Порождающие группы круговых единиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

АЛГЕБРА

Р. Ж. АЛЕЕВ, В. С. ТАКШЕЕВА

ПОРОЖДАЮЩИЕ ГРУППЫ КРУГОВЫХ ЕДИНИЦ

В работе описываются порождающие группы круговых единиц, в частности минимальные, а также изучаются обратимые целые алгебраические элементы этой группы.

Ключевые слова: первообразный корень из единицы, порождающий элемент.

Введение

При исследовании центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп необходима как можно более полная информация о группах единиц колец целых полей характеров [1]. Каждое поле характера — подполе некоторого кругового поля, поэтому важно знать описание групп единиц колец целых круговых полей. Классическая теоретико-числовая задача полного описания единиц колец целых круговых полей пока не решена. Однако круговые единицы хорошо описываются и составляют подгруппу конечного индекса во всей группе единиц кольца целых кругового поля.

Пусть а — первообразный (комплексный) корень степени n ф 2 (mod 4) и Qп = Q(a) — n-е круговое поле. Согласно результату Синнота [2] в группе единиц кольца целых кругового поля Qn подгруппа

имеет конечный индекс. При и < 420 этот индекс равен Ь,+ (п) — числу классов максимального действительного подполя поля Qra. Отметим также, что при условии справедливости обобщённой гипотезы Римана к+(п) = 1 для п < 136 [3].

Лемма 1. [2]. Пусть K/Q — расширение Галуа и К — подполе поля комплексных чисел С. Тогда и(I(К)) = Ш х А, где Ш — конечная циклическая подгруппа, состоящая из всех корней из единицы, содержащихся в К, подгруппа А — свободная абелева ранга

Лемма 2. [2]. Пусть ( — первообразный корень из 1 степени и > 2 и к — натуральное число, к < п, т = НОд^ ^ . Тогда норма

[K : Q] — І, если поле K действительно,

r

— 1, если К комплексно (К ^ R).

если m — степень простого числа p, в остальных случаях.

В частности, если т — степень простого числа, то

Когшд(Сп)(1 - (к) = рф(НОД(к>п)).

Теорема 1. Пусть п > 4 и п — степень простого числа р. При р = 2 положим д = 5, а при нечётном р пусть д — первообразный корень по модулю п. Тогда

у(") о , ,

К" = {~а) х п (^)-

к=0 \ /

Здесь и далее <р — функция Эйлера.

Доказательство. Для любого п вида п = рт (п > 4, р = 2) определим действие группы и ^п) = на множестве {1,...,п — 1} и найдем орбиты этого действия.

Для любого к £ и(Zn) (то есть для к справедливо условие НОД(к,п) = 1) определим автоморфизм а к, который сопоставляет каждому элементу г £ {1,..., п — 1} элемент гк. Получим:

1гп := 01 — орбита числа р0 =1 как элемента множества {1,...,п — 1}, ргп := 0р — орбита числа р как элемента множества {1,...,п — 1}, р2^" := 0р2 — орбита числа р2 как элемента из {1,...,п — 1},

р(т-1)^п := 0рт-1 — орбита числа рт-1 как элемента множества {1,..., п —

1}.

Из общей теории известно, что группа Галуа в данном случае является циклической (а также изоморфна и^п)) и порождается автоморфизмом а9 : а ^ а9, где д — примитивный корень по модулю п, то есть элемент, порождающий группу классов вычетов, взаимно простых с п.

Рассмотрим группу Кп = (1 — аг | г £ {1,...,п — 1}). Её можно представить в виде

Кп = (1 — аг| г £ 01)(1 — аг| г £ 0р)... (1 — аг| г £ 0рт-1),

так как различные орбиты не пересекаются. Далее, воспользовавшись тем, что для любого Ь справедливо равенство

1 — а* = —а* (1 — а-*) = —а* (1 — апа-*) = —а* (1 — ап-*) , (1)

мы получаем

Кп = (—а)(1 — аг| г £ А)(1 — аг| г £ 0р)... (1 — аг| г £ 0рт-1),

где А — «половина» и(£п), то есть А = ^1, д, д2,..., д^~ |.

