Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.392

И. В. Бойков, Д. В. Тарасов

ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВИБРАТОРА

Предложены численные методы решения уравнений Поклингтона и Галлена, являющихся основным аппаратом моделирования электрических вибраторов конечной длины. Получен новый класс гиперсингулярных интегральных уравнений и проведено сравнение результатов моделирования электрических вибраторов гиперсингулярными интегральными уравнениями и уравнениями Поклингтона и Галлена.

Введение

Основным математическим аппаратом, применяемым при моделировании электромагнитных процессов в электрическом вибраторе, являются ин-тегродифференциальные уравнения Поклингтона и Харрингтона [1] и интегральное уравнение Галлена [1]. В последнее время к исследованию этих процессов привлекаются также сингулярные интегральные уравнения [2].

В качестве численных методов для решения уравнений Поклингтона и Галлена привлекается, как правило, метод моментов и его модификации.

В данной работе выводится гиперсингулярное интегральное уравнение, описывающее бесконечно тонкий электрический вибратор, предлагается и обосновывается численный метод его решения. Помимо этого, в работе предлагается несколько численных методов решения уравнений Поклингтона и Галлена и проводится сравнение полученных численных результатов.

1 Постановка задачи

Простейший электрический вибратор представляет собой цилиндрический проводник длиной /i +12 (далее в работе рассматривается симметричный вибратор, т.е. /1 = /2 = /) и радиусом а, питаемый генератором высокой частоты. Под воздействием ЭДС V генератора в вибраторе возникают электрические токи, которые распределяются по его поверхности таким образом, что возбуждаемое ими электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла, которые в дифференциальной форме записываются в виде

• •

—* — -э

rot Hm = /юе Em + jm,

<

• • •

rot Em = ~iOi[xHm - jm, где Em - вектор комплексной амплитуды напряженности электрического поля; •

H m - вектор комплексной амплитуды напряженности магнитного поля; е - диэлектрическая проницаемость среды; ц - магнитная проницаемость

среды; jm - вектор комплексной амплитуды объемной плотности сторонне-

го электрического тока; ]т - вектор комплексной амплитуды объемной плотности стороннего магнитного тока.

Кроме того, возбуждаемое электромагнитное поле должно удовлетворять граничным условиям на поверхности проводника и условию излучения на бесконечности.

Полное электромагнитное поле вибратора в любой точке внешнего

пространства может быть определено электрическими J и магнитными J токами, распределенными по замкнутой цилиндрической поверхности, окружающей вибратор. Вследствие осевой симметрии возбуждения вибратора электрический ток на боковой поверхности проводника имеет только продольную составляющую J|, а в торцевых поверхностях - радиальные составляющие Jp . Магнитный поверхностный ток имеет только азимутальную

составляющую J(M.

Внутренняя задача теории вибратора состоит в нахождении функции распределения эквивалентных электрических и магнитных токов по продольной координате г. В простейшем случае для вибраторов малой толщины внутренняя задача сводится к интегральному уравнению Галлена.

При построении физической модели тонкого вибратора используются следующие предположения [1, 2]:

1) рассматривается случай тонкого вибратора ( 21 >> а ), и предполагается, что длина волны X значительно больше радиуса а (Х>> а);

2) поверхностные электрические токи JZ и магнитные эквивалентные токи J(M заменяются расположенной на оси вибратора бесконечно тонкой

нитью непрерывного тока 1г (г) = 2га^| (г), обращающегося в нуль на концах вибратора;

3) поле излучения вибратора не зависит от ф (в цилиндрической системе координат (г,р,ф)) и определяется составляющими Ер, Ег, Нф.

Сформулированные предположения математической модели тонкого электрического вибратора приводят к уравнению, связывающему векторный потенциал распределения токов 1г (г) и касательную составляющую вектора

напряженности электрического поля Ег (г). Данное уравнение представляет собой интегральное уравнение Поклингтона [1, с. 222]:

+ Р2 111г (г')Є(г - г')<3г' = -іює0єЕг (г),

-I

(1)

где 1г (г ) = 2'юaJэz (г), О (г - г') - функция Грина,

(2)

Наряду с уравнением Поклингтона многими авторами используется уравнение Галлена [1, с. 222]:

J Iz (V)G (z - z')dz' = A cos Pz + sin Pz - sin p| z|, (3)

-l

где А и В - произвольные константы, определяемые из граничных условий

обращения тока в нуль на концах вибратора; W = .

