Постановка и решение задачи синтеза и оптимального управления технологическими процессами лесозаготовок Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ЛЕСОЗАГОТОВОК

С.Б. ЯКИМОВИЧ, докторант МГУЛа

Основная цель объявленной задачи - минимизация удельной энергоемкости технологического процесса (ТП) лесозаготовок посредством синтеза оптимального процесса, то есть получения соответствующей траектории ТП и программы управления, при выполнении соответствующих ограничений. В ряде случаев может быть более частная формулировка цели. А именно, определение программы скорости транспортировки и изменения объема предмета труда (ПТ) по маршруту ТП, обеспечивающей минимум расхода энергии (топлива) с ограничениями на мощность и иные переменные управления и состояния ТП. Основа способа отображения ТП лесозаготовок посредством вариационного исчисления и теории оптимального управления процессами изложена в [1],[2].

Факторами управления в задачах минимизации удельной энергоемкости ТП являются:

1) форма траектории изменения объема ПТ, ее математическое выражение и отвечающая этой форме степень совмещения (размещения) технологических и переместительных функций лесозаготовительных машин [3];

2) текущая координата перемещения ПТ по маршруту ТП; скорость перемещения (транспортировки); текущее значение объема ПТ и скорость его изменения или скорость резания(подачи), определяющие динамику изменения объема ПТ; в ряде случаев может быть использовано и ускорение при транспортировке и изменении объема ПТ.

Т

г

рд-х2 + pg(f сова ± эта)

Факторы состояния определяются природно-производственными условиями. А именно:

- стохастичностью предмета труда [4], [5], [6];

- стохастичностью процессов изменения объема и транспортировки ПТ [2], отражаемых математически посредством теории стохастических процессов.

Ограничения определяются из физической сущности процесса и граничных условий. Например, по мощности, скорости изменения объема и транспортировки ТП, геометрией и размерами ПТ и других составляющих ТП.

Удельная энергоемкость, как критерий, определена целью поставленной задачи. Однако, при необходимости, могут конструироваться критерии в виде свертки удельной энергоемкости (либо энергоемкости ТП или интеграла действия) и металлоемкости, удельного расхода топлива и др.

Постановка задачи при непрерывных функционале и системе уравнений состояний имеет следующий вид.

Найти такой процесс (траекторию технологического процесса У(0 и управления и'г её обеспечивающие, а также соответствующее полученной траектории размещение технических функций и степень их совмещения в пространстве и времени маршрута ТП) при котором интегральный функционал удельной энергоемкости ТП, дж/м3

I у-р

3 Я.

+а)

0)

процесс соответствует системе дифференциальных уравнений (уравнений состояний)

х =х

х =

и,' ■ Na g(f cosa ± sin а) Xі • р ■ х3 ■ S д

(2)

X =-

-э и ' • »• 1 -р •V

x2kpbl'-l‘" -Н ■(1 + а0)^

К

И удовлетворяются ограничения: по номинальной мощности

pV,&c2 + pV^/cosaisina)]-.*2 +

у-p

L

v-w

кЬ^Щі + а.)

■v<N

на управления 0 < и' < 1, 0,00001 < и; <, Уи -V*; по граничным условиям *з.-Уг(0) = Ун, У,(Т) = Ук; хі;/,(0) = 0, ЦТ) = 1к;

х2:1/(0) = 0,1,\Т) = 0 (или 1\к), (3)

Здесь обозначены (часть обозначений дана в соответствии с принятыми в теории оптимального управления процессами [7],): <5 - коэффициент, учитывающий инерцию вращающихся масс привода и определяется по эмпирической формуле [8] <5 =1,04 + 0,05г2к„ (іК„ - передаточное число коробки передач, для прицепов и других устройств перемещения предмета труда 8 = 1);/- коэффициент сопротивления качению и (или) волочению, а также протаскиванию (перемещению) ПТ при его обработке; р- объемная масса ПТ; и - среднее статистическое скорости резания; ссо - коэффициент усилия отжима; кр - удельная работа резания в соответствии с шагом зубьев V, Лх - рабочий ход, определяющий путь ПТ или режущего инструмента при его обработке (делении древесины); Ь - ширина пропила; Н - высота пропила; х1 (в традиционных обозначениях I,) -координата ПТ по расстоянию маршрута

р-х3-8-х2 + р-Xі ■ g(f cosa + sina)

ТП; х2 (или /,0 - скорость транспортировки или перемещения ПТ;. х3( или V,) - изменяемый во времени объем ПТ; хг - скорость изменения объема ПТ; иг\ или крп(0) -управление, определяющее коэффициент использования и распределения мощности между переместительными(транспортными) и технологическими (деление ПТ) действия-

л

ми; иг ( или АУптп(г)) - управление, определяющее объем компонента ПТ, отделенного от основного потока, и запаса между смежными технологическими действиями; Ыеп -номинальная эффективная мощность; Ун,Ук -значения объема в начальном и конечном состояниях ПТ; р и р;- показатели вида резания и режущего инструмента.