Рассмотрим, как одни порождающие группу элементы выражаются через другие. Возьмем £ из орбиты Орк = |врк\ (в,р) = 1,5 € ^1,. . . , рт — 11Для него существует а £ Gal(Q(а)), действующий по правилу а : а ^ а5. Тогда

рк-1 \ арк~1 (1 — а) ]^[ ^1 — арк% ^ | =

pk-1

k

a'p -3 (1 - а'

(І — а' ) П І

г=1

s~Lfci~s — a pk

Если — 3 = 0 (тос1р), то в = 0 (тос1р), поскольку Д- = 0 (тос1р). Это невозможно, следовательно, -8^0 (тос1р). Получим, таким образом, что эти элементы полностью выражаются через элементы с показателями из и ^п). Тогда произвольный элемент группы Кп имеет вид

у(п)

-1

(—a)ko П (І — ^(а))*

г=0

где kг Є Z. При этом норма равна

у(п)

-1

Norm I (—a)ko (1 — а^(a))ki I = 1kop

E k-

г=0

Поэтому элемент будет обратимым тогда и только тогда, когда ^ к = 0. Рас-

/-) 1_

смотрим р = = OF

Norm(l — а) = р, следовательно, Norm () = 1- Поэтому [3 будет обратимым целым алгебраическим элементом. Рассмотрим

:9 1 + а9 2 + ... + 1. Согласно лемме 2 Norm (1 — a9) = p и

а(в)

1 - а9 1-а9

а2(в)

1 - а9

1 — О!®2

у(п) о 1 — гуй

V (/?) = -

1 — О!9

У(п)

а

у(п) 9

?2 (Р)

1 - а9

У(п)

1-а9

уМ

Найдем такие целые к'0,..., к' ,п) , что для любых целых ко, ■ ■ ■ , к^м с кг = 0

“2---2 2 1 ;

будет верно равенство

У(")

-1

У(")

-2

П (і — »g(a»*- = п ag(e)kj

г=0

j=o

Сравнив показатели степеней 1 — ag (а) в зависимости от i, получим

^(n)

г=o

Далее, для любого к = 0,..., — 2

а^ (в)

1 — а9k+1(a) 1 — (ак (a))g

1 — а£(а)

1 — а£ (а)

ак (a)g-1 + а^а)5’-2 + ... + 1.

2

i

2

2

Согласно лемме 1 ранг должен быть равен 1^ф- — 1, то есть подгруппа должна иметь 1^ф- — 1 порождающих элементов. Поэтому система порождающих будет иметь следующий вид :

{-а) х {(ткд{а)9 1 + (ткд{а)9 2 + ... + 1 | к = 0, <р(п)/2 - 2).

Это завершает доказательство случая p =2.

Рассмотрим случай n = 2m. Тогда

= (1 — аг | i £ {1,..., 2m — 1}). (2)

Используя равенство (1), получим, что

K = (—а) х (1 — а | i £ {1,..., 2m_1 — 1}).

Если i — четно, то НОД(^ 2m) = 2b.

Пусть y — первообразный корень степени 2b из единицы, тогда 7 = а2™ и мы получаем

2b _1 2b_1 2b_1 a2b — 1 = Ц (а — 7г) = Д (а — а^) = а2™" Д (а — а^)г) = i=0 i=0 i=1

2b_1

= а1 + - + 2b^ Д (1 — а^2™-^^1). i=1

Таким образом, выражение (2) примет следующий вид:

= (—а) х (1 — аг | i £ {1,..., 2m_1 — 1}, i — нечетное).

Поскольку [i]2m £ (—1) х ([5]2m) = U(Z2m), то i = (—1)5Й (mod 2m). Отсюда следует, что 1 — аг = 1 — а_5' = (а_5')(1 — а5'), где 8 £ {1,..., 2m_1 — 1}, то есть

K = (—а) х (1 — а5' | 8 £ {1,..., 2m_1 — 1}).

Дальнейшее доказательство теоремы повторяет случай р ф 2. □

Пример 1. Пусть n = 16, тогда g = 5. В этом случае

^ / \ /1 - «5 \ /1 — а52 \ /1-а5

К16 = {-а) х ( -------) х ( -------- ) х

> 1 — а / \ 1 — а5 / \ 1 — а52

Пример 2. Рассмотрим п = 49, тогда примитивный корень д = 3. При этом

20 / і 3І

^49 = (-а) X Д ^ х _ аз*-1 Теорема 2. Пусть п делится только на два простых числа. Тогда

= ( —а) х Д (1 — с

геА

где А — подмножество мощности — 1 из взаимно простых чисел с п.

