CC BY
5Следствие 10. Пусть ei — m-функтор, выделяющий в каждой группе один класс сопряженных максимальных подгрупп и саму группу. Тогда в любой неразрешимой группе G существует нормальная р-подгруппа P, такая, что А N (G)/P Ç A(G/P ).
Следствие 11. Пусть ei — m-функтор, выделяющий в каждой группе один класс сопряженных максимальных подгрупп и саму группу. Тогда в любой неразрешимой группе подгруппа АN (G) G NPN.
Следствие 12. В любой неразрешимой группе G пересечение ненильпотентных абнормальных максимальных подгрупп, не сопряженных с некоторой максимальной подгруппой, метанильпотентно. Если m-функтор в является тривиальным, то из теоремы 2 получаем
Следствие 13. Пусть ei — m-функтор, выделяющий в каждой группе один класс сопряженных максимальных подгрупп и саму группу. Тогда в любой неразрешимой группе G существует нормальная р-подгруппа P, такая, что ФN (G)/P Ç &(G/P).
Следствие 14. Пусть ei — m-функтор, выделяющий в каждой группе один класс сопряженных максимальных подгрупп и саму группу. Тогда в любой не р-разрешимой группе подгруппа ФN (G) G NPN.
Следствие 15. В любой неразрешимой группе G подгруппа, равная пересечению ненильпотентных максимальных подгрупп, не сопряженных с некоторой максимальной подгруппой, метанильпотентна и ее п-длина не больше 1, а нильпотентная п-длина не больше 2, где п — произвольное множество простых чисел.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Frattini G. Intorno alla generasione dei gruppi di operazioni // Atti Acad. Lincei. 1885. 1. 281-285.
2. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. M.: Наука, 1978.
3. Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Минск: Беларуская навука, 1997.
4. Thompson J.G. Normal p-complements for finite groups //J. Algebra. 1964. 1. 43-46.
5. Шпырко О.А. О производной п-длине конечной п-разрешимой группы // Таврич. вестн. информ. и матем. 2005. № 1. 49-54.
6. Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. 1956. 3. 1-42.
Поступила в редакцию 04.09.2009
УДК 512.543.52 + 512.544.7
ПОРЯДКОВАЯ ОТДЕЛИМОСТЬ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ С ОБЪЕДИНЕННОЙ ПОДГРУППОЙ
В. В. Едынак1
В статье доказывается свойство порядковой отделимости для свободного произведения двух свободных групп с объединенными максимальными циклическими подгруппами.
Ключевые слова: свободные произведения, аппроксимационные свойства.
The order separability is proved for the free product of two free groups with the maximal cyclic amalgamated subgroups.
Key words: free products, residual properties.
Определение 1. Пусть даны группа G и натуральное число п, превосходящее 1. Группа G называется п-порядково отделимой, если для любых элементов g\,...,gn группы G, таких, что gi не сопряжено с g±l, 1 ^ i < j ^ п, существует гомоморфизм из группы G в конечную группу, такой, что порядки образов элементов g\,...,gn попарно различны.
В работе [1] было доказано, что свободные группы 2-порядково отделимы. Автором [2] было установлено, что 2-порядковая отделимость переносится на свободные произведения. Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.
1 Едынак Владимир Васильевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Теорема 1. Пусть F\ и F2 — свободные группы. Пусть элементы a G F\ \ {1},Ь G F2 \ {1} не являются собственными степенями. Тогда группа F\ a=bF2 2-порядково отделима.
1. Вспомогательные сведения из теории графов. Приведем сведения из теории графов, которые понадобятся в дальнейшем.
Определение 2. Графом Г называется пара множеств E, V, для которых определены три отображения: а : E — V,u : E — V,n : E — E, обладающие следующими свойствами: п2 = id, а о п = и, и о п = а, отображение п биективно и не имеет неподвижных точек.
Множества E и V называют ребрами и вершинами графа Г. Отображение а сопоставляет каждому ребру Г его начало, а отображение и — каждому ребру его конец. Отображение п сопоставляет каждому ребру e ребро f, обратное к е. Ребра e и f называются взаимно обратными.
Определение 3. Граф называется ориентированным, если из каждой пары его взаимно обратных ребер зафиксировано одно ребро, которое называется положительно ориентированным. Ребра, обратные к положительно ориентированным, называются отрицательно ориентированными.
Определение 4. Множество ребер {ei\i G I}, где либо I = {1, 2,... , n}, либо I является множеством натуральных чисел, графа Г называется путем S = е\ ...en ..., если а(ег) = и(е—\) для всех i, таких, что i — 1,i G I. Началом o:(S) пути S называется вершина а^). Если I = {1,2,...,n}, то вершина u(en) называется концом пути S и обозначается u(S). В этом случае будем также говорить, что путь S конечный.
Определение 5. Путь S = {ei\i G I} называется путем без возвращений, если ребра ei, ei+i для всех i,i + 1 G I не являются взаимно обратными. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие пути.
Определение 6. Конечный путь графа называется циклом, если его начало и конец совпадают.
Определение 7. Пусть в графе Г зафиксированы две вершины p и q, принадлежащие одной связной компоненте Г. Тогда расстоянием между p и q называется минимальная длина пути, соединяющего p и q. Под длиной пути подразумевается количество ребер, входящих в путь.
Определение 8. Пусть в графе Г задан цикл S = ei ...en и зафиксировано некоторое неотрицательное целое число l. Будем говорить, что S не имеет l-близких вершин, если для любых i,j, 1 ^ i < j ^ n, расстояние между вершинами а(ei), o:(ej) не меньше min(\i — j\,n —\i — j\,l + 1).
Заметим, что при l = 0 данное условие означает, что S не имеет самопересечений. В этом случае будем говорить, что S является простым. Если l = 1, то будем просто говорить, что S не имеет близких вершин. Заметим также, что из того, что S не имеет l-близких вершин, следует, что S не имеет k-близких вершин для каждого неотрицательного k, меньшего l.