Функционал определялся на основе э г ш (¥„■¥&

п..

выражения g =

Г Ndt _ Г F -1

J ~у~ ~ J V

V, J V, J V, здесь Fc вектор сил сопротивления и соответствующий ему вектор скоростей д . Подынтегральное выражение функционала получено в следующей последовательности. Выразив зависимость сил сопротивления Fc в скалярном виде, как суммы транспортной и технологической составляющих

Fc - pVfil] + pV,g(f cosa ± sina)+

V'R,

y-p

u-AK..

]H{1 + aJ

(4)

и преобразовав выражение Fr с учетом вве-

1 2

денных обозначений kpn(t) = ur, AVnT = ur, v = UrV = It, X2 = //, X3 = Vt (v - const для б.м. промежутка времени), получим /

•g(/cosa±sina)+

Fc = рхъ8 ■х2 +р -хг

Г \1-/>

х R

иI V

■кр-Ь

(bp.)

Я-(1 + а0)

Тогда

X +

N.I-P

-dt -

-I1

т

=!

/ >-х3-5-х2 +р-х3 ^(/совх + втх) •х2 + / г *3 -К и) - у-я ■ьр -крЬ{>~п)-Н-(1 + а0) ) г

х3 р-(5-х2 + р■ g(/cosa±вта) -х2+- ( ' V х3 Я и; 1 ) -Р •и" •кр-Ь('~п)Н-(1 + а0)

х3

л

Формирование ограничений производилось с учетом системы дифференциальных уравнений состояний. Ограничения на управления крп(г) - и/, ДУПТ= и г определяются физической сущностью и существующей практикой технологических процессов на лесозаготовках. Коэффициент распределения мощности крп( г) = и г не может быть больше единицы. Ограничение А УПт = иг2 на объем отделяемого ПТ определяется начальным У„ и конечным Ук значениями. На скорость перемещения ПТ ограничение накладывается исходя из условия неотрицательности и максимально возможного значения скорости (Iперемещения или транспортировки ПТ.

В сформулированной постановке (1), (2), (3) векторы функций, характеризующих состояние х(1) и управление иД/) принадлежат к бесконечномерным пространствам, предполагающим аналитическое решение, в данном случае невозможное. Для синтеза технологических процессов лесозаготовок (решения) поставленная задача оптимального управления (ОУ) сводится к задаче нелинейного программирования [9]. Преобразование бесконечномерной постановки задачи к конечномерной (параметризация задачи) для численного решения выполняется посредством нисходящих конечных разностей (метода сеток). Вместо функций непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки - сеточные функции. Производные заменяются их разностными аналогами, интегралы (функционалы) суммами дискретных значений на основе метода прямоугольников, определенных в каждом из узлов сетки. Промежуток времени

[0,Т], определяющий время прохождения по маршруту ТП изменяющегося объема ПТ, разделяется на N равных подинтервалов (в ряде случаев длина интервала принимается в качестве переменной, является неравной и подлежит также оптимизации в процессе поиска) [0,^], [Ш2\...\?тМ- Здесь Г - вре-

мя завершения процесса, Дь - ?,+/-?, - длина подинтервала. При постоянном значении Аи обозначается как к. В дальнейшем, обозначения индекса г, (+/ и т.д. при переменной х, будет означать ее соответствие моменту времени с аналогичным индексом [7], а сами переменные представляться как функция л:, = х(и). Дискретные уравнения состояний имеют вид хм=хи,а функционал

J =И^/0(х,,и). Аналогично представляются

/=0

граничные условия и другие ограничения.

Тогда, постановка задачи в конечномерном виде для аналитических выражений (1), (2), (3) имеет следующий вид. Определить управление и,, и траекторию х\ х1 с законом изменения скорости транспортировки и перемещения ПТ (хг), при которых функционал удельной энергоемкости ТП

р.<5

х1, -X3

1-с

ки:

я

•и"-*.

