Низкочастотная асимптотика решения задачи о волнах, вызванных вибрацией пластины, лежащей на поверхности жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.593

НИЗКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ, ВЫЗВАННЫХ ВИБРАЦИЕЙ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩЕЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

© 2014 г. Э.Н. Потетюнко

Потетюнко Эдуард Николаевич - доктор физико-математических наук, доцент, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, email: mechmat@aaanet.ru.

Potetyunko Eduard Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Mathematic, Mechanics and Computer Sciences Faculty, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: mechmat@aaanet.ru.

Рассматривается в линейной постановке задача о плоском периодическом по времени волновом движении диссипатив-ной жидкости бесконечной глубины, вызванном вертикальными колебаниями пластины, лежащей на верхней поверхности жидкости. Изучается краевая задача, соответствующая решению физической задачи. Граничное условие, заданное на свободной поверхности, продлевается под пластину. На этом этапе контактные напряжения под пластиной считаются заданными. С помощью преобразования Фурье по горизонтальной координате отыскивается деформация верхней границы. Под ней она приравнивается к заданной, что приводит к интегральному уравнению относительно контактных напряжений. Для решения этого уравнения построена низкочастотная асимптотика. В низкочастотном приближении найдены контактные напряжения под пластиной и вид свободной поверхности вне пластины.

Ключевые слова: жидкость, диссипация, краевая задача, свободная поверхность, деформация, контактные напряжения, интегральное преобразование, интегральное уравнение, решение, низкие частоты, итерационный метод, погрешность решения.

The task about flat periodic on time wave movement of dissipative liquid of the infinite depth, caused by vertical fluctuations of the plate lying on the top surface ofliquid is considered in linear statement. The regional task corresponding to the decision to a physical task is considered. Then the boundary condition which has been set on a free surface lasts under a plate. At this stage contact tension under a plate is considered as the set. Then by means of Fourier's transformation on horizontal coordinate deformation of the upper bound is found. Under it it is equated to set that leads to the integrated equation of rather contact tension. For the solution of this equation the low-frequency asymptotics is constructed. Contact tension is found in low-frequency approach under a plate and a type of a free surface out of a plate.

Keywords: liquid, dissipation, regional task, free surface, deformation, contact tension, integrated transformation, integrated equation, decision, low frequencies, iterative method, decision error.

Рассмотрим задачу о плоском волновом движении идеальной жидкости бесконечной глубины, вызванном вертикальными колебаниями пластины, лежащей на верхней границе поверхности.

Эта задача рассмотрена в [1, 2]. С учётом сил поверхностного натяжения - в [3, 4].

В [1] предложены два способа решения задачи. В первом из них сначала вводится вспомогательная функция комплексного переменного (как линейная комбинация производной и самой функции, решающей задачу). Затем она отыскивается в виде суммы неиз-

у.

вестной функции и функции 1

vz2-

(z = x + iy),

y- = const с заданной особенностью в кромках пластины с неизвестным множителем у-. Здесь a - полуширина пластины. Далее вместо независимой переменной z вводится независимая переменная

^ = a

-1

r-VZ2^

и решение представляется в

виде степенного ряда по переменной Относительно коэффициентов этого ряда получена бесконечная система. Найдено ограничение на безразмерную частоту, при которой решение системы строится методом последовательных приближений. В общем случае при любых значениях безразмерной частоты на основе анализа скорости убывания коэффициентов степенного ряда для решения бесконечной системы предложен метод урезания. Сама функция, решающая исходную задачу, определяется из решения дифференциального уравнения первого порядка.

Второй из способов, предложенных в [1] для решения рассматриваемой задачи, состоит в том, что вспомогательная функция отыскивается в виде степенных рядов по безразмерной частоте. Получено, что в первом приближении свободная граница жидкости неподвижная, а движение жидкости совпадает с движением безграничной жидкости при пульсирующих источниках на отрезке (-я, а).

В [2] решение исходной задачи сведено к решению интегродифференциального уравнения с логарифмическим ядром. Выводятся условия однозначной разрешимости этого уравнения. Там же приведена библиография рассматриваемой задачи.

