Способ моделирования и проектирования технологических процессов лесопромышленного комплекса Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПОСОБ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЛЕСОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА

А.К. РЕДЬКИН, академик РАЕН, д. т. н., МГУЛ С.Б. ЯКИМОВИЧ, докторант,МГУЛ,

Общепринятая методика проектирова- ] ния технологических процессов (ТП) ( заключается в том, что на основе имеющихся базы знаний и данных в сфере лесного дела формируется, с использованием различных теорий дискретных процессов [1], [2], [3], [4], [5], дискретно маршрут (состояния предмета труда, далее ПТ, в дискретных положениях - у пня, на волоке и т.д.), моделируется ТП, подбирается комплект машин и далее, по различным критериям, рассчитываются количественные показатели и выбор сгенерированного варианта. Здесь, измерение и оценка ТП, производится посредством редукции технологического процесса на отдельные машины (одно- и многофункциональные), для которых на основе детерминированных зависимостей или нормативов определяется возможный объем переработки ПТ за определенный интервал времени (часовая, сменная и т.д. производительность). Нормативы, которые разрабатываются с учетом стохастичности значений производительности для реально действующих машин и на основе тестированных методик, отображают значения матожиданий произ-

о

водительностей П, с поправочным коэффициентом.

При графическом отображении технологического процесса (рис. 1), редукция

представлена сечениями 77,, (; == 1, к), где

Я, - производительность машины по г'-му

сечению техпроцесса, к - количество машин в технологическом процессе. Сборка ТП производится на основе последующего объединения состояний ПТ и действий над ним, отражаемых соответствующим комплектом машин.

В этом подходе основой проектирования являются дискретные состояния ПТ и присущие им действия, отображаемые машинами или комплектами машин, без явной оценки размещения технических функций в пространстве и времени (действий) по маршруту ТП (неявно размещение учитывается в альтернативах), а основой измерения является производительность, либо иные критерии отдельной машины или комплекта машин. При этом наблюдается определенная утрата системных качеств (эмерджентность) в процессе моделирования и последующем проектировании ТП.

4

Валка

1 —и комплект Пакетирование и Действий трелевка

Начальное состояние

П„

п,

п, п,

Рис. 1. Редукция технологического процесса по сечениям

Поэтому до сих пор являются дискуссионными вопросы размещения операций (у пня, на погрузочном пункте или лесопромышленном складе), что привело к существенному многообразию (как одна из причин) технологических машин, а также неоднозначно оптимально определены степень многофукциональности и некоторые параметры машин и оборудования.

В связи с изложенным, возможен иной подход, где ТП рассматривается в целом по маршруту (Г) [6],[7], без его редукции по сечениям. Этот подход реализуется на основе известного определения технологического процесса, как совокупности технологических и переместительных действий, определяющих изменение формы (размеры, объем) и свойств, т.е. состояния ПТ, а также положение предмета труда лесозаготовок. Отсюда, технологический процесс может быть количественно представлен в виде фазовых координат, характеризующих изменение объема и положение ПТ по маршруту в каждый момент времени ( [8]. Маршрут понимается как фазовые непрерывные координаты (независимые переменные), отражающие: изменение объема V от начала (начальное состояние ПТ) и до окончания ТП (конечное состояние ПТ); координату расстояния (/) от начальной до конечной точек ТП; координаты плоскости (/, Ь); координаты трехмерного пространства^/, Ь, К) техпроцесса и прочие переменные или совокупность перечисленных переменных (многомерное отображение).

Изложенное реализуется в виде модели ТП, где машины (обрабатывающе-переместительное оборудование) представляются как идеальные с соответствующим потенциалом обрабатывающе-переместите-льных действий, не обладающие массой, собственными сопротивлениями и другими параметрами, определяемыми достигнутым уровнем техногенеза. В дальнейшем, отражение реальности осуществляется введением соответствующих коэффициентов (полезного действия и пр.). Здесь, модель ТП, отражает соответствующие критерии в функции фазовых координат: объема ПТ и скорости его изменения по маршруту ТП,

текущих координат положения ПТ (по длине и высоте в пространстве его перемещений при преобразовании и транспортировке) по маршруту. В подобном представлении изменение объема обрабатываемого ПТ характеризует:

- в точечной координате положения, например в координатах пня;

- совмещение обрабатывающих функций в пространстве;

- в виде какой-либо функции от координат положения;

- совмещение полностью или частично технологических и транспортных действий во времени и в пространстве маршрута.

