Ньютону на внешней границе с боковой поверхностью
К аф) + 'а - 'п)
= 0; (18)
г=И„ (Ф)
и с торцевых поверхностей
= 0; (19)
К аф) + ак ('ср- 'к)
А2=0,ь
температуры соприкасающихся слоев совпадают
'к (Як (ф),Ф,2,т) = 'к+1 (Як (ф) ,ф,2,т); (20)
тепловые потоки на границах соприкасающихся слоев одинаковы
, дк (Як(ф),ф,2,т) _ Э'к+1 (Ик(ф),ф,2,т) = 012 1); (21)
К-дТ(ф)-= К+1-эТ(ф-, к = 0Д2,"",(п-1); (21)
жидкоемкость на торцах цилиндров равна нулю
Ук (Яп+1 (ф), ф, 2, т) = Ук (г (ф) , ф,0,т) = Ук (г (ф) , Ф, Л,т) = 0, (22) а на границах соприкосновения она одинакова
Ук (Ик (ф) , Ф, 2, т) = Ук+1 (Як (ф) , Ф, 2,т); (23)
совпадают на границах и потоки
_ ЭУк (Ик (Ф),Ф,2,т) = К дУк +1 (Ик (Ф),Ф,2,т) (24)
КкЬ дг (ф) к+1Ь дг (ф) ; (24) перемещения на границах одинаковы
и (Ик (ф),ф,2,т) = йк+1 (Ик (ф),ф,2,т); (25) для их производных заданы условия
дик (Ик (Ф),Ф,2,т) дик+1 (Ик (Ф),Ф,2,т)
^—— ^-1—эт(ф)—; (26)
торцы цилиндров жестко закреплены
и (г (ф),Ф,0,т) = и (г (ф),ф,Л,т) = 0, к = 0,1,2,....,п; (27) заданы начальные перемещения каждого слоя
и (Яп+1 (ф),ф,*,т) = и, (28)
Ц, (Я0 (ф),ф,г,т) = им; (29)
скорости движения жидкости на границе г = Ь и внутри технологического мешка равны нулю
Й(Я0 (ф),ф,г,т) = Й (г (ф),ф,Ь,т) = 0 ; (30)
на хорде г = 0 задана скорость истечения Й0 (т)
Й (г (ф), ф,0,т) = Й0 (т). (31)
Давление внутри технологического мешка задается Р1 (т)
Р (Я0 (ф), ф, г,т) = Р1(т); (32)
аналогично при г = 0
Р (г (ф), ф,0,т) = Р1(т). (33)
При г = Ь, т.е. на другом конце давление равно Р0
Р (г (ф), ф, Ь,т) = Р0. (34)
Плотность материала технологического мешка получена и равна у0:
7(^0 (ф),ф,*,т) = я>; (35)
аналогично на торцах
у(г (ф),ф,0,т) = у(г (ф),ф, Ь,т) = /0. (36)
На втором этапе, к граничным условиям (18)-(36) добавляются условия на образовавшейся поверхности (полимеризации) 5:
г = #(ф,т)
Я
д?, (г(ф),ф,г,т) д?,, (г (ф),ф,г,т)
Я
дг(ф) " дг(ф)
(#(ф,т), ф, г,т) = ?„ (#(ф,т), ф, г,т) =
= \0Гь,0°
д#(ф,т) ;
дт
"V
д\, (г(ф),ф,г,т) д?, (г (ф),ф,г,т)
дг (ф)
+ Г
дг (ф)
-а,
ъм
дУьл (г (ф),ф,г,т) + г д?,, (г (ф), ф,г,т) дг (ф) + 6 дг (ф)
9ь ;
1
Уь,0
(#(ф,т), ф, г,т) = ^ь,„ (#(ф,т), ф,г,т).
(37)
(38)
(39)
(40)
С завершением процесса затвердевания изделия, его рассматриваем как сплошное твердое тело. Поэтому на 3-м этапе задача (6), (7)—(11) решается при граничных условиях:
д(,
Я Эф) + а - ?)
= 0;
(41)
г =Яп+1(ф)
К
э',
дг (ф)
+ а
('ср - '/ )
= 0;
Э',
К (22 + а ('ср-'/)
г=Я1(ф) = 0;
2=0,Ь
'1 (И1 (ф) , Ф, 2, т) = ', (И1 (ф), Ф, 2,т)
К
Э'1 (Я (ф),Ф,2,т) Э', (Я (ф),Ф,2,т) = К '
Эг(ф) 1 Эг(ф)
'0 (Я (ф),Ф,2,т) = '1 (Я (ф) ,ф,2,т);
Э'0 (Я0 (ф) ,Ф,2,т) Э'1 (Я (ф),Ф,20,т)
К--ч/ Ч- =К_ '
Эг (ф)
К + а ('Ср - 'к)
Эг (ф)
= 0,
2=0,Л
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
к = 0,1.
Здесь, ак - коэффициент теплоотдачи; 'р,^,- температура среды, зоны затвердевания и зоны жидкостного состояния, соответственно;
Гб - термоградиентный коэффициент; дЬ0 - поток жидкости к поверхности 5 из
//-ой зоны; дь - величина скачка плотности потока жидкости подводимого из //-ой зоны к поверхности 5, она характеризует интенсивность затвердевания; уь - плотность жидкости; у0 и о - доля жидкости в олигомере в начальный момент и перед началом полимеризации; уо - плотность жидкости перед началом полимеризации; уЪо -
температура затвердевания жидкости.
Система дифференциальных уравнений (1)—(11) в совокупности с краевыми условиями (12)-(48) полностью определяют основные конкретные особенности рассматриваемого единичного процесса.
Для возможности использования связей, содержащихся в указанной системе дифференциальных уравнений, необходимо решить эту систему и согласовать решение с условиями однозначности. Полученное решение содержит объем знаний, вполне достаточный для практики.
Список литературы:
1. Акимов А.И. Математическое моделирование теплофизических процессов в автоматических установках производства композиционных материалов // Материалы VIII Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». - Пенза, 2008. - С. 271-274.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М.: Высш. шк., 1967. -
599 с.
List of references:
1. Akimov A.I. Mathematical modeling of thermal processes at automated production of composite materials // Proceedings of the VIII All-Russian scientific conference «Problems of Informatics in education, management, economics and technology». - Penza, 2008. - P. 271-274.
2. Lykov A.V. The theory of heat conduction / A.V. Lykov. - M.: High School, 1967. - 599 p.
