CC BY
120
ПОНЯТИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ В ПРЕПОДАВАНИИ ПРЕДМЕТА УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Меражова Ш.Б. Email: [email protected]
Меражова Шахло Бердиевна - старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в этой статье анализируется постановка и решение прямых и обратных задач для уравнения математической физики. В программе предмета в основном изучают прямые задачи, поставленные уравнениям математической физики. Обратные задачи имеют широкое прикладное применение, поэтому с этим понятием студенты должны быть ознакомлены при изучении предметов «Уравнения в частных производных», «Уравнения математической физики» и в дальнейшем могли применять при своей научной деятельности. В этой статье рассказали кратко про прямые и обратные задачи. Сделали анализ нескольких прямых и обратных задач.
Ключевые слова: прямая задача, обратная задача, начальные условия, краевые условия, характеристическая система уравнений, общее решение.
DEFINITION OF DIRECT AND INVERSE PROBLEMS IN TEACHING THE SUBJECT OF EQUATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS Merajova Sh.B.
Merajova Shahlo Berdiyevna - Senior Lecturer, DEPARTMENT OF DIFFERENTIAL EQUATION, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in this article analyzes the formulation and solution of direct and inverse problems for the equation of mathematical physics. In the curriculum of the subject, direct problems posed to equations of mathematical physics are mainly studied. Inverse problems have a wide applied application, therefore, students should be familiar with this concept when studying the subjects "Partial Differential Equations", "Equations of Mathematical Physics" and could later be used in their scientific activities. In this article, we briefly talked about direct and inverse problems and analyzed several these problems. Keywords: direct problems, inverse problems, initial conditions, boundary conditions, characteristic system of equations, general solution.
УДК 37.02
В уравнениях математической физике обычно рассматривают прямые задачи, т.е. задачи следующего вида: задается дифференциальное уравнения и дополнительные условие для его решения. Эти условия дают нам возможность определить единственное решение среди множества решений дифференциального уравнения. В математической физике существует классификация уравнений. Для каждого типа уравнения есть свой индивидуальный способ решения. Есть методы решения задач, поставленных заданным уравнениям. Задачи, поставленные уравнениям математической физики, являются корректными. Например, задачи Коши для уравнений параболического и гиперболического типа, задача Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа являются корректно поставленными задачи. В свое время эти задачи называются прямыми задачами для уравнений математической физики. В
каждой прямой задаче несколько функций задаются изначально. Решения прямой задачи определяется при помощи этих данных. Ставится соответствие между данными и искомой функцией. Такие задачи изучались в работах [5], [6].
К настоящему времени наиболее полные результаты получены по исследованию прямых задач для уравнений смешанного типа, но работы связанные с поиском решения обратных задач для уравнения смешанного типа практически мало, например, [3].
Рассмотрим примеры постановки и решения прямой задачи.
Постановка прямой задачи для уравнения гиперболического типа. Из класса C2(t > 0) n C*(t > 0) надо найти такую функцию u(x, t) , которая при t > 0 удовлетворяет следующего уравнения волны: utt = a 2 bu + f (x, t) и следующие начальные условия: u |t=+0 = u0 (x), ut |t=+0 = u1 (x), где f, u0, u1 - заданные функции.
Эта задача называется классической задачей Коши для уравнения волны. Решение задачи: Если для начально заданных функций выполняются следующие
условия: f е C\t > 0), u0 е C"(R1), u1 е C^R1), n=l;
f е C2(t > 0), u0 е C\Rn), u1 е C2(Rn), n=2,3,
тогда существует притом единственное решение задачи Коши. Пример: Решите следующую задачу Коши:
ut = ux + ex; u = sin x, uJ = x + cos x.
tt xx lt=0 t lt=0
Решение: Используем для решения формулу Даламбера, тогда решения заданной задачи: u(x, t) = sin(x +1) + xt + ex (cht — 1) .
Постановка прямой задачи для уравнения параболического типа. Из класса C2(t > 0) n C(t > 0) надо найти такую функцию u(x, t) , которая при x е Rn , t > 0 удовлетворяет следующего уравнение: ut = a2bu + f (x, t) и следующее начальное условие:
u U = u0(x),
где f, u0 - заданные функции и |u J < M , M > 0 - произвольная постоянная
Эта задача называется классической задачей Коши для уравнения теплопроводности.
Решение задачи: Если для начально заданных функций выполняются следующие
условия: f е C2 (t > 0) u0 е C(Rn ), и эти функции ограничены, тогда существует
притом единственное решение задачи Коши. Пример. Решите следующую задачу Коши:
du „ д2u t i _ — = 4—7 +1 + e , u\ 0 = 2.
dt dx2 !t=0
Решение: Для решения этой задачи используем формулу Пуассона и
получим решения заданной задачи: 12
u( x, t) =--h ef +1.
2
Теперь пусть некоторые функции, которые задаются в прямой задаче, теперь неизвестны, а заданы дополнительные условия для решения задачи. Такие задачи в математической физике называются обратными задачами. Если в обратной задаче
искомые функции входят в уравнения, тогда приходится решать это уравнения, есть и другие типы обратных задач: нахождения начальных и граничных условий. Рассмотрим следующий пример на обратную задачу.
