Колебания тонкой пластинки на слое сжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6

КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНКИ НА СЛОЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

© 2006 г. И.И. Ефремов. Е.П. Лукащик

In work the results of researches of aerodynamic forces of reaction of a layer of an ideal compressible fluid on the given oscillations of plate have been submitted.

To calculate approached values of proper frequencies of oscillations of a plate, the formulas have been obtained at small and large values of thickness of a layer of a compressible fluid.

Введение

Рассматривается задача определения аэродинамических сил реакции слоя идеальной сжимаемой жидкости на заданные колебания недеформируемой пластинки. Амплитуды колебаний пластинки предполагаются малыми по сравнению с длиной пластинки 2а и толщиной слоя жидкости h (ширины канала). Полудлина пластины в дальнейшем принята за единицу длины, а=1.

Задача о собственных колебаниях пластинки в канале изучалась С.В.Сухининым [1]. В данной работе рассматриваются вынужденные колебания системы «пластинка - слой сжимаемой жидкости».

Постановка задачи

Безвихревые течения сжимаемой жидкости описываются волновым уравнением

д 2р д2р 1 д 2р „

- +--Ь + —--:т = 0, где с - скорость звука. Вво-

дг2 дуг

дя комплексную амплитуду потенциала скорости

р( г, у, /) = р( г, у)е10°, приходим к уравнению Гельм-

2 2 ч д р д р 2 гольца (черточки опущены) —— +--— + v р = 0, где

.2

c 2 dt2

дг2 ду

V = ~ приведенная частота. Граничные условия:

непротекание профиля -др = Уу (г), у = 0, |х| < 1;

ду

постоянство давления на свободной верхней границе слоя р = 0, у = 0, |г| > 1; непротекание нижней твердой границы ру = 0, у = ^ ; излучение

2

±lvx

р( x, y) = C±e ные константы.

при x ^ где C± - ограничен-

Основное интегральное уравнение

Реакция слоя сжимаемой жидкости проявляется в виде избыточного давления на нижнюю сторону пластинки р( г) = 1ор( г,0_).

Предполагая, что условия существования интеграла Фурье выполнены, введем образ Фурье комплексной амплитуды потенциала

+Г

Ф(а, у) = ^ [р(г, у )](а, у) = р(г, y)e'аdx.

Для Фурье-образа Ф(а, у) получим краевую задачу для дифференциального уравнения 2-го порядка

d 2Ф dy 2

- (а2_у2)Ф = 0,

(1)

с краевыми условиями

1®Ф(а,0_ ) = Р(а) = J p(x) e

iax

_1 +1

Ф y (а,0_ ) = V (а) = Jpy (x,0_ ) e

dx,

1а x

dx,

(2)

Фy (а, h+ ) = 0.

Общее решение уравнения (1) ищем в виде

Ф(а,y) = Ach(Vа2 _v2y) + Bsh(4а2 _v2y).

Удовлетворяя краевым условиям (2), приходим к соотношению

Р(а)4а2 _v2

-th(h-J)

а2 _v2) = V(а).

(3)

Введем новую неизвестную финитную функцию

др +1 Y(x) =—-(x,0_). Ее Фурье-образ Г(а) = \y(x)eiœcdx dx _1

связан с Р(а) соотношением Г(а) =

аР(а)

+1

Заметим, что Г(0) = г)Дг = 0, что соответству-

_1

ет бесциркуляционности течения и отсутствию вихревого следа (/(г) - интенсивность вихревого слоя, которым можно заменить колеблющуюся пластинку). Соотношение (3) преобразуется к виду

Г(а)

v2th(Wа2 _v2) = V(а).

Обратное преобразование Фурье приводит к интегральному уравнению

1 +1,4 л+Гд/а2 _. , -] Y(s)ds ] -т

2П

а

(Wа2 _v2)e"а(x_s)da =

= Vy (x),|x| < 1. (4)

Для вычисления ядра интегрального уравнения (4)

1

k ( x) = -1- J

2т

2 v2 I-

—th(h\ а2 _ v2 )e~laxda =

а

1

= — |К(а)е lаxdа воспользуемся теорией вычетов.

Спектральная функция ядра К (а) имеет 2 особенности

1)limK(а) = ^^ ;

2) на действительной оси могут появиться полюсы

ат =±"

2m _ 1

2n

-л. ат <v.

(О

i

1

—оо

+<Ю

Первая особенность означает, что ядро к(х - s) вблизи ведет себя как ядро Коши

к0( х - ^ =--—.

2п х - s

Второе обстоятельство требует деформирования контура интегрирования в виде обхода действительных полюсов.

Для одновременного удовлетворения условиям излучения следует обходить отрицательные полюсы сверху, а положительные - снизу [2]. При этом положительные действительные полюсы соответствуют волнам, уходящим в сторону отрицательной оси Ох, и наоборот.