2. Графы действия групп. Пусть дана группа G, действующая на множестве X. Зафиксируем некоторое порождающее множество группы G : {gi\i G I}. Построим ориентированный граф Г следующим образом. Элементы множества X отождествим с вершинами Г. Для каждой вершины p и для каждого i G I существуют вершины q и r, такие, что p о gi = q,p о g-1 = r. Соединим вершины p и q парой взаимно обратных ребер, причем ребро, идущее из p в q, считаем положительно ориентированным и имеющим метку gi. Также соединим вершины p и r парой взаимно обратных ребер, причем ребро, выходящее из r и входящее в p, является положительно ориентированным и имеет метку gi.
Определение 9. Полученный граф называется графом действия группы G относительно множества порождающих {g\ G I}. Метку положительно ориентированного ребра f будем обозначать через Lab(f). Будем говорить о графе действия группы G без упоминания порождающего множества, если порождающее множество зафиксировано.
Определение 10. Рассмотрим путь S = ei ...en в графе Г действия группы G = (g\ G I). Тогда меткой пути S называется элемент группы G, равный ]^n=iLab(ei)', где Lab(ei)' = Lab(ei), если ребро ei положительно ориентировано, и Lab(ei)' = Lab(^ei))-1, если ребро ei отрицательно ориентировано.
Определение 11. Рассмотрим элемент u из группы G, отличный от единицы. Пусть дан граф действия Г группы G = (gi\i G I). Зафиксируем вершину p в Г. Тогда и-циклом T графа Г, выходящим из p, называется множество путей {Si = {ej\j G Ji}\i G J}, удовлетворяющих следующим условиям:
1) cy,(Si) = p;
2) существует взаимно однозначное соответствие между путями Si и представлениями элемента и через порождающие {gi\i G I} : и = g^ ... gi^, min(\ij—ij+i\,£j +£j+i) > 0,^ G {—1; 1}, 1 ^ j ^ k, 1 ^ i ^ k. При этом если £j = 1, то ребро elkn+j положительно ориентировано и его метка равна gij для каждого натурального n; если £j = —1, то elkn+j отрицательно ориентировано и метка ребра п(ej) равна gij для каждого натурального n; в случае если путь Si состоит из конечного числа ребер, равного r, считаем, что индексы ребер рассматриваются по модулю r;
3) не существует замкнутого подпути K в пути Si, отличного от Si, удовлетворяющего условиям 1,2;
4) путь Si является максимальным по включению путем, удовлетворяющим условиям 1-3.
Пути из {£¿1« € ■} будем называть представителями и-цикла Т.
Нетрудно заметить, что представители Т содержат элементы орбиты вершины р при действии на нее положительных степеней элемента и. При этом если граф действия конечен, то существует взаимно однозначное соответствие между и-циклами Г и орбитами при действии подгруппы (и) на множестве вершин Г.
Заметим, что если в графе действия для некоторого и-цикла Т представитель Т имеет конечное число ребер, то он замкнут и этим свойством обладают все остальные представители Т, а также метка каждого такого представителя равна ик для некоторого к.
Определение 12. Если некоторый представитель и-цикла Т состоит из конечного множества ребер и имеет метку, равную ик, то будем говорить, что длина Т равна к.
Пусть дана группа С, порожденная множеством {дг\г € I}. Рассмотрим эпиморфизм ф из свободной группы Е с базисом {хг\г € I} в группу С, при котором образ элемента хг равен элементу дг для каждого г € I. Предположим, что ядро ф как нормальная подгруппа порождается элементами {К^ Ц € ■}. Тогда ориентированный граф Г, положительно ориентированные ребра которого помечены элементами из {дг\г € I}, является графом действия группы С с порождающим множеством {дг\г € I} тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия (предполагается, что в Г каждая метка хг отождествляется с дг для каждого г € I):
1) для каждой вершины р из Г и для каждого г € I существуют единственные положительно ориентированные ребра е и /, помеченные элементом хг, такие, что / входит в р, а е выходит из р;
2) для каждой вершины р из Г и для каждого ] € ■ К^-цикл, выходящий из р, имеет длину 1.
Также видно, что существует соответствие между действиями группы С и ориентированными графами, удовлетворяющими условиям 1, 2.
Определение 13. Пусть даны группа С с порождающим множеством {дг\г € I} и граф действия Г группы С = (дг\г € I). Тогда гомоморфизм из группы С в группу подстановок на множестве вершин Г будем обозначать через фг.
Рассмотрим теперь граф действия Г группы С = (дг\г € I), имеющий конечное число вершин. Нетрудно заметить, что для каждого и-цикла Т из Г любой представитель Т состоит из конечного набора ребер. Поэтому порядок элемента фг(и) конечен для любого и € С и равен наименьшему общему кратному длин всех и-циклов в Г. Значит, если в Г существует и-цикл, длина которого равна Ь, то \ фг (и) Ь.
При работе с графами действия мы будем добавлять и удалять положительно ориентированные ребра с метками. Предполагается, что при удалении ребра с меткой удаляется и обратное к нему ребро, а при добавлении ребра с меткой предполагается, что оно положительно ориентировано и добавляется обратное к нему ребро.
3. Вспомогательные обозначения и леммы. Предположим, что Г — граф действия группы А С В, такой, что подгруппы А и В действуют свободно на вершинах Г. Тогда это равносильно тому, что граф Г обладает следующими свойствами:
(1) Г — ориентированный граф, положительно ориентированные ребра которого помечены элементами из А и В; для каждой вершины р из Г и для каждого й € А и В существуют единственное ребро с меткой й, выходящее из р, и единственное ребро с меткой й, входящее в р;
(2) для каждой вершины р из Г определим подграф А(р) как максимальный, связный, содержащий р подграф, все положительно ориентированные ребра которого помечены элементами из А; требуется, чтобы А(р) являлся графом Кэли группы А с порождающим множеством {А}; аналогично определяется подграф В (р).
