Об одном квазимногообразии Леви экспоненты 8 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54.01

В. В. Лодейщикова

Об одном квазимногообразии Леви экспоненты 8

V. V. Lodeyshchikova

On a Levi Quasi-variety of Exponent 8

Для произвольного класса М групп обозначим через Ь(М) класс всех групп О, в которых нормальное замыкание любого элемента принадлежит М; qM - квазимногообразие, М

ствование класса К такого, что во всякой группе из К централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, -абелева подгруппа, но класс ЦцК) содержит нильпотентную группу ступени 4.

Ключевые слова: квазимногообразие, классы Леви, ПИЛЫЮ Iеп I пые группы.

Для некоторого класса М групп обозначим через Ь(М) класс всех групп О, в которых нормальное замыкание (х)а любого элемента х из

О принадлежит М. Класс Ь(М) будем назы-

М

Леви были введены в [1] под влиянием теоремы Леви [2], в которой дана классификация групп с абелевыми нормальными замыканиями вида х а М гообразие групп, то Ь(М) - также многообразие М

согласно [4], Ь(М) является квазимногообразием групп.

Через N обозначим многообразие нильпо-тентных групп ступени < с, через Рп(М) - свободную группу в квазимногообразии М ранга п. Как обычно, под qK будем понимать квазимногообразие, порожденное классом групп К. Если класс К = {О} содержит лишь одну группу О, то вместо qK будем писать просто qО. В [5] доказано, что класс Ь(N2) совпадает с многообразием 3-энгелевых групп.

В [4] показано, что если К - произвольное множество нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядков 2 и 5, и централизатор любого элемента, не принадлежащего центру каждой группы из К, - абелева подгруппа, то ЦцК) С N ■ В [6] данный результат был усилен и доказана аналогичная теорема для произвольного множества нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядка 2.

For an arbitrary class of M groups, denote by L(M) class of all groups G for which the normal closure of any element belongs to M; qM is the

M

prove that there is the class K such that in every group of K the centralizer of each element outside the center of the group is an abelian subgroup and L qK

Key words: quasivariety, Levi classes, nilpotent groups.

В [7] установлено, что если К - произволь-

<

без кручения, содержащий неабелеву группу, и во всякой группе из К централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой, то Ь(уК) совпадает с квазимногообразием нильпотентных <

же следует, что если К - произвольный класс нильпотентных ступени < 2 групп экспоненты р (р - простое число, р ф 2), содержащий неабелеву группу, и во всякой группе из К централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой, то Ь(цК) совпадает с многообразием ниль-

<р

Возникает естественный вопрос о том, всегда ли класс где К - произвольный класс

<

во всякой группе из К централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, - абелева подгруппа, является нильпотент-

<

В настоящей работе доказано существование класса К такого, что во всякой группе из К централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, - абелева подгруппа, но класс Ь(уК) содержит нильпотентную группу ступени 4.

Напомним некоторые определения и обозначения. Как обычно, [х,у]=х— у-ху,

[х,у,г] = [[х,у],г], - группа, порожденная элементами ах,а2,..., (х)а =

гр(д-1хд | д € О) - нормальное замыкание элемента х в группе О, О' - коммутант группы О.

В дальнейшем будем использовать следующие коммутаторные тождества, истинные во всякой группе [8]:

(Ух)(Уу)(Уг)({ху,г} = [х, х\\х,х,у\\у,х^),

(У'х)(Чу)(уг)([х,уг} = [х, г][х,у][х,у, г\),

(Ух)(Уу)(Уг)({х,у-1 ,г]у[у, г-,х]2[г,х-1 ,у]ж = 1 )■

Нам понадобится признак принадлежно-

О

многообразию qK, являющийся частным случаем теоремы 3 [9] (см. также: [10]): конечно-

О

многообразию qK тогда и только тогда, когда для любого элемента д € О, д Ф ^ существует гомоморфизм группы О в некоторую группу из класса К такой, что рд(д) ф 1.

Также нам будет необходима Теорема (Дик) [11]. О

ет в квазимногообразии N представление

гр({х> 1 I € I} II {г¿(хл, ■ ■ ■ ,хЛи)) = 1 1 2 € 7}) ■

Предположим, что Н € N и группа Н содержит множество элементов {дг | г € I} такое, что для всякого 2 € 7 равенство т^( д^, ■ ■ ■, дщ6)) = 1 истин но в Н. Тогда отображение хг ^ дг(г € I) продолжается до го-ОН

При написании тождеств кванторы всеобщности иногда будут опускаться.

М

N2 тождеством

Ух х

М2 - многообразие групп, заданное в N4 тождеством (1).

