О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54.01

В. В. Лодейщикова

О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами*

Пусть М - класс групп. Обозначим через Ь(М) класс всех групп О, в которых нормальное замыкание (х) а любого элемента х из О принадлежит М. Класс Ь(М) групп называется

М

были введены в [1] под влиянием работы [2], в которой дана классификация групп с абелевыми нормальными замыканиями вида (х)а-М

то Ь(М) также многообразие групп. В [4] доМ

то Ь(М) также является квазимногообразием групп. Классы Леви Ь(М) для квазимногообра-М

пами, исследовались в [5].

Пусть Мс - многообразие нильпотентных групп ступени < с, ^с,ж - квазимногообразие нильпотентных групп без кручения ступени < с, МС}Р - многообразие нильпотентных групп ступени < с И экспоненты Р, 'Я.р (р -простое число) - многообразие нильпотентных групп ступени < 2 и экспоненты р дК - квазимногообразие, порожденное классом групп К (если К = {О}, то вместо д{О} будем писать дО). Известно [2], что класс Ь(N1) является многообразием 2-энгелевых групп. В [6] доказано, что Ь(N2) совпадает с многообразием 3-энгелевых групп. Согласно [6], существует 3-энгелева группа без кручения, ступень нильпотентности которой равна 4. Отсюда следует, что Ь(N,ж) не содержится в классе N3,ю-

В [4] найдены условия, при выполнении которых квазимногообразие Ь(М) нильпотентно.

К

множество нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядков 2 и 5 и централизатор любого неединичного элемента, не принадлежащего

К

группа, то Ь(дК) С N3. В доказательстве этого результата отсутствие элементов порядка 5 нужно только для установления того, что всякая 3-порожденная группа из Ь(дК) нильпотентна

<

был усилен и доказана аналогичная теорема для произвольного множества нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядка 2.

Основным результатом настоящей статьи является

Теорема 1. Пусть N - одно из следующих квазимногообразий: М,ж, ^р (р - простое, pJ ф 2) и пусть К - произвольный класс групп из N, содержащий неабелеву группу. Предположим,

К

любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой. Тогда

1) если N = N,ж, пго Ь(дК) = N3и

2) если N = 'Я-р (р - простое число, р ф2), то Ь(дК) = N3,р.

Замечание. Пусть О £ N3,3. Известно [8, с. 290], что любая группа экспоненты 3 является 2-энгелевой. Из [2] следует, что нормальное

х

О будет абелевым. Значит, (х)а £ К гДе К -произвольный нетривиальный класс групп из ^з. Отсюда следует, что N3,з = Ь(К) и, в част-

р

Напомним некоторые определе-

ния и обозначения. Как обычно, [х,у\=х—у-ху, [х,у,г] = [[х,у],г], ^О= О, 7*+1 О= [~цО, > 1, гр(аь а2,...) - груп-

па, порожденная элементами ах,а-2,..., (а) -циклическая группа, порожденная элементом

а, (х)а = гр(д-1хд | д £ О) - нормальное замыкание элемента х в группе О, Гп(М) -

М

ранга п, кег - ядро гомоморфизма <^, Z(О) -центр группы О, О' - коммутант группы О, А х В (а = Ъ) - прямое произведение групп А, В с объединенными центральными подгруппами (а), (Ъ), т. е. А х В(а = Ъ) = А х В/(аЪ-1).

В дальнейшем будем использовать следующие коммутаторные тождества, истинные во всякой группе [9]:

(Ух)(уу)(Уг)({ху,г} = [х, г\[х, г,у}[у,г\),

(Ух) (уу) (уг)({х,уг} = [х,г][х,у][х,у,г]),

(Ух) (Уу)([х-1 ,у] = [у,х][у,х,х-1]).

Нам понадобится признак принадлеж-

О

многообразию дК, являющийся частным случаем теоремы 3 [10]:

О

лежит квазимногообразию дК тогда и только

* Работа выполнена при поддержке АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы" (Мероприятие 1).