Введем обозначение. Если С — некоторая группа, а V — ее порождающее множество, то Cay(G, V) — граф Кэли группы С относительно порождающего множества V.
Предполагаем далее, что все рассматриваемые графы действия свободных произведений с объединенной подгруппой таковы, что свободные множители действуют свободно на вершинах графов.
В [3] доказана следующая теорема.
Теорема 2. Класс групп, члены которого отделимы относительно вхождения в конечно-порожденные подгруппы, замкнут относительно свободных произведений.
Отметим ряд следствий этой теоремы.
Следствие 1. Свободная группа отделима относительно вхождения в циклические подгруппы.
Следствие 2. Свободное произведение конечных групп с объединенной подгруппой отделимо относительно вхождения в циклические подгруппы.
Доказательство. Пусть С = А С В, где А и В конечны. Поскольку С почти свободна, по теореме 1 в С существует нормальная подгруппа конечного индекса N, отделимая относительно вхождения в циклические подгруппы. Пусть элементы и и V из С таковы, что и / (у). Рассмотрим несколько случаев.
Случай 1. Если и,ь € N, то существует нормальная в N подгруппа К, такая, что иК € (ьК). Но тогда в К существует подгруппа конечного индекса, нормальная в С.
Случай 2. Если и € N,1] € N, то достаточно рассмотреть естественный гомоморфизм С — С/N.
Случай 3. Пусть и € N,1 / N. Пусть I — порядок элемента vN в группе С/N. Согласно случаю 1, существует гомоморфизм ро из С в конечную группу, такой, что ро(и) / (ро(ь1)). Согласно 2, существует гомоморфизм р1 из С в конечную группу, такой, что р1 (пьг) € (Р1 (ь1)), —I + 1 ^ г ^ 0. Гомоморфизм р : С — ро(С) х р1(С), определенный формулой р : д — ро(д)р1 (д), является искомым. Действительно, предположим, что р(п) = р(ь)п,п = к1 + г, 0 ^ г ^ I — 1. При г = 0 получаем противоречие с условиями на ро, а при г = 0 — противоречие с определением р1.
Случай 4. Предположим, что и / N,1 € N. Пусть I — порядок элемента vN в С/N. Если иьг € N, —I + 1 ^ г < 0, то достаточно рассмотреть естественный гомоморфизм из С в С/N. Поэтому предположим, что иь1 € N, —I + 1 ^ ] < 0. Согласно случаю 3, существует гомоморфизм р1 из С в конечную группу, такой, что р1(иь1) € (Р1 (ь)). Также существует гомоморфизм р2 из С в конечную группу, такой, что р1 (иьг) = 1, —I + 1 ^ г ^ 0,г = ]. Гомоморфизм р : С — р1 (С) х р2(С),р1 : д — р1(д)р2(д), является искомым, так как если предположить, что р(и) = р(ьп),п = к1 + г, 0 ^ г ^ I — 1, то при г = ] получается противоречие с условиями на р1, а при г = ] — противоречие с определением р2.
Следствие 2 доказано.
Определение 14. Группа С называется потентной, если для любого элемента д € С и для любого натурального числа п, делящего порядок д, если тот конечен, существует гомоморфизм из С в конечную группу, такой, что порядок образа д равен п.
Следующая теорема была доказана в [4].
Теорема 3. Свободная группа потентна.
Лемма 1. Пусть Е — свободная группа с фиксированным базисом 2, П1,...,Пк,ь € Е и для каждого г элементы ь и иг не лежат в сопряженных циклических подгруппах. Для любого достаточно большого простого числа р и для любого натурального числа N существует гомоморфизм р из Е в конечную р-группу, такой, что | р(и1) |= ... =| р(ип) |>| р(ь) |> 1 и | р(и1) |> N.
Доказательство. Рассмотрим простое число р, такое, что иг = и'?,ь = ь'? для каждого г. В силу условий на р, если иг,П1 лежат в сопряженных циклических подгруппах, их образы имеют одинаковые порядки при гомоморфизме из Е в конечную р-группу, поэтому будем считать, что элементы П1,...,ии попарно несоизмеримы. Пусть иг = и™"1 ,ь = ь'1, где и'г,ь' не являются собственными степенями. В силу условий на число р если будет найден нужный гомоморфизм для элементов Щ1,...,Щп,ь', то он будет искомым и для элементов ц,... ,ип,ь. Поэтому можно считать, что элементы ц,... ,ип,ь не являются собственными степенями, в частности подгруппы Щ1),..., (и^), (ь) являются р'-изолированными.
Рассмотрим следующий случай. Предположим, что при некотором т, 1 ^ т ^ п — 1, существует гомоморфизм рт из Е в конечную р-группу, такой, что в графе Сау(рт(С); рт(2)) все ь- и щ-циклы не имеют самопересечений, 1 ^ ] ^ п, при этом | рт(п1) |= ... =| рт(ит) |<| рт(иг) | для каждого г,т + 1 ^ г ^ к. При некотором т ^ 1 такой гомоморфизм существует. Согласно [5], существует гомоморфизм р1 из Е в конечную р-группу, такой, что р1 (п^),..., р1(и3к), р1 (ь1) = 1,1 ^ ] ^ N .В частности, | р1 (иг) |> N 1 ^ г ^ к. Так как свободная группа р-отделима относительно вхождения в р'-изолированные циклические подгруппы и аппроксимируется конечными р-группами, то можно также считать, что в графе Кэли группы р1(Е) с порождающим множеством р1 (2) все щ- и ь-циклы не имеют самопересечений, 1 ^ г ^ п. После этого в качестве элементов ц,... ,ит следует взять элементы из {п1,... ,ип}, порядки образов которых при р1 минимальны.
