Применение метода изотермических поверхностей для решения комплексированных задач теплообмена, массообмена и термонапряжений в многослойных конструкциях с фазовыми переходами Текст научной статьи по специальности «Математика»



ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.444

А.И. Акимов

канд. техн. наук, доцент, кафедра информатики и методики преподавания информатики, ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет»

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСИРОВАННЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА, МАССООБМЕНА И ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ С ФАЗОВЫМИ ПЕРЕХОДАМИ

Аннотация. В работе представлены результаты изучения теплообмена, массобмена и термонапряжений на втором этапе производства композиционных материалов (лонжеронов лопастей некоторых типов вертолетов) в установках автоматического ведения технологического процесса. Второй этап длиться 6 часов. За этот период полностью завершается процесс полимеризации в изделиях.

Ключевые слова: метод изотермических поверхностей, композиционные материалы, термонапряжения, установки автоматического ведения технологического процесса, полимеризация.

A.I. Akimov, Candidate of technical Sciences, Orenburg State Pedagogical University

APPLICATION OF THE METHOD OF ISOTHERMAL SURFACES FOR THE SOLUTION OF

COMPLEXED PROBLEMS OF HEAT TRANSFER, MASS TRANSFER AND THERMAL

STRESSES IN MULTILAYER STRUCTURES WITH PHASE TRANSITIONS

Abstract. The results of the study of heat transfer, mass transfer and thermal stress on the second stage of the production of composite materials (longitudinal blades of some types of helicopters) set to automatic management of the process. The second step lasts 6 hours. During this period, the polymerization process is fully completed in the products.

Keywords: method of isothermal surfaces, composites, thermal stresses, devices for automatic management of the process, polymerization.

Несмотря на многовековую историю использования многослойных композиционных материалов (бетон, булат и др.) разработка математических моделей и решение комплексированных задач теплообмена, массообмена и термонапряжений, учитывающих различные теплофизические характеристики слоев, нестационарные многоэтапные режимы производства, фазовые переходы при полимеризации, до сих пор остаются не до конца решенными проблемами производства.

В связи с возросшими требованиями к прочностным характеристикам композиционных материалов в авиационной промышленности, в космической технике и в других областях становятся актуальными детальные исследования физико-химических процессов, происходящих при полимеризации, для разработки систем управления производством таких материалов в установках автоматического ведения технологического процесса (АВТП).

В данной работе предметом изучения выбраны полые многослойные полимер-

ные композиционные материалы, изготавливаемые в прессформах методом полимеризации (см. рис. 1, рис. 2).

Рисунок 1 - Геометрия узла для получения композиционных материалов в разрезе

160

/

- • —..г ?

V

Рисунок 2 - График зависимости температуры от времени в установках АВТП

Метод изотермических поверхностей использован для решения задач второго этапа производства композиционных материалов. На втором этапе теплофизические процессы описываются математическими моделями:

где

1 д1к(г,т) _д%(г,т) , 1 Як(г,т) , 1 дтк(г,т) + г {гт).

ак дт

дг2

дг

Ьк дг

1 дтк (г ,Т _ д 2тк (г ,т) 1 дтк (г ,Т

дт

дг2

дг

К (г,т);

д 2ик (г ,т) + 1 дик (г ,т) ик (г ,т) _ к (1 + в) длк (г ,т) г

дг2

1 дтк (г ,т) Ь дг

дг

■ fk(г,т) _С(г,т);

1 -в

дг

К _ ; т _ тк,1; ик _ ик,, _ и;

< г < Rk(ф) для к=1,2,...,],...п; Щф) < г <£(у>,т) при \=\, ¿¡(ф,т) < г < Rn (ф) при \=\ начальных условиях

(1) (2) (3)

1 "С

60

20

2

8

т, час

4 (Л0) = 'о; тк (г,0) = то ;

"к (г ,0) = 0;

и при граничных условиях

, (Я (ф),Т + ^ ^М!) = Р, фг);

аг

т, (я; Ш) ^ (/!°(У),Г) = 0;

в дГ

и, (Я, ф),т) = Щ;

'к -1(Як--|(^),г) = 'к (Як (ф),Т = Рк-1(ф,Т;

тк-1 (Як-1 (ф), Т = тк (Як (ф), т) = Ок-1 ф, т); к = 2,..., п;

ик-1(Як-1(ф),Т) = ик (Як-1(Ф),Т);

'1(Я0(ф),г) -А = р0(ф,г);

а.

