Высокочастотная асимптотика волнового движения жидкости, вызванного вибрацией пластины, лежащей на поверхности жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.593

DOI 10.18522/0321-3005-2015-4-74-79

ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ, ВЫЗВАННОГО ВИБРАЦИЕЙ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩЕЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

© 2015 г. Э.Н. Потетюнко

Потетюнко Эдуард Николаевич - доктор физико-матема тических наук, профессор, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090.

Potetyunko Eduard Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of the Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia.

В линейной постановке с учётом исчезающе малых диссипативных сил, пропорциональных скорости частиц жидкости, решается задача о плоском периодическом по времени волновом движении жидкости бесконечной глубины, вызванном вертикальными колебаниями пластины, лежащей на верхней поверхности жидкости. Выписываются уравнения движения идеальной жидкости и граничные условия затухания на бесконечности по вертикали, смешанные граничные условия на верхней границе жидкости. Исходная краевая задача сводится к задаче для функции потенциала скоростей. Под колеблющейся пластиной вводится в рассмотрение неизвестное контактное напряжение. Задача сводится к решению исходного уравнения относительно этого контактного напряжения. При больших безразмерных частотах ядро интегрального уравнения заменяется его асимптотическим приближением. Полученное приближенное интегральное уравнение решается в явном виде. Найдены контактные напряжения под пластиной и вид свободной поверхности вне пластины. Дана оценка погрешности замены точного интегрального уравнения на приближенное.

Ключевые слова: идеальная жидкость, волновое движение, интегральное уравнение, высокочастотная асимптотика, частота, погрешность.

In linear statement taking into account disappearing small dissipative forces proportional to the speed of particles of liquid, the problem about the flat periodic wave movement of liquid of infinite depth on time caused by vertical fluctuations of the plate lying on the top surface is solved. It is written out the equations of the movement of ideal liquid and boundary conditions of attenuation on infinity down, and the mixed boundary conditions on the upper bound of liquid. The initial regional task is reduced to a task for function of potential of speeds. Under the fluctuating plate it is entered into consideration the unknown contact tension and a task is reduced to the solution of the initial equation concerning this contact tension. With big dimensionless frequencies the kernel of the integrated equation is replaced with its asymptotic approach. The received approximate integrated equation is solved in an explicitform and contact tension under a plate and a type of a free surface out of a plate is found. The assessment of an error of replacement of the exact integrated equation by the approximate is given.

Keywords: ideal liquid, wave movement, integrated equation, high-frequency asymptotics, frequency, error.

Рассмотрим задачу о плоском волновом движении жидкости бесконечной глубины, вызванном вертикальными колебаниями пластины, лежащей на верхней поверхности жидкости.

В [1] описано содержание работ [2-6] по волновым движениям жидкости, вызванным деформацией пластины, лежащей на поверхности жидкости, и построена низкочастотная асимптотика решения этой задачи.

В данной работе построена высокочастотная асимптотика этой задачи.

Математическая постановка задачи о волновом движении жидкости, вызванном колебаниями пластины, лежащей на поверхности жидкости

В линейной постановке с учётом исчезающе малых диссипативных сил, пропорциональных скорости частиц жидкости, задача о плоском установившемся периодическом по времени волновом движении жидкости бесконечной глубины, вызванном

вертикальными колебаниями точек пластины, лежащей на верхней поверхности жидкости, сводится к следующей краевой задаче [7]:

—+//и = -—УР, сИуи = 0, Р = р + ^г-р0, 5/ р

д2 д2

divVФ = ДФ = 0, V = —х°+—z°, д = + dx dz '

—co<z<0, U = АФ, Р = -р

дх2 dz2

-P + pg£ = -P.4l,ts = z = 0, Ы>а, (1)

dt

d

u,=v.4,ty—w.4,t. wAjywi:

dt

\x\< а

z = 0, lim® = 0, r = 4x2 + z2 , lim F = 0,

In

F = , F x,z,t + — =F4i,z,t^.