Рассмотрим граф Кэли А =Сау(рт(С); {рт(2)}). Рассмотрим индуктивный процесс построения графов действия группы Е = (2) Г&, 1 ^ к ^ ' (' выберем позже), удовлетворяющих следующим условиям:
1) длина каждого ь-цикла (пг-цикла) делит длину максимального ь-цикла (пг-цикла, 1 ^ г ^ п);
2) все ь- и иг-циклы простые, 1 ^ г ^ п;
3) для к, 1 ^ к ^ в графе Г& существует путь длины к, через который проходят максимальный !1-цикл и все максимальные щ-циклы, т + 1 ^ I ^ п.
Для начала построим граф Г1. Рассмотрим р копий графа А : А1,..., А?. В графе А1 зафиксируем некоторый !1-цикл 5 = е1 ...в3. Считаем, что если в — это вершина или ребро графа А, то вг — это соответственно вершина или ребро графа Аг, являющееся копией в в графе А. Удалим из графов А1,..., Ар ребра е1,..., еЦ. Для каждого г, 1 ^ г ^ р, проведем следующее преобразование. Если ребро е1 является положительно ориентированным, то введем новое положительно ориентированное ребро /г, выходящее из вершины а(е\) и входящее в вершину ш(е!+1). Если ребро е1 является отрицательно ориентированным, то вводимое ребро /г выходит из вершины ш(е!+1) и входит в вершину а(е\). В обоих случаях метка ребра /г
совпадает с меткой положительно ориентированного ребра из пары ребер е1,п(е1) (все верхние индексы по модулю р). Полученный граф действия группы Е обозначим через Г^. Условия 1, 2 выполнены для Г по построению. Также очевидно, что некоторый максимальный и1-цикл проходит через ребро /1. Если существует 1,т + 1 ^ I ^ п, такое, что никакой щ-цикл не проходит через ребро /1, то считаем, что процесс окончен и и> = 0, также выберем некоторое число Ь, такое, что существует и^-цикл, не проходящий через ребро /1. В противном случае полагаем Г1 = Г^, £1 = /1. Предположим, что имеется граф Г к, к ^ 1, удовлетворяющий свойствам 1-3. Зафиксируем максимальный и1-цикл Т = д1 . ..дл, проходящий через 5к. По индуктивному предположению можно считать, что Бк = д1 ...дк. Пусть д = и(д^). Рассмотрим р копий графа Гк : Дк,..., Ак. Считаем, что если г — это вершина или ребро графа Гк, то гг — это соответственно вершина или ребро графа Дк, являющееся копией г в графе Гк. Из графов Дк,..., Дк удалим ребра д^+р..., д\+\. Для каждого г, 1 ^ г ^ р, введем новое положительно ориентированное ребро дг. Если ребро дк+1 положительно ориентировано, то ребро дг выходит из вершины ^(дк+1) и входит в вершину ш(дк+11). Если дк+1 отрицательно ориентировано, то дг выходит из ш(дк+11) и входит в а(дгк+1). Метка ребра дг совпадает с меткой положительно ориентированного ребра из пары ребер дк+1,п(Як+1) (все верхние индексы по модулю р). Для полученного графа действия Гк+1 по построению выполнены условия 1, 2. Кроме того, через путь д|... д^пЧдО проходит максимальный и1 -цикл, где п'(д1) — то ребро из пары ребер д1 ,п(д1), начало которого совпадает с концом д^. Если через это ребро проходят все максимальные щ-циклы, т + 1 ^ I ^ п, то в силу условия 2 для Гк они проходят через д{... д^п'(д1), и в этом случае обозначим данный путь через 5к+1, а Гк+1 — через Гк+1. В противном случае считаем, что процесс окончен и и> = к, и мы также зафиксируем некоторое Ь,т + 1 ^ Ь ^ п, такое, что существует максимальный и^-цикл, не проходящий через путь д|... д\п'(д1). Поскольку элементы щ,...,ип попарно несоизмеримы, процесс будет окончен на шаге с некоторым номером w, и в конце мы получим элемент иь, т + 1 ^ Ь ^ п, такой, что в графе Г^+1 максимальные и^-циклы не проходят через путь длины w.
Будем работать с элементом и^,. Зафиксируем г, 1 ^ г ^ т. Рассмотрим индуктивный процесс построения графов Лл,... ,ЛгГ1, при котором данные графы удовлетворяют следующим условиям:
1) длина каждого у-цикла (и^-цикла) делит длину максимального у-цикла (и^-цикла, 1 ^ з ^ п);
2) все V- и и^-циклы простые, 1 ^ з ^ п;
3) для к, 1 ^ к ^ г г — 1, в графе Лгк существует путь длины к, через который проходят максимальный иг-цикл и все максимальные и^-циклы.
Данный процесс ничем не отличается от предыдущего, за исключением видоизмененного условия 3. Кроме того, на последнем шаге мы рассматриваем не р копий графа ЛгЛ_1, ар5' копий. Числа дг выбираем так, чтобы для любых г,], 1 ^ г, к ^ т, было выполнено равенство гг + дг = г^ + д^. Оценим длины максимальных иг-циклов, 1 ^ г ^ п, в графе Л = Ут=1 ЛгЛ. В графе ЛгЛ длина любого и^-цикла, 1 ^ з ^ т,з = г, по построению и в силу равенства \фт(и1 )\ = ... = \фт(ит)\ является степенью р и не больше длины максимального иг-цикла в графе Лг,п. Отсюда, а также из условия на числа д\ получаем, что \фл(и0\ = ... = \фл(ит)\. Покажем, что \фт(ик)\/\фт(щ )\ < \фл(и^)\/\фл(и1 )\. Каждый раз при переходе от графа Лг,к к графу Лг,к+1 в случае к = Гг — 1 длины максимальных иг- и и^-циклов увеличиваются в р раз. При переходе к графу Лг,п длина максимального иг-цикла увеличивается в р5 раз, длина максимального и^-цикла увеличивается не более чем в р5—1 раз, поскольку для любой вершины д графа ЛгЛ_1, из которой выходит максимальный в Лг и^-цикл, соответствующий и^-цикл графа Лг,п, выходящий из вершины дг, 1 ^ г ^ р5, не проходит через ребра, соединяющие соседние копии графа Лг,п_1, поэтому его длина такая же, как и в графе Лг,п_1.
