Методы решений задачи Коши для уравнения волны в случае n = 2 и n = 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДЫ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ п = 2 И п = 3 Меражова Ш.Б.1, Нуриддинов Ж.З.2, Меражов Н.И.3, Хидиров У.Б.4

1Меражова Шахло Бердиевна - старший преподаватель;

2Нуриддинов Жавлон Зафарович - старший преподаватель, кафедра математики; 3Меражов Нурсаид Икром угли - студент; 4Хидиров Умиджон Бахронович - магистр,

физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье показываем, какими способами можно решать задачи Коши, поставленные для уравнений волны. Студенты затрудняются при решении задач по уравнениям математической физики в многомерных случаях. Здесь мы рассматриваем способы решения задачи Коши для уравнения волны в двумерном и трехмерном случае, т.е., когда п = 2 и п = 3. Мы анализируем использование формулы Пуассона и Кирхгофа в разных случаях начально заданных функций, также эти формулы заданы в полярной и сферической системе соответственно. Показали использование формулы (4), заданной в этой статье. Можно использовать эти формулы при решении задачи Коши для уравнения волны.

Ключевые слова: уравнения с частными производными, уравнения волны, задача Коши, формула Пуассона, формула Кирхгофа, оператор Лапласа.

В этой статье показываем какими способами можно решать задачи Коши, поставленные для уравнений волны в случае п = 2 и п = 3 [1], [2], [3].

Из курса уравнения математической физики известно решение этих задач, представляемое в виде формул Пуассона и Кирхгофа соответственно.

Постановка задачи. Из класса С 2 (г > 0) С1^ > 0) надо найти такую функцию и(х, г) , которая при г > 0 удовлетворяет следующего уравнения волны; ии = а2 Аи + f (х, I) и следующие начальные условия :

и I=+о = мо(х), иг I=+о = м1(х), где /, м0, м1 - заданные функции.

Эта задача называется классической задачей Коши для уравнения волны. Решение задачи: Если для начально заданных функций выполняются следующие условия:

г е СЧг > 0), м0 е С2^), м1 е С1^1), п=1; /• е С2(Г > 0), м0 е С3(Яп), м1 е С), п=2,3,

тогда существует притом единственное решение задачи Коши и решения определяются при помощи следующих формул: при п = 1 формулой Даламбера;

1 1 х+аг 1 г х+а(г-т)

и(х, г) = — [и0(х + аг) + и0(х - аг)]+----1 | f . (1)

2 2а 2а., .

х-аг и х-а(г-т)

при п = 2 формулой Пуассона:

<(*Г) = -1-г г + ^ г ^ +

2ш 0 к-А<а^)4а 2(? - т)2 - \ К - х |2 2г 2?2 -1 К - х |2

1 д г иЛК)йК,

+--I , * . (2)

2т Ы к-^а^а 2-\к-х\2

при П = 3 формулой Кирхгофа:

(3)

и(х,0 = —^ г —1— /\ К, X -|К—^^ +—1-т ги1(К)оК + —1 [и0(К)оК ' ^ ; 4яа \. г\ ,\к-х \у I/ а ^ 4жг2Х\. ^ , 4жг2 дХХ\. ^0

\К-х\<а^! ~ 1 ^ ' \к-х\=аX _ \к-х\=аХ

Иногда при решение задачи Коши можно воспользоваться следующей формулой, завися от заданных функций /, и0, и1 при п > 2:

(4)

и(х, X) = £

+гк+1

*2к

-— а21 Аки0(х,,...,х )+ —-а21 Аки.(х ...,х )+ —'-г(X-т)2к+1Ак/(х1,...,х ,т)г

(2к)! ^ (2к + 1)! ^ (2к + 1)! ^ ' М 1 п Г

где Л - оператор Лапласа, который применяется на функции и0, и1, / соответственно к = 0,1,2,... раз. Когда начально заданные функции многочлены, тогда лучше использовать формулу (4).

Пример: ([31) Решите следующую задачу:

и„ = их + иу + и„ + ах + Ы

** хх уу 22

и(х, у, 2,0) = ху2 ut (х, у, 2,0) = ху + 2 Решение: и0 = ху2 применим оператор А столько раз, сколько нам нужно

^гайгпг лЛи0 = и0 = ху2 ; А1^ = Аи (х, у, 2) = и0хх + и0уу + и0„ = 0 + 0 + 0 = 0. В

следующих применениях оператора Лаплас получим ноль, поэтому здесь остановим применение.

Такие же вычисления выполняем для функций и1, / : А0и1 = и1 = ху + 2 ;

А1и1 = А2и1 =... = 0; А0/ = / = ах + Ы; А1 / = А2/ =... = 0. Вычисления вставим в формулу (4) и в итоге получаем решение задачи Коши:

х X2 Ьхз

и( х, у, 2, X) = ху2 + X (ху + 2) + г (X - г)(ах + Ыт)йт = хуг +1( ху + 2) +---1--.