X —>cc

Здесь Ф - потенциал скорости; и - Ь\х. I12 — вектор скорости частиц жидкости; х0, z0 - единичные векторы осей Ох, Ог; р - гидродинамическое давление; Р — динамическая часть гидродинамического давления; — гидростатическая часть гидродинамического давления; С, — возвышение свободной поверхности; У\ х, I = Iх е"'— скорость

колебаний точек пластины; II х.1 = (Г х е"°'— заданные вертикальные перемещения точек пластины от равновесного состояния; /', — заданное внешнее динамическое давление на свободной поверхности жидкости; - внешнее атмосферное давление, которое полагаем равным нулю; р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения; и — коэффициент диссипации > 0 ; 2а — ширина пластины; г — время; со — частота колебаний точек пластины. Начало координат взято посередине пластины в положении равновесия, ось Ох направлена горизонтально, ось Ог - вертикально вверх.

Сведение исходной краевой задачи к задаче для функции потенциала скоростей

Полагая 1', -11, X

решение задачи (1)

Д^з = о , -00 < X < С

-oo<z<0,

1С01] =

дф ~dz

79 dz pg *' 7 g ' z 0' I I •

^ = V0 < " icoW^l, z = 0, |x| <a,

8x z -CO .

x —> CO .

(2)

f

Сведение решения исходной краевой задачи к решению интегрального уравнения относительно контактных напряжений

Продолжим граничное условие при г = 0, |х| > а вовнутрь интервала |х| < а , введя в рассмотрение функцию д„ С

-гр+^г = -—<?» чЛУ

öz

Pg

П* X\x\>a, Q X ^ \x\< a

. (3)

В данной задаче О. X > ^ «представляет собой амплитудную функцию контактных напряжений (^(ь^У под пластиной. Полагаем П* С ^ 0, |х| > а.

Применим преобразование Фурье по х [7]

1

^1-^ = 0, p=-f= ¡tpt^dx, dz v2?r _oo

ф =

1

V2r

¡HßT^dZ,

(4)

ищем в виде Ф = фе,аЛ, С, = г]е1бЛ.

Здесь ф4(,г и т]^ — амплитудные функции для потенциала скорости и возвышения свободной поверхности.

Для (р и г] выводим следующую краевую задачу:

~ dm ico ^ п ~ d<p п

-уф н—— =--qt, z-0, ф , ——> 0 , z —> -со .

dz pg dz

Решение уравнения в (4) имеет вид ф = Схе$ + С2е ^ .

При этом переменная z меняется в пределах от минус бесконечности до нуля: — co<z<0, а переменная íf согласно формуле обращения (4) меняется в пределах от минус бесконечности до плюс бесконечности: -оо < £ < оо. Поэтому для ограниченности решения ф берём в виде ф = (\ е , —да <¿; <0, z < 0, ф= С2е& , 0 < ^ < со, z < 0, т.е. ф=Се^\ z <0.

Из (4) вытекает

Ф=Се^ , z<0, + = z = 0,

Pg

C =

ш q„

Pg Щ-г'

Из (2) и (5) i coi] =

Оф

И

(5)

q, ■

Сократим на ico. В числителе дроби в правой части последнего равенства добавим и вычтем величину у.

Почленно разделив, получим

7]=-

q,

У т

1

pg pg

Обращая по Фурье, находим интегральные уравнения для (А (

1 7 "г Ы

Pg 4lTt Pg-a, Ш-Г

í

l-'фс

z-ü

q

Согласно теореме о свёртках [7]: ]/i С Ii f = J/j 02 С " м ^м • Находим

— СО —00

^ ^ j?» il^i-u У11 ,

S > 9*

1

pg pg

ю е-ф

Г -d£, , v -х —и .

(7)

42л -«\Z\~Y Рассмотрим интервал |х| < а . На этом интервале задана деформация пластины К] = иЧ"^: амплитудная функция контактного напряжения (¡, ( ^ обозначена через <2, Положим 10, т.е. считаем, что всё движение жидкости вызвано лишь вибрацией пластины. Тогда из (7) следует интегральное уравнение для С

1

/^О&О—т=У ^А^Ъ-и^и, \х\<а. (8) •42к -а

Ядро интегрального уравнения (8) имеет вид, указанный в (7).

Вычислим К^ Имеем

1

О е~г&>

1

J-v = x-u.

л/Ьг-^-^-Г 4ъг о

В первом интеграле сделаем замену % = Тогда

1

■Jbr^T-y 4Ьт

J

-dt, v = x-u

о Т~У

или

\2ж о

т-у

+ ,- J--—--^ÜT .

V2ж о Т~У После приведения подобных

—I--dz, v = x-u.

