Последовательное течение двух жидкостей разной плотности по трубному и кольцевому каналу. Часть 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 665.6.011

Н. Х. Зиннатуллин, А. А. Булатов, Р. Г. Галимуллин, Г. Н. Зиннатуллина, М. В. Астраханов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ РАЗНОЙ ПЛОТНОСТИ

ПО ТРУБНОМУ И КОЛЬЦЕВОМУ КАНАЛУ. ЧАСТЬ 1

Ключевые слова: вертикальный канал, скорость течения, время контакта, воздушный столб.

Рассмотрен последовательный вертикальный поток двух жидкостей разной плотности по трубному и межтрубному пространству. Определены скорости движения сред и время их контакта со стенками каналов, а также размеры воздушного столба.

Keywords: vertical channel, current speed, contact time, air column.

The consecutive vertical stream of two liquids of different density on pipe and interpipe space is considered. Speeds of the movement of environments and time of their contact with walls of channels, and also the sizes of an air column are determined.

При закачке раствора с большей плотностью, чем плотность растворов, находящихся в за-трубном пространстве буровой скважины появляется дополнительное ускорение. В результате, с некоторого момента времени производительность насоса не обеспечивает скорость движения столба жидкости и в верхней части скважины образуется воздушный столб, величина которого (7) сначала растет до максимального значения, а затем уменьшается до нуля.

Когда в скважине имеется воздушный столб, скорость движения растворов в обсадной трубе с учетом производительности насоса (1^0) и роста (уменьшения) высоты воздушного столба определяется:

Г]?

w(t)=w0±^ (1)

Процесс цементирования скважин был рассмотрен в предыдущих работах авторов [1-4]. В работах [1-2] процесс был рассмотрен в квазистационарной постановке для конкретного случая, т.е. для определенного числа и объемов растворов, конкретных размеров скважины. В работах [3-4] получены общие теоретические зависимости для произвольного числа растворов и любых размеров скважины. В этой работе для анализа процесса цементирования для двухжидкостной модели будет использован алгоритм, разработанный в работах [3-4]. Конкретные технологические размеры процесса цементирования и геометрические размеры скважины будут такими же, как в работах [1-2]. Такой же порядок закачки растворов в скважину и их объемов. В начальный момент в скважине находится глинистый раствор (р = 1200^г), далее закачиваются силикатная буферная жидкость (р = 1030 —, V = 2м3), водный раствор тринолифосфата (р = 1030 —, V = 6м3),

КГ о

гель-цементный раствор (р = 1600 —Д7мл), цементный раствор (р = 1860 —, V = 35,7м3).

Для упрощения задачи перейдем к двух-жидкостной модели. Первые три легкие жидкости будем считать одним раствором с плотностью р2 = 1776 м-.

м

При закачке легкого раствора развиваемое давление определяется выражением:

Рн = ^ =0,6Я-

н

w02

PiL | a2PiL dm d0

(2)

Отсчет времени ведем с момента начала подачи в скважину тяжелого раствора. При закачивании тяжелого раствора возникает избыточная гидростатическая сила /*Изб, связанная с превышением плотности тяжелой жидкости над плотностью легкой жидкости:

^изб = 9 • шг{к2р2 + И1р1 -1рг), ... (3) где - соответственно высоты столбов раство-

ров в обсадной трубе с плотностью р1 и р2 (рис. 1а). На рисунке система обсадная труба - затрубное пространство условно показана в виде сообщающихся сосудов.

С началом подачи тяжелого раствора меняется также величина силы необходимой для преодоления гидравлических потерь ^от, т.к. в уравнении (2) сла-

РгЬ

гаемое —заменяется суммой

^вн

-Цр2й2 +р1ю, т.е.

"■вн

= 0,6Я- Wq ■ш1

+ pihi) +

a2piL

d0

(4)

При продолжении закачивания тяжелого раствора в момент времени высота К2 достигает такого значения, что давление, развиваемое насосами, становится равным нулю. В этот момент (рис. 1б) избыточная сила и сила гидравлического сопротивления сравняются:

^изб от _0. (5)

Заменив в уравнении (3) и (4) соответствующими данному состоянию значениями й2, к1 = Ъ — к2 и подставив их в уравнение (5)получим:

h'2 =

°м ■ ■ А ■ ¿(¿ + J)

(Р2-Р1)(д-0М • Время закачивания тяжелого раствора £хв этот момент составит:

Ъ= — = 210 с.

ш0

С этого момента в обсадной трубе появится зона опорожнения - воздушный столб (рис. 1в).