тогда, когда для любого элемента д € О, д ф\ существует гомоморфизм фд группы О в некоторую группу из класса К такой, что

Рд(д) Ф 1-

Также нам будет необходима Теорема (Дик) [11]. О

ет в данном квазимногообразии N представление

гр({х I I € I} II {г^,.. .,х±и)) = 1 I 2 € 7}).

Предположим, что Н € N и групп а Н содержит, множество элементов {дг | г € I} такое, что для всякого 2 € 7 равенство Гз( д^ ,...,дзц.)) = 1истинн о в Н. Тогда

отображение хг ^ дг(г € I) продолжается до ОН

При написании тождеств кванторы всеобщности иногда будут опускаться. С основными понятиями теории групп можно познакомиться в [9, 12], а теории квазимногообразий - в [11, 13, 14].

О

тентная группа без кручения, порожденная элементами х,хх,...,хп, и гр(хх, ...,хп), является свободной абелевой подгруппой ранга п. Тогда О € д^(N2)-

Доказательство индукцией по п. При п = 1 О

ступени 2, поэтому О € д^ N2). Зафиксируем

О

х,щ,.., хп в многообразии N4-

Предположим сначала, что это представление имеет вид:

О = гр(х,х, ...,хп II [хг,хз] = 1, г,2 = 1,...,п).

Возьмем произвольный элемент д € О, д Ф 1-По признаку принадлежности достаточно построить гомоморфизм ф группы О в некоторую группу Г € д^(N2), при котором ф(д) ^ 1. Если д € О', то в качестве искомого отображения берем естественный гомоморфизм фО ^ О/О'. Далее, пусть д € О'. Тогда д = [х,щ]81 ..\х, хп]вп, где не все равны

нулю. Пусть, для определенности, вго ф 0. Рассмотрим свободную 2-ступенно нильпоте-нтную группу Г N2), порожденную элементами а и Ь. По теореме Дика отображение х ^ а, хго ^ Ь, ху ^1, 2 = 1,..., п, 2 ф го, продолжаемо до гомоморфизма фО ^ Г2(N2)- При этом ф(д) = [а,Ь]ф 1. Таким образом, показано, что в рассматриваемом случае О € д^(N2)-Считаем, что из определяющих соотношений

О

п

| Г Гх х -"I ^^ — 1 ^ п I 11_^-/ ^ — *

г=1

Достаточно рассмотреть следующие четыре случая.

Случай 1. £ ф 0. Тогда О - абелева группа, что не так.

Случай 2. Из определяющих соотноше-О

к- п

х„•- = П[х,хг]я% причем к^фО. Если таких

г=1

соотношений несколько, тогда выбираем то, где к^ - наименьшее положительное число. Для произвольного элемента г € О имеем: [г,хк3^ = [г, х^к- = 1 .Откуда [г,х^ = 1. Значит,

О = гр(х,хь ...,х.]-1 ,х^1, ...,хп) х

ххо(хкз = ]^[ [х,хг]81).

1<г<п

По предположению индукции гр(х, х, ...,ху-1, х^х, ...,хп) € дГ(N2)- Лемма 7 [15] (см. также: [13, теорема 4.2.25]) непосредственно дает, что

0 € дГ(N2).

п

Случай 3. Равенство вида ш х, хг] ' — 1, где

г

не все равны нулю, верно в О. Можно считать, что в1 ф 0,...,в1ф О, в1+1 = 0,...,вп = о,

1 < I < п и НОД(^,..., в,) = 1.

Заметим, что элемент Н = х^1 х^2 ...хЦ‘ при-

О

лическую подгруппу, порожденную Нх, и покажем, что она является сервантной в группе Н = гр(х,...,х,). Пусть уравнение ут = Н\, гН разрешимость данного уравнения в подгруппе (Н). Это верно при т = 1. Считаем, что т >2. Можно предполагать, что ПОД(т,г) = 1.

