CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 4, С. 35-39
УДК 512.542
О 2-ГРУППАХ, КОНЕЧНЫЕ ПОДГРУППЫ КОТОРЫХ ОБЛАДАЮТ ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ1
Д. В. Лыткина
В работе доказывается локальная конечность 2-групп, в которых все конечные подгруппы обладают одним из следующих свойств: (а) двуступенная нильпотентность, (b) принадлежность к многообразию, определенному тождеством [x, y]2 = 1. Кроме того, доказывается, что порядок коммутанта 2-группы G не превосходит двух, если порядок каждого класса сопряженных элементов каждой конечной подгруппы группы G не больше двух.
Ключевые слова: периодическая группа, нильпотентность, локальная конечность.
Теорема 1. Если каждая конечная подгруппа 2-группы G двуступенно нильпотент-на, то сама группа G также двуступенно нильпотентна.
Очевидным следствием этой теоремы является тот факт, что 2-группа абелева, если все ее конечные подгруппы абелевы. Отметим, что аналог даже этого следствия неверен для р-групп при р > 2, поскольку, например, все конечные подгруппы групп Новикова — Адяна (не локально конечные свободные группы нечетного периода) являются циклическими [1]. С другой стороны, любая конечная подгруппа ненильпотентной свободной бернсайдовой группы периода 2n для n ^ 13 может быть вложена в прямое произведение диэдральных групп порядка 2n+1 [2, теорема 2] и поэтому она нильпотентна ступени n. Поэтому теорема 1 не может быть обобщена на случай 2-группы с ограниченной ступенью нильпотентности ее конечных подгрупп.
Тем не менее, естественно возникают следующие вопросы:
1. Каково максимальное число n, которое гарантирует нильпотентность любой 2-группы с n-ступенно нильпотентными конечными подгруппами?
2. Верно ли, что 2-группа нильпотентна, если каждая ее конечная подгруппа трех-ступенно нильпотентна?
Теорема 1 доказана в [3] с использованием вычислительного пакета GAP [4]. В настоящей работе приводится доказательство, свободное от компьютерных вычислений. В качестве следствия из теоремы 1 выводится
Теорема 2. Если для любой конечной подгруппы K 2-группы G порядок коммутанта K не превосходит двух, то |[G, G]| ^ 2.
Следующая теорема обобщает результат работы [5].
© 2011 Лыткина Д. В.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 11-01-00456; гранта Поддержки ведущей научной школы РФ НШ-3669.2010.1 и программой
«Развитие научного потенциала высшей школы» Росиийского федерального агентства по образованию, грант 2.1.1.10726.
Теорема 3. Пусть в каждой конечной подгруппе 2-группы О выполняется тождество [ж, у]2 = 1 и [а, б]2 = 1 для любых элементов а, 6 £ О порядков 2 и 8 соответственно. Тогда это тождество выполняется и в группе О. В частности, О локально конечна, период ее коммутанта равен 4, а второй коммутант лежит в центре О.
1. Предварительные леммы
Лемма 1. Если в каждом классе сопряженных элементов конечной 2-группы Н содержится не более двух элементов, то коммутант С группы Н содержит не более двух элементов.
< Из условия следует, что централизатор любого элемента из Н нормален в Н и фактор-группа по нему коммутативна, поэтому фактор-группа Н по ее центру 2 коммутативна. В частности, С ^ 2. Пусть Н = |Нс = |Сг = |21 и п = |Н: С|. Тогда с ^ г и Н = пс.
Если к — число классов сопряженных элементов Н, то
\Н^ = г_±Н сО+п) 1 1 ^ 2 2 2
С другой стороны, если ,..., ^ — степени всех различных неприводимых комплексных характеров Н, то число линейных характеров Н совпадает с п и поэтому
Н = $ ^ п + 4(к - п),
откуда к ^ Таким образом,
с + сп (с + 3)п
-^ к ^ -—т-^-,
2 4
т. е. с < 3. >
Лемма 2. Пусть в 2-группе О любая конечная подгруппа двуступенно нильпотентна.
(а) Если а, 6 £ О и а2 = 62 = 1, то (а6)4 = 1 и ааь = аьа.
(б) Если ж, у £ О и ж4 = у2 = 1, то (ж, у) — конечная группа и [ж2, у] = 1.
< Утверждение пункта (а) очевидно, если а = 1 или 6 = 1. Если же а = 1 = 6, то (а, 6) — конечная группа диэдра. Так как она двуступенно нильпотентна, то ее порядок не превосходит числа 8 и поэтому (а6)4 = 1. Отсюда
ааь = (а6)2 = (6а)2 = аьа.