Измерение техпроцесса выполняется на основе критерия изменения (^тп), в частности изменения объема (V) потока ПТ, который (V) в ряде случаев может быть и фазовой координатой, по всему маршруту (!) процесса, без учета различных видов буферных запасов. Поскольку предмет труда (изначально дерево, группа деревьев, лесоучасток со всеми присущими ему элементами) содержит стохастические компоненты по объему (сучья, вершинная часть, стволовая здоровая и фаутная древесина, пнекорневая часть, различные виды отходов и пр.), то техпроцесс рассматривается как стохастический процесс изменения объема предмета труда в виде ансамбля реализаций (выборочных функций) по его маршруту (I) в одномерном или многомерном представлении. Для ансамбля реализаций случайного процесса используется следующее описание в виде функций [9]: математическое ожидание £[{ У{Ц}\ дисперсии 5[{ У(Ь)}], автокорреляции С(у, V) и др. Наиболее информативной для критериальных оценок является функция матожи дания, характеризующая изменение среднего объема ПТ по маршруту Ь технологического процесса.

В предлагаемом представлении следует выделить два типа техпроцесса. Первый тип - стохастический процесс, отображающий отдельное конечное состояние ПТ в виде функции матожидания, в частности изменения объема, без учета текущих отсеиваний объемов других компонентов от начального

объема ПТ. Графически изложенный тип техпроцесса представлен на рис. 2, 3. Второй тип - стохастический процесс, отражающий все конечные состояния ПТ. Например, вход - растущее дерево и множество выходов (разветвляющийся процесс) - сучья, вершина, хлыст, пнекорневая часть, сортименты, кора, пиломатериалы, щепа и т.д. Соотношение между входом и выходами определяется уравнением материального баланса [10]. Первый тип техпроцесса является частным случаем второго, который наиболее полно представляет системные свойства. Графическое отображение процесса второго типа представлено на рис. 4. Изложенный подход к моделированию при проектировании и измерении техпроцессов лесопромышленного комплекса имеет следующие характерные особенности:

- системность (охватывается или рассматривается весь технологический процесс для конечных видов различных номенклатур ПТ в целом);

- отражение изменения критерия по всему техпроцессу;

- основа модели меры (критерия) - изменение объема предмета труда с его компонентами по маршруту технологиче-

ского процесса и с учетом их (компонентов) стохастического характера.

Иллюстрацию представленного подхода к оценке ТП рассмотрим на простейшем, в смысле критерия, примере, где в качестве критерия примем изменение объема ПТ по координате расстояния (/) от начального состояния (стоящее дерево на лесоучастке, подлежащем обработке) до конечного состояния (пиломатериал) в относительном (безразмерном) виде, определяемом, как К. ¡V , где У1 - текущий объем стоящего дерева, без учета пнекорневой системы, V -средний объем дерева. Для упрощения относительное значение принято равным единице.

Здесь вводится следующие допущения: за точечную длину расстояния или погрешность принимается минимальный размер конечного транспортного пакета (конечного лесопродукта - 2 м), в качестве текущей координаты изменения объема ПТ принимается в зависимости от ситуации либо центр масс ПТ, либо вылет манипулятора. Для обозримости различных видов техпроцессов приняты следующие сопоставимые условия: среднее расстояние транспортировки (трелевки) древесины до погрузочного пункта - 150 м, среднее расстояние

Валка (изменение V)

1

/

О' Пакетирование и трелевка

Начальное состояние (стоящее дерево)

Пнекорневая часть

Сучья, обломки стволовой и вершинной части

Опилу

Горбыль, рейка,обрезки

к— 1

Откомлевки, кусковые отходы

Опил

Конечное состояние (пиломатериал)

Ь

Рис. 2. Системное отображение технологического процесса для конечного состояния ПТ одного вида

вывозки до лесопромышленного склада - 20 ООО м, средняя длина хлыста -16 м, средняя длина сортимента -4 м, количество сортог-рупп - 8.