Пусть (х^...х®)т = (х^1...х^)г для не-

которых целых дх,..., д,. Тогда дгт — вгг = 0, г = 1,...,/. Видим, что = Ы!гт для

подходящих чисел и!г € Ъ, г = 1,...,1. Поскольку НОД(в1,..., = 1, то т = ±1, что не так. Сле-

Н

хорошо известно (см., например: [12, с. 150; 9, гл. 3, §3, теорема 2]), выделяется прямым соН

Н

Н , ... , Нп

х , ... , хп

Если Н € (Н) П гр(х, Н2,..., Нп) = 1, то

О = гр(х, Н2,..., Нп) х (Нх) и по индукции О € дГ N2). Предположим, что существует неединичный элемент Н € (Н) П гр(х, Ъ,2, .., Нп). Тогда найдутся целые числа р,рг,т

г,3 = 2,..., и, не все равные нулю, та-

кие, что Н = Н{г = хрк?2 ...НРп [х,Н™2 ...Нт], Считаем, что р - наименьшее с этим свойством. Группа О неабелева и [х, Н{\ = 1, поэтому существует г такое, что [Н*,х\ ф 1, г € {2,..., и}. Видим, что 1 = [К,Нрг] = [К,х]р. Поскольку группа О без кручения, то р = 0 и Нр = НР2...ЪРпп[х,Н™2...Н™п]. Значит,

О = гр(х, Н2,.., Нп) х

х нхн?! = н? ...нп х,нт ...нтп\).

По предположению индукции

гр(х, Н2,.., Нп) € д^2(N2). Лемма 7 [15] (см. также: [13, теорема 4.2.25]) непосредственно дает, что О € дР2 (N2) •

Случай 4. Из определяющих соот-О

к п

х^ ...хкг — П [х, х^\ где число показателей к^,

1=1

не равных 0, строго больше 1.

Пусть НОД(кь ..., кп) = ^41 = ^-, г = 1, ...,и и Н = хЦ ...хЦ™. Заметим, что [х, Н{\ = 1 и поэтому Н1 € Z(О). Рассмотрим циклическую подгруппу, порожденную Н, и покажем, что она является сервантной в группе Н = гр(х, ...,хп). Пусть уравнение ут = Н\, т ф 0, имеет решеН

Н

при т = 1. Считаем, что т >2. Можно предполагать, что НОД(т, т) = 1.

Пусть (х^1 ...х^п)т = (хЦ ...хЦп)г для некоторых целых ^1,..., цп. Тогда цт — щт =

О, г = 1,..., и. Видим, что щ = шт для

подходящих чисел € Ъ, г = 1,...,и. Поскольку НОД(щ,...,щп) = 1, то т = ±1, что не

Н

хорошо известно (см., например: [12, с. 150; 9, гл. 3, §3, теорема 2]), выделяется прямым соН

Обозначим через Н,...,Нп новые порождающие гр(х, ...,хп). Тогда исходное равенство

П

преобразуется в равенство вида Н^ = П [х, Н^[а*

1=1

и, по случаю 2, О € (N2).

Лемма доказана.

О

рр

р

х, щ,..., хп, и гр(х,...,хп) изоморфна прямому ир Тогда О € д^ (Яр)-

ии

группа О является свободной в Яр, поэтому О € д^2 (Я?)- Зафиксируем представление груп-

пы О в порождающих х,хх,..,хп в многообразии 'Я.?. Если это представление имеет вид:

О = гр(х,хь ...,хп У [х^] = \,г,з = 1, ...,и),

то, по аналогии с доказательством леммы 1, показываем, что О € д^(Яр)- Считаем, что из

О

П

равенство вида хгх\1 ...хг^ [х,х*]^ = 1, где

1=1

0 < Мз, < р г,з = 1, ...,и.

Достаточно рассмотреть следующие четыре случая.

Случай 1. £ ф 0. Тогда О - абелева группа, что не так.

Случай 2. Из определяющих соотноше-О

к ■ п

хк = \\[х,х^\3% к з не делится на р. Тогда

Ъ=1

О = гр(х,х, ...,хз_х ,х з+х,..,хп) и, по индукции, О € д^2(Я?)-

п

Случай 3. Равенство вида П[х,х*]^ = 1,

1=1

где не все в* сравнимы с 0 по модулю

рО

в1 ф 0(то(1р),...,5г ф 0(то<1р), вг+1 = 0(то<1р),..., вп ф 0(тос1р), 1 < I < и и НОД(в1,..., в{) = 1.