юе

Уравнение Поклингтона в виде (1) является при a > 0 интегральным уравнением первого рода. Интегральные уравнения первого рода являются некорректными, и их решение требует регуляризации [3]. В физическом отношении уравнение Поклингтона также является некорректным, т.к. вибратор моделируется бесконечно тонкой нитью, а в уравнении (1) присутствует параметр a (a > 0). Поэтому представляет интерес модификация уравнения Поклингтона, в которой a = 0 .

Замечание. Подробный анализ некорректных в физическом отношении задач радиотехники и связи содержится в работе [2].

2 Гиперсингулярные интегралы

Определение гиперсингулярных интегралов было введено в работе Адамара [4], и подразумевало выделение в интеграле конечной части. Позднее Чикин [5] объединил определения конечной части интеграла, данное Адамаром, и интеграла в смысле главного значения по Коши.

Нам понадобится следующее определение гиперсингулярных интегралов.

Г ф(т)

Определение 1. Конечной частью интеграла I т, -1 < с < 1, на-

J т-с

т-с -11 1

зывается предел

1 ф(т)

Г d т= lim

-1 т-с л^0

С-^ф(т) 1 ф(т) . . | ,

Г , ,d т+ J ^ d т-f (^)ln |л-с|

J т-с •’ т-с

-1 1 1 с+г|1 1

где функция / (^) удовлетворяет следующим условиям: 1) имеет непрерывные производные до (р -1) порядка в окрестности точки с ; 2) предел существует.

3 Приближенное решение уравнения Поклингтона

При сделанных в разд. 1 предположениях электромагнитные процессы в электрическом вибраторе описываются уравнением Поклингтона

Г д 2 ^ 1

2 + Р2 II^ (2')° (2 - *)&’= / (г), - < г < I. (4)

Л ) -I

Здесь а - радиус цилиндра, которым заменяется бесконечно тонкая нить. Отметим, что в уравнении (4) естественно считать -Ь < г < Ь, где Ь > I, и положить

11г (г )в(±Ь - г )&' = 0.

-I

Так как в уравнении (4) ядро G (г) является бесконечно дифференцируемой функцией всюду, за исключением точек г = ±/а, то в левой части этого уравнения операторы дифференцирования и интегрирования перестановочны.

В результате имеем

I

I И(-т) (т)б/т = /(), (5)

-I

. Э2G (г-т) 2

где И (-т) =---------Ц—- + Р G ( -т).

дг

Введем функцию

( \1г (<), «ф/,/],

и (г) = < и [о, г е[-/, I ].

Учитывая, что функция И (г -т) определена на всей числовой оси, интегральное уравнение (5) эквивалентно следующему

I И (г-т)и (т) т = / (г). (6)

—^

Для решения данного уравнения воспользуемся преобразованием Фурье. Напомним, что прямое преобразование определяется формулой

1 Г

^(ю) = I /(т)е ЮУ1ёт, а обратное преобразование - формулой л/2л

л/2й

—^

Применяя преобразование Фурье к уравнению (6), имеем

у[2пи (ю)Н (ю) = ^ (ю), (7)

где и (ю), Н (ю), ^ (ю) - преобразования Фурье функций и (г), И (г), / (г) соответственно. Преобразование Фурье Н (ю) может быть представлено в следующей форме:

Н (ю) = -ю2^ (ю) + р2^ (ю),

где G(ю) - преобразование Фурье для функции G(г).

Решение уравнения (7) может быть найдено непосредственно в следующей форме:

и (ю) =

Р (ю)

л/2П

Р2 -ю2 G(ю)

Приближенным решением уравнения Поклингтона тогда будет функция, полученная с помощью обратного преобразования Фурье:

и (т)=Ж1

р (ю)

•\/2п >2 -ю2' G (ю)

г1юпй ю.

Однако такая функция может не существовать, т.к. последний интеграл может быть расходящимся из-за влияния высоких частот ю различных помех [3] при ю = ±Р и в случае обращения G (ю) в нуль в конечных точках. Поэтому более предпочтительными являются итерационные методы. Рассмотрим несколько итерационных методов решения уравнения (7).