Доказательство. Пусть п делится на 2 простых числа, то есть имеет вид п = р“сь. Определим действие группы и^п) = Zn на множестве {1,..., п — 1} и найдем орбиты этого действия. Для любого к £ и^п) (то есть для к справедливо условие НОД(к, п) = 1) определим автоморфизм ак, как при доказательстве теоремы 1. Получим £ *

а1" := 0а1 — орбита числа а1 как элемента из {1,..., п — 1},

£ *

ат" := 0ат — орбита ат как элемента множества {1,... , п — 1}. Причем аг — все делители числа п, меньшие, чем п, а1 = 1 и 11" = 01 = и^п).

Группу Кп = (1 — аг | г £ {1,..., п — 1}) можно представить в виде Кп = (1 — аг| г £ 01)(1 — аг| г £ 0а2) ... (1 — аг| г £ 0ат), так как различные орбиты не пересекаются. Далее, для любого Ь справедливо равенство 1 — а* = —а*(1 — ап-*), поэтому

(1 — а-71 і Є Оі) = (—а)(1 — аі | і = 1, ^(п)/2,і Є Оьі = при і = і). Кроме того,

у(")

П (! — а‘‘ ) = 1

г=1

при некоторых £ 01, ^ при г = ^, поэтому

у(") і

у- 2

І-а^Р1 = П (1 — а*’)-1.

г=1

Таким образом, мы получили

Кп — ( —а)(1 — а '1 г — 1 ^(п)/2 — 1,Ьг £ 01)(1 — а^ г £ 0а2) . . .

... (1 — аг| г £ 0ат).

Произвольный элемент этой группы имеет вид

Ур) 1 2 1

(—а)ко П (1 — а*')** П (1 — аг)к. Ц (1 — аг)к,

г=1 г^Оа2 г^Оат

где кг £ £ 01.

Пусть 7 — первообразный корень степени £ из единицы, тогда 7 = и для Ь = р,... ,рт-1 имеем

*-1 *-1 *-1

а* — 1 = ТТ(о! — 7г) = а* ТТ(1 — а_17г) = с/ п -

1 = ]^[(о! — 7*) = а1 Ц(1 — а 17*) = а1 Ц(1 ~ а 1(11 %) =

г=0 г=0 г=0

‘-1 ‘-1 ‘-1

Д(1 — а?*-1) = а*(1 — а-1) Д(1 — а^г_1) = аг~1{а — 1) Д(1 —

t-1 n

В итоге получим 1 — а1 = аг~1{1 — а) П(1 — си7*-1) для t = р,... ,рт~1.

i=1

Отметим, что из каждой орбиты достаточно брать по одному показателю степени, так как все остальные получаются при действии U(Zn) и элементы 1—ак, k £ , при фиксированном i в своем разложении имеют сомножители одинако-

вого вида, то есть одно и то же число множителей (1 — aj) из одной орбиты. Показатель степени jг — 1 £ О*, где

Ot = |si| (s,n) = 1, s £ |l,..., у - ljj .

Тогда ji— 1 = st или ji-\- (—s)t = 1. Таким образом, получаем, что j и t взаимно просты.

Пусть t имеет вид рс, тогда j = pa~cqb. Следовательно, чтобы | и t были взаимно простыми, необходимо, чтобы а = с. Тогда ji — 1 = qbi — 1 = spa. Покажем, что такое i £ {1,...,t — 1} будет единственным. Пусть есть другое i\ £ {1,,t — 1}, для которого выполняется равенство jh — 1 = qbi\ — 1 = S\pa. Вычитая из одного равенства другое, получим qb(i — i1) = (s — s1)p“. Тогда p“ должно делить i — i1 < t = p“, что невозможно. Следовательно, такое i единственно.

Если t имеет вид qd, тогда j = paqb~d. Поэтому, чтобы j и t были взаимно простыми, необходимо, чтобы b = d. Тогда ji — 1 = pai — 1 = sqb. Аналогично показываем единственность i £ {1,. . . , t — 1}.