аг

т2(Я,(ф),т)-в ат2(Я1(ф),Г) = 0;

в дГ

и,(И0{ф),т) = и0;

с условиями полимеризации

' I (4(ф, т), т) ='а (4(ф, т),т) = 'кр; т,(4ф,т),т) = т„(4(ф,т),т) = ткр; и, (4(ф,т),т) = и,, (4(Ф,т),т); ,(а4(ф,т),г) = '0; т,, (а4(ф,т),т) = т0; и ,, (а4(ф,т),т) = 0;

А-1

э

д'к-1 (Як-1 (ф), т) А д'к (Як-1 (ф), т). — = А —

дг

дтк _1(Як _1(ф),т)

к-1

аг

э

дг

дтк (Як _1(ф),т);

дг '

при Як(ф) *4(ф,т);

& , (4(ф,т),т) А ч, А--А

аг

Щ, (4(ф,т),т) =ст_с(4(ф,г).

аг

сСт

дЭ,

дЭ,

дт,(4(ф,т),т) +г Я,(4(ф,т),т)

т! ,

аг

аг

дт11(4(ф,т),т) + г д'11(4(ф,т),т)

аг

аг

= з,

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10) (11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

(22)

(23)

(24)

(25)

где ак,А,ак - коэффициенты температуропроводности, теплопроводности и теплопередачи; ск,бЭк,вк - коэффициенты проводности потенциала массы, массопроводно-

сти и массоотдачи; а - теплота полимеризации; Рк_1(т),Ок_1(т),£(т) - достаточно гладкие функции своих аргументов, которые подлежат определению через условия (22), (23); а - безразмерный параметр теплового влияния в к - слое.

Для решения поставленной задачи (1) - (2), (4) - (5), (7) - (25) применим метод изотермических поверхностей [2], для чего заменяем истинное распределение температуры и массы ¡т(г) и тт(г) внутри каждой области ^к(ф),£(ф)) и (<ЦТ(ф),а£(ф)) при

фиксированных положениях границы £(ф) = £(ф,т) нестационарным распределением температуры ti(г,т) и массы т,(г,т), т ^-т, _т(£) (рис. 3).

Рисунок 3 - Схема расположения зон:

0 < г < R(ф);к _ 1,...,п;I _ 1,11; 0 < ф< 2п;т > 0

Если Rj-1(ф) < £(ф) < Rj(ф), где 2 < } < п, то введя вспомогательные функции

Ж, (г, т) _ Рп-1(ф, т) + (п (ф, т) - Р-1 (ф, т))

г - Rn-ф ; Rn (ф) - Rn-1(ф);

Жи (г ,т) _ ^ +[Р„ (ф,т) - ъ ]

Хш(г,т) _ ^ + Укр -

г (ф) ; Rj (ф) (ф)' г - а£ (ф) .

(1 - а) -£(ф)

(26)

ХЛпт,) _ Ро(ф,т,) + ) - Ро(ф,т,)]- г **о(ф)

- Rо (ф) а также

вп(г,т) _ Оп 1 (ф,т) + ((ф,т) -Оп-1 (ф,т)) );

Rn (ф) - ^-1(ф)

^т) _ ткр )- ткр ] :

(27)

в2(г,т,) _ 01 (-,т1) + [(-,т,) - р(-,т1)]-

г -

'«2 (-) - Ъ-)'

ищем решение задачи (1)-(2), (4), (5), (7), (8), (10), (11), (14), (16), (17), (19), (20) в виде

^ (г т) = ук (г, т,) + Х (г, т,); тк (г, т,) = Рк (г, т,) + (г ,т). В результате приводим эти задачи к виду: 1 дук (г,т,) _д2Ук (г,т,) + 1 дУк (гт)