Предположим вначале, что существует комплексное число у такое, что

1 -ул/2пН (ю)|<д <1

(8)

при -о° <ю <го .

Тогда из теоремы Банаха [6] следует сходимость метода простой итерации

ии+1 (ю) = ип (ю) - у [у[2кН (ю)и„ (ю)- ^(ю)

(9)

Обозначив через и (ю) предел последовательности ип (ю),

п = 0,1, 2,..., можно показать, что

и * (ю)- ип (ю)

< Лдп .

С (-^, ^)

В случае, если вместо условия (8) при некотором комплексном у выполняется условие

1 -уТ2пН (ю)| < 1 (10)

при -°° < ю <го, то на основании теоремы Обломской [7] можно доказать сходимость итерационного процесса

ип+1 (ю) = «пип (ю) + г1 - «п ) ип (ю)-у((Н (ю)ип (ю) - ^ (ю))

где 0<а* <ап <а < 1, п = 0,1,2,...

В случае, если условия (8) или (10) не выполняются, для решения уравнения Поклингтона может быть использована следующая более общая схема. Для определенности остановимся на случае, когда выполняется условие (10). На оси -оо<ю<го введем точки , к = 0,1,...,М, таким образом, чтобы

значения функции -\/2пН (ю) лежали внутри и на сторонах угла раствора меньшего п при юе Дк, к = 0,1,...,М , где Д0 = (-тс, 0)1], Дк = [юк, юк+1], к = 1,2,..., М -1, Дм = [юм, тс) .

В этом случае каждому сегменту Дк можно поставить в соответствие константу у к, к = 0,1,..., М, такую, что

1 -укл/2яИ (ю)|<1,

при юе , к = 0,1,М .

Решение уравнения (7) может быть получено параллельным итерационным методом

ик+1 (ю) = апик (ю) + (1 - «п ) ик (ю) - У к ((И (ю)и* (ю) - Р (ю)

где юе Дк, п = 0,1,2,..., к = 0,1,..., М , сходимость которого при каждом к , к = 0,1,...,М , следует из теоремы Обломской.

М

Тогда ип (ю) = ^ ик (ю), и п -е приближение к решению уравнения

к=0

(6) получаем, применив обратное преобразование к функции ип (ю).

Нетрудно записать предыдущую итерационную схему во временной области. Не останавливаясь на этом, опишем практически легко реализуемый итерационный метод.

Возьмем множество узлов Юк , к = 1, 2,..., N, в которых функция И (ю) не обращается в ноль, и каждому узлу сопоставим итерационную схему

ип+1 (юк ) = ип (юк ) - У к [>/2^И (юк )ип (юк ) - Р (юк )] , (11)

где к = 1,2,..., N, п = 0,1,2,..., У к = г—' Г.

2\12пИ (юк)

Вычислив ип (юк) при достаточно больших значениях п, находим приближенное значение 12 () по квадратурным формулам вычисления обратного преобразования Фурье.

Результаты применения метода преобразования Фурье и итерационной схемы (11) для уравнения Поклингтона представлены на рис. 1.

/ \ 0.02 \ / \ 0.01 -1 -0.5 \ . / 0,5 . 1

V ' ' 0

\-0.01

\0.02

Доз

-0.М

б)

Рис. 1 Графики точного и приближенного решения уравнения Поклингтона: а - действительная часть решения (максимальная абсолютная погрешность равна 0,076558); б - мнимая часть решения (максимальная абсолютная погрешность равна 0,046401)

* { 2 \

Значение параметров были выбраны следующими: 1г (г') = (1 - г' ) ;

Р = 12; а = 1; I = 1; Ь = 4; N = 50; преобразование Фурье выполнялось на отрезке [-10,10].

4 Уравнение Галлена

Одной из модификаций уравнения Поклингтона является уравнение Галена (3).