В [3] методом, предложенным в [2], решение исходной задачи с учётом сил поверхностного натяжения сведено к решению интегродифференциального уравнения. Приведены условия однозначной разрешимости этого уравнения, графики амплитудно-частотной зависимости и распределения давлений под пластиной.

В [4] выведено интегральное уравнение для давления под пластиной. При больших числах Бонда и низких частотах это уравнение решено методом итераций. Приведены асимптотики амплитуды полной силы и амплитуд сил, сосредоточенных в кромках пластины.

В [5] в качестве начального приближения решения рассматриваемой задачи берётся решение предельной задачи, соответствующей бесконечно большому значению безразмерной частоты (или отсутствию сил гравитации (g = 0)). Затем методом сращиваемых асимптотических разложений в кромках пластины

подстраиваются функции большого градиента. Для определения таких функций возникает задача о волновом движении жидкости при наличии полубесконечного дока. Эта задача решена в [5]. Решение представлено в виде интегралов Лапласа. Для построения старших приближений предлагаются ряды по степеням еn и e n 2 log е, где е- величина, обратная безразмерной частоте. Приведены выражения для четырёх первых членов предлагаемых рядов.

В данной работе построены ограниченные на бесконечности решения. В отличие от известных работ предложена другая итерационная схема. Это связано с тем, что начальное приближение при бесконечно больших частотах, соответствующее удару пластины о жидкость, приводит к неограниченным в кромках пластины деформациям свободной поверхности, что нарушает уравнение неразрывности. При корректировке решения в кромках пластины методом деформированных координат возникает необходимость решать задачу о вибрации полубесконечной пластины, когда она вся как жесткое целое смещается на постоянную амплитуду. Это соответствует вытеснению бесконечного объёма жидкости за бесконечно малый интервал времени (при высоких частотах) и приводит к необходимости прикладывать к пластине бесконечно большие усилия, в то время как в исходной краевой задаче таких особенностей не возникает. Это и побудило разработать другую итерационную схему, свободную от этих особенностей.

Математическая постановка задачи

В линейной постановке с учётом исчезающих малых диссипативных сил, пропорциональных скорости частиц жидкости, задача о плоском установившемся периодическом по времени волновом движении идеальной жидкости бесконечной глубины, вызванном вертикальными колебаниями пластины, лежащей на верхней поверхности, сводится к следующей краевой [6]:

— + |U = -- VP, divU = 0, P = p + pgz - p0, dt p

U = УФ, P = -p

5Ф dt

+ цФ

- P + pgC = -P*(x, t ) = n,(x>irat, ^ = Uz, z = 0:

dt

x > a,

Uz = V* (x, t) = — W* (x, t), W* (x, t) = W(x)eimt, |x| < a, z = 0,

r = 0, r = v x2 + z 2.

lim Ф = 0, lim (уф)г = 0, r =

r^го r^ГО

lim F = 0, F = {Ф, С, p, P*}.

(1)

f| x, z,t + — 1 = F(x, z,t)).

Здесь U = Ux,Uz} - вектор скорости частиц жидкости; p - гидродинамическое давление; P - динамическая часть гидродинамического давления;

2

x

Pg(—г) — гидростатическая часть гидродинамического давления; С, - возвышение свободной поверхности;

У*(х, t) = ¥0 (х)ег<ю - скорость колебаний точек пластины; W*(x, t) = W (х2 )ег<ю - заданные вертикальные перемещения точек пластины от равновесного состояния; р — заданное внешнее динамическое давление на свободной поверхности жидкости; р0 — внешнее атмосферное давление, которое полагаем равным нулю; р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения, ц — коэффициент диссипации (ц > 0); 2а — ширина пластины; t — время; ю —

частота колебаний пластины. Начало координат взято посередине пластины в положении равновесия, ось Ох направлена горизонтально, ось Ог — вертикально вверх против силы тяжести.

Полагаем Р* = П* (х)ег<ю . Решение задачи (1) ищем в виде

ф=фе/ю, Ç=ne/rai.