+ Р'#(/ сова! вша) Ь(н,,) •#•(! +а)

■хг +

X;

->тт

процесс соответствует системе разностных уравнений (уравнений состояний)

: х! + к ■ х2

хІ=х, +Л

и1 в{/ со?,а±&та)

х2-рх]-8 8

■ х! + /і -

(і-«; 1 1 -р

ип хг -к Ь{,~п і Р ■Н{1 + а0) • и

я

И удовлетворяются ограничения: по номинальной мощности

Р\8

Ґ 2 2 \ -С, -Xі,

+ соэа±ша)

V *.3 > 1-/7

1 і+І Хі р _\ " У 1 + 0,)

и<М,

на управления

О < гЛ,< 1,0,00001 < и2п<х30 - х3ы по граничным условиям

х3 (0)=Л = Ун, х\Т) = х\ = Ук,

До) = хх о = о, хх(Т) = ххм = 1Ь х2(0) = х20 = 0,00001, х\Т) = Л = 1',ь (6)

Преобразованная в дискретный вид задача для принятого N = 20, содержит 92 переменных и 165 ограничений. При решении поставленной задачи использован метод

Марквардта, основанный на комбинации методов Коши и Ньютона.

Результаты синтеза одного из вариантов оптимального ТП, то есть определение траектории изменения объема и управлений в фазовых координатах представлены на рис.1. Исходные и полученные данные по синтезированному процессу следующие. Начальный объем ПТ-1 м3, конечный - 0,2 м3 деление древесины цепными пилами ПЦУ-10,26, ширина пропила Ь = 9,5 мм, Лх = 70 м (23,4м для выбранного интервала К), Ыеп =50 кВт, интервал времени между узлами сетки й = 20 с, значение интегрального функционала = 3199924,5 Дж/м3 или

0,89кВт. ч/м3). Значение Ях= 70 м физически означает, что ПТ (дерево со средним объемом равное 1 м3) очищен от сучьев, раскряжеван на пять сорторазмеров, последние два длиной по 4,5 м распилены на обрезные и необрезные пиломатериалы и доставлены на конечный пункт. По процессу на рис. 1 - в координатах рабочей позиции, первоначально выполняется переработка ПТ до конечного состояния и его последующая транспортировка до конечной позиции (среднее расстояние до погрузочного пункта - 260 м).

Дм

Рис.1. Траектория и управления оптимального процесса лесозаготовок(начальное состояние ПТ-

растущее дерево, конечное состояние ПТ- пиломатериал):...... -скорость перемещения

(транспортировки) ПТ (л?);...... - объем ПТ(х3); —О—-коэффициент использования и

распределения мощности между переместительными (транспортными) и технологическими (деление ПТ) действиями(мг'); —О—О” - объем отделенного от основного потока компонента ПТ (иг2)

X , м/с Дм3

иД М3

л: ,м

Рис. 2. Траектория и управления процесса лесозаготовок с переработкой ПТ: ■

— - скорость

перемещения (транспортировки) ПТ (х2);.........- объем ПТ(х3); коэффициент

распределения мощности между переместительными (транспортными) и технологическими (деление ПТ) действиями^/); —О-О-—- объем отделенного от основного потока компонента ПТ (мг2); а - в координатах растущего дерева); б - в координатах погрузочного пункта

Анализ процесса на рис.1 определил задачу анализа решения, как задачу уточнения решения, в связи с погрешностями численного метода, и сопоставления трех ключевых вариантов ТП из области допустимых решений [1]. Два из них, на границах области и один промежуточный, между двумя упомянутыми. Первый вариант- процесс переработки ПТ в координатах растущего дерева или рабочей позиции и последующей транспортировки готовой продукции , второй - процесс транспортировки дерева и последующей его переработки в габаритах процессорной и лесопильной установок на

погрузочном пункте и третии, промежуточный, - процесс совмещения транспортного и обрабатывающих действий с постоянной скоростью.

Графическая интерпретация результатов синтеза для перечисленных процессов дана на рисунках 2, 3 отражающих для каждого из них изменение фазовых переменных и управлений относительно фазовой координаты - расстояния маршрута ТП. Процесс переработки ПТ в координатах растущего дерева или рабочей позиции и последующей транспортировки готовой продукции представлен на рис. 2а, процесс транспортировки

дерева и последующей его переработки в габаритах процессорной и лесопильной установок на погрузочном пункте - на рис. 26 и процесс совмещения транспортного и обрабатывающих действий с постоянной скоростью - на рис. 4.