При непосредственном применении этого уравнения возникает следующий вопрос: в какой области значений г уравнение Галлена эквивалентно уравнению Поклингтона? В самом деле, на всей числовой оси -°<г <° эти уравнения не эквивалентны. Более того, уравнение Галлена не имеет смысла при достаточно больших значениях г . Действительно, функция

I

и (г) = 11г (г')О (г - г')йг'

-I

стремится к нулю при любых ограниченных значениях 1г (г'), в то время как

правая часть уравнения (12) представляет собой колебательный процесс с конечной амплитудой.

Представляет интерес вывод уравнения, подобного уравнению Галлена, но свободного от указанного выше недостатка.

Для простоты обозначений запишем уравнение Поклингтона в виде

( д2 ^ К

—2 И (г')^ (г - г')йг' = / (г), -°< г <°. (12)

Iдг ) -1

Рассмотрение уравнения (12) в области -°<г<° представляется естественным, т.к. / (г) - результат измерения физических параметров и может быть осуществлен и вне сегмента [-1,1].

Замечание. Функция |/(г)| достаточно быстро убывает при г ^±° и

может быть положена равной нулю вне некоторого сегмента [-Ь, Ь], где Ь > I.

I

Обозначим функцию ^ 1г (г')О(г - г')йг' через и (г) и рассмотрим

-I

краевую задачу

д2и(г) . .

---и + р2и (г) = у (г) (13)

дг

при условиях

и (-°) = и (°°) = 0. (14)

Если значение Ь известно (хотя бы с некоторой погрешностью), то естественно вместо (13), (14) рассматривать краевую задачу

д2и(z)

при условиях

+ p2u(z) = f (z), -L < z <L ,

f(- L ) = и (L ) = 0.

(15)

(16)

Заметим, что рассмотрение краевой задачи (15), (16) более естественно с физической точки зрения.

Общее решение уравнения (15) имеет вид

( - г Л ( г Л

i(z) = A cos Pz + В sin Pz -

1 f f(z )sin fiz'dz' cos Pz+ 1 f f(z')cos p/dz' P " P *

Л L

Л L

sin Pz.

L

Из граничных условий (16) следует, что

A = 2P 1 PL L /(z,)sinP(z'-L)dz', B = 2P 1 PL J /(z')sinp(z'-L)dz'.

2P cos PL - 2P sin PL -

Таким образом, общее решение уравнения (15) при граничных условиях (16) примет при -L < z < L следующий вид:

I sin PI z + L 1 L

u(z)=-

P sin 2PL

- L ^ -L

1sinsPi(2zp+LL) j f (z Osin PH - L )dz' + 1 j f (z Osin P(z - z' )dz'.

Замечание. Отметим, что это решение отвечает физической задаче при

2РЬ *± Ы, к = 0,1,2,...

Результаты применения метода преобразования Фурье и итерационной схемы (11) для уравнения Галлена представлены на рис. 2. Значение параметров были выбраны следующими: 1г (г') = ( - г'2) ; Р = 12 ; а = 1; I = 1; Ь = 4 ; N = 50; преобразование Фурье выполнялось на отрезке [-10,10].

0.06 0.06 0.04 0.02 -1 -0,5 .... 0,5 . . .1

, . , , \ 1 1 .0

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08

б)

Рис. 2 Графики точного и приближенного решения уравнения Галлена: а - действительная часть решения (максимальная абсолютная погрешность равна 0,069199); б - мнимая часть решения (максимальная абсолютная погрешность равна 0,091782)

5 Границы применимости уравнения Галлена

Как отмечалось во введении, электрический вибратор моделируется цилиндром радиусом а (а > 0) и длиной I (I >> а). При этом предполагается, что величина а является конечной. Исследуем, при каких значениях параметра а уравнениями Поклингтона и Галлена можно моделировать электрический вибратор.

