Обобщение отделимости относительно порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 512.543.52 + 512.544.7

ОБОБЩЕНИЕ ОТДЕЛИМОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОРЯДКА

В. В. Едынак1

В работе доказывается обобщение свойства отделимости относительно порядка для свободных групп.

Ключевые слова: свободные группы, аппроксимационные свойства.

A generalization of the property of order separability is proved for free groups in the paper.

Key words: free groups, residual properties.

1. Введение. В данной работе изучается обобщение свойства отделимости относительно порядка.

Определение 1. Будем говорить, что группа G является отделимой относительно порядка, если для

любых ее элементов g,h, таких, что g не сопряжен ни с h, ни с h-1, существует гомоморфизм из G в конечную группу, такой, что порядки образов g и h различны.

В [1] доказано, что свободная группа является отделимой относительно порядка. Известно также, что данное свойство переносится на свободные произведения [2].

В настоящей работе доказывается усиление свойства отделимости относительно порядка для свободных групп. Рассматривается вопрос о величине отношения порядков гомоморфных образов элементов свободной группы. Основным содержанием данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема. Пусть U\,U2 — неединичные элементы свободной группы F, не лежащие в сопряженных циклических подгруппах. Тогда для любого положительного рационального числа q существует гомоморфизм из F в конечную группу, такой, что П\ и щ не лежат в ядре этого гомоморфизма и отношение порядков образов П\ и щ равно q.

2. Вспомогательные обозначения и определения. Будем использовать взаимно однозначное соответствие между действиями свободной группы F(x, y) с базисом x,y и графами, удовлетворяющими следующим условиям:

1) из любой вершины графа выходят единственное ребро с меткой x и единственное ребро с меткой y;

2) в любую вершину графа входят единственное ребро с меткой x и единственное ребро с меткой y;

3) любые два помеченных ребра не являются взаимно обратными.

Определение 2. Граф, удовлетворяющий свойствам 1-3, будем называть графом действия свободной группы F = F(x,y). Будем считать, что помеченные ребра в таком графе задают в нем ориентацию и являются положительно ориентированными.

Если ф — некоторый гомоморфизм группы F, то граф Кэли группы F) с порождающим множеством {^(x),^(y)} является графом действия группы F (если отождествить в этом графе p(x),p(y) с x,y соответственно).

Пусть Г — граф действия группы F. Зафиксируем натуральное число n, вершину p графа Г и элемент z £ {x±1,y±1} группы F. Рассмотрим n копий графа Г : Ai,...,Ara. Пусть pi — вершина графа Ai, соответствующая вершине p графа A. Если z £ {x,y}, то пусть qi — вершина, в которую входит ребро fi с меткой z из вершины pi. Если z £ {x-1 ,y-1}, то пусть qi — вершина, из которой выходит ребро fi с меткой z-1 в вершину pi. Построим из графов Ai граф A = 7га(Г;p; z), удаляя ребра fi и соединяя вершины pi и qi+1 ребром, метка которого равна z при z £ {x,y} либо z-1 при z £ {x-1,y-1} (индексы по модулю n). Если z £ {x,y}, то это новое ребро выходит из вершины pi. Если z £ {x-1,y-1}, то это новое ребро входит в вершину pi. Граф A является графом действия группы F.

Если S — путь в некотором графе, то a(S),u(S) — начало и конец пути S. Если S = e1 ...ek — путь в графе действия группы F, то Lab(S) = Lab(e1)'... Lab(ek)' — метка пути S, где Lab(ei)' = Lab(ei) — метка ребра ei, если ei — положительно ориентированное ребро; если же ребро ei отрицательно ориентировано, то Lab(ei)' = Lab(ei)-1, где ребра ei и ei взаимно обратные.

Определение 3. Пусть даны два графа действия группы F — Г и 7га(Г; q; z). Тогда если p — вершина в Г, то pi — вершина в графе 7га(Г; q; z), принадлежащая г-й копии графа Г и соответствующая вершине p.

1 Едынак Владимир Васильевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: [email protected].