Покажем теперь, что \фл(иг)\ ^ \фл(и1)\ для любого г,т + 1 ^ г ^ п,г = Ь. При построении графов Л1г из условия на Ь вытекает, что для любого г, 1 ^ г ^ Г1 — 1, и для каждого з,п + 1 > з > т, через путь проходят все максимальные и^-циклы. То есть при 1 ^ г < Г1 — 1 при переходе от Л1г к Л^г+1 длина максимального и^-цикла увеличивается в р раз. При переходе к Л1,Г1 длина максимального и^-цикла увеличивается в р51-1 раз. Поэтому \фл(и5)\ ^ \фл(и1)\ для всех з,п + 1 > з > т,з = Ь. Итак, показано, что для попарно несоизмеримых элементов и1,...,ип и гомоморфизма фт, такого, что \фт (и1)\ = ... = \фт (ит )\ < \фт(иг)\,г > т, и и^ - и у-циклы простые в Сау(фт (С); фт (Я)), 1 ^ ] ^ п, можно построить гомоморфизм фт+1, такой, что \фт+1 (и1)\ = ... = \фт+1 (ит)\ ^ \фт+1 (иг)\,п + 1 > г > т, и \ф'т(ик)\/\ф'т(и1 )\ < \фт(иь)\/\фт(и1)\ для определенного Ь, не зависящего от ф'т. При этом и^- и у-циклы простые в Сау(фт(С); ф'т(Я)), 1 ^ ] ^ п. Повторяя данный процесс, можно построить гомоморфизм фт+1, такой, что \фт+1 (и1 )\ = ... \фт+1(ит)\ = !фт+1(«т+1)! ^ \фт+1(иг)\,п + 1 > г > т + 1. Повторяя данную процедуру, можно построить гомоморфизм фп из Е в конечную р-группу, такой, что порядки образов элементов и1,...,ип будут совпадать и все иг- и у-циклы будут простыми в графе
Сау(ф„,(F); фn(Z)), 1 ^ i ^ n. Предположим, что \фп(ui)\ ^ \^>n(i>)\. В этом случае, как и при построении гомоморфизма ф'т из гомоморфизма фт, построим гомоморфизм ф'n из F в конечную p-группу, такой, что k(ui)\ = ... = wn(un)\ и \фп(ui)\/\фп(v)\ > ^n(ui)\/\фп(«)\. Применив данную процедуру достаточное число раз, мы получим нужный гомоморфизм ф. Нетрудно заметить, что при переходе от гомоморфизма фт к гомоморфизму ф'т порядки образов элементов ui, 1 ^ i ^ k, могли только увеличиваться, поэтому \ф(ul)\ > N. Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть G = Fi bF2, где Fi, F2 — свободные группы, a G Fi \ {1}, b G F2 \ {1} не являются истинными степенями. Рассмотрим элементы u = aibi ...anbn,v = aibl ...a'mb'm G G,ai,aj G Fi \ (a), bi, bj G F2 \ (b), 1 ^ i ^ n, 1 ^ j ^ m. Для любого элемента q G (a) \ {1} существуют гомоморфизмы ф,ф из групп Fi и F2 в конечные группы, такие, что ^(a)\ = \Ф(Ь)\ > 1. Неединичные элементы из множества
AF1 = {a—lqal,ai, aj ,aia—l,a'j a'-1, a a i \ 1 ^ i,k ^ n, 1 ^ j,l ^ m}
переходят под действием ф в неединичные элементы. Элементы из множества Af1, не лежащие в подгруппе (a), переходят в элементы, не лежащие в подгруппе (ф(a)). Аналогичное условие справедливо для гомоморфизма ф, подгруппы (b) и множества
Af2 = {bi, bj ,bi b—i, bj b'—i, bibj—i\1 < i,k < n, 1 < j,l < m}.
Доказательство. Поскольку группы (a), (b) являются p'-изолированными для любого простого p, то группы Fi, F2 p-отделимы относительно вхождения в подгруппы (a), (b) и существуют гомоморфизмы ф1 , ф1 из групп Fi и F2 в конечные p-группы, удовлетворяющие следующим условиям. Элементы из множества Af1 , не лежащие в подгруппе (a), переходят в элементы, не лежащие в подгруппе ф1 ((a)), неединичные элементы из Af1 переходят в неединичные элементы. Аналогичное условие верно для гомоморфизма ф1 , множества Af2 и подгруппы (b). Пусть простое число p больше максимума длин элементов a и b, а N = max (\ф1 (a)\, ф(b)\). Из леммы 1 вытекает существование гомоморфизмов ф2,ф2 из групп Fi, F2 в конечные p-группы, таких, что \ф2(a)\ = \ф2(b)\ > N. Нетрудно заметить, что гомоморфизмы ф : Fi — ф1 (Fi) х ф2(Fl), ф : F2 — фl(F2) х ф2(F2), определенные формулами ф : g — ф1 ^)ф2(g), ф : f — фl(f)ф2(f), g G Fi,f G F2, являются искомыми. Лемма 2 доказана.
Введем следующие определения. Пусть ребра e и f и пути E = {ei\i G I}, F = {fi\i G I} принадлежат графу действия группы ACB. Будем говорить, что e и f являются C-близкими, если C(a(e)) = C(а(^)) и C(u(e)) = C(u(f)). Также будем говорить, что пути E и F являются C-близкими, если C(а^)) = C(а(^)) и C(u(ei)) = C(u(fi)) для каждого i G I.