V ж о r-y

Последний интеграл (9) табличный [8]

Л oß-X

= cos.iißyiiß~ys,miiß^iißyn_, ß-y.

Здесь ci ^ — интегральный косинус [8]

(9)

(10)

rCOSt , „ , ftus^ 1 ,

-dt = C+ lnx+J-dt; C- постоян-

cost — 1

t

0

t

t

2

0

t

стиной |(г| < а _ получено уравнение (8) с ядром (10). Затем по (6) вычисляется возвышение свободной поверхности ц ^ вне пластины |(\"| > а ^ При этом <7„ ^ определяется в (3). Считаем П„ = 0.

Низкочастотная асимптотика решения интегрального уравнения для амплитудной функции контактных напряжений (А ^построена в [1].

Проведена оценка погрешности точности решения интегрального уравнения для амплитудной функции контактных напряжений и даётся оценка погрешности определения амплитудной функции свободной поверхности.

Решение интегрального уравнения для амплитудной функции ^ : контактных напряжений при высоких частотах

В интегральном уравнении (8) сделаем замену переменных, положив х = ахг, и = ащ, А = уа. Тогда

б*У-р^Ьъ~У~т= -щ Ущ, я=р,

к ^ - Щ У= g € in - Щ У ж sin С ii - Щ У g С - щ 3= COS С iy - Щ У} <1 (1 -Щ У-

(11)

Поскольку i £= (){-у j при |l'| » 1 [9], то в

интегральном уравнении заменяем ядро К на приближенное К: К=ж$Тогда для <2 (приближенного значения контактных напряжений) имеем

Q iixx У -pgwi}xxy^=n:

у/2ж -

+ Ж jQ Ц/Щ ^in C«! COS„•

Jö iiu 1 З05^"! ™ ~У (12)

Jbr _i

1 _

Введём обозначения: (\ = jQf iju^os^u^^,

( \ = Jß» ituy >1 . Тогда интегральное урав-

(13)

ная Эйлера; С = 0,57721566; si ~ интегральный

г

гоп rSini 7 Ж ЖГ5Ш/ ,

синус [8J si%j=- J-dt =---1-J-dt.

нение (12) запишется в виде

= -pgw ах]

i ~][fÄC< Sln Ях1 +][f-

-ЛС2 cos Лх1 .

Таким образом, для определения амплитудной функции контактных напряжений ( под пла-

Подставив в (13) выражение для 0 из (12), получим систему уравнений относительно С1 и С

1

x

x

x

С\ =~Р8

1 > [л 1 >

jcos Хщ w ^-Л. —C1 jcos Сщ jin

-i

+ jcos$.uj^£osfaj d«1 . (14)

C2 = - pg jsin w aui ^щ-.—Л jsrn2 <Ц du1C1 + -i ' 2

+ J—Ä fsin^,u1^os^,u1^u1C2. V 2

Запишем систему (14) в виде

1

bx = -pg JcosCMi jM

+C2=b2,

. (15)

2 Д 2

b2 = -yCg Jsin ^Mj jy ^«i

Или

C1 +Aií yC2 = b1

+ C2 = b2

Вычислим основной определитель системы А0 и вспомогательные определители А] и Л2

Д0 = 1 - Л2 — . 0 2

(16)

А1 =

А2 =

bi К

b2 1

1 b

b-

= b1- b2^ ,

= b2~ .

(17)

Тогда

. b, -Ь?Л.\— . c _ At _ 1 2 V 2 c Aj.

1 До ' 2 An

Ь2-ЬХЛ

\-л2Л-

(18)

, 1 . . i«=i

Oj = — pgw aux — sin Ли1

[ч ' z sin /л] ,

Л

(19)

b2= pgwiiu-^cos^M^^ -pg\ л 1 Я

.

Из (19) следует, что ^ =0(щ), ¿>2 =0

/ \ 1

. Тогда

/ \

И

UI 00 .

из (18) следует, что Сг = 0(гт), С2 = О

Щ

Таким образом, формулы (13)-(19) определяют приближенные значения амплитудных функций контактных напряжений для каждого фиксированного значения х, < а ^

Интегральное уравнение (11) решаем по итерационной схеме

а^О (20)

= -4= \QtPttUi ^ X - Щ = 6 ^

42ж -I

За нулевое приближение примем () ^ б*1-^ ^=<2 С*^ Функция О (¡х] , определяется формулами (13)-(19).