Рассмотрим уравнение

I

14 (г')К(г - г')<&' = /(г), -Ь < г < Ь,

-I

где K(z - z ) =

-ifaj(z - z)2

V( z - z')

2 2 2 + a

Предположим, что функция 1г (г') представима в виде тригонометрического полинома

h (z ) = ao + ^(aj cos(z + bj sin jz). j=1

Рассмотрим влияние параметра a на возможность такого представления. Вначале рассмотрим интеграл

l

l

J aoK(z - z )z = ao J -l -l

Очевидно, интеграл

cos

P^(z -z )2 + a2 + isinP^(z - z')

2 + a2

>/(z - z')

2 + a2

p sin P^ z - z')

2 + a2

-l >/(z - z')

2 + a2

-dz'

конечен при любых конечных Р и а (0 <а < А ). Поэтому рассмотрим интеграл

I

rbubPJz -z )2 + a2 f dz' "(• cos

-l ^-z')2 2 * = blTi;-T + J

Pyj(z - z') + a2 -1

2 + a2

-l-J(z - z )2 + a2 -l ^(z - z')2 + a2

Нетрудно видеть, что в этом выражении второй интеграл конечен при любых конечных Р и а (0 <а < А ), а первый интеграл равен

dz'

-W (z - z')

= ln

2 + a2

2 + a2

= ln

-l

(l - z ) + ^(l - z )2 + a2

(-l - z)+л/z-1-z)

Из этой формулы можно сделать два вывода: 1) при а = 0 интеграл не существует в смысле Римана; 2) при а ^ 0 интеграл стремится к бесконечно-

l

постоянного коэффициента ад .

Покажем, что это разложение не должно содержать и косинусов. В самом деле, рассмотрим интеграл

где ] = 1,2,...

Нетрудно видеть, что интеграл J2 при а ^ 0 существует как несобственный интеграл Римана, а интеграл Jl, как было показано выше, стремится к бесконечности при а ^ 0 .

Следовательно, предельный переход к а = 0 в уравнении Галлена невозможен, если хотя бы один коэффициент aj в разложении функции тока в ряд Фурье отличен от нуля. Требование, чтобы aj = 0 при всех ] = 0,1,..., противоречит физической постановке задачи, т.к. в этом случае 1г (0) = 0, что невозможно.

Таким образом, уравнение Поклингтона и Галлена не моделируют электрический вибратор при очень малых значениях а .

Приемлемым с математической точки зрения обобщением уравнений Поклингтона и Галлена, при очень малых значениях параметра а, является использование гиперсингулярных интегралов при а = 0 .

Замечание. Мы подчеркиваем, что предлагаемое ниже обобщение получено как математическое обобщение, а не из уравнений Максвелла. Рассмотрим вначале уравнение Поклингтона:

Полагая а = 0 и понимая интеграл (17) в смысле Адамара, приходим к гиперсингулярному интегральному уравнению

сти и вклад, вносимый свободным элементом разложения 1г ( ), стремится к бесконечности, что является физически необоснованным.

Таким образом, разложение 1г (г ) в ряд Фурье не должно содержать

6 Гиперсингулярные интегральные уравнения теории электрических вибраторов

(17)

(18)

где О* (z) = -

Для решения уравнения (18) используем следующие приближенные методы.

Первый метод. Будем рассматривать уравнение (19) при -Ь < г < Ь, где значение Ь определяется из условия /(±Ь) = 0. Обозначим через и (г) интеграл

I

и (г)= 11г (г'(г - г')аЪ'

-I

и рассмотрим краевую задачу

*2

+ Р2и (г ) = / (г)

дг 2

(19)

при условиях

и(-Ь) = и(Ь) = 0 .

(20)

Решив краевую задачу (19), (20) методом вариации, приходим к интегральному уравнению первого рода

I

| (г )О* (г - г )с!г' = g (г), -Ь < г < Ь , (21)

-І

где g (г) - решение краевой задачи (19), (20).

Уравнение (21) будем решать методом коллокации. Введем три системы узлов ґ, =—1 + 2кІ / N, к = 0,1,..., N ; ґ, = ґ, +І / N, к = 0,1,..., N -1; тк =-Ь + 2кЬ / N + Ь / N, к = 0,1,..., N -1.

Приближенное решение будем искать в виде сплайна

N -1

^ (ґ)= 2 Хк^к (ґ) ,

к=0

где ¥ к (ґ ) =

0, -1 <ґ < ґк-Ъ ґк+1 <ґ <1,

Ґ - ґк-і — — т к- , ґк -1 < ґ < ґк, ґк- ґк-1

¥0 (ґ ) =

к+1

ґк - ґк+1

ґк < ґ < ґ.