Докажем (6). Положим г = ж2. По пункту (а) г и £ = гу перестановочны. Так как ж2 и £2 равны единице по модулю (г), то (ж,£) — конечная группа и поэтому (ж£)2 = ж2[ж,£] перестановочен с ж и
Точно так же (жуг)2 перестановочен с жу и г. Поэтому а = (ж£)2 и 6 = (жуг)2 содержится в централизаторе г и Более того, по модулю элементы а и 6 равны 1, поэтому [ж,£] £ (г,£), [жу, г] £ (г,£), т. е. <1 (ж,жу).
Так как ж2, (жу)2 £ (г,£), то (ж,жу) — конечная у-допустимая подгруппа. Отсюда (ж, у) = (ж,жу)(у) — конечная подгруппа. По условию она двуступенно нильпотентна, поэтому [ж, у] = ж-1жу перестановочен с у. С другой стороны, [ж, у]у = [ж, у]-1, следовательно, [ж, у]2 = 1. Так как [ж2, у] = [ж, у]2, то [ж2, у] = 1. >
2. Доказательство основных результатов
Пусть О удовлетворяет условиям теоремы 1.
Лемма 3. Если а, Ь, с — инволюции из О, то [а, Ь, с] = [[а, 6], с] = 1.
< Положим ж = аЬ, у = с. Так как ж4 = 1, то по лемме 2 [ж2, с] = 1. С другой стороны, ж2 = аЬаЬ = [а, Ь]. >
Лемма 4. Подгруппа I из О, порожденная инволюциями, двуступенно нильпотентна.
< Пусть Т — множество всех инволюций из О, I = (Т). Так как [¿1,^2, ¿з] = 1 для любых элементов ¿1, ¿2 ,¿3 £ Т, то подгруппа К, порожденная всеми коммутаторами вида [х1 ,ж2], х1 ,ж2 £ Т, лежит в центре I ив фактор-группе 1/К образы инволюций из О перестановочны, т. е. 1/К абелева, а I двуступенно нильпотентна. >
Лемма 5. Если О порождается тремя элементами, то она конечна.
< Предположим, что О = (а, Ь, с) и 2т — максимум порядков элементов а, Ь, с. Используем индукцию по т. Если т ^ 1, то О ^ I и по лемме 4 О конечна.
Пусть т ^ 2. Если X = {жГ,... , ж^} — конечная подгруппа фактор-группы С/1, то по теореме Шмидта полный прообраз X в С локально конечен как конечное расширение локально конечной группы и, следовательно, подгруппа X = (х\,... ,х3), где ж=ж г = 1,... ,5, конечна. По предположению X двуступенно нильпотентна, а значит, подгруппа X = XI/I, будучи изоморфной Х/Х П /, двуступенно нильпотентна.
Итак, О/! удовлетворяет условию теоремы 1 и порождается тремя элементами а!, Ы, с!. Кроме того, максимум их порядков равен 2т-1. По предположению индукции О^ конечна. Поскольку I локально конечна в силу леммы 4 и теоремы Шмидта, а также конечно порождена, то О конечна. >
Лемма 6. Группа О двуступенно нильпотентна.
< Пусть а, Ь, с £ О и К = (а,Ь, с). По лемме 5 К конечна и, следовательно, нильпотентна ступени нильпотентности 2, откуда [[а, Ь],с] = 1. >
Лемма 6 завершает доказательство теоремы 1.
Пусть О удовлетворяет условиям теоремы 2. По лемме 1 |[Н, Н]| ^ 2 для любой конечной подгруппы Н группы О, что влечет двуступенную нильпотентность Н. По теореме 1 О двуступенно нильпотентна и, в частности, локально конечна.
Можно считать, что О неабелева.
Пусть а, Ь £ О и с = [а, Ь] = 1. Так как (а, Ь) — конечная группа, то порядок с = [а, Ь] равен двум и коммутант (а, Ь) совпадает с (с). Пусть ж, у £ О. Так как К = (а, Ь, ж, у) — конечная группа, то |[К, К]| ^ 2 и поэтому [К, К] = (с). В частности, [ж, у] £ (с). Отсюда вытекает, что [О, О] = ([ж, у] | ж, у £ О) = (с). >
Пусть, наконец, О — 2-группа и [ж, у]2 = 1 для любых элементов ж, у £ О, порождающих конечную подгруппу.
Лемма 7. (а) Если ж, у £ О и ж2 = у2 = 1, то (жу)4 = 1.
(b) Если О порождена тремя инволюциями, то коммутант О — элементарная абелева группа и О — конечная группа периода 4.
(c) Если О порождена инволюцией и элементом порядка 4, то О конечна.
< Пункт (а) следует из условия теоремы 2 в силу того, что две инволюции в группе порождают группу диэдра.
Пусть О = (ж, у, г) и ж2 = у2 = г2 = 1. По пункту (а)
1 = (жу)4 = (жг)4 = (уг)4 = ((жу)2 г)4 = ((уг)2 ж)4 = ((гж)2 у)4 = ((жу)2(жг)2)4 = ((уг)2 (уж)2)4 = ((гж)2 (гу)2 )4.