Конечное состояние техпроцесса -пиломатериал различных номенклатур (доски, брус и пр.)- В примере к рассмотрению приняты следующие виды техпроцессов по составу машин (состав действий по переработке лесопродукции для всех процессов одинаков и определяется начальным и конечным состояниями обрабатываемого ПТ):

- ЛП-19 - ЛТ-154 - ЛП-ЗЗБ - ПЛ-2 (лесосека) - раскряжевочная установка (ЛО-15С) - сортировочная установка (ЛТ-86) - лесопильный поток на базе Р-60 (склад, продольное перемещение);

- валочное устройство (любое) - трелевочное устройство (любое) - процессор (типа НИАБ) - мобильная установка для продольной распиловки (типа Woodpro);

- харвестер - сортиментовоз (типа МЛ-102) - мобильная установка для продольной распиловки (типа \Моос1рго).

Технологические процессы далее нумеруются в порядке их перечисления в тексте. Рассматриваемые технологические процессы предполагают: ТП1 - обрезку сучьев и погрузку хлыстов на погрузочном

пункте (транспортировка хлыстов на склад для сопоставимости с остальными ТП в модель не включена), остальные технологические действия на складе; ТПг (процессорная технология) - обрезку сучьев, раскряжевку и продольную распиловку на погрузочном пункте; ТПз (харвестерная технология) - продольную распиловку на погрузочном пункте.

Изменение математического ожидания Е{У(1)} по расстоянию технологического процесса I (в дальнейшем функция изменения) с относительной погрешностью 1,7 % относительно точек, характеризующих изменение объема и положения по расстоянию, описывается аппроксимирующим уравнением вида (получено на основе таблицы [7] по данным [11], [12]), коэффициенты которого определены при использовании математической программной среды «Эврика». Графическая интерпретация на рис. 5 содержит также график плотности объема в м3 на единицу измерения расстояния (м) технологического процесса (уравнение 2) при среднем объеме дерева равном 1 м3.

Е[{У. (/)}] =0,152 +т-^^-,—рп .(1)

11 А Ш [13,77+ 4,3x10'7

ь

Рис. 3. Случайные функции реализаций и функция математического ожидания £[{К(1)}] стохастического процесса изменения объема ПТ от начального до конечного состояний для отдельного техпроцесса

Обрерка сучьев! и раскряжевка

Продольная распиловка

Рис. 4. Случайные функции реализаций и функции математического ожидания £[{К,(£)}] стохастических процессов изменения объема ПТ от начального до конечных состояний для различных видов техпроцессов

а

b

Рис. 5. Функция математического ожидания £[{ V(l)}\ изменения относительного объема дерева (а) и функция плотности dE[{ V(t)}]!dl (b) по длине Iтехпроцесса 1

Технологический процесс 1

dl

Интеграл от выражения (1)

280

219 м м

(2)

(3)

характеризует грузовую работу первого технологического процесса на расстоянии равном 280 м при среднем объеме дерева равном 1 м3. Грузовая работа транспортировки лесопродукции на склад здесь не учитывается. В целях сопоставимости рассматриваемых технологических процессов интеграл берется для всех них по наибольшему расстоянию изменения V техпроцесса, которое определяется условием равенства нулю Pvx{l) справа от интервала, на котором PV](l) * 0.

Аналогичные зависимости и количественные значения для второго и третьего технологических процессов с погрешностью 2-3 % имеют следующий вид.

Технологический процесс 2: 13,32

E[{V2m = 0,13 +

15,14 + 4,4 • 1/

9 /10,32

л)]

at

280

;(4)

(5)

(6)

j£[{K2(/)}]d/ = 193 м3м.

о

Технологический процесс 3:

£[{Рз(0}]~ 1,02 - 0,8 le'1 к (7) модифицированная функция Гомпеца.

,„(,)-4MB; (8)

dl

280

j£[{K3 (/)}]<//= 81 мм.