Процесс, представленный на рис. 2а протекает следующим образом: первые 60 с происходит переработка ПТ от начального и до конечного состояний в координатах растущего дерева (ПТ очищен от сучьев, раскряжеван на пять сорторазмеров, последние два длиной по 4.5м, распилены на обрезные и необрезные пиломатериалы) и далее транспортировка ПТ в конечном состоянии до погрузочного пункта. Все отходы, в соответствии с современными требованиями ведения лесного хозяйства и систем лесной сертификации (ЛПС и др.) используются в зоне переработки для удобрения почвы. Представленный процесс характеризуется: начальный объём ПТ-1 м3, конечный (обрезной и необрезной пиломатериал) -0,2 м3, деление древесины цепными пилами ПЦУ-10,26, ширина пропила Ь = 9,5 мм, Их = 70 м (23,4 м для выбранного интервала /г), N = 56,2 кВт, значение интегрального функционала *,= 3413779,8 Дж/м3 или 0,95 кВт.ч/м3)

Процесс, представленный на рис. 26 протекает следующим образом. Первое -

срезание ПТ и транспортировка в начальном состоянии (деревья) до погрузочного пункта с полным исключением потерь различных компонентов деревьев. Далее, в течении 60 с происходит переработка дерева от начального и до конечных состояний (очистка от сучьев, раскряжевка на пять сорторазмеров, последние два длиной по 4,5 м, распиливаются на обрезные и необрезные пиломатериалы) для различных компонентов в координатах процессорной или лесопильной установок. Все полученные компоненты (сортименты, пиломатериал, сучья, кора, опил и др.) полностью используются. Все перерабатывается без отходов и реализуется потребителю. В противном случае энергоемкость процесса возрастает и подлежит пересчету на основе фактически использованного конечного объема ПТ. Представленный процесс характеризуется полным совпадением параметров с параметрами процесса на рис. 2а : начальный объем ПТ-1 м3, конечный (обрезной и необрезной пиломатериал) - 0,2 м3, деление древесины цепными пилами ПЦУ-10,26, ширина пропила Ь = 9,5 мм, /?* = 70 м (23,4 м для выбранного интервала К), N = 56,2 кВт, значение интегрального функционала gэ = 3413779,8 Дж/м3 или 0,95 кВт.ч/м3)

Рис. 3. Траектория и управления процесса лесозаготовок с совмещенными транспортировкой и

обработкой ПТ: ......-скорость перемещения (транспортировки) ПТ (х2)\ ......... - объем

ПТ(х3); —а—□— - коэффициент распределения мощности между переместительными (транспортными) и технологическими (деление ПТ) действиями(мг’); —0—*0*“ - объем отделенного от основного потока компонента ПТ (и,2)

Совмещение процесса транспортировки с обработкой ПТ во времени, графическая интерпретация которого дана на рис. 3 реализуется в следующей последовательности. Отделенное от пня дерево обрабатывается (очистка от сучьев, раскряжевка на пять сорторазмеров, последние два длиной по 4,5, распиливаются на обрезные и необрезные пиломатериалы) и перемещается к конечной точке маршрута ТП (погрузочный пункт). При этом отходы (сучья, опил и др.) отделяются и остаются в точке маршрута, где произошло отделение. Процесс обработки и транспортировки завершается одновременно. Представленный процесс характеризуется следующим: начальный объем ПТ-1 м3, конечный (обрезной и необрезной пиломатериал) - 0,2 м3, деление древесины цепными пилами ПЦУ-10,26, ширина пропила Ь

- 9,5 мм, Ях = 70 м (3,7м для выбранного интервала К), N = 16,3... 17,5 кВт, значение интегрального функционала gэ = 12300210 Дж/м3 или 3,4 кВт.ч/м3). Характер изменения значений мощности определяется переходными процессами разгона и торможения ПТ при одновременной его обработке (диапазон значений 16,3... 16,8 кВт). А также процессом установившегося движения с одновременным отделением компонентов ПТ равными долями, объемом 0,042 м3 для каждого подинтервала к. При этом значение потребляемой мощности, в связи с уменьшением объема ПТ, снижается от 17,507 до 16,677 кВт с шагом 0,052 кВт.

Выводы

1. Постановка задачи оптимизации траектории и разработанный интегральный функционал удельной энергоемкости ТП лесозаготовок позволяют реализовать обоснованный выбор оптимальной траектории ТП. Форма траектории изменения объема ПТ и ее математическое выражение определяют, отвечающие этой форме, степень совмещения (размещения) технических функций лесозаготовительных машин и место выполнения обрабатывающих действий.

2. Использование уравнений состояний ТП и постановка задачи оптимизации

ТП, как задачи оптимального управления по критерию удельной энергоемкости позволяет дополнительно, кроме оптимальной траектории и, соответственно степени совмещения функций лесозаготовительных машин, определить законы управлений, реализующих эту траекторию. В качестве управлений рекомендуется принимать: объем отделяемых от основного потока компонентов ПТ; коэффициент использования и распределения номинальной мощности; скорость резания при делении ПТ; скорость транспортировки. Законы управлений могут быть использованы при разработке регуляторов лесных машин.