ак дт

■ + П (г т);

1 дРк (гт )_ д2Рк (г,т,) 1 дРк (гт)

ск дт

дг

+ ®к (г т);

дг2 г ук(г,0) _ (к(г,0)-Хк(г,0); Рк (г,0) _ тк (г,0) -вк (г,0), с однородными граничными условиями типа (7), (8), (10), (11), (13)-(19). Решение задачи (30)-(33) ищем в виде суммы: Ук (г т) _ V, (г т) + ®к (г т); Рк (гт) _ (гт) + як (гт), для уравнений

1 дVk (г, т) _ д2Vk (г, т) +1 дVk (г, т)

г

ак дт

дг2

дг

■ + ¥к (г т);

1 двк (г,т,) _ д2вк (г,т,) 1 двк (гт)

ск дт

дг2

г дг

+ ®к (г т);

где

¥к (гт) _£к (г,т,) +

(°к(гт) _ (гт) +

д2Хк(г,т) , 1 д%к(гт) 1 д%к(гт).

дг2

дг

ак дт

д2вк (г ,т() 1 д^ (г,т) 1 двк (г ,т).

дг2

дШк(г,т) _ 1 г д^(г, т)\ ак дт г дг [ дг

ддк(г,т) _ 1гддк(г,т)\ г дг I дг

ск дт

дг

(40)

(41)

ск дт

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

с начальными условиями типа (4), (5) и нулевыми граничными условиями.

Частными решениями уравнений (40), (41) являются цилиндрические функции. Применяя метод интегральных преобразований по переменной г, получим общее решение

а

« ехр(-ак Пт) '(г,т) _ ^ с

г_1 сгк Rk-1(ф

[ АМ%кг) + вМ%кг)];

« ехр(-Ск ПукГ; )

< \7//

I а(г, 0) [А¿0 (%кг) + В У п)]

(г т -

у_1 с

I Як (г, 0) [Лк¿0 (%кг) + Вк2У0 (%кг)] гбг

(42)

(43)

"гк Rk-1(ф)

[ А 2^0(%кг ) + Вк 2У0(%кг )];

Подчинив общее решение для собственных функций однородным граничным условиям, получим

АЛад) + ВУо^п)[ Ш (п^п) + ВпУ^п)] _ 0;

АпМп^п-1) + ВпУ^^-1) _ 0;

(44)

АтМп^т) + ^Пт^) _ 0; т _ ^ \ ^ п; АтЛ Пт^-1) + ВтУ0 ^^т-1) _ 0 \ _ \.~п + 1

¡АМп^) + в2У0{r|r2R2) _ 0; [Шп^)+В^п^) _ 0;

\AJnR1) + вуоПА) _ о;

УоП^о)+Byyolr.Ro)[ АЛ ПЮ + вуп^о)] _ о.

Очевидно, что нулями собственных функций являются и значения ). Это дает дополнительную систему, вид которой зависит от номера слоя.

Решив систему (44) найдем, что с точностью до произвольного множителя

Ат _ У0 Пп^т ), Вт _ -Л0 Пт^ ); Ап _ У0-1), Вп _ -Л0 Ь^п-1).

Для определения собственных чисел пут получим уравнения

У0 Пп^-1 ¿0 ПгР-п ) - Л0 Пп^-1)У0 Пп^-1) +

+а [УоГг^п Ш (п^п) - Мг^тг^п)] _ 0;

ап

У0(rrmR т-1 т т-1' '

Уо (п г 2R2 Ло ) - Л (п^2 )Уо ) _ 0; Уо (п¿0 (п^о) - Л (п)Уо (п) -

-а [Уоп^ш (п^о) - Мп^К^о)] _ 0.

(45)

К этим уравнениям относится также уравнение с учетом границы ), вид ко-

торого зависит от положения этой границы.