Если 5 — путь в Г, то Бг — путь в графе 7п(Г; д; г), который выходит из вершины а(Б)г и метка которого равна метке пути

Определение 4. Пусть и — циклически несократимый элемент из Е. Если 5 = в\ ...еп — замкнутый путь без возвращений, метка которого равна ик, то будем говорить, что Б — и-цикл, длина которого равна к (считается, что не существует ребра ег, где г > 1, выходящего из а(Б), такого, что Lab(e¿ег+1... ег+_1) = и, где I — длина слова и в свободной группе).

3. Доказательство теоремы. Рассмотрим элементы иг,и2. Будем считать, что они циклически несократимы. Пусть х',у' — базис свободной группы Е. Предположим, что д = рп для некоторых простого р и целого п, и построим гомоморфизм фР из Е на конечную р-группу, такой, что иг ,и2 не лежат в ядре этого гомоморфизма и отношение порядков образов данных элементов равно рп. Это даст и решение для общего случая, так как любое положительное рациональное число представляется в виде произведения целых степеней простых чисел: д = рП1 .. .рПк. Имея для каждого г гомоморфизм фР1, такой, что фр1(иг),фР1 (и2) = 1, (иг)\/\фР1 (и2)| = рп1, можно построить гомоморфизм ф : Е ^ *к=1фр1(Е),ф : д ^ фР1 (д)... фРк (д), который и будет искомым. Поэтому будем считать, что д = рп.

Предположим, что иг = и'Р ,и2 = и2Р , где и1 , и2 являются р'-изолированными. Не ограничивая общности, можно считать, что к > I — 1. Предположим, что ф — гомоморфизм из Е в конечную р-группу, такой, что \ф(и'1)\ > рк,\ф(и'2)\ > р1, \ф(и'1 )\/\ф(и'2)\ = рп+к-1. Тогда \ф(иг)\/\ф(и2)\ = рп. Итак, можно считать, что подгруппы < иг >,< и2 > являются р'-изолированными.

Существует гомоморфизм ф из Е в конечную р-группу, такой, что образы элементов иг ,и2 — неединичные р-элементы, порядок которых больше любого наперед заданного числа [3]. Так как свободные группы аппроксимируются конечными р-группами относительно вхождения в р'-изолированные циклические подгруппы, то можно считать, что в графе Кэли Г группы ф(О) с порождающим множеством х = ф(х'),у = ф(у') иг- и и2-циклы не имеют самопересечений. Предположим, что \ф(иг)\ = рк, \ф(и2)\ = рк+1,к > 0. Пусть Г_! = Г. Пусть иг = уо . ..ук_г,уг € {х±1,у±1}, — несократимая запись элемента иг. Зафиксируем произвольную вершину д в графе Г_г. Для г > —1 определим по индукции граф Г г = 7Р(Гг_!; дг; уг>), где г' — остаток от деления г на к. Если г > —1, то дг — вершина графа Гг, которая принадлежит второй копии графа Гг_1 и является концевой для ребра, соединяющего первую и вторую копию графа Гг_1. Вершина д_г совпадает с вершиной д. В случае, когда г > —1, можно определить путь Бг в графе Гг. Если г = 0, то 50 — ребро графа Го, концы которого — вершины д^ и до и метка которого равна у±г; если г > 0,то Бг = Б}_ги/г, где ¡г — ребро графа Гг, концевые вершины которого суть ш(Б}_г), дг и метка которого равна у±1. Заметим, что длина каждого г-цикла является степенью числа р для любого г € Е. Так как в графе Г_г все иг- и и2-циклы простые, то это условие выполнено для каждого графа Гг. Кроме того, в каждом графе Гг существует максимальный по длине иг-цикл, проходящий через путь Бг. Предположим, что для некоторого г в графе Г любой максимальный и2-цикл содержит путь Бj для каждого ] ^ г, а для графа Гг+г это условие не выполнено (если г + 1 = 0, то считаем, что в графе Го не все максимальные и2-циклы проходят через Бо). Заметим, что для ] ^ г в графе Г длина максимального иг-цикла равна \ф(иг^р*^1, длина максимального и2-цикла равна \ф(и2^р*^1. В графе Гг+г длина максимального иг-цикла равна \ф(иг)\рг+2. Подсчитаем длину максимального и2-цикла в графе Гг+1. Пусть из вершины т графа Гг выходит щ-цикл, длина которого не превосходит \ф(и2)\рг. Тогда для каждого I = 1,...,р в графе Гг+г из вершины т1 выходит и2-цикл, длина которого не превосходит \ф(и2)\рг+1. Пусть из вершины т графа Гг выходит и2-цикл Т, длина которого равна \ф(и2)\рг+1, т.е. это максимальный в графе Гг и2-цикл, значит, по предположению он проходит через путь Бг. В графе Гг+г из вершины т1 выходит и2-цикл, содержащий путь Б1. В силу условия на граф Гг+г и того, что в Гг+г все и2-циклы простые, данный и2-цикл не проходит через ребро /г+г. Данный и2-цикл также не проходит через ребро, соединяющее первую и р-ю копии графа Гг, так как иначе и2-цикл Т имел бы самопересечение в вершине и(Бг_г). Следовательно, длина этого и2-цикла, выходящего из вершины тг, совпадает с длиной и2-цикла Т. То есть длина максимального и2-цикла в графе Гг+г равна \ф(и2)\рг+1. Так как иг и и2 не лежат в сопряженных циклических подгруппах, то существует г, для которого выполнены указанные выше условия. Количество вершин в графе Гг+г равно \ф(Е)\рг+2. Поэтому существует гомоморфизм фг из Е в конечную р-группу, такой, что фг(иг),фг(и2) = 1, в графе Кэли группы фг(Е) с порождающим множеством фг(х'),фг(у') все иг- и и2-циклы простые, \фг(и2)\/\фг(иг)\ = р1_г < р1 = \ф(и2)\/\ф(иг)\. Аналогичными рассуждениями можно доказать существование гомоморфизма ф2, обладающего аналогичными свойствами, такого, что \ ф2 (и2) \/\ф2 (иг) \ = р1+г (для этого нужно поменять ролями иг и и2).

