CC BY
20
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИНТЕЗА ДЛЯ СОВОКУПНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЛЕСОЗАГОТОВОК
С Б. ЯКИМОВИЧ, МарГТУ, д-р техн. наук
Многообразие состояний предмета труда (ПТ) лесозаготовок определяет множество технологических процессов (ТП). Моделирование этого множества системно изложено в [1] и предыдущей публикации. На основе разработанных при моделировании уравнений состояния и функционалов ставится задача оптимального управления.
Постановка задачи оптимального управления и синтеза совокупности идеальных [1-3] технологических процессов, определяемых п состояниями предмета труда лесозаготовок по критерию удельной энергоемкости, имеет следующий вид.
Найти процессы для совокупности ТП лесозаготовок (траектории х3, х1 и управления и) и соответствующие им размещение и степень совмещения обрабатывающе-переместительных и транспортных функций в пространстве и времени, такие, при которых функционал
'Го!
Т .
т ]
= 2 I 1 = 10
р 8 • х2 +
] ] 1
+ Р I ^ а ± sin а
1 \ 1 1 1
И1-Р1 оР]к Ь
Р1]
1-
Р1
Н |1 +а
х 2 +
Л ^ min'
+
3
х
86
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2005
х 3Я
Ж = —или Ж, = -
Я
где
в зависимости от степени использования в последующем компонентов ПТ, получаемых в ходе процессов, описываемых двумя и более ветвями, выходящими из узла; технологические процессы совокупности соответствуют уравнениям состояний X = (X) • Пг; уравнениям материального баланса в узлах и соединениям узлов А • х33 = УУВ 1; уравнениям
баланса (4.76) скорости изменения объема разделяемых компонентов ПТ и материального баланса в ветвях
Цх)' =0, Х!^-3 = 0.
I -
к -
А также удовлетворяются ограниче-
ния:
по номинальной мощности в -- й ветви (для ветвей - и - + э с полностью используемыми в дальнейшем компонентами ограничение по мощности вводится только для -- й ветви)
3 2 3 I
р х 8 • х +р х я I / со8а ± 8т а - - - - - - \ - - -
и р ,к Ь 1 -Р1 ■ Н I 1 + а
- - р- -1 -
х2 +
< N
по условиям размещения опила в межзубовом пространстве для -- й ветви
(1 - м1 ) • N
х2-ко ъз (1-Р1-) • Р
на управления
Н- • (1 + а о,)
1
р--1
©. • г
- 0 - .
а. • Н. '
0 < м1 - < 1, 0,00001 < м2 < Ун. - V,-;
по граничным условиям
х)(0) = У1, х)(Т) = Ууы , х1(0) = 0, хКГ) = 1к„, х2(0) = 0, х„2(Т) = 0;
на координаты размещения узлов
0 < х1(0) < 1Ы . (1)
В постановке задачи введены следующие обозначения: множество ветвей
= { ] : ] = 1 т}
структурной схемы технологического процесса лесозаготовок отображает обрабатывающие, транспортно-переместительные или обрабатывающе-транспортно-переместитель-ные действия и парные связи (соединения между г и г + э узлами, определяемые множеством I = { г: г = 1,и}). Физически ветви являются процессами по транспортировке и (или) изменению объема ПТ, процессами холостых ходов рабочих органов и машин либо составляющими процесса для отдельного, в том числе и отделяемого компонента ПТ. Каждая --я ветвь располагается между г и г + э узлами. Переменные и (или) параметры --ой ветви отражают:
х/ = У (г) или У- - переменная объема ПТ
по сечению ветви; х- = У-- - скорость изменения объема ПТ или объем, проходящий в единицу времени через сечение --ой ветви; х1- = 1в- или х1 = I(?) - координата расстояния, на котором реализуется соответствующее действие, или совокупность действий, или длина --й ветви;
х- = х1 = I- - скорость транспортировки
или перемещения ПТ по --ой ветви; х- - ускорение транспортировки или
перемещения ПТ по -- й ветви; и- = крп(?) - коэффициент распределения и использования мощности в обраба-тывающе-переместительных и транспортных процессах; АУпт- или м- = АУпт(г) - объем отделяемого компонента ПТ; АП- = Пг - Пг+1 - разность производи-
тельностей на входе-выходе ветви; р- - объемная масса 1 м3 ПТ; /- - коэффициент сопротивления качению и (или) волочению, а также протаскиванию (перемещению) ПТ при его обработке и перемещении; а'0- - коэффициент, учитывающий нормальные силы сопротивления, возникающие в процессе резания (силы отжима); Я - гравитационная постоянная; к - удельная работа резания,
х
г
и
+
ЬН - параметры пропила, ао1 = о'0]■uj/u7■ - коэффициент, учитывающий распределение мощности на нормальную составляющую; и,- - скорость подачи; и/ - скорость резания; Лген/-номинальная мощность;
= Ср /t0p -коэффициент, учитывающий
вклад в удельную работу резания шага tш, вида пиления и типа режущего инструмента р^ а также постоянных Ср при определении кц по эмпирической зависимости А.Л. Бер-шадского;
8 - коэффициент, учитывающий инерцию вращающихся масс привода; 01 - угол (уклон), учитывающий направление движения ПТ или машины; Ях} - путь, на котором выполняется деление древесины; Р11 - показатель, уточняющий вид пиления и тип режущего инструмента; Л принимает значение в интервале [0,1] и определяет долю соответствующего компонента ПТ 1-ветви относительно потока, принятого за основной из выходящих потоков для узла Г; &1 - коэффициент площади впадины (0,12...0,6); о 1 - напряженность работы межзубовой
впадины (0,6.0,8); УН - начальное значение объема ПТ в
1-ой ветви; Vк .- конечное значение объема ПТ в
1-ой ветви; хп3(Т) = Vykn - конечное значение объема
ПТ для основного потока; х1 (0) < 1п - максимально допустимое расстояние перемещения ПТ; Х - матрица переменных состояния, состоящая из субматриц Х);
X - матрица скоростей переменных состояния;
8(Х) - матрица правых частей уравнений
состояния; иг - матрица управлений;
A - матрица инцидентности.
