CC BY
58
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ
Вадим Федорович Канушин
Кандидат технических наук, доцент кафедры астрономии и гравиметрии, Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, тел. (383)3-61-01-59, e-mail: [email protected]
Показана возможность применения для решения краевых геодезических задач нестационарного (динамического) характера интегральных уравнений типа Вольтерра. Приведен вывод интегрального уравнения и его решение.
VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS APPLICATION IN DYNAMIC GEODESY PROBLEMS SOLUTION
Vadim F. Kanushin
Ph.D., Assoc. Prof., Department of Astronomy and Gravimetry, Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo St., 630108 Novosibirsk, tel. (383)3-61-01-59, e-mail: [email protected]
Volterra integral equations are proved to be useful in solving boundary geodetic problems of nonstationary (dynamic) character. Derivation of the integral equation and its solution are presented.
В задачах нестационарного (динамического) характера (теплопроводности, электродинамики, упругости) используют так называемые волновые потенциалы [1], [2], с помощью которых нестационарные краевые задачи приводятся к интегральным уравнениям типа Вольтерра, у которых область интегррования переменная.
Для интегральных уравнений типа Вольтерра характерна абсолютная и равномерная сходимость в классе ограниченных функций на ограниченной области при всех значениях параметра в этой области, что позволяет решать эти уравнения методом последовательных приближений. Так как при любом параметре уравнение Вольтерра имеет единственное решение, то согласно теоремам Фредгольма [3] это уравнение не имеет собственных значений. Таким образом, решение интегральных уравнений типа Вольтерра проще чем решение уравнений типа Фредгольма [1], [4].
Фундаментальная формула Грина [2]:
позволяет определять значения гармонической функции в любой точке вне тела, если на его поверхности 5" известны граничные значения этой функции и ее нормальной производной.
(1)
Фундаментальную формулу Грина (1) можно применить и для определения функции U(X1X2X3,t) = U(M,t), удовлетворяющей волновым уравнениям динамической геодезии, полученных в работе[5]
j2tt
— = a2AU + F(Xh Х2,ХзЛ (2)
dt2
Пусть U(X1X2X3,t) - непрерывна со своими производными до второго порядка в некоторой области D пространства (X[X2X3), ограниченной поверхностью S, и точка МeD, а r = MM0 расстоянию от точки М0 до переменной точки М.
Введем функцию x(M, М0), для которой напишем:
|3> т.е.
г2+г2+г2 = 1/ x + ^ + XZ 2 M у
Если a = const, то x(M, М0) = ^.
Введем обозначения:
U(M,t-x) = Ui(M,t), (4)
где U1(M, t) - решение уравнения (1).
Рассмотрим однородное волновое уравнение с запаздывающими значениями, т.е. в момент (t-x):
Utt = а2 (M)AU. (5)
Выразим оператор Лапласа AU1, через AU:
AUi = divgradUi = AU - 2gradUt ■ gradx- Ut Ax + Utgrad x, (6)
т.к.
gradUi = gradU - Utgradx. (7)
Подставляя выражение (6) в формулу (5) и учитывая (3), получим:
AUi + 2gradUt ■ gradx + UtAx - Utt/0/ v (8)
/a 2 (M )
Дифференцируя формулу (7) по t, получим:
grad = gradUt - Ut gradx
dt
или
dU
gradUt = grad —1 + Uttgradx, (9)
dt
и подставляя выражение (9) в формулу (8), получим:
AU1 =-2 gradx■ grad-Ax(10)
16 6 dt dt .
Умножим обе части этого выражения на функцию x (M):
grad x(M, Mо ) =
оАUl = -2о£тайт • grad
с<Ц}
dt
о Ат
и
dt
(11)
и подберем функцию т(М) так, чтобы выполнялось равенство:
' dU^ Л
оАЦ^ = div---^2ош<т
dt
(12)
Если о и и имеют непрерывные производные до второго порядка, то применяя к ним формулу Грина:
|(°Аи/1 - = Я[°% - П п,
V s 4 у
и учитывая формулу (11), получим:
Л
<о
ds
(13)
{{{и1А°^-ЖЛп
dUl <о
■ —I
V
V
1 dn
dо.
(14)
Применим формулу Гаусса-Остроградского к интегралу от дивергенции получим:
div dUl 2оgrad тdv = {{ 2о 1 — ds. (15)
V s
Учитывая выражение (15), запишем формулу (14) в следующем виде:
^ dU^ л- лтт \
Я1
о-
'1
dn
Ul
<о ^ dт йЛл + 2о 1
dn
dn dn
^ + {{{ UlАо^dv = 0. (16)
^ 'Б
Переходя от функций и^Х^^^) к функции и(Х,У^-т), и учитывая, что
dUl dU dU dт
dn dn dt dn
получим
Я|
о-
<Щ_
dn
тт<о <т dU
- U — + о--------
<п
<п dt
^ + {Я UАоdv = 0.
(17)
V
Выделим вокруг точки М0 малую сферу радиуса р и обозначим через В1 оставшуюся часть тела В и через Ър - поверхность выделенной сферы. В области В1 функции т(М, М0), и(М, ^т) обладают свойствами непрерывности и применяя к этой области формулу (17), получим:
dU тт<о <т dU^
о-------U— + о----------
ч <п <п <п dt ;
гг!