(2)

Зф "dz

z=0

Зф /ю „ -Уф + ^ =—П., 3z pg

ю -/ю Ц „ | |

У =- , z = 0, м > a,

Зф "dz

= Vo(x) = mW(x), z = 0, IM < a ,

(4)

(5)

Ф, ЗФ • П.

ф, ЗФ !

->0,

->œ,

->0,

(6)

Сведение решения исходной краевой задачи к решению интегрального уравнения

Продолжим граничное условие (4) во внутрь интервала |х| < а, введя в рассмотрение д*(х):

Зф /ю / \ / \ -уф+—=— q*(x) q.(x)=

_ [п. (x),

dz

Pg

x), X > a, Q.(x), XI < a

(7)

Пусть заданная функция П* (х) = 0, |х| > а. В данной задаче функция Q*(x)(х| <а)представля-

ет собой амплитудную функцию контактных напряжений под пластиной.

Построим решение вспомогательной задачи (3), (7) , (5), (6), считая на этом этапе функцию Q*(x)известной. Применим преобразование Фурье по х:

= 0, ~ = _L

dz >/2я -œ

1 i i-

л/2л -œ

(8)

/ю

— уф +--=--, г = 0; ф,--> 0, г ^ —да.

йг pg йг

Решение уравнения в (8) имеет вид ~ = + .

При этом —да < 2 < 0, —да < \ < да. Поэтому для ограниченности решения ф берём

~ = C1e~&, -да<Я< 0, z < 0,

или

ф = cJ ^, z < 0.

~ = C2e&, 0 z < 0

Из (8) вытекает

~ = CJ^z, z < 0; (- у + |Ç|C = - ^ Ш z = 0. C = - ~

/ю q.

Pg |Я|-у

Здесь ф(х, г) и 'л(х) — амплитудные функции для потенциала скорости возвышения свободной поверхности.

Подставляя (2) в (1), выводим следующую краевую задачу для ф :

Дф = 0, (3)

/ю^ =

Из первого

Зф

dz

равенства

I I /ю ~

= C Я =--ы—

z=0 pg |Я"У

(4)

следует

Сократим на /ю. В числителе дроби в правой части последнего равенства добавим и вычтем величину

У : "П = -

1 Я-У+У~

---л-1

pg Я-У

Почленно разделив, получим j = --±i---±i-y

Pg Pg 1я1-у'

Обращая по Фурье, находим

y-ï^x

У I ~*(Я)е~

pg V2rëpg -оо - у Согласно теореме о свёртках [7],

о ~ ~ о

J fl (=)/2 = J fl (u)f2 (x - u)du.

-I

Тогда

q.

1 У 1

j q.(u )K (x - u)du,

pg V2rë pg _,

/ ч 1 i

K(v) = ^== j r-:-d|, v = x - u.

л/2л -i Я-У

(9)

Рассмотрим интервал |х| < а. Здесь задана деформация пластины (^ = ^(х)) и амплитудная функция контактного напряжения д*(х) обозначена через Q*(x). Положим П*(х)= 0, т.е. считаем, что всё движение жидкости вызвано лишь вибрацией пластины. Тогда из (9) следует интегральное уравнение для

0.(х):

1 а

pgw(x)+Q*(x) = —1= у |Q*(u)K(х — и)йи, |х| < а. (10) л/2л — а

Ядро уравнения (10) имеет вид

/ Ч 1 да

К(у) = ^^= 1 м-й%, V = х — и.

л/2л —да Е —у

1

g

x

-I

z

Вычислим K (v).

/ч 1 0 e К(v)=~l= i e

1 ° e"i?v

^ dЪ ^ -^ V = x-и.

л/2л-м-|-У л/2л о Е -У В первом интеграле сделаем замену Е = -г. Тогда

1 о

K (v)=-^i

0 eiXv

dx +

1 ° e"ixv

dx, v = x -м,

или

\ 1 0cos(xv)+isin(xv) , K (v)= —= J-1—--1—- dx +

у12п о "

x-y

42k

008

(xv)- i sin(xv)

x-y

dx, v = x - м.

После приведения подобных

K(v)= J2 J

2 0 cos(xv)

dx, v = x -м.