Преобразование бесконечномерной постановки (1) для последующего решения в конечномерную выполняется с использованием аналогичных, приведенных в [3], разностных схем. Однако в отличие от постановки в [3] обозначения индекса i в постановке (1) соответствует номеру узла. Поэтому индекс при дискретных переменных принимает значение z (z = 0, Z ) и определяет соответствие переменной xz моменту времени с аналогичным индексом. В новых переменных уравнения состояния имеют вид
Xz+i = Xz + hF (xz, uz, tz ), а функционал
m Z-1 /__*
J = Z hj Z f (, ).
j=1 z=0
Аналогично представляются граничные условия и другие ограничения.
В конечномерной форме нелинейного программирования постановка задачи оптимального управления для совокупности ТП имеет следующий вид.
Найти процессы для совокупности ТП лесозаготовок (траектории xz3, х.1 и
управления urj ), координаты начала xz 3i, хД и
окончания каждого из j-х процессов xh3, х/
и соответствующее синтезированным траекториям размещение и степень совмещения в пространстве и времени обрабатывающе-переместительных и транспортных функций, при которых функционал
m Z-1
giôï =Zhj Z
j=1 z=0
Сx2 - x2 ^
j,z+1 xj,z
P.S. J J
+ P g| f cosa ± sina j \ j j j
x2 + j,z
(W.)-P. и P.k b J j J p. j
1 - pi . H | 1 + a
lj ) j
3
x
j,z
-»mm,
где
W.
3 3
xj,z+1 - xj,z
R ,
t 2 r. или W^-^-h.u x j t■
j rj,z j
технологические процессы соответствуют матричным уравнениям состояния в конечных разностях
+
h
X+1 = х2 + И5(хг)и„;
уравнениям материального баланса в узлах и соединениям узлов А • х)г = УУ[дг,
здесь г принимает значение 2, равное 1 для входящих в узел ветвей и 0 для выходящих из узла; уравнением баланса скорости изменения объема разделяемых компонентов ПТ и материального баланса в ветвях
3 3
VV j xj,z+i — xj,z «
k j
d,
h,
■ = 0,
LL
djxj,z = 0 :
а также удовлетворяются ограничения: по номинальной мощности
2 2
3 x z+i — x z 3 I P.- x. -8.——-— + p. x. • d f. cosa.± sina
j j,z j
j j,z
jj
x2 +
j,z
(w )1—P j и Pjk b 1—Pi j H 11 +
4 " J j J p j j I J) i\
< N.
по условиям размещения опила в межзубовом пространстве для -- й ветви
(1 — и1 ) • N
v n -, ' et
x j,zk0jbj
(1—P1 j )
K, ~PJ • H • (1+a j )
i
pj —1
©. • t
j 0 j •
a. • H. '
по управлениям
0 < u1 jz < 1, 0,00001 < ujz < V - VtJ;
по граничным условиям
х) = У, 1, х% 1 = У, , х1 = 0 , х121 = А ,
1,0 11 ' и,2-1 кп 5 1,0 ' и,2-1 кп '
х120 = 0, х„%-1 = 0;
на координаты размещения узлов
0 < х1 < А .
г,0 к
(2)
Постановка и решение задачи оптимального управления процессами лесозаготовок в форме (1, 2) в части оптимизации размещения и степени совмещения обраба-тывающе-переместительно-транспортных функций и действий предполагает решение поставленной задачи с целью определения законов управления и использования их в различных видах регуляторов машин лесозаготовок с совмещенными функциями. Например, регулятор оптимального распреде-
ления мощности между обрабатывающими, переместительными и транспортными процессами или регулятор исполнительных элементов скорости перемещения и изменения объема ПТ лесозаготовок в ходе получения конечного продукта.
Система матричных уравнений состояния совокупности ТП, уравнения материального баланса и соединений узлов с уравнениями баланса скоростей изменения объема разделяемых компонентов ПТ, приведенных в постановках (1, 2), являются математической моделью существующих ТП лесозаготовок, которая может быть использована для расчетов по совокупности ТП в целом:
1. При заданной мощности для реализации состояний ПТ и соответствующих им т технологических процессов определить скорости изменения объема и перемещения (транспортировки) ПТ по каждому из т процессов и по совокупности ТП лесозаготовок в целом. Рассчитанные скорости используются для определения производительности --го технологического процесса и совокупности ТП в целом.
2. При заданной производительности совокупности ТП в целом и каждого --го технологического процесса (П;) и, соответственно, скорости изменения объема (У'-) и перемещения ПТ совместно с устройством перемещения и транспортировки (машиной) определить потребную мощность для реализации --го технологического процесса и совокупности ТП в целом.
Библиографический список
1 Якимович С.Б. Оптимальное управление процессами лесозаготовок: уравнения состояний // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. - М.: МГУЛ, 2003. -№3 (28). - С. 96-103
2 Якимович С.Б. Измерение и проектирование технологических процессов лесопромышленного комплекса. Деп. в ВИНИТИ, № 1931 - В97. -Йошкар-Ола: МарГТУ, 1997. - 29 с.
3 Якимович С.Б. Постановка и решение задачи синтеза и оптимального управления технологическими процессами лесозаготовок // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. - М.: МГУЛ, 2003. - № 5(30). - С. 149-160.
+
a
0