0 2 6 При п = 2 и п = 3 для решение задачи Коши используем формулы Пуассона и Кирхгофа соответственно, но иногда для вычисление этих интегралов, лучше переход от Декартовой координатной системы в полярную и сферическую координатную систему. Поэтому приведём формулы Пуассона и Кирхгофа в полярной и сферической координатной системе соответственно: Формула Пуассона:

и(х,X) = -1- г г , /(к,г)к +г , ^ +

2га 0 к-х^-г^а2(X - г)2- \ к - х\2 2га ^ ^ д/а2t2- \ К - х \2

+ г и0(№ = ¡УУ(х + рС0фу + р1пф,т) рй(рйф +

2 га ¡\<а^а2t2-\К-х\2 г г г ^а2(X-т)2 -р2

«X 2г

2Г у • ч 1 «Х2Г у • ч

__Г Г и1(х + рСОФу + р^тф) | 1 _3 Г Г и0(х + рСОБ фу + р!8Шф)

2га | г0 ^2 -р2 2га дt | г ^2 - р2 '

к=0

Формула Кирхгофа:

м(х, г) = -1т | —Ц г - ^ к + | +-1Т д 1 \ий(^

Ала ,, х| I а ) 4лаг„ ^ , 4ла о/ г., ,

х|<аг I ^ I ^ ' х|=аг х|=аг

1 аг 2лл / \

=-- [ [ [f I х + pcosфsmв,у + psmфsmв,г + pcosв,г-— \psmвdвdq)dp +

4ла 0 00 V а)

1 аг 2лл

+-- [ [[М1 (х + р у + р sin^sin^,г + р соъб)р2&п0(0(фЛр +

2

0

1 аг 2лл

Им0(х + Ру + psmfsinв,г + рcosв)р2 sin6d6d^d—

1 д

4ла2 дг

С и со л ите ат ы

1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М. "Наука", 1971.

2. Дурдиев Д.К. Дифференциальные уравнения с частными производными. Бухара. Изд. «Дурдона», 2019. 394 стр.

3. Меражова Ш.Б. Сборник задач по уравнениям математической физики. Бухара. Изд. «Зиё-Ризограф», 2007. 56 стр.

4. Меражова Ш.Б., Мардонова Ф.Я. О результативности преподавания предмета "Дифференциальные уравнения с частными производными" интерактивными методами. // "Педагогическое мастерство", 2019. № 5. Стр. 131-133.

5. Меражова Ш.Б. Теорема об устойчивости разностной модели для первой краевой задачи поставленную в уравнение смешанного типа. // Ученый XXI века. № 5-3, 2018. 33-35.

6. Меражова Ш.Б. Решение дифференциальных уравнений методом последовательностей. // Молодой учёный, 2018. 15. ЧАСТЬ II. Стр. 5-7.

7. Нуриддинов Ж.З., Саидов У. Решение химических и биологических задач при помощи дифференциальных уравнений. Педагогическое мастерство. Бухоро, 2014. № 4. Стр. 88-91.

8. Нуриддинов Ж.З., Шомуродов Ф. Связь между дифференциальными и интегральными уравнениями. Научный вестник БухГУ, 2015. № 1. С. 19-21.

9. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений. Молодой учёный. Казань, 2015. № 10. Стр. 16-20.

10. Нуриддинов Ж.З. Система дифференциальных уравнений с частными производными с запаздывающим аргументом. Молодой ученый, 2016. № 12. Стр. 57-59.

11. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. О методе решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных высшего порядка с запаздывающим аргументом. Молодой учёный. Казань, 2015. № 10. Стр. 21-24.

12. Нуриддинов Ж.З. Система обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Молодой ученый, 2016. № 12. Стр. 55-57.

13. Нуриддинов Ж.З. Система дифференциальных уравнений с частными производными с запаздывающим аргументом. Молодой ученый, 2016. № 12. Стр. 57-59.

14. Нуриддинов Ж.З. Эквивалентная система интегральных уравнений для одной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения теплопроводности. Научный вестник БухГУ, 2019. № 4. Стр. 28-37.

15. Nuriddinov J.Z. The problem of determining the kernel of the integro-differential heat equation with a variable coefficient. Uzbek Mathematical Journal, 2020. № 1. Р. 103.

16.Алоев Р.Д., Меражова Ш.Б. Исследование разностной краевой задачи для уравнения смешанного типа. Научный вестник БухГУ, 2003. № 4. Стр. 76-79.

17. Салихов Ш.Н., Меражова Ш.Б. Новый способ приведения в канонический вид дифференциальных уравнений с частными производными. Научный вестник БухГУ, 2008. № 3. стр. 90-93.

18. Меражова Ш.Б. Устойчивость разностной модели первой краевой задачи для уравнения смешанного типа. Узб. Матем. журнал, 2012. № 1. Стр. 11-15.