Также, как обычно, если Г — некоторый граф, e,p,S — соответственно ребро, вершина, путь в Г, а Г, G I, — копии Г, то для каждого i G I через ei,pi,Si обозначаются соответственно ребро, вершина, путь в графе Г^ которые соответствуют e,p,S в Г.
Доказательство теоремы 1. Пусть G = Aс^D B, где A,B свободны, C = (a) С A,D = (b) С B. Рассмотрим элементы u,v G G, такие, что u не сопряжено ни с v, ни с v—i. Будем считать, что u и v циклически несократимы.
Рассмотрим случай, когда u,v G A. Согласно [1], существует гомоморфизм ф1 из A в конечную группу, такой, что \ ф1 (u) \ = \ ф^) \. Пусть \ ф1^) \= n. По теореме 3 существует гомоморфизм ф2 из F2 в конечную группу, такой, что \ ф2(b) \= n. Ввиду того что отображение р : ф1 (a) — ф2(ь) продолжается до изоморфизма подгрупп (ф1 (a))n и (ф2(b))n, существует единственный гомоморфизм ф1 * ф2 из группы G в группу Gi = ф1 (A) lfi1(C)Z^(D)ф2(B), такой, что ф1 * ф2 \^= ф1,ф1 * ф2 \в = ф2. Так как группа Gi финитно аппроксимируема и элементы ui = ф1 (u) и vi = ф2(v) имеют различные конечные порядки, то существует гомоморфизм фз из Gi в конечную группу, такой, что (фi(u',)) ~ (фз(ui)), (ф1 (v)) ~ (фз(vi)).
Предположим теперь, что u G A \ {1},v G B \ {1}. Рассмотрим свободную группу F = Fi * F2. По лемме 1 существует гомоморфизм ф1 из F в конечную группу, такой, что \ ф1 (u) \ = \ фl(a) \ = \ ф1 (b) \>\ ф1 (v) \. Пусть ф1 = ф1 \а,ф2 = ф1\в. Так как \ф1 (a)\ = \Ф2(b)\, то существует единственный гомоморфизм ф1 * ф2 из Fi *C F2 в фl(A) *ф1 (C) Ф2(B), такой, что ф1 * ф2\а = фъф1 * ф2\в = ф2, при этом \ф1 * Ф2(u)\ > \Ф1 * Ф2(v)\. Группа фl(A) *^1(с) ф2^) финитно аппроксимируема, поэтому существует гомоморфизм из этой группы в конечную группу, такой, что образы элементов Ф1 * Ф2^),Ф1 * ф2^) имеют различные порядки.
Пусть дана группа G = А^ 13, A,B свободны, C = (a),D = (b), а и b не являются собственными
степенями. Рассмотрим элементы 3,3, и / A U13, u и 3 циклически несократимы, а также 3 не сопряжено с u±l. Зафиксируем для и и и некоторые приведенные записи, можно считать, что они имеют следующий
вид: и = а!&1 ... ат Ьт, V = а1 Ь ... а{Ь\ либо V € А и В, и тогда можно считать, что V = а\ , I = 1, аг, а^' € А \ С,Ьг,Ь^ € Iй \ Iй, 1 ^ г ^ т, 1 ^ ] ^ I. В силу леммы 2 существуют гомоморфизмы е,а из групп и,В в конечные группы А и В, такие, что \е(и)\ = \ст(Ь)\ и е(Дл \ {1}) П {1} = {1},е(Дл \ {А}) = е(Дл) \ Ш)}, а(Дв \ {1}) П {1} = {1}, а(Дв \ {В}) = а(Дв) \ {(т(В)}. Если V /А и В, то
Да = {аГ 1 с[а1,аиг, и', агак _1 ,и 'аи'_1, V и'_1 \1 ^ г,к ^ т, 1 ^ ^ I},
Дв = {ЬгЬ', ЬгЬк 1,Ь]'ъ1 1,ЬгЬ^' 1\1 ^ г, к ^ т, 1 ^ ^ I},
а элемент V равен единице, когда элементы V и V не принадлежат одному смежному классу по объединенной подгруппе, в противном случае это элемент из объединенной подгруппы группы С, такой, что V = ии. Если V € А, то Да = {сига '\1 ^ г ^ т}, Дв = {Ьг\1 ^ г ^ т}. Следовательно, существует единственный гомоморфизм р из С в группу е(А) )а(В), такой, что р\л = £, р\и^ = и, и при этом в силу теоремы о сопряженности для свободных произведений с объединенной подгруппой [6] р(^ не сопряжено с р^, р(^ не сопряжено с р(у_1). Таким образом можно считать, что свободные множители конечны. Пусть р(С) = С, р(^ = и, р^) = у, р(С) = С, р(аг) = аг, р(Ьг) = Ьг, 1 ^ г ^ т. По следствию 2 существует гомоморфизм ф из С в конечную группу, такой, что в графе Кэли Г =Сау(ф(С); {ф(Аи В)}) группы ф(С) представители и-циклов не имеют 1-близких вершин, и если у / А и В, то представители у-циклов в этом графе также не имеют 1-близких вершин. Предположим, что \ф(и)\ = \ф(у)\. Рассмотрим индуктивный процесс построения графов действия группы С Гк, 1 ^ к ^ з, удовлетворяющих следующим условиям (з является либо целым неотрицательным числом, либо бесконечным символом):
1) длина любого и-цикла делит длину максимального и-цикла. То же самое справедливо относительно у-циклов;
2) все представители и-циклов не имеют 1-близких вершин. Аналогичное условие выполнено и для у-циклов, если у / А и В;
3) при к ^ з существуют 2 пути Зк и длины к, такие, что через Зк проходит представитель максимального и-цикла, а представители всех максимальных у-циклов имеют подпути, С-близкие к пути Б^к. Кроме того, Б^к и 5/к являются С-близкими;
4) длины максимальных и- и у-циклов совпадают.