(9)

На основании сравнительного анализа значений интегралов (3), (6), (9), логично вытекает вывод для ТПз, как о наиболее эффективном техпроцессе по принятому критерию (в рассматриваемой данности критерий - грузовая работа).

Графическая интерпретация полученных зависимостей представлена на рис. 5, 6, 7.

Представленные аппроксимации технологических процессов носят сглаженный характер. Однако, по данным [13], если отклонение действительной траектории (реализованной на практике) в смысле выбранной нормы функционального пространства не превышает 10 % от оптимальной, то функционал (в рассматриваемом случае -время цикла) возрастет не более чем на 1 %. Иначе, вид аппроксимации практически не сказывается на точности оценки ТП. Например, при линейной аппроксимации (ломаная линия) ТПз расхождение значения грузовой работы сравнительно с аппроксимацией по выражению (7) 8,7 %, а для ТП2 (сравнительно с выражением 4) - 0,9 %.

Аналогичным образом в выбранном функциональном пространстве возможно описать любой технологический процесс, причем функции изменения их характеризующие могут иметь различные представления и различные расстояния (маршруты ТП) или пределы интегрирования.

Однако для всего многообразия технологических процессов ЛПК функции изменения ограничиваются двумя предельными случаями, представленными на рис. 8. Линия 1 на рисунке отображает полную переработку ПТ в точке его начального состояния до конечного с последующей транспортировкой конечного и оставлением остальных видов отсеивающихся лесопродук-тов на другие техпроцессы. Например, переработка стоящего дерева в координатах пня на пиломатериал и транспортировка последнего. Линия 2 отображает транспортировку в целом ПТ от начального состояния и переработку его до конечного состояния в точке окончания техпроцесса. Например, транспортировка дерева от пня на лесопромышленный склад и переработка его на пиломатериал в конечной точке с отсеиванием на другие техпроцессы остальных видов лесо-продуктов.

ь

Рис. 6. Функция математического ожидания E[{V{1)}] изменения относительного объема дерева (а) и функция плотности dE[ {V(l)} ]!dl (b) по длине I техпроцесса 2

а

Ь

Рис. 7. Функция математического ожидания Е[{У{1)}] изменения относительного объема дерева (а) и функция плотности с1Е[{У(1)}]/с11 (Ь) по длине /техпроцесса 3

Представленный подход в целом и примеры позволяют сделать следующее заключение:

- технологический процесс лесозаготовок может отображаться в виде функции изменения критерия по маршруту;

- любой возможный из ТП, имеет свою собственную функцию изменения или функции;

- функция, характеризующая ТП, определяется в основном стохастическими компонентами предмета труда (дерева, лесосеки и пр.), которые приводятся к детерминированному виду на основе ма-тожидания, а также расположением (размещением) по маршруту (Ь) ТП состояний предмета труда и действий по его преобразованию;

- собственные функции конкретного технологического процесса отображаются конкретными числами, определяемыми функционалами [14].

Функцию, описывающую изменение каких-либо зависимых факторов техпроцесса, условимся называть собственной функ-

У(1)

цией техпроцесса, в дальнейшем СФТП. Обозначим СФТП как FTtl.

Из изложенного следует, что техпроцессы могут измеряться и классифицироваться по численным значениям функционалов, классам функционалов и функциональным пространствам со своими нормами [14].

Измерение технологических процессов на основе СФТП определяет возможность их оптимального проектирования на основе теории вариационного исчисления. В дальнейшем изложении, для упрощения, обозначение функции математического ожидания ансамбля выборочных функций Е[{}] в выкладках исключается.

В общем виде постановка задачи оптимального проектирования технологических процессов на основе вариационного подхода имеет следующий вид.

Найти такую СФТП (FTT1), при которой b

функционал Jf(Frn.,F:'m.,L)dL => min (max)

а

и удовлетворяются ограничения на энергетический, массовый потоки, траекторию СФТП и экологические требования.

(VJ1

Рис. 8. Предельные случаи функций изменения объема для технологических процессов ЛПК

На основе представленной постановки ставится задача разработки (конструирования) функционалов достаточно полно отражающих физическую сущность технологических процессов лесопромышленного комплекса.