Будем пользоваться следующим легко проверяемым фактом:

Утверждение 1. В любой нильпотент-

<

вы следующие тождества:

1 1 —к

[Ь,а ] = [Ь, а [Ь, а, а]^ ,

[Ьп,ак] = [Ь,а] пк [Ь,а,а] к-к п [Ь,а,Ь] к ■

(к2 ~к)(п2-п)

■ [Ь,а,а,Ь\ 4 ,

где пик- произвольные целые числа.

Рассмотрим группу И, имеющую в многообразии Mi представление

И = гр(а, b, c,d,f || c= [b, a, f = [d, 0\, [a, c] = 1,

[a, f] = 1, [b, c] = 1, [b, d = 1, [b, f] = 1, [c, d = 1,

[c,f] = l,[d,fl = l,as = 1,

b4 = l,c2 = l,d2 = l,f2 = 1).

На множестве символов

{akblcmdsf‘|0 < к <8,0 < l<4,0 < m,s,t<2} определим операции следующим образом:

(ak1 bhcmi dsi f ^) ■ (ak*bhcmds* f ts) = akblcmdsft,

где к = kx + k2(mod 8), l = li + ^(mod 4), m = m + m2 + ljk (mod 2), s = si + S2(mod 2), t = h+t2 + sik2(mod 2),

(akblcmdsf) -1 = ak° bl° cmo ds° fto,

где к + k0 = 0(mod 8), l + lo = 0(mod 4), m + m + k = 0(mod 2), s + so = 0(mod 2),

t + t0 + sk0 = 0(mod 2).

Несложная рутинная проверка показывает,

И

И

зом представим в виде h = akblcmdsft^^^i 0 < к < 8, 0 < l < 4, 0 < m,s,t <2.

И

тор любого элемента, не принадлежащего ценИ

Доказательство. Пусть hi =

ak*bl*cm*dsif* где 0 < ki < 8, 0 < li < 4,

< mi, si, ti < h , h h , h hi

не принадлежат центру группы И, i = 1,2,3. Для доказательства утверждения достаточно показать, что [h2, h3] = 1.

i

,

1 = [hi,hj = [akl bl cm dsi f4, aki bli cmi d?* fti] =

= [akl bh d?1 ,ak* bl* dsi] =

= [akl ,bh] [ak ,ds*] [bh, aki] [d^ ,ak*] =

= [b,a] llki-kl* [d,a] siki-ks* =

— chki-kxli fs-iki-k-is*

Надо доказать, что верно равенство

[h2, h3] = chk*-k*h fs2ks-k2ss = 1. (2)

Заметим, что если ^ = 0(mod 2) и k3 = 0(mod 2), то равенство (2) верно.

Случай 1. ki = 0(mod 2). Получим, что (ch fsi)ki = 1, i = 2,3. Поскольку можно предполагать, что k2 ф 0 (mod 2) л ибо k3 ф 0(mod 2),

то /1 ф 0(тос1 2) и вх = 0. В этом случае элемент принадлежит центру группы Н. что не так. Случай 2. кх ф ^^^ос! 2), к2 ф 0(то(1 2), к3 ф 0(то(1 2). Имеем, что (с12/^)к1 = 1. Следовательно, /2 ф 0(тос1 2), в2 = 0 и (2) верно.

к ф к ф

кф

(с*з/= ^ Т0 /3 ф 0(то(1 2), в3 = 0 и (2) верно.

к ф к ф

кф

c

l k -k l fs k -k s -k cl k -k l fs k -k s k

-k

c

fs

cl k -k l fs k -k s k .

cl k -k l fs k -k s

доказано.

Теорема. Существует класс K из Mi такой, что во всякой группе из K централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, - абелева подгруппа, но класс L(qfc) содержит, нилъпотентную группу ступени 4-

Доказательство. Пусть F2 (M2) =

rp(x,x2), N = rp([x,xi]4, [x2,xi,xi\2,

X, x, x2]2, [x2,X,X, x2]2, X, X,X,X], X,xi,x2,x2]). Заметим, что N < F2(M2). Рассмотрим F = F2 (M2 )/N. Элементы

F

FM

На множестве символов xk x^ x ,xi]l [x,x,x]m x,xi,x2\s x ,X,X,X] \

где 0 < k,n <8, 0 < l < 4, 0 < m, s,t < 2,

определим операции следующим образом: если hi = xk xn* [x2,x }li x,xi,xi ]m* ■

■ [x2,xi,x2]s*[x,x,x,x]t\ 0 < ki,ni < 8,

< li < < mi, si, ti < i , ,

hi ■ h2 = ^

где k3 ф kx + k2(mod 8), n3 ф Щ + n2(mod 8), 1з ф li + ^ + n k2 (mod 4), m ф mx + m2 + nx(mod 2),

s3 ф si + s2 + Аk2 + (nik2 + h)n2(mod 2), kk

t3 ф 4 + h + sik2 + (lik2 + m)n2 + (mod 2), h- h ,

где kx + k2 ф 0(mod 8), щ + n2 ф 0(mod 8),

li + l2 + nik2 ф 0(mod 4),

mi + m2 + hk2 + k 2 k Щ ф 0(mod 2),

si + s2 + А —А k2 + (щ k2 -\- h)n2 ф 0(mod 2),

4 + 4 + чк2 + (к-к- т + /гк2 + т)п2+ + ф0{той 2)>

Несложная рутинная проверка показывает, что мы получим группу изоморфную Г. Следовательно, любой эле-