* + {{1°
р
dU тт<о <т dU^
------U— + о----------
<п <п <п dt
ds + {{{ ШосЬ = 0. (18)
А
Если р — 0 то величины и — при приближении к точке М0 будут
dt <п dt на Ър будет
порядка
0)
р
и
в
ограничены; т(М,М0)
Иш о(М, М0 )• т(М, М0 ) = уа^ ) функция т(М, М0) на Ър будет порядка ^;
р——0
силу р
s
s
площадь Ер будет порядка р. Отсюда следует, что интегралы Ц
Ер
'dU
dn
ds и
ЯI
Ер
dr dU dn dt
ds стремятся к нулю вместе с р.
Остается интеграл
- Ц U da ds = - j| U(M, t - т)da ds. Ер Ер
dn
Нормаль п - внешняя по отношению к D1 и внутренняя по отношению к Ер. На сфере и(М, t-r) стремится к и(М0, t) при р ^ 0. Учитывая, что при сжимании поверхности Ер к М0 имеет место равенство:
lim jj
Ер—М 0
da(M, Mо ) dn
ds = -4л.
Формулу (18) при р —— 0 можно записать в виде:
UM0,t) = -1 \i(a dU - U — +
4л I dn dn
a-
dr dU dn dt
ds +
J
4л
1 jjj Uhadv, (19)
s' D
которая была получена С.Л.Соболевым в 1930 г. [2]. Если a = const, то
a =
r
и Да = 0. В этом случае получим формулу Кирхгофа [4]:
иM о,t )=—j
1 dU 1 dU dr .^(/ W -l-------------U
r dn ra dt dn
dn
v
ds.
(20)
J
Если интеграл в формуле (19) берется по поверхности сферы 5 с центром в
точке М0 и радиусом г, то — = —, а формула (20) примет вид:
dn —г
U (Mо,t )=4-jf|
dU r dU
dr
+
+ U a dt j
ds.
(21)
2
Если взять радиус сферы равным г = at, то t-г/a = 0, а также —8 = г —ю, т.е. запаздывающее значение сводится к значению функции t = 0. Тогда формула (76) превращается в формулу Пуассона [2]:
и(м0,г)=4. л
г—иЛ /ГА
и (и)0 - значения функции при t = 0 .
dU^ da + — dt jj(U)оda,
dt
0
4л dt
(22)
sat
где
dt
J0
С помощью этой формулы решается задача о распределении колебаний в безграничном пространстве при заданных начальных условиях (т.е. решается задача Коши).
r
Возвращаясь к волновому уравнению (2) можно аналогично построить формулу Кирхгофа для неоднородного волнового уравнения в области D, в которой кроме поверхностного интеграла, будет и тройной:
\ —Iи 1 —и—г тт— (Уг )Л
------I-----------и------
г —п аг —г —п —п
\ у
Применяя эту формулу к сфере с центром М0 и радиусом г = at для решения задачи Коши, удовлетворяющей нулевым начальным данным при t=0,
—и п
= 0, получим:
г=0
U(M0,t) = -L fff 1 dU +1 d_U±-U^lls +' m^MAdv. (23) 4л r dn ar dt dn dn 4ла 2 ^ r
Xе. U|(=0 = 0 и
=0 dt 4-a
U(M0,t)^-^jjJ F(M’t т)dv. (24)
Dt
Обобщенная таким образом формула Пуассона является волновым потенциалом.
Если t = const, то формула (24) превратится в формулу для ньютоновского потенциала объемных масс с плотностью F(M). Применим к решению задачи Коши для уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям:
U (м, t) t=0 = f0 (Ml U, (M, 111=0 = fi (M). (25)
Обозначим через S^X^s) квазисферу с центром M0 и радиусом t, т.е. уравнение поверхности St(X1,X2,X3), ограничивающей область Dt, имеет вид: r(M,M0) = t.
Значения функций U, dU, dU должны быть взяты в моменты времени
dn dt
t-r(M,M0), или в t = 0. Принимая во внимание начальные условия (25) запишем уравнение (19) в следующем виде:
U (M 0, t ) = — jj( a df° - /0 — + a—fi Ids + — jjj — dv + — jjj UAadv. (26) V ' 4л V dn 0 dn dn 1 A~)jj + A~jjj
4л ir t 4л'
я, Вг Вг
Первый и второй интегралы в формуле (26) представляют собой известные функции, сумму которых обозначим через R(M0, {), тогда уравнение (26) можно записать в виде интегрального уравнения:
и(м, г )= к(м0, г)+ — иДо—у. (27)
4ж В,
Заметим, что при изменении М и t меняется область Dt и уравнение (27) аналогично уравнению Вольтерра. Это уравнение при t близких к нулю имеет единственное решение [2], которое может быть получено методом последовательных приближений, и является решением поставленной задачи динамической геодезии.
1. Мюнтц, Г. Интегральные уравнения /Г. Мюнтц. - Л.: Гостехиздат, 1934. Ч.1. - 330с.
2. Смирнов, В. И. Курс высшей математики /В. И. Смирнов. - М.: Физмашгиз,1957. -
812 с.
3. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции /В. Я. Арсенин. - М.: Наука,1984. - 384 с.
4. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики /В. С. Владимиров. - М.: Наука, 1981. - 512 с.
5. Постановка проблемы и развитие теории динамической геодезии как пространственно-временной геодезической краевой задачи М.С. Молоденского: Отчет о НИР (промежуточный) / СГГА. Руководитель Бузук В.В. - № гр. 019600012360; Инв. № 02980005664. - Новосибирск, 1997. - 43 с.
© В. Ф. Канушин, 2012