Здесь можно выделить две группы функционалов:

- стандартные функционалы и стандартные постановки задач на их основе вида

ь

где V(L) - неизвестная

а

функция изменения объема лесопродук-та при заданных ограничениях (например, длине кривой изменения объема в

ь

виде S = JVl + V'2dL) и краевых значе-

а

ниях V(a) = 1; V(b) = V*, где V* - значение объема ПТ в долях относительного для его конечного состояния в проектируемом техпроцессе;

- нестандартные функционалы, наиболее исчерпывающе описывающие технологические процессы, например, функцио-

j if(F)dL нал /(,= — = ~-, который явля-

J2 \f{V)dL

ется функционалом относительной нагрузки техпроцесса.

Представленные постановки задач определяют два способа проектирования. Первый - для проектирования совершенно новых технологических процессов в смысле оптимальных технологических требований, в том числе разработка идеальных технологических процессов, определяющий размещение технологических функций и действий в пространстве и времени (без учета существующего уровня развития техники) и, следовательно, действия и функции лесозаготовительных машин. Второй - для существующих комплектов машин и технологических процессов на их основе с учетом ограничений, определяемых данностью существования перечисленных объектов. На практике место размещения функций и действий ТП, определяется по виду плотности Ру{1), характеризующей интенсивность изменения объема ПТ по траектории.

Рассмотрим пример постановок и решения задач проектирования ТП на основе изложенных способов.

Первый пример - проектирование технологического процесса и определение оптимальных технологических требований по критерию минимума времени цикла технологического процесса. Под циклом ТП понимается время на обработку и транспортировку ПТ до его конечного состояния и положения.

Содержательная постановка задачи. Найти такую траекторию изменения объема ПТ от начального до конечного состояний, при которой время цикла техпроцесса минимально и соблюдаются ограничения на граничные условия. Под траекторией понимается изменение относительного (единичного) объема ПТ по расстоянию, от начального состояния (например, объем стоящего дерева) до конечного (объем пиломатериала). В задаче зададимся постоянством скорости изменения объема по всей длине проектируемого техпроцесса. Под скоростью изменения объема понимается скорость ( <9), с которой в процессе технологических воздействий (обработки) происходит уменьшение объема вследствие отделения различных компонентов ПТ. Под граничными условиями понимаются условия, определяющие объем ПТ, в начальном состоянии равный единице в нулевой точке координаты техпроцесса (F(0) = 1) и в конечном состоянии равный Кк в конечной точке координаты k техпроцесса (V(l^) = V^).

Разработка математической модели. Функционал времени цикла техпроцесса конструируется следующим образом. Элементарный участок траектории изменения объема представим в виде дифференциала

[14] кривой dS = л!\ + У2 , тогда вся длина

кривой изменения объема определится как

к

S = jé + V'2dl. (10)

о

На основе (10) время цикла техпроцесса (функционал)

T = (11)

J а

Окончательная постановка задачи с учетом разработанной модели имеет следующий вид. Найти такую функцию (V(l)) траектории изменения объема ПТ по расстоянию техпроцесса /, при которой функ-

т '\л]\ + У2 ционал Т = I—■—-— dl=> mm и соблюда-

о &

ются граничные условия V(0) = 1; F(/k) = V^.

Решение поставленной задачи. Функция (V(l)) траектории изменения объема дерева определяется на основе дифференциального уравнения Эйлера [14].

/ */г=0,

dl

(12)

где /у, /у, - производные подынтегрального выражения интеграла (11) по V и V' соответственно. Взяв производные, имеем

df п , а лЯ+г

а

fv =

dV

0; U

V

dV $

sVi+r1

из (12) с учетом fv, fv,

г \

V

Syll+V'2

о,

d_ dl

v"" v - /

тогда, интегрируя полученное выражение по

V

dl , приходим к следующему

12

С;

V = caVT + V . Окончательно после алгебраических преобразований получаем

V'=

С2Э

Интегрируя (13), определяем

1 Г2п2

-dl = .

