Численное решение задачи о колебаниях пластины на свободной поверхности весомой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 519

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ НА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ

© 2008 г. И.И. Ефремов, Е.П. Лукащик

Кубанский государственный университет, 355040, Краснодар, ул. Ставропольская, 149 rector@kubsu. ru

Kuban State University, 355040, Krasnodar, Stavropolskaja, St., 149, rector@kubsu. ru

Предложены методы численного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений задачи о колебаниях недеформи-руемой пластины на свободной поверхности весомой жидкости для произвольных значений частот. При предельно малых и больших значениях частот полученные численные данные сравниваются с известными аналитическими решениями.

Ключевые слова: численное решение, колебание пластин, свободная поверхность, весомая жидкость.

In this paper there are proposed the numerical methods to solve singular and hypersingular integral equations for problem about the oscillations of solid plate at free surface of heavy fluid for arbitrary frequencies.

In case of low or high frequency obtained numerical results were compared by known analytic solutions.

Keywords: numerical solution, the peate oscilation, free surface, heavy fluid.

Постановка задачи о колебаниях недеформируемой пластины на свободной поверхности бесконечно глубокой идеальной весомой жидкости рассматривалась рядом авторов [1—4]. В [3] получено аналитическое решение для малых частот на основе интегрального уравнения 2-го рода относительно давления жидкости на пластину, а также решение в предельном случае невесомой жидкости с бесконечной приведенной частотой, совпадающее с решением Л.И. Седова [5]. В [4] построена зависимость амплитуды суммарного давления жидкости для произвольных частот, полученная на основе численного решения задачи о колебаниях погруженной пластины при //—»О. Расчет строился на основе решения сингулярного интегрального уравнения 1-го рода относительно скачка касательных скоростей вдоль пластины. Однако задача расчета распределения давления для произвольных значений частот пока не решена в полной мере.

В статье предложены методы численного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений задачи о колебаниях недеформируемой пластины на свободной поверхности весомой жидкости для произвольных значений частот. При предельно малых и больших значениях частот полученные численные данные сравниваются с известными аналитическими решениями.

Постановка задачи

Рассматривается безвихревое течение идеальной несжимаемой весомой жидкости, занимающей полуплоскость у < О, вызванное колебаниями пластины на ее свободной поверхности. Амплитуды гармонических колебаний пластины и вызываемых ими поверх-

ностных волн предполагаются малыми по сравнению с длиной пластины 2а. Полудлина пластины в дальнейшем принята за единицу длины, а = 1. Зависимость величин от времени берется в виде множителя

t' "'" к соответствующей комплексной амплитуде. Амплитуда потенциала течения <р(х, у) должна удовлетворять в нижней полуплоскости уравнению Лапла-

д2ср д2ср са —+—¿- = 0.

дх2 ду' Граничные условия: - непротекания

.2

пластины

У = И"(х),х < 1 .

дер ¥

= -iajw(x),y = 0,|х| < 1;

- постоянства давления на свободной границе и ее непротекания

2

-со cp + gcpy ~ 0, у ~ 0,|х| > 1; - на бесконечности по глубине <р

гт

Л

0. у - —со. из-при х—»+GO, где

лучения <р(х,у) = С±е сг> О,С+ - ограниченные константы.

Выполнение условий бесциркуляционности течения на острых кромках и отсутствия вихревого следа ^£>(+1,0) = (р(—\.0) = С < со обеспечит единственность решения поставленной задачи.

Интегральные уравнения

Предполагая, что условия существования интеграла Фурье выполнены, введем образ Фурье комплексной амплитуды потенциала

Реакция жидкости на колебания пластины проявляется в виде избыточного давления на нижнюю сторону пластины р(х) = ¡охр(х,{)_ ). где р(х) - финитная

функция, определенная на компакте [-1,+1].

Введем также еще одну финитную функцию /(х) =—<рх(х,0_),|х|<1 и две обобщенные функции

как образы Фурье финитных функций

+1 +1 Р(а)= \р(х)е2*йх,ТК('У \ г^Згах<1х. -1 -1 Далее рассмотрим в общем разрывную функцию

\wfxj, |х| < 1|

\г](х), |х| > 1 [

где т](х)— отклонения свободной поверхности от невозмущенного уровня

Фурье-образ Ф(а, у) является решением краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка

w(x) =

d2 ф dy2

-а2 Ф = 0,

с краевыми условиями:

о

- а> Ф(а,0_) + «Ф= icaP(a),

(1)

(2)

+1

P{a)v\c

■ = рсо W{a),

T(a)vsign(a)

= -icoW{a). (3)

где v = o) Ig, a I (a) связана с Pia) соотношением

Г (а) =

аР(а)

ра>

Заметим, что Г(0) = \у{ху!х = <р(+\,0) - <р(-\,0) = 0.