Рг

Р2

Л

V

V -

V

- V

: - -

_ - К -

- - ф --

Рис. 1 - Схема расположения растворов в скважине: 1 - обсадная труба, 2 - затрубное пространство. а - до достижения равновесия действующих сил; б - к моменту достижения равновесия действующих сил; в - с появлением зоны опорожнения (воздушного столба).

Скорость движения растворов в скважине будет уже определяться по формуле (1).

Тогда ^зб и ^отзапишутся в виде:

Ризб = д- ш^{к2р2 +Й1Р! -р1ь);

/Лот = 0,6Я (м/0 + • [(й2р2 +

( а2р1Ь\

Здесь к2 = м/0£:, к1=1—г — к2=1 — г--

Подставив эти значения в (5) получим: д • [(р2 -Pl)w0t-p1z] -0,6А-^1(м/0 +

+и)

р2 • + р±{1

■ м/00

^вн +

ар1Ь

= 0. (6)

Для решения полученного дифференциального уравнения (6) делаем замену переменных [5]: х = м/0£:; и = Ь — z—w0t.

Тогда уравнение (6) приводится к виду:

йи йх

N

дд-в

р2х+р±и—р1Ь

0,6Я • №02 р^+р^ + ^Р!1-.

а0

(7)

Для разделения переменных делаем подстановкуу = р2х + рги.

Подставив символы и пределы интегрирования

получим:

У

йу

У1

Р2-Р1 •

\

дд-в

У~Р

А /

йх.

(8)

0,6Я • ш02 £вн££1£

х±

Здесь хх и уг соответствуют моменту времени^.

Примем для упрощения записи обозначе-

ния:

Рг

\

дЛв

0,6Я • w(f

= а; р1Ь = Ъ;

dвнap1L

= с.

Тогда интеграл левой части (8) запишется в виде:

йу

у—ь

У1 р2—а I-

(9)

Сделаем в этом интеграле подстановку Эйлера [5]:

у — Ъ

Ш2; у = -

Ь + сШ2

у + с ' ' у 1-Ш2 ' 2 (Ь + с) • Ш

Тогда интеграл (9) примет вид:

2 (Ь+с) гШ

} =

ч -<1

WdW

р2 (1+№)2(1-№)2(1-5№)2 '

(10)

где 5 = —.

Р 2

Поскольку 0< Ш < 1, то интеграл (10) с использованием известных методов [3-5] после несложных преобразований можно записать в виде суммы интегралов:

} =

2 (Ь + с)

Р2

1 4

(5 + 1

тлт2

г/т

<Ж

(1 + Щ2

1 4

(5- 1)2

1 1 Г

_4•5+1]

№ № г 1 1 г йш

х ] 5-1 ] (1-ш)2 +

+

(б2 -1)2 1

Г йШ 7 1-б]л

1

2 (Ь + с)

х ■

1

4 • 7

Р2

1

- X 4

5 + 1 1 + Ж 4 5-1 1-х, 5,.„1п (1-Ж)- — 5

1

— Н— х

Ж 4

(5-1)2

х1п(1 + Ш)

4 (5 + 1)2 • ¿п|1-5Ж

X

ж

(11)

Подставив численные значения постоянных, входящих в (11), получим:

2 (Ь+с)

Р 2

= — • рль{1+—•<!) = 5330,3м; Р2 V >

5 = ■

Р1

Р2

д^в

= 2,4146.

0,6м/02

Выражая Ш через г и имеем

J2 у- Р^ Р2* + Р±и- РгЬ

= ■

у +

а„

р2х + р1и+ ар1Ь

^о^СР2 -РО-Р!?

;. (12)

Из (12) найдем нижний предел интегрирования И^ = 0,2565, соответствующий моменту времени £:х = 210 си г = г! = 0. Используя уравнение (12) в^1разим г через Ши t:

Wot(p2-p1)(1-W2)

2 =

РгЦ-М2)

L

а

б

в

W

'PiL(

1+-

Pla-w*) ■ (13)

По уравнению (6) скорость wвыражается через z и t в следующем виде:

9 т! • [w0t(p2 -p1)-p1z]/[w0tx

...

piz- ■

w = ■

0,6Wg

x (j>2 - Pi)

+ • a)

.(14)

достижении нижней границей буферной жидкости глубины Й.

Через некоторое время тверхняя граница буферной жидкости достигнет глубины й. Тогда вместо (19) имеем:

к = (20) и искомое время контакта равно разности т = —

Сравнивая (12) и (14) видим, что выражение скорости (14) можно записать в виде:

w

\

gdB

0,6Я

■ w.