Рассмотрим циклическую подгруппу, порожденную элементом Н = х^1 х?22...х Заметим, что [х, Н] = 1 и Н € Z(О). Так как (Н) - подгруппа порядка р, она вы-

деляется прямым сомножителем в группе Н х , ... , хп Н

Н , ... , Нп

жества свободных порождающих группы

Н. Ести тр(х,Н2, ...,Нп) П (Нх) = (1), то

О Н х х, Н , ...Нп

О € д^2(Я?)- Иначе О = гр(х,Н2,...,Нп), и видим, что О € д^2(N2).

Случай 4. Из определяющих соот-О

п

хк ...хПп = П [х, хг]в% где число показателей кз,

1=1

р

Рассмотрим циклическую подгруппу, порожденную элементом Н = хк хк ...хПп.

Нр выделяется прямым сомножителем в группе Н х , ... , хп Н

Н , ... , Нп

Н

Тогда исходное равенство преобразуется в

п

равенство вида Н = П [х, НУ* и, по случаю 2,

О € дР2(М2).

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть М = N в случае, когда N = N2 и М = N,р в случае, когда N =Яр (р - простое, р ф 2). Покажем, что М С Ь(дР2 (М)). Хорошо известно [13, теорема 2.1.20], что всякое квазимногообразие порождается множеством своих конечно-порожденных групп. Поэтому достаточно показать, что любая конечно-ОМ

классу Леви, порожденному квазимногообразием дР2 (N1.

Рассмотрим нормальное замыка-

хО

(х)а = гр(х, [х, д] | д € О). Если О - ниль-

<

ха

О € Ь(дГ-2 ^^^^аем, что О - нильпо-

О

нтная и конечно-порожденная, поэтому любая ее подгруппа является конечно-порожденной.

х, х , ... , хп х а

х , ... , хп

и

По леммам 1 и 2 (х)а € дР2 (N). Значит, группа О € Ь(дР2(N)). Отсюда следует, что М С Ь(дР2(N)). Как уже отмечали (см.: [7, теорема 1]), Ь(дР2(^) С М. Следовательно, ЦдР2(N)) = М. Но ЦдР2(N)) С ЦдК) С М, значит, Ь(дК) = М. Теорема доказана.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.И. Будкину за полезные советы и постоянное внимание к работе.

Библиографический список

1. Карре, L.C. On Levi-formations / L.C. Карре // Arch. Math. - 1972. - V. 23, №6.

2. Levi, F.W. Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic condition / F.W. Levi // J. Indian Math. Soc. - 1942. - №6.

3. Morse, R.F. Levi-properties generated by varieties / R.F. Morse // The mathematical legacy of Wilhelm Magnus. Groups, geometry and special functions (Contemp. Math., 169), Providence, RI, Am. Math. Soc.- 1994.

4. Будкин, А.П. Квазимногообразия Леви /

А.И. Будкин // Сиб. матем. журнал. - 1999. -V. 40, №2.

5. Будкин, А.И. О классах Леви, порожденных нильпотентными группами // А.И. Будкин / Алгебра и логика. - 2000. - V. 39, №6.

6. Карре, L.C. On three-Engel groups / L.C. Карре, W.P. Карре // Bull. Aust. Math. Soc.

- 1972. - V. 7, №3.

7. Будкин, А.П. О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами / А.И. Будкин, Л.В. Таранина // Сиб. матем.

журнал. - 2000. - V. 41, №2.

8. Huppert, В. Endliche Gruppen I / В. Hup-pert. - Berlin; Heidelberg; New York, 1967.

9. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. - М., 1972.

10. Будкин, А.И. К теории квазимногообразий алгебраических систем / А.И. Будкин,

В.А. Горбунов // Алгебра и логика. - 1975. -V. 14, №2.

11. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. - М., 1970.

12. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош.

- М., 1967.

13. Будкин, А.И. Квазимногообразия групп / А.И. Будкин. - Барнаул, 2002.

14. Горбунов, В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий / В.А. Горбунов. - Новосибирск, 1999.

15. Будкин, А.И. О решетке квазимногообразий нильпотентных групп / А.И. Будкин // Сиб. матем. журнал. - 1994. - V. 33, .V' I.