CC BY
17
УДК665.6.011
Н. Х.Зиннатуллин, А. А. Булатов, Р. Г. Галимуллин, Г. М. Зиннатуллина, Р. Р. Хафизов
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ РАЗНОЙ ПЛОТНОСТИ
ПО ТРУБНОМУ И КОЛЬЦЕВОМУ КАНАЛУ. ЧАСТЬ 2
Ключевые слова: вертикальный канал, скорость течения, время контакта, воздушный столб.
Рассмотрен последовательный вертикальный поток двух жидкостей разной плотности по трубному и межтрубному пространству. Определены скорости движения сред и время их контакта со стенками каналов, а также размеры воздушного столба.
Keywords: vertical channel, current speed, contact time, air column.
The consecutive vertical stream of two liquids of different density on pipe and interpipe space is considered. Speeds of the movement of environments and time of their contact with walls of channels, and also the sizes of an air column are determined.
В первой части работы приводились результаты анализа гидродинамики закачивания легкого (промывочного) и тяжелого (цементирующего) раствора в нефтяную скважину до момента времени, когда нижняя граница тяжелой жидкости опускается до дна обсадной трубы.
Рассмотрим второй этап цементирования скважины, когда тампонажный раствор выходит из обсадной трубы в затрубное пространство (рис 1а).
ч
Pi Р2 И^1 VJ
о*
л
к,
ш
7,
ОК
бж
///////.
//////.
б
а
Рис. 1 - Схема расположения растворов в скважине: а - выход цементирующего раствора в затрубное пространство; б - к определению времени контакта буферной жидкости со стенкой затрубного канала
В отличие от первого этапа, избыточная сила гидростатического давления Гизб и сила гидравлического сопротивления Епот запишутся следующими выражениями:
Ризб = да1(р2к'2 - рЖ-
( dz• Fn0T = 0,6 A + —
dzy
P2h2
+
+ х(р2й2 + РЛ)
"о
Из рис.1а видно, что
и"
к2 = Ь — г; к2 + =к2 = м/0£:,
где И2 - высота столба тампонажного раствора в пересчете на сечение обсадной трубы к моменту времени /. Отсюда
=а(ы 0С + г-!) Ъ.1 = 1-Щ = 1- 0С + г - ¿)
Условие равновесия сил будет иметь вид: дш1(р2Ь'-2 —p2h2 -p1h1) = 0,6A(wo +
dz\A + di) ^
p?h'n a
(1)
Подставив в (1) выражения h2,h'^,h1, имеем g{p2(L- z) -p2a(w0t + z-L) -p1[L-
- a(w0t + z- i)]} = 0,6—(w0 + ^ (p2(L-z)
dzy
f) x
а а
■ + — p2a(wot + z-L)^ — х
"вн "О "О
хр1[Ь- + г- /,)]} (2)
Прибавляя и вычитая к выражениям в фигурных скобках правой и левой частиэтого равенства р2ш01 и после несложных преобразований, получим: д[р2у;„£:- (ыоС + г- ¿)(р2 +р2а-
-p1a)-p1L] = 0,6-—
dBH\ dt,
xjp2w0t- (w0t + z-L) p2 x (p2 - Pi)] +:
dz\A
J X
вн i
— аг x
-ap^j
(3)
В полученном дифференциальном уравнении (3) сделаем подстановку [1-5]:
х = w0t u = w0t + z — L В этих переменных уравнение (3) примет вид:
-, 0,6—
д[р2х- (р2 +р2а — p1a)u- p1L\ = —— х
xw02
Р2
¿вн 2 f d0
Pi)
XU +
«вн
^HapiL\
(4)
В уравнении (4) выражение в фигурных скобках в правой части не равно нулю, т. к. оно описывает величину силы трения, всегда положительную при скорости отличной от нуля.
Делим левую часть уравнения (4) на это выражение и извлекая квадратный корень, получим:
du
dx
N
gd в
0,6
х
р2х - (р2 + р2а - f)1a)u - f)1L
(5)
Р2х- [р2 - ^«2(р2 -рф +
Уравнение (5) путем переноса начала координат в точку пересечения (х1, и1) прямых Р2%- (Р2 +Р2«- Рга)и- р1Ь = 0
•-[р.-^я^-рО]
d„
и + —ap1L=0
d0
дифференциальному
-о
сводится к однородному уравнению первого порядка.