C2S

(13)

/ + С,. (14)

V=

C2d

1-С23

rh +1;

2п г

CS

Vk-1

1 - C2S 2 lk

Обозначая правую часть полученного выражения через и и избавляясь от корня, имеем

С2&2

и2,

i -с2а2

и далее после ряда преобразований имеем

,1-С^ "У1-С2&2 Из граничных условий 1 = 0, ¥(0) = 1 и С\ = 1; / = 4, V = ^к , а также выражения (14) посредством подстановки в него граничных условий находим постоянную интегрирования С.

(15)

С =

32(l + u2)' Подставляя (16) в (15) получим

S2(l + W2)

i—rf—п^2 a2(i + и2)

(16)

/ + 1 =

2 \ /ít 2 , 2 \ и /I 1-й +и

1Г+и2))/ [ р]

1 + 1 =

= уи I +\=ul + 1.

И, окончательно

Vk -1

V(l) =

lk

1 + 1.

(17)

На основе выражения (17) следует вывод о том, что оптимальной траекторией изменения объема дерева, для которой цикл технологического процесса минимален относительно всего возможного многообразия траекторий, является линейная траектория с

угловым коэффициентом С

Ук- 1 к

. Анало-

гичные оптимальные траектории очевидно присущи и другим видам начальных состояний ПТ. Следует отметить, что при различных значениях 9 , дискретно изменяющейся от участка маршрута к участку, траектория имеет вид ломаной, отрезки которой будут иметь различные угловые коэффициенты. Здесь, на предмет проверки минимума полученной экстремали (17) можно бы было ограничиться математически строгими условиями необходимости и достаточности [14], а также условием Лежандра для отделения максимума от минимума. Однако, в целях наглядности и практической полезности выполним следующий анализ.

Для иллюстрации этого анализа проведем сравнение времен циклов технологических процессов, траектории которых описываются выражениями (1) - техпроцесс 1 (традиционная технология), (4) - техпроцесс

2 (процессорная технология), (7) - техпроцесс 3 (харвестерная технология) и новый техпроцесс 4, описываемый выражением (17). Время цикла для каждого из технологических процессов 1, 2, 3, 4, определяется на основе выражения (11) посредством подстановки в качестве подынтегральных выражений зависимостей (1), (4), (7), (17), при этом £ , как константа, появляется в конечных выражениях. Начальные условия для всех техпроцессов следующие: Ук = 0,19, 4-для обозримости приводится к нормированному. виду, равному единице (здесь за норму принято расстояние равное 240 м), интервал изменения объема по расстоянию техпроцесса (4) для всех видов принят равным 280 м. Тогда для техпроцесса 4, при подстановке выражения (17) в (11) имеем

ГЦ):

К-1 к

и

1.17

т =

3

1 +

Ук-1

\2

к

(11 =

1 +

Ук-1 1к

\2

с -

1,42 9

(18)

Для техпроцессов 1,2,3 время цикла - функционал (11) вычислялся посредством математической программной среды «Эврика» в связи с громоздкостью аналитического способа. В результате имеем:

для техпроцесса 1 — Т~ 1,77/Э; для техпроцесса 2 — Т= 1,74/9;

для техпроцесса 3 - Г= 1,73/9-.

Сопоставительный анализ результатов позволяет заключить, что оптимальный техпроцесс 4 имеет преимущество по времени цикла (при условии постоянства скорости изменения объема) сравнительно с харве-стерной технологией (техпроцесс 3) на 22 %, с процессорной технологией (техпроцесс 2) на 23 %, сравнительно с традиционной технологией (техпроцесс 1) на 25 %. Однако по грузовой работе наиболее эффективен техпроцесс 3 с харвестерной технологией (см. выражения (3), (6), (9)). Но последний вывод применим лишь в рамках переработки ПТ на пиломатериалы без транспортировки с места переработки всех остальных отсеиваемых лесопродуктов.

Максимальный эффект по времени цикла для техпроцесса 4 определяется на основе элементарных геометрических построений, если траектории изменения объема ПТ рассматривать как геометрические линии, отражающие геометрические длины кривых У(Г). Так, для приведенных ранее начальных условий, траектории техпроцесса 4 и техпроцесса 1(см. рис. 8) представлены соответственно линиями 2 и 1 на рис. 9. Тогда, пользуясь теоремой Пифагора, имеем

Тх = л/0,812 +1Д72/3 = 1,42/9 , совпадает с (18), а Г) = (0,81 + 1,17)/,9 = 1,98/3 . В данном случае эффективность техпроцесса 4 составляет 39 %.