Нормирующие делители Сук получаются в следующем виде:

Сгп _ | [АЛ(пгПг) + ВХП%пг)] гбг

О.п-1-)

О 2 , 2 \

0{ПА) + [сп(ПпОп)]};

От-)

Сгт _ | [Ат^0(%тг) + Вт\(%тг)]

От -1-)

(Лгт°т ) - (Лгт°т-1)

т-1

(46)

Я1-) 2

сг1 _ | [А^П/)+е1У0(пг1г)] гбг-

«0-) 2

_- 02 {{0)+[^00)]2} которые далее будем обозначать через Су], имеющей вид одной из этих формул в зависимости от того, в каком слое находится граница £(т,).

Таким образом, осуществив преобразование, обратное преобразованию с ядром Кк(г,у) _ Аки0(г/гкг) + БкУ0(пгкг) и весовой функцией р(г) _ г, придем к решению

(42) задачи (40), (41), где

сок (г,0) _ 1к (г,0) -Хк (г,0);

Як (г,0) _ тк (г,0) -вк (г,0);

Решение задачи (38), (39) будем искать в виде ряда

да

^(г, т) _ X V т) [ Ак1^0 П) + вкУ0 П)]; (47)

7=1

да

^ (г, т, ) _ X ^ (т ) [ А2^0 П) + Вк2У П)] ,

(48)

7=1

так что граничные условия удовлетворяются сами собой; при этом предполагаем, что функции \к и сок разлагаются в ряд по собственным функциям

да

®к(г, т) _ X агк т) [ А 2^0 Пкг) + В 2У0 п)];

да

\к(г, т) _ X \(т) [Ак 1^0Пкг) + Вк 1У0П)].

(49)

(50)

Подставляя (47)-(50) в (36)-(39) и полагая, что х _4г, приводим задачу (36)-(37) к виду:

dsk (т,,у) дт

dVk (т,/)

v 2 у

Ч* V

V 2 ,

дт

Sk (0,Y) = 0; Vk (0,y) = 0; и получаем ее решение

sk (т,г) = ®k (т,г);

vk (т,г) = v* (т,г);

SYk (Т ) = fCyk (T)eXP

0

V (т) = fvrk (т)ехР

v 2 у

(т-т)

V 2 ,

(т-т)

с1т;

dT,

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

а коэффициенты с , у находятся из условия ортонормированности собственных

функций:

1 Rk м

®rk(T) = -1 f Ck(r,т)[Ak2J0(nynr) + Bk2Y(%,r)]rdr;

(57)

Yk Rk-iM) Rk M)

1

Vyk (T) = ^ f Vk (r ,T) [ AkiJ0(nrkr) + BkiY0(nrkr)] rdr ■ (58)

CYk Rk-iM)

Подставляя (55)-(58) в (47)-(48) получаем окончательное решение задачи (36)-

(37)

т Rk M)

да 1 ...

sk(r т) = Х С" f f ®k(r ,т)ехр

Y=1 CYk 0 Rk-1(M

[ Ak 2J0(nykr) + Bk 2Y0(nrkr)];

1

vk(г,т) = ZC-f f vk(r,техР

Y=1 CYk 0 Rk-1M)

т Rk M)

V 2 ,

4* ^

V 2 У

(т-т)

(т-т)

' [ Ak 2J0 П ) + Bk 2Y0 (ПгкГ)] ГСгСт

■ [ A 1J0(Vrkr) + Bk 1Y0(nrkr)] гСгСт

(59)

(60)

[ Ak1J0(Vykr) + Bk1Y0(Wrkr)] ■

Далее согласно (34)-(35), решениями задачи (30)-(33) являются функции

й (r ,т)=1 expptc^il У

Y=1 Cyk

Rk-1(M)

f Ck(r,т)exp\ck (П \(т + 3т)ст + mk (r,0) - 0* (r,0)

(61)

[ Ak 2J0 (vrkr) + Bk 2Y0 (vrkr)] rdr [ Ak 2J0 (vrkr) + Bk 2Y0 (vrkr)];

yk (r т = £

exP(-ak nY

Y=1

yk

Rk (m) f

Rk-1(м)

f Vk(r,тexp\ак\П \(т + 3т)ст + tk (r,0) - ^ (r,0)

(62)