-1

Данное соотношение соответствует бесциркуля-ционности течения и отсутствию вихревого следа (/ ^ - интенсивность вихревого слоя, моделирующего колеблющуюся пластинку).

Обратное преобразование Фурье второго из соотношений (3) приводит к интегральному уравнению 1-го рода

+1

| - = -г'елфО,И ^ 1, (4)

-1

Здесь

к(х) = F 1 [К(а)](х) = —\К(а)е iœcda, 2п s

. v-signifie) „

К (а) =-^-j—:—, S - контур, который обходит отри-

i(v - \а )

цательный полюс сверху, а положительный - снизу.

Функцию ядра к(х) можно записать в явном виде

к(х) = V • я§и(х)(У ^ _ 1 /(>|х|)), ВД /(*) = а (г) х

хаП^-Я^СОв^) [6].

Ядро к(х) при всех конечных значениях V и |х| < 2 в пределах пластины особенностей не имеет,

но при V —»оо (что соответствует большим частотам и уменьшению роли весомости) ядро приближается к 1

ядру Коши к(х) > —

л-х

Применив обратное преобразование Фурье к первому из соотношений (3), получим интегральное урав-

1

нение J р(^У(х - Ç)dÇ = pa>2w(x), |х| < 1, -1

т-lf

где

va

Фу(а,0_) = -ш№г(а), 1Г(а)= \w{x)elaxdx,

-1

Ф —> 0, —> —оо.

Общее решение уравнения (1) ищем в виде

Ф(сс,у) = Ае\а\у.

Удовлетворяя краевым условиям (2), приходим к функциональным соотношениям

1(х) = Р — Ца) = -

2п ^ \а\ - V

Обратное преобразование Фурье здесь понимается в обобщенном смысле, поскольку условия леммы Жордана не выполнены, но интеграл по мнимой оси, являющейся линией разреза для двузначной функции \а\, существует как несобственный.

В итоге функцию ядра 1(х) можно представить выражением l{x) = v2{iela^+ — g{v\y^)) + vS{x), где

7Г

g(z) - -а'(г)со8(г)-57(2)ап(г).

Указанные в ядрах к(х) и 1(х) функции /(г) и g(z), содержащие интегральные синус и косинус, описаны в [6, с. 59-60]. Согласно [6], ядро 1(х) в точке х = 0 имеет при всех конечных значениях V логарифмическую особенность, а при V —»оо ведет себя

как гиперсингулярное /| (х) —>--——.

Л-V-X

Важно также отметить равенство 1(х) = к'(х), что

соответствует соотношению между образами по Фурье этих обобщенных функций. Отмеченное поведение данных функций при также v —> со соответствует предельным значениям при а —> оо их Фурье-образов Ыа) и К(а) [7].

После решения интегральных уравнений можно вычислить суммарную силу давления на пластину и коэффициент нормальной силы

nN=-

N

1

—г

+1

рсо

\pix)dx = — \ÇyiÇ)ds.

pm -1 G> -1

Приближенные аналитические решения

Первое соотношение из (3) можно представить в виде

Pia)

Pia) + vT-^- = -pgWia).

a - v

(5)

Положив 1' = О. получим самое простое предельное гидростатическое решение р(х) - -pgwix).

Для плоской w(x) - w0 пластины в этом случае приходим к простой предельной формуле 2

cN =--w0 .

V

Выражение (5) после выполнения обратного преобразования Фурье приведет к интегральному уравнению 1

2-города[3] р(х) + ¡pi^ix-^dÇ = -pgw(x)\^<\. -1

^ iax II 1

h(x) = T-ln—da = v(>e'a +—gHx|))- (6)

2ж s \a \-v n

При сохранении в ядре х) только первого слагаемого, т.е. вклада от действительных полюсов (что представляется допустимым при малых v ), в [3] получено интегральное уравнение

p{x) + iv J= -ycg-w(x),|x| < 1. -1

В [8] показано, что (6) равносильно краевой задаче для дифференциального .2

уравнения р

+ р' + 1\р = -р%{ч>' + 1т>), х = —1, р' -гур = - г х = 1.