к+Ь

0, ґ1 < ґ < І, ґ - ґ0

ґ0 - ґ0 ґ - ґ1

Т~Г, '0 ґ0 - ґ1

,ґ0 < ґ < ґ0,

¥ N -1 (ґ ) =

0, -1 < ґ < N-2 ґ - N-2

^-1 - N-2

N-2 < ґ < N-1,

ґ - ґ

N

ґМ-1 - %

N -1 < ґ < ґМ,

значения (), к = 0,1,..., N -1, которого определяются из системы уравнений

I (т)<°* (к - т = g(тк), к = 0,1,...,

-1.

(22)

-І

Можно показать, что система уравнений (22) имеет единственное ре* / \

шение XN и). Это решение является решением исходного уравнения (18) при условиях (20). Отметим, что приближенное решение XN () уравнения (22) ищется в форме, удовлетворяющей условию XN (±1 ) = 0, т.е. выполнено условие равенства нулю тока на концах стержня.

Результаты решения уравнения (21) изложенным выше методом колло-кации представлены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты решения уравнения (21) методом коллокаций

N

Абсолютная погрешность

тах

Яе 12 (/)- (/)

тах

1т 12 (/)- ()

40

0,144714

0,107293

80

0,111523

0,038606

120

0,074564

0,062448

160

0,061126

0,022025

Примечание. Значения параметров были выбраны следующими: 1г (г') = 1; Р = 12; I = 1; Ь = 1; N - число узлов коллокаций.

Второй метод. Обозначим через К (г) следующую функцию:

К (г ) = {'•при 2 £(-' •1 >'

[0, при ге (-^, ^)\ (-/, I).

Тогда уравнение (18) можно представить в виде

( л2

где / (г ) =

- + р2 1| К (г' )1г (г' )О* (г - г' )<іг = / (г),

\/(г), при г є (-Ь, Ь),

- Ь < г < Ь .

(23)

I 0, при ге (-го, тс)\(-Ь, Ь).

Применяя к уравнению (23) преобразование Фурье, приходим к уравнению в свертках

(2 +Р2 ) (ю)и (ю) = Ё (ю), (24)

где О* (ю), и(ю), Ё(ю) - преобразования Фурье функций О* (г),

К (г)// (г), / (г). Отметим, что преобразование О (ю) функции О (г) определяется, как преобразование обобщенной функции [8].

Аналогичные рассуждения проведем для уравнения Галлена, которое для простоты обозначений запишем в виде

I

I1г (г')

-І

+ р2О (г - г')

дг2

г' = /(г), -Ь < г < Ь .

(25)

Ядро уравнения (25) можно представить в виде

?-Ы-

д2О (г)

/г 2+а2

дг 2

+ Р2О (г )=-

4л

3/рг

/р

о2 2 Р г

/2 , 2ч2 2,2 , 2 . 2ч3/2

(г + а ) г + а (г + а )

/ 2 , 2ч3/2 , 2^ 2ч5/2 / 2 , 2ч1/2

(г + а ) (г + а ) (г + а )

Полагая в данном ядре параметр а равным нулю, приходим к следующему гиперсингулярному интегральному уравнению:

І

I Іг (г')

4л

2/р

г = /(г), -Ь<г<Ь.

Таким образом, получено гиперсингулярное интегральное уравнение

с особенностью третьего порядка, для решения которого используются численные методы, описанные выше для приближенного решения гиперсингу-

лярного интегрального уравнения Поклингтона.

Список литературы

1. Сазонов, Д. М. Антенны и устройства СВЧ / Д. М. Сазонов. - М. : Высшая школа, 1988. - 434 с.

2. Неганов, В. А. Сингулярные интегральные уравнения как метод физической регуляризации некорректных электродинамических задач радиотехники и связи / В. А. Неганов // Успехи современной радиотехники. - 2005. - № 12. - С. 16-24.

3. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1986. - 244 с.

4. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. - М. : Наука, 1978. - 352 с.

5. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 1953. - Т. 113. - № 10. - С. 53-105.

6. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. - М. : Наука, 1965. - 520 с.

7. Обломская, Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах / Л. Я. Обломская // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1968. - Т. 8. - № 2. - С. 417-426.

8. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гель-фанд, Г. Е. Шилов. - М. : Добросвет, 2000. - 412 с.

І