[ Ak1J0 (Vykr) + Bk 1Y0 (Vykr)] rdr [ Ak1J0 (Vykr) + Bk1Y0 (Vykr)] ■

С учетом (28), (29) получаем окончательное решение задачи (1)-(2), (4)-(25)

т,

) _х ехр(-СкПкт) 0к-

¡®к (г,т)ехр \ск (т + 3т) [ ^т + т0 - (г ,0)

V 2 ,

г_1 ук Ок-,(-)

[ а, 2 V) + Вк2У)(Пкг)] гбг [ Ак2 ^(П) + Вк2У)(Пкг)] + 0(г, т);

(63)

\(г,т)ехрЬк -21 (т + 3ттdт + to-(г,0)

V 2 У

^ (гт ) ^

Г_1 Сук Ок _,(-)

[ Ак140 Пкг) + Вк1У0 Пкг)] ^г [ Ак140 Пкг) + Вк1У0 (Лукг)] + Х(г, т, );

где последовательность {т} определяется рекуррентной формулой

(64)

т+1 _ т +

Л

Щ (гт)

дг

(г,т)

дг

(65)

в которой Л£ = £м - £;

дtl (гт)

дг

дХ, ( г т )

г _£

дг

да

X [ Ак14 (к£) + Вк1У )],

У_1

и где

\(г,т)ехрЯ ^ (т + 3т,)[ + ^-

V 2 У

^ _ ехрМкПкГ,) Ок-) ГС 1

гк Оки-)

• [ Ак140 П) + вк1у0 П)] ^г;

Ок-1 -) < £ (-) < Ок (-), а _ £ > 1, Хк (г, 0) = Хс.

Для нахождения функции Рк (т) и (Зк (т) используем условия сопряжения (8), и при надлежащем выборе функций \к (г ,т) и ®к (г ,т), получим интегральные уравнения Вольтера, которые хорошо решаются методом рядов.

Решение задачи (3), (6), (9), (12), (15), (18), (21) в общем виде имеет следующую форму

ик _ Нк 1г

Нк2 , к(1 + Р)

1 Г,4 дtk(г,т)

„2 дtk (г,т)

г4 - ^г - г|г'кК''~^г

дг

дг

г 1 -р

с учетом (6)-(9), (12), (15), (18), (21) окончательно имеем

ик(г,т) _ Икг + % + X{гIг2 [АкАП%кг)

I Р -1/=1

(66)

N

+ВУП) -V' N

г 1 -Р Г_1 1 дХк (г т

+ВкУНкг) --

Лк дг 1 дХк(г,т)

dг -11 г4 [ Ак )

(67)

Лук

дг

dг

где Нк1, Нк2 находятся из граничных условий.

Анализ упрощенной математической модели процесса показывает, что аналитическое решение задачи второго этапа процесса изготовления композиционных материалов целесообразно получить с использованием метода изотермических поверхностей. Метод изотермических поверхностей позволяет исследовать процесс распространения тепла и массы вещества в их взаимосвязи, как по одномерной, так и по многомерной схеме, в средах с изменяющимся состоянием при наличии нестационарных сопряжений.

Список литературы:

1. Акимов А.И. Математическое моделирование теплофизических процессов в автоматических установках производства композиционных материалов. //Материалы VIII Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике»: г. Пенза, 2008. С. 2Т1-2Т4.

2. Шафеев. М.Н. О сходимости метода изотермических поверхностей. //ВИНИТИ, №6597-В86. г. Уфа, 1986. - С. 12

S. Лыков А.В. Теория теплопроводности. //М.: «Высшая школа», 196Т. 599 с.

List of references:

1. Akimov A.I. Mathematical modeling of thermal Processes at automated Production of comPosite materials. // Proceedings of the VIII All-Russian scientific conference "Problems of Informatics in education, management, economics and technology": c. Penza, 2008. P. 2T1-2T4.

2. Shafeev. M.N. Convergence of the isothermal surfaces. // VINITI, № 6597-B86.c. Ufa, 1986, -

P.12

S. Lykov A.V. The theory of heat conduction. //M.: "High School", 196T. - 599p.