Саму функцию ('К находим по (8), подставив в его левую часть выражение (11).

Подставив численные значения величин в (11), (13), (14) получим: 166,29 401,39

-177,6• 1п(1 + Ш) - 567,55 х

х1п|1-2,4146Ж| +313,09.

(15)

z =

1,4423t(1-W2) - 4303,03W2

1-W2

(16)

w = 9,15W (17)

Зависимость между Ши t (уравнение (15)) сложная. Поэтому нами оно решено численным методом. В результате полученмассив значений Ши t. Далее по уравнению (16) массив значений z, а по уравнению (17) массив значений w. Уравнение (6) справедливо до тех пор, пока тяжелая жидкость не начнет выходить в затрубное пространство, т.е. время t2 находится (рис. 2а) из условия:

z2+w0t2=L = 1900 м. (18)

При выполнении условия (18) расчет на ЭВМ первого этапа завершается.

Интегрирование дифференциального уравнения (6) позволяет вычислить гидродинамические характеристики процесса цементирования. Например, приведем порядок определения времени контакта легкой буферной жидкости со стенками скважины.

С этой целью выделим мысленно в обсадной трубе непосредственно перед столбом тампонажно-го тяжелого раствора участок легкой жидкости глубиной йбж. Тогда, поскольку по рис. 2б уже в обсадной трубе имеется зона опорожнения, то для решения данной задачи можно использовать полученный выше интегральное выражение, а именно для некоторой глубины h по рис. 2б можно записать:

h = zh + h2h + h6yK = zh +w0th + йбж.(19) Индекс h указывает здесь, что соответствующие величины берутся из массивов расчета на ЭВМ при

© Н. Х. Зиннатуллин - д-р техн. наук, проф. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ, проф. каф. энергообеспечение предприятий и энергоресурсосберегающих технологий КГЭУ, [email protected]; А. А. Булатов - канд. техн. наук, гл. инженер ООО «Апарт»; Р. Г. Галимуллин - канд. техн. наук, доц. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ, [email protected]; Г. Н. Зиннатуллина - канд. техн. наук, доц. каф. промышленной безопасности КНИТУ; М. В. Астраханов - студ. КГЭУ, [email protected].

© N. Kh. Zinnatullin - the Doctor of Engineering, professor of chair of processes and devicesofchemical technology of the KNRTU, professor of chair power supply of the enterprises and the power resource-saving technologies of the KSPEU, [email protected]; A. A. Bulatov - Candidate of Technical Sciences, the chief engineer of JSC Apart; R. G. Galimullin - Candidate of Technical Sciences, the associate professor of processes and devices of the chemical technology of the KNRTU, [email protected]; G.N. Zinnatullina - Candidate of Technical Sciences, associate professor of industrial safety of the KNITU; M. V. Astrakhanov - the student of the KSPEU, [email protected].

Рис. 2 - Схема расположения растворов в скважине: а - опускание тяжелого раствора до дна обсадной трубы; б - схема к определению времени контакта буферной (легкой) жидкости со стенками скважины

Возвращаясь к описанному выше алгоритму проделаем следующие операции:

1) известным массивам значений z и £подста-вим в соответствие массив h по уравнению:

h = z+w0t + h6x = z + 2,35t; (21)

2) построим массив й'по уравнению:

h' = z+w0t = z + 2,35t; (22)

3) находим время t', соответствующее глубине h'и время t, соответствующее глубине h.

Разность между ними и составляет время контакта т:

T = t -t. (23)

Более подробный анализ динамики процессов движения растворов, а также анализ следующего этапа, когда тампонажный раствор начинает выходить в затрубное пространство будет изложен в следующей публикации - во второй части работы.

Литература

1) Н.Х. Зиннатуллин, А.А. Булатов, Р.Г. Галимуллин, И.М. Нафи-ков, Г.Н. Зиннатуллина. Вестник Казан. технол. ун-та т. т. 17, 22, с. 340-343, (2014).

2) Н.Х. Зиннатуллин, А.А. Булатов, Р. Г. Галимуллин, Г.Н. Зиннатуллина, С.Г. Николаева. Вестник Казан. технол. ун-та т. 17, 19, с. 315-318, (2014).

3) Н.Х. Зиннатуллин, А.А. Булатов, Р.Г. Галимуллин, М.В. Аст-раханов. Вестник технол. ун-та. 18, 3, с. 154-156, (2015).

4) Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике. - М.: Наука, 627 с., (1973).

L