0 x-y

(11)

Последний интеграл (11) - табличный [8]:

K (v) = ß J

V ж 0

/ \ 0 cos t , ^ , X cos t -1 ,

ci (x) = - J--dt = С + ln x + J-dt,

t 0 sin t , л x sin t

(13)

/ \ Tsint , л ? (x) = — J-dt =--+ J

t

2

dt.

0

t

решать уравнение (14) итераци-

(v) = J- idX = cos(vß)ci(vß)+sm(vß)[.»(vß)+ ж], Ц2) 0ß-X ( )

ß = y.

Здесь С - постоянная Эйлера, С = 0,57721566; с/(х) - интегральный косинус; si - интегральный синус.

Таким образом, для определения амплитудной функции контактных напряжений 0*(х) под пластиной (X < а) получено уравнение (10) с ядром (12). После определения 0*(х) по формуле (9) находим возвышение свободной поверхности ^(х) вне пластины (X > а) При этом д*(х) определяется в (7). Считаем П* = 0.

Решение интегрального уравнения для амплитудной функции контактных напряжений 0*(х)

В правой части уравнения (10) положим

х = ах1, и = ащ, е = уа. Тогда Q*(x)+pgw(x) =

= —е |Q*(aul)К(а(х1 -И1 )^1, Х| < а. (14)

л/2л -1

Функция К (V) через функцию а (ау) содержит при |е| ^ 0 логарифмическую особенность. Произведение е 1пе стремится к нулю при |е| ^ 0. В силу этого правая часть уравнения (14) при |е| ^ 0 бесконечно мала, что позволяет при е ^ 0 и низких частотах

С 2 ■ Л

ю - /ю ц

е = у а =-а

g

онным методом. Положим

Q*0)(x) = -pgw(x), X < а. (15)

Тогда в первом приближении имеем

Q*l)(x) = -pgw(x)-—= е |(-pgw(аu1 ))К(а(х1 -и1 . (16) л/2ж -1

Функция К(V) описана формулами (12), (13).

Приближенное значение Q*(x) амплитудной функции контактных напряжений найдётся как очередная итерация функции Q*(x):

0 (х) = Q*k+1)(х)=^(х)-

-е 10*к^(ащ )К(а(х1 -И1 ))dul, Х1 = —, IX < а. (17)

у12п _1 а

Нулевая и первая итерации функции 0*(х) определены в (15) и (16).

Оценка погрешности точности решения интегрального уравнения для амплитудной функции контактных напряжений

Оценим разность 8 между точным значением 0*(х), определяемым уравнением (14) и его приближенным значением, определяемым по формулам (15) -(17) 8 = 0*(х)-0 (х).

Вычтем из уравнения (14) равенство (17). При х а

x1 = —, Ix < a,

5 = -е .— JQ*(aM1 )K(a(x1 -M1 ))dM1 -л/2л -1

-е .— JQ^\aM1 )K(a(x1 -M1 ))dM1. л/2л -1

(18)

В первом интеграле в (18) добавим и вычтем приближённое значение 0 (х) амплитудной функции контактных напряжений: 1 1

8 = -е ,— |8К(а(х1 - И1 +

л/2л --1

+ е

1 1

J Q (aM1 )K (a(x1 - M1 ))dM1 -

42n - j1

-е Д_ J^(aM1 )K(a(x1 -M1 ))dM1, x1 = —,Ixl<a. >/2л -1 a

(19)

Из (19) следует

1

-< е-

1

1 '1 + |c(x|e| n '

x J +1)(aM1)-Q^x)(aM1 )|K(a(x1 -M1))dM1, -1 1 1

С(x) = .— J K(a(x1 - M1 ))dM1, x1 = x, Ixl < a. л/2л _ 1 a 1 1

Отсюда

1

О

0

x

5=|q*(x)-q (x)

< е

л/2л

J Q{k+1)(aMl)-Q*k)(a«!)||K(afo -щ)^[1 + H|C(X)], (20)

a

K(v)=J- J

cosl xi 20 11

л 0 x1 - е

dx1, е = ya.