Представители максимальных и- и у-циклов будем называть максимальными представителями и- и у-циклов.
Если у € А и В, то можно воспользоваться финитной аппроксимируемостью группы С и тем, что порядок и бесконечен, а порядок у конечен. Построим граф Г1. Пусть п = \ф(и)\. Зафиксируем в Г и-цикл, также зафиксируем его представитель 5 = е1... ет, метка которого равна ип и который выходит из некоторой вершины р. Пусть д = и(е1). Рассмотрим п копий графа Г : Д1,..., Дп. Из каждой копии удалим все ребра с метками из А \ С, концевые вершины которых лежат в подграфе С (дг). Для каждого г, 1 ^ г ^ п (индексы по модулю п), и для каждого удаленного ребра выполним следующую процедуру. Рассмотрим ребро / графа Г, конец д' которого лежит в С(д), а метка из А \ С. Другой конец этого ребра обозначим через р'. В графах Дг и Дг+1 соединим вершины р'г и д'+1 ребром /г, метка которого совпадает с меткой ребра /. Если ребро / выходит из вершины р', то ребро /г выходит из вершины р'г. Если же / входит в р', то и /г входит в р'г. Полученный граф обозначим через Г^. Для этого графа выполнено условие 1 в силу условия на число копий графа Г и длину и-цикла. Условие 2 выполнено для Г, так как в противном случае оно бы нарушалось в графе Г. Рассмотрим в данном графе представитель и-цикла, выходящий из вершины w = а(е1)1 и соответствующий представителю 5. Его вторым ребром является ребро / = (е2)2. Рассмотрим п2 копий графа Г^: Л1,... ,Лп2. Из каждого графа Лг удалим все ребра, концевые вершины которых лежат в подграфе С(и(/г)), а метки — в подгруппе В \ С. Рассмотрим каждое ребро Ь из графа Г;, концевая вершина д'' которого лежит в С(и(/г)), а метка — в В \ С, другая концевая вершина Ь — вершина р''; для каждого г, 1 ^ г ^ п2 (индексы по модулю п2), соединим вершины р'' и дг+1 графов Лг и Лг+1 ребром дг. Если Ь входит в р'', то дг входит в р', если же Ь выходит из р'', то дг выходит из р''. Обозначим построенный граф через Г1, а через Ь1 — новое ребро в Г1, соединяющее вершины а(/)1 и и(/)2, полученное после удаления ребра /1. Как и в случае построения графа Г1, для графа Г1 выполнены условия 1, 2. Кроме того, по построению все представители всех максимальных у-циклов графа Г1 проходят через вершину из С(а(/)). Отсюда и из условия на отсутствие 1-близких вершин для представителей и- и у-циклов вытекает, что выполнена одна из двух следующих альтернатив. Пусть р — произвольная вершина графа Г1, такая, что из нее выходит максимальный у-цикл, т.е. его представители проходят через вершины из С(а(/)). Рассмотрим вершину р1 графа Г1, соответствующую вершине р.
Тогда либо ь-цикл К, выходящий из вершины р1, является максимальным в Г1 и его представители проходят через ребра, С-близкие с ребром Л, либо представители К проходят только через вершины одной копии графа Г^. Это вытекает из того, что во втором случае представители рассматриваемого ь-цикла проходят через ребра, метки которых принадлежат В\С, и их концевые вершины лежат в С(а(Л-1)), но при этом они не являются С-близкими для ребра Л-1, а значит, ввиду отсутствия у представителей К 1-близких вершин данные представители не проходят через ребра, С-близкие с Л-1, и не содержат вершин из С(и(Ь,1)). В последнем случае любой ь-цикл графа Г1 имеет длину, меньшую длины максимального и-цикла в этом же графе. Иначе мы имеем граф Г1, для которого выполнены условия 1-4, если в качестве пути 5{ взять ребро Л-1, а в качестве пути 5*2 — любое ребро, С-близкое ребру Ль Предположим, что построен граф Гд,к ^ 1. Пусть п — длина максимального п-цикла в Гд. Пусть Т — представитель максимального п-цикла, проходящий через , Т = е1 ...е. Тогда = ея+1... ея+д. Рассмотрим п копий графа Гд: А1,..., Ап. Пусть д — конец ребра ед+к+1 в графе Гд. Из каждого графа Аг удалим все ребра, удовлетворяющие условиям:
1) метки данных ребер лежат в том же свободном множителе, что и метка ребра (ея+д+1)г, но не лежат в С;
2) одна из концевых вершин каждого ребра лежит в С(дг).