3. Синтезированные на основе поставленных задач технологические процессы (траектории и управления) по критерию удельной энергоемкости и анализ полученных решений привели к следующему заключению:

- разработанная дискретная математическая модель и постановка задачи нелинейного программирования на ее основе адекватно реагируют на изменения ограничений и переменных состояния моделируемого процесса (например, недостаточность мощности для реализации процесса в рамках отведенного интервала времени приводит к уменьшению расстояния перемещения ПТ и снижению объема отделяемых компонентов ПТ);

- оптимальными процессами, по критерию удельной энергоемкости, являются процессы, реализующие полную переработку ПТ в начальной (например, в координатах растущего дерева) или конечной позициях маршрута ТЩнапример, в координатах рабочей позиции обрабатывающей машины лесопромышленного склада);

- сравнительные результаты значений удельной энергоемкости при принятых исходных данных для траекторий, определяющих переработку в координатах растущего дерева или рабочей позиции обрабатывающей машины на погрузочном пункте, и траекторий с совмещенными транспортировкой и обработкой ПТ, определяют эффективность первых (траекторий на границе ОДР) в 3,6 раза, но для ТП с совмещенными

транспортировкой и обработкой требуемая необходимая мощность в 3,2 раза меньше;

процесс полной переработки в координатах растущего дерева и последующей транспортировки конечных состояний ПТ позволяет ограничиться минимальными размерами буферных и межоперационных запасов в связи с тем, что неравномерность процессов обработки конкретного дерева имеет минимальный разброс и носит предсказуемый характер.

Список литературы

1. Редькин А.К., Якимович С.Б. Способ моделирования и проектирования технологических процессов лесопромышленного комплекса // Лесной вестник. - М.: МГУЛ, 2000. - № 4. - С. 55 - 69.

2. Якимович С.Б. Измерение и проектирование технологических процессов лесопромышленного комплекса / МарГТУ. - Йошкар-Ола, 1997. - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 1931В97.

3. Якимович С.Б. Оптимальное размещение технологических функций по маршруту лесозаготовительного процесса // Социально-экономические и экологические проблемы лесного комплекса: Сб. материалов Международной научно-технической конференции / Уральский гос. лесотехн. ун-т. -Екатеринбург, 2003. - С. 200 - 201.

4. Редькин А.К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок: Учебник для вузов. - М.: Лесная пром-сть, 1988. - 256 с.

5. Никишов В.Д. Комплексное использование древесины: Учебник для вузов. - М.: Лесная пром-сть, 1985.-264 с.

6. Боровиков А.М., Уголев Б.Н. Справочник по древесине. - М.: Лесная пром-сть., 1989. - 296 с.

7. Понтрягин A.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В.,Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

8. Лесные машины \ Г.М. Анисимов, С.Г. Жендаев, A.B. Жуков, В.М. Котиков и др. - М.: Лесная пром-сть, 1989. - 512 с.

9. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

СИНТЕЗ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПРОЦЕССА ЛЕСОСЕЧНЫХ РАБОТ

A.B. МЕХРЕНЦЕВ, УГЛТУ, канд. техн. наук, Е.А. САЗОНОВА, асп. УГЛТУ

Внедрение систем лесозаготовительных машин предъявляет свои требования к организации и структуре производственных процессов. При этом производственный процесс на базе новой лесозаготовительной техники можно строить по традиционным методикам или в соответствии с новьм подходом.

Разработку основных принципов построения производственных процессов целесообразно начать с анализа основных требования к построению в целом всего лесозаготовительного производства, затем отдельных его фаз и операций. Детальный же анализ систем машин с применением системного подхода следует выполнять в обратном порядке, т.е. вначале операция, затем технологический и производственный процессы.

При организации и проектировании технологического процесса большое значение имеет правильный выбор и расчет комплекса машин, позволяющего выполнить заданный объем заготовки леса в установ-

ленные сроки с высокими экономическими показателями.

При выборе и обосновании производства необходимо определить систему машин, соответствующую производственным условиям предприятия, а также схему комплектования и количество машин в комплексе.

При анализе функционирования лесозаготовительных систем не всегда правильно применять известные показатели надежности, так как в некоторых случаях отказ элемента системы может не привести к отказу всей системы. Для оценки технологической надежности лесозаготовительных систем целесообразно ввести комплексный количественный показатель, характеризующий эффективность функционирования системы лесозаготовительных машин.

В качестве такого показателя предлагается рассматривать технологическое топливное число (ТТЧ) - основная энергетическая характеристика технологического процесса и готового изделия.