Решая совместно два уравнения прямых, найдем точку их пересечения:
- _ Pi¿
xi — ui — г \
(Рг -Pi)« Вводим новые переменные:
PiL
=х +
Х = х-U = u-
■иЛ =и +
(р2 -Pl)« p1L
1 " ' (Рг -Рх)« В результате свободный член в уравнениях прямых окажется равным нулю, а коэффициенты при текущих координатах остаются неизменными. В новых координатах получим:
аи
dX
N
gdm р2Х- aU
0,61w2 p2X-bU
(6)
где
a = p2 +p2a- p±a;
Ь= P2 --BRa2(p2 -p±) d0
Сделаем замену y = — , тогда dU dy
дйвн р2 — ау
0,6 ÁWQ р2 — Ьу'
dy
У + Х1Ш =
м
Разделяя переменные, поставив символы и
пределы интегрирования имеем:
/
У 2
dy
gdm p2~ay
Л
-i
-У x2
dX ~X
(7)
0,6А\л?£ р-2—Ьу
Здесь нижние пределы Х2, у2 соответствуют значениям /2и х2, полученным на предыдущем этапе решения задачи, т.е. к моменту времени, когда тампонажный раствор в обсадной трубе опускается до дня скважины[4].
Интеграл в левой части уравнения (7) обозначим 3:
i
-I
У1
dy
■у
I 0,6ÁWq P2~by
Сделаем в этом интеграле подстановку
= ±W;
Рг ~ау
У
Р2~Ьу p2(1-W2)
= W
2.
м
Рг — ау
Рг — Ьу
; dy = 2{Ъ - а)р2
WdW
а — ЬШ2' у ^'■{а-ЪМУ
Относительно новой переменной Ж данный интеграл примет вид:
2(й — а)р2 (±cb) Х
Г W
J
w2
WdW
bW)2
где с :
Я^вн
0.6Лнг§
Определив корни сомножителей знаменателя подинтегрального выражения в (8), заменив его простыми дробями и возвращаясь к уравнению (7),
его можно записать в виде:
ш
Г 1,613 0,059 -0,6492 I _ .____+:-
+ ■
w2 1,409
W ± 1,289 W± 0,2 l,540
+
W + 1,468 W ± 1,362
wnt +
= ln— =ln-
Х2 w0t2 +
dW =
(p2-pi)a
Pi¿
(9)
(Р2-Р1)«
С учетом, что Ж всегда положителен (1>Ж > 0), подставив полученные значения W2 = 0.3684; £2 = 679,22с, соответствующие опусканию тампонажного раствора до дна обсадной трубы, после известных преобразований [1-5] уравнение (9) приводится к виду:
4926,4W2 1
(1,468 - W)0'915
= 1,96 + t (10)
Уравнение (10) описывает вторую стадию процесса цементирования до момента времени, когда зона опорожнения исчезает (ъ=0). Из этого уравнения видно, что Жс течением времени стремится к своему минимальному пределу, равному 0,2004, оставаясь больше этой величины.
Для нахождения времени соответствующее условию 7=0, выразим W через ъ и 1: и, = р2ы01+(р2+р2а- р1а)(ы01 + г- I) -р1Ь ^
р2ш0С- [р2 ~^а2(р2 -рх)] 1 °
х--=
_ 2014,5 -2,09°2г-£
_ 1,265С-1,127г + 4621,4 ^
Искомое время ?3 получим, подставив в (11) ъ=0 и W=Wз=0,2004.
В результате найдем ¿3=1740,49 с. Используя уравнение (11) можем выразить ъ через W и 1:
z =
2014,5 - 4621,4^ 2 - (1 + 1,265W2)t
2,092 - 1,127Ж2 Скорость движения жидкости можно выразить через функцию W:
¡дЛв
w =
'■W = 9,149W
(12)
(13)
Таким образом, задача решена. Как было уже сказано в первой части работы, на данном этапе, аналогично первому этапу, зависимость между W и 1
(уравнение (10)) решена нами численным методом с использованием ЭВМ.
По этому уравнению массиву значений Ж (от Ж2до Ж3 определенным шагом) ставится в соответствие массив значений t (от 12 доtз).
Далее, по уравнению (12) массивам Ж и t ставится в соответствие массив ги по уравнению (13) по массиву Ж определяется массив м>.
Уравнение (12) позволяет определить любые гидродинамические характеристики процесса. Также как на первом этапе цементирования [4], можно подсчитать время контакта легкой жидкости со стенками скважины (затрубного пространства). Схема расчета подробно описана в [3-5].
Поступаем аналогично этой схеме.
Выше было получено:
Щ = а (и/0С + г - ¿) =
= 0,67(2,35 +г- 1900) (14) Обозначив к' + йбж, получим: й' = а(№0С + г - Ь) + к'бж=
= 0,67(2,35£ + г- 1900)+ 104,14 (15)
Здесь высота столба йбж (рис 1б) отличается от йбж, которая использовалась на предыдущем этапе [4], поскольку к'бж = айбж.