мент Г однозначным образом представим В виде / = хкхП [х2,х]1 [х2,х,х]т■

■ х,хг,х2\8[х2,х1,х2,х1]г, где 0 < к,п < 8,

0 < / < 4, 0 < ш,а,Ь < 2. Поскольку

[х,х,х,хг] ^ 1, то группа Г нильпотентна ступени 4.

Рассмотрим многообразие К, заданное в N4 тождеством (1) и следующими формулами:

(Ух)(Уу)(Уг)([х, у, г]2 = 1), (3)

Ух Уу х, у, у, у ■

Пусть Г = гр(х, хг) _ свободная группа в К. Тогда в Г выполняются следующие соотношения: [х2,х1]4 = 1, [х2, Щ, х]2 = 1, х,х,х2]2 = 1, [х2,х,Х,х2]2 = 1, [х2, х, х, х{\ = 1, [х2,Х,х2,х2] = 1. Несложно проверить, что Г € К, значит, Г = Г и Г - свободная группа в многообразии К. Надо показать, что для любого / € Г нормальное замыкание (/)F € qH и, следовательно, Г € Ъ(цН).

/х

гда (х)Р = гр(х, [х,х], [х,х,х], [х,х,х], х,хг,х,х2]). В группе (х )Р выполняются следующие соотношения: [х,х%]4 =

1, [хгхх]2 = 1, [х,х,х2]2 = 1,

[ххх,х2]2 = 1, [х,х,х,хх] = 1,

х , х , х , х

По теореме Дика отображение а ^ хг, Ь ^ х,хг], с ^ х,х1,хг\, й ^ [х,'Х,х2],

/ ^ [х2,х,Х,х2] продолжаемо до гомоморфизма у : Н ^ (х)^ Несложно проверить, что квт^ = ^^едовательно, (х)F € qH.

/ хп хп х ,хг]1 [х,х,х]т х,х,х2\8 х,х,х2,х]г-

Из утверждения 1 следует, ЧТО [х ,хх,/] =

Х,х1,х]п Х,х1,х2] п\ Х,х,х,/] =

[х,х,х,х]п2 Я [х,х,х,^^ [х,х,х,х]пг-Таким образом, если пг ф 0(mod 2), г = 1,2, то (/)F — абелева подгруппа и (/F € qH.

г

что пг ^ ^^^жно считать, что г = 1.

Пусть Г = Г/Г^. Из того, что НОД(п,8) =

1 следует, что найдется целое число V такое, что в Г будет верно равенство х = / хп2У. Значит, элемент / можно дополнить до системы порождающих группы Г. Из [8, гл. 6, § 1, тео-

/

Г

Так как Г - свободная в К группа, то отображение х ^ / продолжаемо до изоморфизма ф : Г ^ Г. Следовательно, (х )р = (/)р и поэтому (/)F € qH.

/€Г

ное замыкание (/)F € qH и, следовательно, Г € ЦЯН).

Нашли класс К = {Н} такой, что во всякой

группе из К централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, - абелева подгруппа, но класс Ь(уК) содержит нильпо-тентную группу ступени 4. Теорема доказана.

Автор выражает благодарность профессору А.И. Будкину за полезные советы и постоянное внимание к работе.

Библиографический список

1. Карре L.C. On Levi-formations // Arch. Math. - 1972. - №6.

2. Levi F.W. Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic condition // J. Indian Math. Soc. - 1942. - №6.

3. Morse R.F. Levi-properties generated by varieties // The mathematical legacy of Wilhelm Magnus. Groups, geometry and special functions (Contemp. Math., 169), Providence, RI, Am. Math. Soc. - 1994.

4. Будкин А.И. Квазимногообразия Леви // Сиб. матем. журнал. - 1999. - Ш2.

5. Kappe L.C. On three-Engel groups // Bull. Austral. Math. Soc. - 1972. - №3.

6. Будкин А.И., Таранина Л.В. О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотент-

ными группами // Сиб. матем. журнал. -2000. - №2.

7. Лодейщикова В.В. О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами / / Известия Алтайского государственного университета. - 2009. - №1.

8. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М., 1972.

9. Будкин А.И., Горбунов В. А. К теории квазимногообразий алгебраических систем / / Алгебра и логика. - 1975. - Ш2.

10. Будкин А.И. Квазимногообразия групп. -Барнаул, 2002.

11. Мальцев А.И. Алгебраические системы. -М., 1970.