V(^)

0,19

1.17 I

Рис. 9. Оптимальные техпроцессы по критериям времени цикла (2) и грузовой работы (1)

Траектория наиболее эффективного техпроцесса 4 (идеальный техпроцесс) представляет собой линшр изменения объема от начального до конечного состояний ПТ с

Ук-1

угловым коэффициентом С =-, что на

1к

практике представляет существенные трудности для реализации. Однако, в связи с незначительным влиянием на значение функционала достаточно существенных отклонений траектории от оптимальной, нет необходимости стремиться к очень точному соблюдению оптимальной траектории, что позволяет проектировать новые способы лесозаготовок для оптимальных траекторий технологических процессов. Это свойство присуще всем экстремалям (оптимальная траектория - есть экстремаль [13]) и играет существенную роль в практических приложениях вариационных методов. Технически, полученная траектория реализуется лесозаготовительной машиной, которая перемещаясь к конечному пункту, одновременно производит сбор и переработку ПТ до конечного состояния, а по прибытии выгружает готовую продукцию.

На основе полученных данных по минимизации времени цикла техпроцесса можно сделать ряд весьма полезных выводов для практики проектирования технологических процессов ЛПК.

Совмещение технологических действий, изменяющих объем лесопродукта в пространстве неэффективно по критерию времени цикла техпроцесса сравнительно с последовательным выполнением их в пространстве (совмещением с транспортировкой) по маршруту техпроцесса, если нет на это соответствующих ограничений.

Аналитически показана возможность повышения производительности при совмещении транспортных и технологических действий во времени.

Постоянная скорость изменения объема ПТ по расстоянию технологического процесса определяет оптимальную траекторию по критерию минимума времени цикла техпроцесса, как линию описываемую выражением (17).

Постановка задачи оптимизации траектории ТП по критерию энергоемкости.

Основная цель объявленной задачи - минимизация энергоемкости ТП учетом соответствующих ограничений.

Для конструирования функционала запишем уравнение движения изменяющегося объема ПТ в координатах У, I

F=m(V, 1)1" + Ft(V, Г) + FP(V, /), (19) где F - внешняя сила, обеспечивающая технологические и транспортные действия; т(У, Г)- масса ПТ, изменяемая в технологическом процессе на маршруте длиной L с текущей координатой I и определяющая силы инерции; Ft(V, Г) - сила сопротивления резанию древесины при выполнении технологической работы на маршруте ТП; Fp( V, [) - сила сопротивления перемещению изменяемого объема ПТ по маршруту ТП.

Выразим перечисленные составляющие в функции У, У, I.

т(У, 1)1" = gpV(l)l, здесь р - объемная

о

масса 1 м древесины. Данная составляющая может быть учтена при моделировании подсистем, сопоставимых с отдельными машинами (сучкорезно-раскряжевочные, сучкорезные и т.д.), технологическим действиям которых присущи существенные ускорения ПТ. При рассмотрении маршрута ТП в целом, реализуемом в значительной протяженности L, этой составляющей целесообразно пренебречь.

Для сил сопротивления резанию зависимость Ft(V, Г) определится на основе общеизвестного выражения теории резания Ft = kSu/v следующим образом:

Ft{V, 0 = k(V)S(V)u/v, (20) где к(У) - удельная сила резания в функции от скорости изменения объема; S(V) - площадь сечений ПТ в соответствии с удельной силой резания; и и v соответственно скорости подачи и резания.