Точность решения интегрального уравнения относительно контактных напряжений

Оценим точность решения интегрального уравнения (11). Об оценке точности решения можно судить по невязке - неточности (погрешности) решения исходной задачи при замене искомых величин их приближенными значениями. В частности, о точности решения интегрального уравнения (11) будем судить по той погрешности 3 (невязке), которая возникает при замене в интегральном уравнении (11) искомой величины её приближенным значением <2 {¡хх _ из (13). Имеем

6 >= -р®» (21)

2 2 Приближенное выражение для Q (ix} ^ имеет вид (13). Оценки величин bx и b2 находим интегрированием по частям, полагая

COsC^l = — í^sin И sin J= —- dCOS^Ml

Л Л

I— ¡Q^u íHCXi-Mi^-^-sinCXi-Mi^M. <1л -i

Подставив в (21) выражение для Q из (13), находим невязку S

3 = —4= Jß^Hi jíCCi-Wi j^Wi, Л = уа, i]2 л _i

7 = С2 ~~ ^ßJjS ■> |xi | - 15 К | - 1 • (22)

z = аи

2

Будем считать |Я|»1 (высокочастотная асимптотика) и воспользуемся асимптотическим представлением функции g ^ при Ы »1 [9]:

* 1

—Т

, 3! 5! 7!

z z z

(23)

о

t

s > 71 rSin/ ,

siw =---h -dt.

2 J t 2 о '

V2t

¿ = -

-1 X^^ Xi+S

F <*i3= Q Hos 4 У 4 У sin 4 ß 4 У

(24)

F<r~ QilUl^

Я - Mj ^

x-icos + ln cos^i dt

u1 е -1, X1—s , щ е X; + г, 1

-sin Z

> Я" rSin/ , ,--+ -dt

2 J t

2 о '

Рассмотрим в (24) интервал

Jß^Mj ]]cos^ jC + ln^J-J^^—-üfe

-sin <

s 7Г fsm t ,

,--+ -dt

7 t 2 0 1

ление первых трёх из них. Сделаем на этом интервале замену переменной интегрирования, положив

Л = (26)

Чтобы заменить в (22) функцию »^ . г - — //1 ^ её асимптотическим представлением (23), выделим бесконечно малую е -окрестность переменной щ, внутри которой аргумент г может обращаться и в нуль.

В этой г-окрестности функцию заменим

её интегральным представлением, воспользовавшись интегральными представлениями для функций с/^ и жг^ [8]: с/'^У С + Ы(г)+ —,

Хщ

= J\pgw4i-u2~]y + ^u2y J C°St 1 dt

cos

J^M2 •

Вычислим первый интеграл в (26), положив cos $и2 ~У ~ d sin $и2 ^ Имеем

J„ =■

Л

-Pg

А

Pg s! d

sin См 2 Jf^l u2

C-

+ J-W —u2 ^in CM2 ^U2C.

Я _e du2

Или

Jn =~PS

sinfe^ d > sin

Здесь С - постоянная Эйлера [8]: С = 0,5772156649...

В окрестности щ = X] заменим функцию § ^ её интегральным представлением, а вне этой окрестности заменим функцию её асимптотическим представлением (23). Имеем

1 +£ 1 Щ1 + | ^ Щ1 + щ1

--^af |w'U2jinCu2 du2 C = o

VI IУ

Порядок малости остальных интегралов (25) оценивается аналогично.

Сравним порядки малости при |Я| —»со значения интеграла на отрезке ^ — с. х, +/;_ со значениями интегралов на отрезках [-1, х1-е_ и ^ +■?. 1 _. на которых использованы асимптотические представления функции g(г) при больших по модулю аргументах г. Чтобы на концах указанных отрезков аргумент функции g(г) оставался большим по модулю, необходимо, чтобы выполнялось условие

|Ле|»1. Оно выполняется при |£|=|Я| 0 < V < 1,

1

например, при |^| = |Я| 2. Тогда уравниваются порядки малости асимптотического разложения функции g(z) при || —> оо и отбрасываемого интеграла по £ ОКреСТНОСТИ ТОЧКИ Щ = Х|.