Чтобы завершить доказательство, достаточно применить данное рассуждение несколько раз.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Klyachko A.A. Equations over groups, quasivarieties, and a residual property of a free group //J. Group Theory. 1999. 2. 319-327.

2. Едынак В.В. Отделимость относительно порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 3. 53-56.

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 26.04.2010

УДК 511

ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ СУММИРОВАНИЯ В. А. Кухта1

В статье получен аналог формулы суммирования Эйлера по целым точкам произвольного промежутка.

Ключевые слова: формула суммирования Эйлера.

An analogue of Euler's summation formula over integer points of an arbitrary interval is obtained in the paper.

Key words: Euler's summation formula.

Пусть А обозначает последовательность вещественных чисел {tk, k = 0,1, 2,...}, причем 0 = to < ti <t2 < ..., lim tk = т.е. последовательность А является разбиением промежутка [0, Введем

целую часть [х]д, дробную часть {х}д числа х и функцию рд(х) относительно последовательности А следующим образом. Для любого натурального k и любого вещественного x из промежутка tk-i ^ x < tk положим

x

Мд = tk-1, Мд = у-рд(ж) = - - {ж}д,(7д(ж) = / pA(t) dt,

tk — tk-i 2 J

0

где 0 ^ {х}д < 1.

Тогда справедлива следующая формула суммирования — аналог формулы Эйлера суммирования значений функции по всем целым точкам произвольного промежутка2.

Теорема 1. Пусть функция f (t) имеет непрерывную производную на отрезке [a, b]. Тогда для любого b > a имеем

b

Е f (tk) - pд(b)f (b) = - f (pД(t)f (t) + pд(t)f,(t)) dt - рдШ(a). (1)

a<tk ^b a

Доказательство теоремы. Пусть функции F(b) и G(b) обозначают соответственно левую и правую части равенства (1). Для любого t £ А имеем

F'(t) = (^(t)f (t))' = -(A(t)f а для G(t) как функции верхнего предела интеграла находим

G'(t) = -(рдШ ^) + рдШ '(t)),

т.е. F'(t) = G'(t).

1 Вячеслав Анатольевич Кухта — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: [email protected].

2См.: Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2008.