Для составляющих выражения (20) к(У), S(V), u/v отсутствуют зависимости в функции от /, однако они имеют определенную связь со скоростью изменения объема (У) ПТ по времени, то есть производительностью операций техпроцесса (например, для валки скорость изменения объема существенно больше, чем для раскряжевки). Отсюда можно записать u/v = /и/у{У(1)}; к(Г) =

fk{V{l)}-S(J) =fs{V(t)}. Для обрезки сучьев v принимается равным единице. Представленные зависимости предстоит определить исходя из существующей практики, с учетом того, что У (Г) вне связи во времени не выражается через зависимость У(Г). Тогда, выражение (20) перепишется в виде

FlV,t)=fk{V(r))fs{V(!)}fuh{V{l)}. (21) Сила сопротивления перемещению изменяемого объема ПТ

FP(V, V,l) = gpV(l]f+ схоFtV, l), (22) где /- коэффициент сопротивления перемещаемого груза (коэффициент трения); а0 -коэффициент, учитывающий силы сопротивления, возникающие в процессе резания (силы отжима).

Подставляя в уравнение (19) выражения (20), (21), (21) получим

F(V,V,t)=gpV([)l"+fk{V(l)}x

xfs{ni)}U{V(l)}+[gpV№a0Ft(V, l)]. (23) Работа по реализации ТП на определенном расстоянии представляется функционалом

h

А = $F(l)dl, (24)

о

а энергоемкость

о V(l)

Постановка задачи оптимизации траектории ТП по критерию энергоемкости процесса имеет следующий вид.

Найти такую СФТП У(1), при которой

lk(F(V, V', I)

функционал g3 = j ^^ '—dl => min и

удовлетворяются ограничения на граничные условия V(0) = 1; V(lk) = Fk; У(0) = 0; F(/k) = 0, на предельные значения объема и скорости изменения объема ПТ V(l) < Vmax; У (Г) < Fmax и режимы ТраНСПОрТИрОВКИ V < /'шах-

Аналитическое решение поставленной задачи весьма проблематично, однако методом подбора независимых функций V{T) и V(l) с учетом того, что время в явном виде в функционал (25) не входит, так как У(1), V(l) и / лишь в фазовом представлении могут быть связаны между собой, оптимальная траектория ТП может быть определена в

рамках поставленных ограничений. Здесь, решение носит, большей частью, интуитивный характер и его близость к оптимальному определяется искусством лица подбирающего зависимости У(Г) и У (Г).

В дальнейших публикациях предполагается привести постановку задачи в фазовом представлении и результаты решения.

Литература

1. Алябьев В.И. Оптимизация производственных процессов на лесозаготовках. - М.: Лесн. пром-сть, 1977.-232 с.

2. Редькин А.К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок: Учебник для вузов.

- М.: Лесн. пром-сть, 1988. - 255 с.

3. Венценосцев Ю.Н. Проектирование лесосечных работ: Учебное пособие. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 1983.-32 с.

4. Воевода Д.К., Коган К.Г. Автоматизация проектирования лесоскладских процессов. Обзор, информ / ВНИПИЭИлеспром.- М.: 1986. - 32 с.

5. Андреев В.Н. Системный подход к проектированию лесных машин на основе марковских цепей // Известия Санкт-Петербургской лесотехнической академии: Сб. тр. ЛТА.-СПб.: 1993.-С. 172-182.

6. Якимович С.Б. Исчисление объема потока лесо-продуктов как системного критерия технологических процессов лесозаготовок: Труды МарГТУ. Вып. 2 // Материалы научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава. Ч. 2. - Йошкар-Ола: 1996. - С. 103-105.

7. Якимович С.Б. Измерение и проектирование технологических процессов лесопромышленного комплекса / МарГТУ. - Йошкар-Ола: 1997. - 29 с.

- Деп. в ВИНИТИ, № 1931-В97.

8. Понтрягин A.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

9. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случай-

ных данных: Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 540 с.

10. Пижурин A.A., Розенблит A.C. Основы моделирования и оптимизации процессов деревообработки: Учебник для вузов. - М: Лесн. пром-сть, 1988-296 с.

11. Никишов В.Д. Комплексное использование древесины: Учебник для вузов. - М.: Лесн. пром-сть, 1985.-264 с.

12. Вторичные материальные ресурсы лесной и деревообрабатывающей промышленности: (Образование и использование). Справочник. - М.: Экономика, 1983.-224 с.

13. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. - Л.: Энергия, 1977. - 280 с.

14. Мышкис А.Д. Математика для втузов: Специальные курсы. - М.: Наука, 1971. - 631 с.