Решение данной краевой задачи при и'(х) = иу, получено в [3] и имеет вид 2ск\х

v2 р =

ö = pgwQ(X —

(7)

формулам у(х) = -

л/Г

X

(например, дискретных вихрей [9], А.А. Корнейчука [10], Мультгоппа-Каландия [11]) пригодны для решения и неособых (фредгольмовых) уравнений. Для примера можно показать, что уравнение (4) достаточно точно решается методом дискретных вихрей. Поэтому целесообразно применять дискретизацию с учетом сингулярности на всем диапазоне изменения приведенной частоты.

Например, метод дискретных вихрей приводит к системе линейных алгебраических уравнений вида

2 "

i = 1,« —1,

У

S г г 0= 7=1 J

Зч 4

4 2«-Г J 4 2«-Г

После определения у j можно вычислить коэффи-

циент нормальной силы cn

П(0 j = \

Е .v . V J

Численное решение гиперсингулярного уравнения (6) будем строить на основе формулы Адамара -Манглера [12].

(8)

^ , 1 р{£) Л£П 2р{х)л

х-е

= lim {[ J

а (х-#)2 х+Лх-^У В

Формула (8) позволяет при вычислении гиперсингулярных интегралов формально пользоваться формулой Ньютона-Лейбница. В итоге приходим к простой системе линейных алгебраических уравнений " 2 1 = 1

Ъ

■dÇ+ J

ску + мй V

С уменьшением V область пригодности данного решения растет от середины пластины к кромкам.

Другой предельный случай невесомой жидкости £ —» 0, V —> со удобнее рассмотреть на основе интегрального уравнения (4), которое принимает вид

- \^Щаг=1<т(х\ ы<1.

Применение формул обращения интеграла типа Коши в классе функций, имеющих особенность интегрируемого порядка на кромках, с учетом бесциркуля-ционности течения для плоской пластины приводит к

— 1СМ>п -X , ч 2 /, 2

и , р(х) = -ра>гм>0^ 1-х2 ,

2 п

п

На основе полученных результатов коэффициент нормальной силы вычисляется по формуле 2

cn

2

которые полностью соответствуют результатам Л.И. Седова [5] и Э.Н. Потетюнко [3].

Численный метод и результаты решения

Анализ поведения ядер позволяет отобрать для решения интегральных уравнений более эффективный способ дискретизации и численный метод.

Выше уже отмечалось, что ядро к(х) является гладкой функцией для всех конечных значений V , но при V —»оо становится сингулярным.

Заметим, что свойство предельной сингулярности ядра начинает сказываться уже при приведенной частоте V порядка 1. Кроме того, следует учесть, что методы решения сингулярных интегральных уравнений

ПрСО ]=1

Зависимость сдт/м-^ =ст +гслг2 от приведенной частоты для плоской пластины показана на рисунке. Результаты расчетов на основе интегральных уравнений на графиках неразличимы. Пунктирной линией показана зависимость, полученная на основе аналитического решения (7)

2^2 V

см = - С1----;-—г~>о •

v v chv + i ■ shv В данной работе представлены некоторые варианты численных алгоритмов расчета нормальной гидродинамической силы реакции весомой жидкости на гармонические колебания плавающей на ее свободной поверхности недеформируемой пластины.

Полученные результаты в предельных случаях малых и больших приведенных частот колебаний качественно согласуются с соответствующими аналитическими решениями [3, 5].

Представленные численные алгоритмы допускают обобщение на случай упруго-деформируемой пластины.

x

2 4 6 S 10

Зависимость См(у) от приведенной частоты Литература

Поступила в редакцию_

1. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля. М., 1973.

2. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости областей. М., 1977.

3. Потетюнко Э.Н. Вибрация пластины на поверхности идеальной жидкости бесконечной глубины // Докл. РАН. 1994. Т. 334. № 6. С. 712-715.

4. Ефремов И.И, Иванисова О.В. Колебания пластинки под свободной поверхностью весомой жидкости // Тр. XXII Междунар. симп. МДОЗМФ. Харьков, 2005. С. 140-144.

5. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., 1966.

6. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Аб-рамовица, И. Стигана М., 1979.

7. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М., 1976.

8. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. М., 2003.

9. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М., 1985.

10. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Вычислительная математика и математическая физика. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. Доп. к журн. 1964. Т. 4. № 4. С. 64-74.

11. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М., 1973.

12. Эшли Х., Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. М., 1969.

13 ноября 2007 г.