Вычисления в GAP [4] с помощью алгоритма перечисления смежных классов показывают, что |G| не превосходит 216. В частности, G конечна и, следовательно, [xy,z]2 = = [xz,y]2 = [yz,x]2 = 1. Дальнейшие вычисления в GAP после добавления этих равенств показывают, что |G| ^ 28, ее коммутант C абелев и, следовательно, периода 2. Поскольку G/C периода два, то G периода 4. Пункт (b) доказан.
Пусть G порождена элементом x порядка 4 и инволюцией у. Тогда H = (x2,y,yx) инвариантна относительно x и поэтому является нормальной подгруппой в G индекса 1 или 2. По пункту (b) H конечна, поэтому G также конечна. >
Лемма 8. Если G порождена четырьмя инволюциями, то G — конечная группа периода 8.
< Пусть G = (a, b, c, d), где а, b, c, d — инволюции из G. По лемме 7(b), H = (а, b, c) — конечная группа периода 4. По лемме 7(c), (d, h) — конечная подгруппа для любого h € H, и по условию 1 = [d, h]2 = (d ■ dh)2, откуда ddh = dhd, dhldhhl = dhhldhl для любого h1 € H, т. е. D = (dh | h € H) — элементарная абелева группа. Так как D < G и G = DH, то G — конечная группа периода, делящего 8. >
В дальнейшем G — группа, удовлетворяющая условиям теоремы 3.
Лемма 9. Для любых инволюций x, у, z, t, u € G выполняется равенство
[[[x,y], [z,t]],u] =1.
< По лемме 8 подгруппа H = (x, у, z, t) — конечная группа периода 8. Если h — элемент из H, порядок которого отличен от 8, то (u, h) — конечная группа по лемме 7 (с) и по условию [u, h]2 = (uuh)2 = 1, откуда uuh = uhu. То же самое выполняется и в случае, когда h порядка 8. Поэтому, как и в доказательстве леммы 8, D = (uh | h € H) — конечная группа и G = DH также конечна. По [5, теорема 4], [[[x, у], [z,t]],u] =1. >
Лемма 10. Группа G локально конечна.
< Пусть I — подгруппа, порожденная всеми инволюциями группы G, Z — ее центр. По лемме 9 для любых инволюций a, b, c, d € I элемент [[a, b], [c, d]] содержится в Z, т. е. [a,b][c, d] = [c, d][a,b] по модулю Z. Многократное применение известных равенств
[xy,z] = [x,z]y [у, z], [x,yz] = [x,z][x,y]z
показывает, что [x1x2 ... xr, у1у2 ... у5], где x1,..., xr, у1,..., у3 — инволюции, равно произведению коммутаторов вида [z,t], где z и t — инволюции. Поэтому коммутант I коммутативен по модулю Z и, в частности, I — локально конечная группа. Если теперь F/I — конечная подгруппа из G/I, то F также локально конечна, и поэтому F = FoI, где Fo — конечная подгруппа. По условию коммутаторы элементов из Fo лежат в I и поэтому F/I коммутативна. По теореме 1 G/I коммутативна, и, следовательно, G локально конечна. >
Закончим доказательство теоремы 3.
Для любых x, у € G подгруппа (x, у) конечна и по условию ^,у]2 = 1. Теперь утверждение теоремы вытекает из [5, теорема 4] и леммы 10.
Автор выражает признательность рецензенту за ценные замечания, позволившие существенно улучшить качество работы.
Литература
1. Адян С. И. О подгруппах свободных периодических групп нечетного показателя // Тр. мат. ин-та АН СССР.—1971.—Т. 112.—C. 64-72.
2. Лысёнок Г. И. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. мат.—1996.— Т. 60, № 3.—C. 3-224.
3. Lytkina D. V. On 2-groups, all of whose finite subgroups are of nilpotency class 2 // Sib. Electronic Math. Reports.-2011.-Vol. 8.—P. 1-3.
4. GAP — Groups, algorithms and programming.—URL: http://www.gap-system.org/.
5. Macdonald D. I. On certain varieties of groups // Math. Z.—1961.—Vol. 76, № 2.—P. 270-282.
Статья поступила 19 мая 2011 г. ЛыткинА Дарья Викторовна
Сибирский гос. ун-т телекоммуникаций и информатики, доцент кафедры высшей математики факультета ИВТ РОССИЯ, 630102, Новосибирск, ул. Кирова, 86 E-mail: daria.lytkin@gmail.com
2-GROUPS WITH GIVEN PROPERTIES OF FINITE SUBGROUPS
Lytkina D. V.
A local finiteness is proved of 2-groups, all of whose finite subgroups (a) are nilpotent of class 2 or (b) belong to a variety defined by the law [x, y]2 = 1. Besides, it is proved that the order of the derived subgroup of a 2-group G is at most 2 if the order of every conjugacy class of every finite subgroup of G is at most 2.
Key words: periodic group, nilpotency, local finiteness.