Таким образом, показано, что вклад бесконечно малого интервала не нарушает общности общей малости величин |с>|, которая согласно (24) имеет

>du1, z-Я^ Mj . (25) порядок О

М

>1.

В (25) вместо <2 С1"] , подставим его выражение из (13)—(19). В результате перемножения слагаемых в <2 и интегрального представления

функции gi на интервале

X &, Xi + s

из (24)

получим пятнадцать интегралов. Проведём вычис-

Определение возвышения свободной поверхности вне пластины

Возвышение свободной поверхности вне пластины находим из формулы (7) при |х| > а. Учтём формулы (3). Имеем

z

о

Щ=Ь

II;- t;

о

X &, X| ~г s

о

Хл-Е

1 Г

а

(27)

-и du.

(28)

4ъг рё:а

Функция К (у) описана в (10). В формуле (27) заменим функцию 0„(у) на её приближенное выражение <2(и), а К (у) - на К (у), равное тгяп^^В результате получаем приближенное выражение г] X JЩя возвышения свободной поверхности //X ,

>7 О—7=— ЪОвтХС-г

Входящая в (28) функция 0 (и) описана формулой (20).

Формулы (13)-(19) и (28) дают высокочастотное решение задачи о колебании пластины на поверхности жидкости и определяют контактное напряжение под пластиной < а и возвышение свободной поверхности вне пластины > а >

Литература

1. Потетюнко Э.Н. Низкочастотное асимптотическое решение задачи о волнах, вызванных вибрацией пластины, лежащей на поверхности жидкости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2014. № 1. С. 37-41.

2. Потетюнко Э.Н. Волновое движение жидкости со свободными границами. Ростов н/Д., 1993. 318 с.

3. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М., 1977. 816 с.

4. Трепанее В.В. Влияние геометрии барических возмущений на характеристики капиллярно-гравитационных волн // Теоретические и экспериментальные исследования поверхностных и внутренних волн. Севастополь, 1980. С. 55-64.

5. Трепанее В.В. Асимптотический анализ движения жидкости, вызванного возмущениями на её границах : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д., 1985. С. 95-114.

6. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля. М., 1973. 328 с.

7. СнеддонИ.Н. Преобразования Фурье. М., 1955. 667 с.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 4-е. М., 1962. 1100 с.

9. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., 1973. 832 с.

References

1. Potetyunko E.N. Nizkochastotnoe asimptoticheskoe re-shenie zadachi o volnakh, vyzvannykh vibratsiei plastiny, lez-hashchei na poverkhnosti zhidkosti [Low-frequency asymptotic solution of the waves caused by the vibration of the plate lying on the surface of the liquid]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Es-testv. nauki, 2014, no 1, pp. 37-41.

2. Potetyunko E.N. Volnovoe dvizhenie zhidkosti so svo-bodnymi granitsami [The wave motion of a fluid with free boundaries]. Rostov-on-Don, 1993, 318 p.

3. Sretenskii L.N. Teoriya volnovykh dvizhenii zhidkosti [Theory of wave motions of fluid]. Moscow, 1977, 816 p.

4. Trepachev V.V. Vliyanie geometrii baricheskikh vozmushchenii na kharakteristiki kapillyarno-gravitatsi-onnykh voln [Influence of the geometry of the pressure disturbances on the characteristics of the capillary-gravity waves]. Teoreticheskie i eksperimental'nye issledovaniya poverkhnostnykh i vnutrennikh voln [Theoretical and experimental studies of surface and internal waves]. Sevastopol, 1980, pp. 55-64.

5. Trepachev V.V. Asimptoticheskii analiz dvizheniya zhidkosti, vyzvannogo vozmushcheniyami na ee granitsakh: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [The asymptotic analysis of fluid motion caused by disturbances on its borders]. Rostov-on-Don, 1985, pp. 95-114.

6. Khaskind M.D. Gidrodinamicheskaya teoriya kachki ko-rablya [Hydrodynamic Theory of a pitching ship]. Moscow, 1973, 328 p.

7. Sneddon I.N. Preobrazovaniya Fur'e [Fourier transforms]. Moscow, 1955, 667 p.

8. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii [Tables of integrals, sums, series and products]. Vol. 4. Moscow, 1962, 1100 p.

9. Abramovits M., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam [Handbook of mathematical functions]. Moscow, 1973, 832 p.

Поступила в редакцию

10 июля 2015 г.