Полюс в точке а = 0 может быть отнесен либо к положительным, либо к отрицательным.

Хотя условия леммы Жордана не выполнены, но основную теорему о вычетах все же можно применить, рассматривая соответствующие интегралы Фурье в обобщенном смысле [3].

В итоге получаем формулу для вычисления функции ядра

Ьт 2 е

к (X) =

- Е

sgn X

м

V2 -bm2 IX

2.2 m=1 V - bm

-V -bm¿

22 m=M+1 V - bm

где bm =

2m -1 2n

m, М - число действительных полю-

сов на правой полуоси Rea > 0.

Численный метод и результаты решения

Для численного решения следует произвести дискретизацию задачи методами решения сингулярных интегральных уравнений: дискретных вихрей [4], А. А. Корнейчука [5], Мультгоппа-Каландия [6] или иными [7]. Например, метод А. А. Корнейчука приводит к системе линейных алгебраических уравнений вида 1 N

— Е Y j sin в jk(cos (p¡ - cos в j) = Vy (cos cp¡),

j=1

N

i = 1, N -1, ЕГ; sin 0 j = 0, j=1

m n 2 j -1

= —, -0/ =—-m .

N J 2N

После определения можно вычислить коэффициент нормальной силы

+1 д +1 х

Сп =|р(х)Сх = — | Сх\Y(s)ds = -1 9 -1 -1

д +1 +1 --|sy(s)ds = ¡а |sy(s)ds.

9 -1 -1 Зависимость |Сп| от приведенной частоты (рисунок)

носит немонотонный характер, что свидетельствует о наличии у системы пластинка-слой собственных частот колебаний.

ICJ

h =0.2

- - h =0.5

----h =1

i ■

í'l т i i

\у

- s \ V

-г

-г

Зависимость \cn\ от приведенной частоты при разных толщинах слоя

n

2

b

X

m

Разумеется, задача о собственных частотах колебаний является предметом особого исследования. Общий и математически строгий подход к решению данной проблемы предложен С.В.Сухининым [1], где

реализован также один из возможных алгоритмов, основанный на применении метода Р.Миттра [8].

Асимптотика малых к

Приближенные значения собственных частот можно определить с помощью упрощенных математических моделей. Для этого рассмотрим соотношение (3) при малых к.

Воспользовавшись приближенным равенством

th(h

V2):

iW а2-v2 + O(h2), 22

запишем кР(а)(а2 _v2) и 1оУ(а), что в пространстве оригиналов приводит к дифференциальному уравнению

d 2 p 2

dx

+ v p = -irnVv(x).

(5)

Краевыми условиями являются условия ограниченности давления на кромках пластинки

р(_1) = р(+1) = 0. (6)

Краевой задаче (5), (6) соответствует задача колебаний в вакууме цилиндрической мембраны, закрепленной по кромкам. В случае симметричных колебаний Уу = 1ок0, собственные частоты

2т -1

2

п.

(7)

Для антисимметричных колебаний Уу = 1оа0 г, vn = пп.

Как видно из полученных формул, при малой толщине слоя собственные частоты не зависят от к.

В действительности, конечно, собственные частоты хотя и слабо, но зависят от отношения толщины слоя к длине пластинки.

Для колебаний пластинки на акустической полуплоскости (к —^ г ) также можно получить упрощенную математическую модель с помощью приближен-

ного соотношения

Г~2 2 ■ - а

■\1а -v

1

-iv(1--2) + o( ).

2v 2 v

Тогда соответствующее дифференциальное уравнение будет иметь вид d 2

р- + 2v2р = _2v2Уy (г).

Отсюда собственные частоты для пластинки на полуплоскости можно оценить (для симметричных

колебаний) по формуле vгn = 2П п, т.е. в случае

2л/2

полуплоскости vaon в VI раз меньше частот колебаний vn при предельно малых толщинах, что и подтверждается сравнением с графиками, приведенными в [9, 10].

Можно предположить, что смещение резонансных пиков влево по частоте при увеличении толщины слоя связано с ростом демпфирования. Приближенные значения собственных частот для малых толщин слоя (7) соответствует предельному случаю отсутствия демпфирующих сил.

Литература

1. Сухинин С.В. // Прикл. мех. и техн. физ. 1998. Т. 39. № 2. С. 78-90.

2. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979.

3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М., 1976.

4. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М., 1965.

5. Корнейчук А.А. // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. Доп. к журн. «Вычислительная математика и математическая физика». 1964. Т. 4. № 4.

6. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М., 1973.

7. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Казань, 1994.

8. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М., 1974.

9. Хаскинд М.Д. Колебания крыла в дозвуковом потоке газа // ПММ. 1947. Т. XI. Вып. 1.

10. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., 1966.

dx

2

Кубанский государственный университет

20 декабря 2005 г.

V =

2