Далее для каждого г, 1 ^ г ^ п (индексы по модулю п), и для каждого удаленного ребра произведем следующую процедуру. Пусть / — положительно ориентированное ребро графа Гд, копия которого в графе Аг была удалена, г = а(/),в = и(/). Пусть в' — та из вершин г и в, которая лежит в С(д), а г' — вторая из этих двух вершин. Соединим вершины г'г и в'+1 графов Аг, Аг+1 соответственно ребрами Лг. Метка Лг равна метке ребра /. Если / входит в вершину г', то Лг входит в вершину г'г. Если / выходит из вершины г', то Лг выходит из вершины г'г. Полученный граф обозначим через ГД+1. Он удовлетворяет свойствам 1, 2. Доказательство этого аналогично случаю построения графа Г1. Пусть = £1 ...£д и ребро £г С-близко ребру ея+г, 1 ^ г ^ к. Пусть Л — новое ребро в ГД+1, соединяющее вершины а(ед+д+1 )1 и ш(ед+к+1)2, полученное вместо ребра (еч+к+\)1. Зафиксируем представитель некоторого ь-цикла графа Гд, имеющий подпуть, С-близкий пути . Предположим, что этот путь выходит из вершины Рассмотрим соответствующий представитель Q в ГД+1, выходящий из вершины '. Он имеет подпуть, С-близкий пути (5д)1. Если ребро й в данном представителе, следующее за ребром, С-близким ребру (£д)1, С-близко ребру Л, то длина Q совпадает с длиной максимального п-цикла в графе ГД+1 и ь-цикл, соответствующий Q, максимальный в графе. В этом случае для ГД+1 выполнено условие 4. Условие 3 также выполнено, так как за новый путь 5д+1 можно принять (5д )1 и Л-1 ив качестве нового пути 5д+1 взять путь (5д )1 и г, где г — ребро, С-близкое ребру й, инцидентное ребру (£д)1. То есть ГД+1 = Гд+1. Заметим, что не существует ребра й, удовлетворяющего условиям: некоторая концевая вершина й лежит в С(а(Н{)) и С(ш(Н{)), оно принадлежит Q и не следует за ребром из Q, С-близким ребру £)1, так как в этом случае получится, что Q имеет 1-близкие вершины. Если для максимального представителя ь-цикла ребро й, определенное выше, не является С-близким ребру Л-1, то длина соответствующего ь-цикла меньше, чем длина максимального п-цикла в графе ГД+1, и он не пересекается с графами Аг,г > 1. Кроме того, для любого представителя ь-цикла графа ГД+1, выходящего из некоторой вершины и проходящего через подграфы Аг для различных г, соответствующий представитель ь-цикла в графе Гд, выходящий из вершины не является максимальным в графе Гд. В такой ситуации в графе ГД+1 длина максимального п-цикла больше длины максимального ь-цикла и задача решена. Поэтому предположим, что для любого натурального к существует граф Гд. Это означает, что в исходном графе Кэли Г представители и- и ь-циклов, выходящие из одной вершины, являются С-близкими. Так как порядки образов и и ь совпадают, то длины и и ь совпадают. Зафиксируем некоторые приведенные записи для элементов и и ь: и = 0161... атЬт, ь = а^Ъ^ ... а'тЬ'т. Рассмотрим представители Q и К и- и ь-циклов, выходящие из одной вершины и соответствующие выбранным приведенным записям. Так как Q и К являются С-близкими, то а1 и а^ лежат в одном левом смежном классе относительно С, поэтому можно считать, что а1 = а'1 . Используя это же рассуждение, можно считать, что аг = а'г,Ъ1 = Ъ1, 1 ^ г ^ т, 1 ^ ] ^ т — 1, Ът = Ъ'тЛ для некоторого Л € С .То есть и и ь лежат в одном смежном классе относительно С: и = а^1... атЪт, ь = а161... атЪтЛ. Так как Q и К являются С-близкими, то р(а^"1Ла1) € р(С). В силу определения приведенной записи имеем а1 € С, а значит, поскольку а не является истинной степенью, имеем а1-1да1 € С. Кроме того, 3 = и,д для некоторого д € (СС). Но это противоречит условию на р.
Случай, когда ь = 1, очевиден. Теорема 1 доказана.
Автор приносит благодарность А. А. Клячко за ценные замечания и обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Klyachko A.A. Equations over groups, quasivarieties, and a residual property of a free group // J. G. T. 1999. 2. 319-327.
2. Едынак В.В. Отделимость относительно порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 3. 53-56.
3. Романовский Н.С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. 33. 1324-1329.
4. Stebe P. Conjugacy separability of certain free products with amalgamation // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. 156. 119-129.
5. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.
6. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
Поступила в редакцию 26.04.2010
УДК 51-77
ЗАДАЧА СОСТАВЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОГО ПОРТФЕЛЯ В МОДЕЛИ РЫНКА СОГЛАСНО БЕЛЕЦКОМУ И ПЛИСКЕ
Г. С. Камбарбаева1
В работе рассматривается предложенная Т. Белецким и С. Плиской модель оптимального управления портфелем ценных бумаг с непрерывным временем, в которой ожидаемый средний доход отдельных ценных бумаг или категорий активов явно зависит от экономических факторов. При фиксированных значениях факторов вводится функционал Qy , описывающий ожидаемую доходность портфеля с учетом компоненты ошибки, пропорциональной диперсии с коэффициентом y . Коэффициент y играет роль параметра неприятия риска. Оптимальная стратегия находится как решение задачи максимизации Qy в любой момент времени. Более подробно разбирается однофакторный случай. Приводится простой пример портфеля из двух активов — реальной процентной ставки (модель Васичека) и биржевого индекса, зависящего от нее. Затем полученные результаты сравниваются с теорией Белецкого и Плиски, в которой используются методы рискочувствитель-ной теории оптимального управления, и при этом исследуется задача на бесконечности, описывающая ожидаемый темп роста капитала в долгосрочной перспективе, асимптотическую дисперсию и параметр неприятия риска, аналогичный y.
Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, модель рынка Белецкого и Плиски, ожидаемый темп роста капитала портфеля, коэффициент риска, оптимальное управление портфелем ценных бумаг, стратегия инвестирования.
We study a continuous time portfolio optimization model due to Bielecki and Pliska where the mean returns of individual securities or asset categories are explicitly affected by underlying economic factors. We introduce a functional QY that features the expected earnings yield of portfolio minus a penalty term proportional with a coefficient y to the variance when we keep the value of the factor levels fixed. The coefficient y plays the role of a risk-aversion parameter. We find the optimal trading positions that can be obtained as the solution to a maximization problem for QY at any moment of time. Single-factor case is analyzed in more details. We give a simple asset allocation example featuring a Vasicek-type interest rate which affects a stock index and also serves as a second investment opportunity. Then we compare our results with the theory of Bielecki and Pliska where the authors employ the methods of risk-sensitive control theory thereby using an infinite horizon objective that features the long run expected growth rate, the asymptotic variance, and a risk-aversion parameter similar to y-
Key words: stochastic differential equations, Bielecki and Pliska market model, portfolio's expected growth rate, risk sensitivity parameter, optimal portfolio management, investment strategy.
1 Камбарбаева Гаухар Сабикановна — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