Отсюда

K И<Д i

V л 0

x1

л 0 x1 -е

x1"

x1 -A- i-a

g

A =

ro2a

g

Далее имеем

lx1 - е1 =

(x-A1 )2

> x1 - A.

Поэтому |K(v)<J^ J-^L. = Д

\ л 0 xi -A V л

ln A.

: |5 = |q*(x)-Q (x)^ 0, |е| ^ 0.

n(x) = -

n*(x)

1 1

Pg

л/2л

-ех

Pg

1

|С(х) = 1— | |К(а(х1 - И1 ))|dUl, х1 = —, |х| < а. л/2л -1 а

Оценим ядро К(х - и) интегрального уравнения (10)

К(х - и) = К(V), V = х - и.

Согласно теории размерности, безразмерная функция зависит лишь от безразмерных переменных. Поэтому в подынтегральном выражении формулы (11) выражение (ту) - безразмерное. Обозначим размерности квадратными скобками. Значение безразмерной величины считаем равным единице: [ту] = 1.

Далее имеем [у] = [х - у] = Ь, Ь - единица длины. Тогда [т] = 1 За единицу длины возьмём величину а.

Сделаем в (11) замену переменной интегрирования. 1

Положим г = — г. Тогда

х J Q (au1 K(a(x1 - щ ))щ, П* (x) = 0, x1 = x, |x| > a. (21) _ 1 a

нулю:

Определение амплитудной функции возвышения свободной поверхности

Подставим в (9) выражение #*(х) из (7) и возьмём

вместо 0*(х) его приближенное значение 0 (х) из (17). В результате найдём приближённое значение "л(х) для амплитудной функции возвышения свободной поверхности ^(х) при |х| > а.

Формула (21) определяет приближенное значение амплитудной функции возвышения свободной поверхности. В нулевом приближении имеем

^(0)(х) = Д_ е | W(аи1 )К(а(х1 -и1 ))dul, х1 = —, |х| > а. л/2л _1 а

Здесь W (х) - заданная амплитудная функция колебания пластины при |х| < а, функция К (у) описана в (12).

Оценка погрешности определения амплитудной функции свободной поверхности

Из обеих частей равенства (9) при |х| > а почленно вычитаем обе части равенства (21). Тогда для разностей б(х) между точным выражением для амплитудной функции свободной поверхности ^(х) и её приближённым выражением "л(х) имеем

0(x) = ^(x)-n(x) = —1

л/2л Pg

J Q* (au1) - Q (au1 )]k (a(x1 - U1 ))du1, x1

(22)

-1

= —, x > a. a

0 г1

Таким образом, при е ^ 0 для каждого фиксированного х разность между точным значением амплитудной функции контактных напряжений 0*(х) и его

приближённым значением 0 (х) = +1 стремится к

Оценим обе части равенства (22) по модулю. Учитываем оценку для |8 равно |0*(х)-0 (х) из (20). Для каждого фиксированного х имеем

|е(х) = Х(х)-^(х)<

< 1_— |е||8| | К(а(х1 - и1 ))dul, х1 = х, |х| < а.

л/2л pg -1 а

Таким образом, исходная задача решена.

Литература

1. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.

М., 1973. 328 с.

2. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости.

М., 1977. 816 с.

3. Трепачёв В.В. Теоретические и экспериментальные ис-

следования поверхностных и внутренних волн. Севастополь, 1980. С. 55-64.

4. Трепачёв В.В. Асимптотический анализ движения жид-

кости, вызванного возмущениями на её границах: дис. ... канд. физ.-мат. наук.. Ростов н/Д, 1985. С. 95-114.

5. Потетюнко Э.Н. Волновое движение неоднородной

жидкости // Вопросы волновых движений жидкости. Ростов н/Д, 1989. С. 88-166.

6. Кочин Н.Е., Кибель И.А, Розе Н.В. Теоретическая гид-

ромеханика. Ч. I. М., 1963. 584 с.

7. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. М., 1955. 667 с.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов,

сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М., 1962. 110 с.

Поступила в редакцию

12 ноября 2013 г.

1

х

1

x

х

2