Таким образом, множество {а2,---,am} разобьется на A1 = {p“'qb'|а; < а, Ь < b} и A2 = {p“,qb} соответственно. При t £ A1 элемент 1 — at выразится через элементы с показателями, не принадлежащими Ot, а при t £ A2 в разложении элемента 1 — at найдется единственный сомножитель с показателем из Ot. Тогда произвольный элемент группы после перегруппировки и переобозначения показателей k будет иметь вид

Ур) 1 2 1

(—a)k° П (1 — а*)k' П (1 — a')fc',

i=1 ieA2

где ki £ Z, ti £ O1. Он будет обратимым целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда его норма равна ±1. Таким образом, необходимо наложить условия на показатели ki для установления факта обратимости.

Имеем

/ ^-1 \

Norm I (—a)fc° (1 — а^)k' (1 — аг)к' I =

у i=1 i€A2 J

y(") 1

2

= (Norm(—a))fc° • Norm(1 — a^)k' • Norm(1 — аг)к'

i=1 ieA2

в силу мультипликативности, Norm(—а) = 1; Norm(1 — а^) = 1, так как ti и n взаимно просты (ti £ O1); Norm (1 — ap“) = qp“ 1(p-1); Norm ^1 — aq^ = 1(q-1).

Таким образом, получаем, что

кр“ . (9-1^ ^ = ±1.

Следовательно, к'ра = 0 и к'ь = 0. □

Пример 3. Для п =15 имеем А = {1, 2, 4}, а для п = 100

А = {1, 3, 7, 9,11,13,17,19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41,43, 47}.

В случае, когда п делится не менее чем на три простых числа, описание становится более сложным (см. по этому поводу [5]).

Теорема 3. Пусть п = р“д6гс делится только на три простых числа р, д,г. Тогда

К = (-а)(1 - ар“)(1 - а9')(1 - агС) Д <1 - аг | г Є А ,

геА

где А — подмножество мощности — 1 из взаино простых чисел с п.

Доказательство. Пусть п делится на три простых числа, то есть имеет вид п = р“д6гс. Начало доказательства повторяет доказательство теоремы 2. Так же, как и в предыдущем случае, множество {а2, • • •, ат} разобьется на два множества: А1 и А2. Причем если Ь Є А1, то элемент 1 - а* выразится через элементы с показателями, не принадлежащими О*, а если Ь Є А2, то в разложении элемента 1 - а* найдется единственный сомножитель с показателем из О*. Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать Ь.

Пусть і имеет вид ра, тогда ^ = ра~с1дьгс. Следовательно, чтобы ^ и і были взаимно простыми, необходимо, чтобы а = сі. Тогда — 1 = дьгсі — 1 = зра. Покажем, что і Є {1,...,і - 1} будет единственным. Пусть есть другое і1 Є {1,...,і — 1}, для которого — 1 = дьгсі — 1 = 8іра. Вычитая из одного равенства другое, получим д6гс(г - і1) -1 = (в - 51)р“. Тогда р“ должно делить і - і1 < Ь = р“, что невозможно.

Подобные рассуждения применяем к Ь = де, г-^.

Пусть і имеет вид рЛде, тогда | = ра-Л(^-еТс_ Таким образом, чтобы | и і были взаимно простыми, необходимо выполнение двух равенств: а = <і и Ь = е. Тогда ^г — 1 = гсг — 1 = зрадь. Покажем единственность і Є {1,..., і— 1}. Если есть другое %\ Є {1,...,і — 1}, для которого ^іі — 1 = гсі — 1 = 8ірадь, то выполняется гс(і - г1) - 1 = (в - 51)р“дь. В этом случае делит і - і1 < Ь = р“д6, что

невозможно. Следовательно, такое і единственно.

Для случаев Ь = дєг^, р^г^ проводятся аналогичные рассуждения.

Таким образом, множество {а2,... , ат} разбилось на подмножества А1 = {р“ д6 ,р“ гс , д6 гс | а; < а, Ь < Ь, С < с} и А2 = {ра, д6, гс,р“дь,р“гс, д6гс} соответственно. Тогда произвольный элемент группы после перегруппировки и переобозначения показателей будет иметь вид

УО) і 2 1

(-а)к° П (1 - а4і)к Д (1 - аг)к,

г=1 геА2

где kj G Z, t G Oi.