Далее из массивов й2'и ^'выбираются равные высоты (й2 = й'); тогда разность между соответствующими временами будет равна времени контакта буферной жидкости со стенками скважины на данной высоте:
т = Г -V, (16)
т.е. время контакта некоторой заданной высоте есть разность между временем, когда этой высоты достигает верхняя граница буферной (легкой) жидкости и временем достижения ее нижней границы (верхней границы тампонажного раствора в затрубном пространстве) (рис 1 б).
По соответствующим уравнением составились массивы Ж, ^ V, —, х, к, й'. С этой целью сначала подсчитывалось начальное (0,2565), максимальное (0,3684) и минимальное (0,2004) значение функции Ж. Шаг изменения Ж принимался равным 0.01. Для каждого значения Ж подсчитывалось время t. Затем по Жи t подсчитывалось хи т.д.
Величина к показывает уровень нижней границы тампонажного раствора, а й'- нижней границы буферной жидкости, причем глубина изменяется от уровня горизонта.
Из-за громоздкости массивов исходных данных и результатов расчетов на ЭВМ ограничимся здесь лишь выборочными результатами расчетов и графическими зависимостями.
В таблице 1 приводится выборочные данные зависимости скорости жидкости V в обсадной трубе и
изменения скорости 1 — 1 от времени t.
В таблице 2 приведены данные, отражающие динамику изменения глубины зоны опорожнения.
На рис.2 приводится график зависимости уровня нижней границы буферной жидкости (й') и тампонажного раствора (к) в зависимости от времени, а на рис.3 - зависимость времени контакта буферной жидкости от глубины к.
Таблица 1
№ ^ с йг , —, м/с V, м/с
1 200 0 2,45
2 333 0,35 2,7
3 486 0,77 2,98
4 700 1,2 3,30
5 720 0,77 2,98
6 786 0,35 2,7
7 867 0 2,45
8 1046 -0,35 2,2
9 1400 -0,7 1,95
10 1800 -0,9 1,86
Таблица 2
№ ^ с х, м
1 200 0
2 400 100
3 533 200
4 600 250
5 670 300
6 900 386
7 1150 300
8 1350 200
9 1560 100
10 1667 37
й'Лм 2000
1500
1000
500
-+-
-+-
-+-
200 600 1000 1400 2000
1, с
Рис. 2 - Уровни нижней границы буферной жидкости (й') и тампонажного раствора (й)в процессе цементирования
И, м
2000 к
1500
1000
500 | | |
0 40 60 80 100 120 т, с
Рис. 3 - Зависимость времени контакта буферной жидкости состенками скважины от глубины
п
0
Литература
1. Н.Х.Зиннатуллин, А.А.Булатов, Р.Г.Галимуллин, И.М.Нафиков, Г.Н.Зиннатуллина, Вестник Казанского технологического университета, т.17, №22, с.340-343, (2014).
2. Н.Х.Зиннатуллин, А.А.Булатов, Р.Г.Галимуллин, И.М.Нафиков, Г.Н.Зиннатуллина, С.Г. Николаева.
Вестник Казанского технологического университета, т.17, №19, с. 315-318, (2014).
3. Н.Х.Зиннатуллин, А.А.Булатов, Р.Г.Галимуллин, М.В.Астраханов. Вестник Казанского технологического университета Т.18, 3, с.154-156, (2015).
4. Корн Г.А., Корн Т.М., Справочник по математике. -М.Наука, 1973. - 627 с.
© Н. Х. Зиннатуллин - д-р техн. наук, проф. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ, проф. каф. энергообеспечение предприятий и энергоресурсосберегающих технологий КГЭУ, znazif@yandex.ru; А. А. Булатов - канд. техн. наук, гл. инженер ООО «Апарт»; Р. Г. Галимуллин - канд. техн. наук, доц. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ, liliagalimullina@gmail.com; Г. Н. Зиннатуллина - канд. техн. наук, доц. каф. промышленной безопасности КНИТУ; Р. Р. Хафизов - студ. КГЭУ, hafizov1994@mail.ru.
© N. Kh. Zinnatullin - the Doctor of Engineering, professor of chair of processes and devices of chemical technology of the KNITU, professor of chair power supply of the enterprises and the power resource-saving technologies of the KSPEU, znazif@yandex.ru; A. A. Bulatov - Candidate of Technical Sciences, the chief engineer of JSC Apart; R. G. Galimullin - Candidate of Technical Sciences, the associate professor of processes and devices of the chemical technology of the KNITU, liliagalimullina@gmail.com; G. N. Zinnatullina - Candidate of Technical Sciences, associate professor of industrial safety of the KNITU; R. R. Khafizov - the student of the KSPEU, hafizov1994@mail.ru.