Задача. Пусть д(х) - непрерывная функция по х, а и(X, у) решения следующей задачи Коши:
а а , .
---+ q(x)
8x 8y
u = 0 , (X У) e R 2
и(х,0) = ((х), х е R.
При заданных функциях q(х), ( (х) задача корректно поставленная прямая задача. Чтобы существовало классическое решение этой задачи, требуется непрерывная дифференцируемость функции ( (х).
(х Л
Решая задачу получим: и = ехр | q(s)ds ■ f (х + у).
40
х
Решения заданной задачи следующее: и( х, у) = е +q( Х ^ ■(( х + у). Теперь
рассмотрим обратную задачу. Пусть для решения заданной задачи дано следующее дополнительное условие: и(0, у) = ^(у) , у е R . Рассмотрим обратную задачу нахождение функцию q(x) по этому дополнительному условию. В этом случае
решения обратной задачи имеет следующий вид: -q(х) _ _1п Ч/(х) , х е R.
dx ((х)
Сегодня изучение обратных задач считается актуальным, потому что такие задачи имеют свое практическое применение.
В этой статье мы просто рассказали Вам кратко про прямые и обратные задачи. Сделали анализ задачи, заданной в [2].
Можно исследовать более сложные обратные задачи [3], [4], [7], [15]. Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного типа изучены относительно меньше, чем задачи для уравнений конкретного типа [8]-[15], [16]-[17]. Обратная задача исследуется при помощи вспомогательной задачи, в которой в дополнительном условии содержится искомая функция.
В сегодняшний день изучения обратных задач считается актуальным, потому что такие задачи имеют свою практическое применения.
Список литературы /References
1. Салоуиддинов М.С. Уравнения математической физики (на узбекском языке) // Ташкент. "Узбекистан", 2002. 448 с.
2. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики // Москва. "Наука", 1984. 245 с.
3. Сабитов К.Б. К теории уравнений смешанного параболо -гиперболического типа со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения, 1989. Т.25. № 1. С. 117-126.
4. Меражова Ш.Б. Обратная задача определения ядра для одного модельного интегро-дифференциального уравнения параболического типа // Тезисы докладов XV Международной научной конференции (с. Цей, 15-20 июля 2019 г.). Стр 138.
5. Меражова Ш.Б., Нуриддинов Ж.З., Меражов Н.И., Хидиров У.Б. Методы решений задачи Коши для уравнения волны в случае n = 2 и n = 3 // Academy. 4 (55), 2020. С. 21-25.
6. Меражова Ш.Б. Решение методом продолжения задач математической физики в полуограниченных областях // "Молодой учёный". 12(116), 2016. С. 43-45.
7. Меражова Ш.Б. Постановка обратной задачи для параболических интегро-дифференциальных уравнений с интегральным членом типа свертки // Ученый XXI века. № 5-3 (2018). 47-49.
8. Merajova Sh.B. Numerical solution of the second boundary value problem for an equation of mixed-composite type // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6 (10), 2019.
9. Меражова Ш.Б. Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы // "Молодой учёный". 10 (114), 2016. Ст. 14-16.
10. Меражова Ш.Б. Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа // "Молодой учёный", 8(112), 2016. 21-2311. Меражова Ш.Б., Н.Х.Маматова Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа // "Молодой учёный". 12(116), 2016. Ст. 42-43.
11. Меражова Ш.Б. Тексиликда аралаш турдаги модел тенгламага куйилган биринчи чегаравий масала ечими хакида // "Тахлилнинг долзарб муаммолари ва татбщлари" Илмий конференция материаллари. Карши 4-5 октябрь 2019 й. 173-174 б.
12. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды от временной частоты // Сибирские Электронные Математические Известия. 17 (2020). С. 179-189.
13. Durdiev U.D. A problem of identification of a special 2D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation // Eurasian journal of mathematical and computer applications, 7:2 (2019). Pp. 4-19.
14. Durdiev U.D. An Inverse Problem for the System of Viscoelasticity Equation in the Homogeneous Anisotropic Media // Journal of Applied and Industrial Mathematics -Springer, 13:4 (2019). Pp. 1-8.
15. Меражова Ш.Б. Теорема об устойчивости разностной модели для первой краевой задачи поставленную в уравнению смешанного типа // Ученый XXI века. № 5-3, 2018. С. 49-51.
16. Меражова Ш.Б., Мардонова Ф.Я. Эквивалентность задачи для уравнения смешанного типа и задачи Коши для уравнений симметрической системе // Учёные XXI века. № 6-1 (53), 2019. С. 20-23.
17. Меражова Ш.Б., Маматова Н.Х. Постановка обратных задач в математической физике // Ученый XXI века № 5-3 (2018). С. 43-45.
18. Меражова Ш.Б., Мадатова Г.А. Использование метода Фурье для решения смешанной задачи для гиперболической системы // "Молодой учёный" международный научный журнал, 2017, 15. ЧАСТЬ II. С. 106-109.