Наложим условия на показатели k' для установления факта обратимости элемента. В силу мультипликативности необходимо найти нормы сомножителей элемента: Norm(-а) = 1; Norm(1 — a4i) = 1, так как t и n взаимно

просты (tj G O1); Norm (1 — ap°) = 1; Norm ^1 — a9^ = 1; Norm (1 — arC) = 1; Norm ^1 — = rp° 1(p-1)qb 1(q-1); кроме того, Norm ^1 — aqbr^ =

pqb 1(q-i)rc 1 (r-i); Norm (1 — ap“rC) = qp“ 1(p-1)rC 1 (r-1). Таким образом, для обратимости элемента произведение

k'

rpa - 1(p-1)qb-1 (q-1)^ Paqb . I p9b—1(q-1)rc—1 (r-l)yV

k'

a 1(p-l)rc 1(r-1)

k' a

должно равняться ±1. Отсюда k a

G, kqbrc G и arc

G.

□

Указанная в теореме 3 система порождающих не является минимальной,

ш(га) . п

поскольку ранг системы равен + 2 и исключение трех лишних порождающих приходится делать отдельно.

Пусть а — первообразный корень степени п из единицы и пусть В = {1 — а51, 1 — а52,..., 1 — а51} — система порождающих группы круговых единиц, тогда 1 — ак можно выразить через 1 — а51,..., 1 — а51, то есть

1 - ak

а

Д(1 — a5- )m-,

(З)

г=1

где £ В, а £, шг — некоторые целые числа, г = 1,..., / . Возьмем модуль в обеих частях равенства (3), а затем прологарифмируем его:

ln Il — akI = тгln Il — a5-1.

г=1

(4)

Рассмотрим изоморфизм , который сопоставляет некоторому элементу а элемент asi, i G {1,...,/}.

Для некоторого a выразим |1 — aa| в удобной для вычислений форме:

2an 2an

cos---- +ism-------,

2n 2n a"

a = cos — + і sm —,

n n

2an 2an І—

— cos — і sin =

n n

an an an \

2 sin sm — — і cos —

n n n

n

n

an

n

an

an

1 — 1 — 2 sin — — 2i sin — cos —

n

n

an

sin

n

Таким образом, выражение (4) преобразуется в выражение вида

ln 2

fcn

sm

n

тг ln f 2

г=1

sm ■

SjTT

n

(5)

г

"

"

Применяя изоморфизм ^ к равенству (5), получим, что задача сводится к тому, чтобы решить систему уравнений относительно шг так, чтобы шг были целыми.

Поскольку необходимо исключить три лишних порождающих, то мы будем решать три системы уравнений. Из исходной системы В выберем некоторый

^(п) , -1

порождающим и выразим его через оставшиеся + 1 порождающих, решив систему вида (5). Эта система будет состоять из ^ф + 1 уравнений. Если она разрешима относительно шг так, что шг — целые, то число порождающих, таким образом, уменьшится на 1. Далее, выбрав второй порождающий, получим, что необходимо решить систему, состоящую из 1^ф- уравнений. Если она также разрешима относительно целых шг, то число порождающих еще уменьшится на 1 и будет равно ^ф. Аналогичным образом, для третьего «лишнего» порождающего получим, что система состоит из — 1 уравнения. Решая ее относительно целых тг, получим, что система имеет —ф — 1 порождающих, а значит, будет минимальной системой порождающих группы круговых единиц (обозначим ее через В') и

+ 1 - ак

а

П (1 - а31)1

G

i = 1,1 Si € B'

Пример 4. Взяв n = 60, получим

Кбо = (—а) х Д (1 — aj | i G {3, 4, 7,11,13,17,19}) .

Замечание 1. Первому автору этой статьи проф. Р. Ж. Алееву принадлежат некоторые идеи доказательств.

Список литературы

1. Алеев, Р. Ж!. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп / Р. Ж. Алеев // Мат. труды.— 2000.— Т. 3, № 1.— C. 3—37.

2. Sinnott, W. On the Stickelberger ideal and circular units of a cyclotomic field / W. Sinnott // Ann. of Math.— 1978.— Vol. 108, No. 1.— P. 107—134.

3. Van der Linden, F. Class number computations of real abelian number fields / F. van der Linden // Math. Comp.— 1982.— Vol. 39.— P. 693—707.

4. Алеев, Р. Ж!. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп : дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 01.01.06 / Р. Ж. Алеев.— Челябинск, 2000.

5. Ennola, V. On relations between cyclotomic units / V. Ennola // J. Numb. Theory.— 1972.— Vol. 4, No. 3.— P. 236—272.