CC BY
174
Геодезия и маркшейдерия
УДК 528; 550.3; 551
СРАВНЕНИЕ СПУТНИКОВЫХ МОДЕЛЕЙ ПРОЕКТА GOCE С РАЗЛИЧНЫМИ НАБОРАМИ НЕЗАВИСИМЫХ НАЗЕМНЫХ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ
Вадим Федорович Канушин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: [email protected]
Ирина Геннадьевна Ганагина
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: [email protected]
Денис Николаевич Голдобин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, инженер кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: [email protected]
Елена Михайловна Мазурова
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: [email protected]
Александра Михайловна Косарева
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, магистрант кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: [email protected]
Николай Сергеевич Косарев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного 10, аспирант кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: [email protected]
В настоящей работе выполнено сравнение современных спутниковых моделей гравитационного потенциала Земли с независимыми наземными гравиметрическими данными, расположенными на двух участках земной поверхности, с целью получения оценки их точности. В качестве независимых гравиметрических данных использованы аномалии силы тяжести с редукцией в свободном воздухе, полученные из измерений на поверхности Земли. На территории Западной Сибири аномалии силы тяжести с редукцией в свободном воздухе заданы в 27 произвольно расположенных точках земной поверхности. На акватории Охотского моря использованы значения аномалий силы тяжести с редукцией в свободном воздухе, заданные в 54 трапециях размером 5 х 5'.
Экспериментальные исследования представлены в графическом виде. Выполнен анализ полученных результатов.
Ключевые слова: спутниковые модели, гравитационное поле Земли, независимые наземные гравиметрические данные, международный космический проект GOCE, разрешающая способность, точность, сравнительный анализ.
21
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
COMPARISON OF THE GOCE PROGECT SATELLITE MODELS WITH DIFFERENT SETS OF INDEPENDENT TERRESTRIAL GRAVIMETRY DATA
Vadim F. Kanushin
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., docent of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: [email protected]
Irina G. Ganagina
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., the head of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: [email protected]
Denis N. Goldobin
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., engineer of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: [email protected]
Elena M. Mazurova
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., professor of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: [email protected]
Alexandra M. Kosareva
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., graduate student of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: [email protected]
Nikolay S. Kosarev
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., post-graduate student, department of physical geodesy and remote sensing, e-mail: [email protected]
In this paper the comparison of modern satellite models of the Earth's gravity field with independent terrestrial gravity data covering in two areas of the Earth's surface in order to obtain estimates of their accuracy is made. As independent gravity data the free-air gravity anomalies obtained from measurements on the surface of the Earth are used. On the territory of Western Siberia the free-air gravity anomalies set in 27 randomly located points of the Earth's surface. On the Sea of Okhotsk the set free-air gravity anomalies values in 54 trapezes size 5 x 5'.
Experimental research in graphical form is shown. The analysis of the results is performed.
Key words: satellite models, Earth gravity field, independent terrestrial gravimetry data, GOCE international space project, resolution, accuracy, comparative analysis.
Определение глобального гравитационного поля Земли заключается в изучении свойств гравитационного потенциала Земли и повышении точности построения его глобальных математических моделей. Глобальные модели гравитационного поля Земли играют важную роль при построении теорий движения искусственных спутников Земли, при моделировании геодинамических процессов и внутренней структуры Земли, при исследовании природных ресурсов, в океанографии, в морской и авиационной навигации и при решении оборонных задач, а также для высокоточного определения фигуры Земли, необходимой для установления общеземной системы координат [1, 2]. В настоящее время глобальные модели гравитационного поля определяются с достаточно высокой точностью и детальностью, что позволяет решать перечисленные задачи.
22
Геодезия и маркшейдерия
При этом, для моделей гравитационного поля аспекты согласованности в обработке, в выборе системы отсчета и параметризации становятся все более и более актуальными.
Глобальная модель геопотенциала определяет длинноволновую часть гравитационного поля Земли в точке (ф, X, г) и включает в себя ограниченный степенью N волновой диапазон сферических гармоник в виде следующего выражения:
V(ф, X, г)
M
г
n=2
a
г
п п ___ ___________
| ^(Cnm cos mX + S nm sinmX)Pnm (sin ф) I,
m=0
(1)
где fM - геоцентрическая гравитационная постоянная;
ae - экваториальный радиус Земли;
г - радиус-вектор точки наблюдения (ф, X, г);
Cnm и Snm - безразмерные гармонические коэффициенты геопотенциала степени n и порядка m;
Pnm (sin ф) - присоединенные функции Лежандра.
В формуле (1) ограниченный набор Cnm и Snm коэффициентов разложения геопотенциала Земли в ряд шаровых функций является стоксовыми постоянными, а их совокупность называется спектром геопотенциала. В настоящее время стоксовы постоянные определяются либо из совместной обработки гравиметрических измерений на поверхности Земли и различного рода спутниковых измерений, либо исключительно из спутниковых измерений. В качестве последних используются данные спутникового слежения и спутниковой альтиметрии, лазерной локации, доплеровские измерения. В последнее десятилетие особое внимание уделяется наиболее перспективному виду наблюдений -спутниковой градиентометрии с целью улучшить точность и разрешающую способность моделей геопотенциала Земли.
Данные по моделям геопотенциала Земли могут быть получены на сайте Немецкого научно-исследовательского центра наук о Земле в городе Потсдам (ICGEM) [3], который является одним из шести центров Международной гравитационной полевой службы Международной ассоциации геодезии [4].
В настоящее время ICGEM содержит более 150 моделей, и все они (кроме 17 старых моделей) доступны в виде нормированных коэффициентов сферических гармоник в стандартном формате, который был принят Европейским космическим агентством (ESA - European Spase Agency) в качестве официального формата данных международного космического проекта GOCE (Global Ocean Circulation Experiment).
Существующие модели гравитационного потенциала Земли нуждаются в усовершенствовании ввиду появления новых видов наблюдательных данных, обширности всего комплекса данных и повышения требований к точности ап-
23
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
проксимации геопотенциала. Тщательные исследования современных глобальных моделей геопотенциала, опубликованных на сайте ICGEM, представлены в работах [5-16].
В настоящей работе выполнено сравнение современных спутниковых моделей гравитационного потенциала Земли, приведенных в табл. 1, с независимыми наземными гравиметрическими данными, расположенными на двух участках земной поверхности, с целью получения оценки их точности. В качестве независимых гравиметрических данных использованы аномалии силы тяжести с редукцией в свободном воздухе, полученные из измерений на поверхности Земли. Один участок расположен на территории Западной Сибири, второй - на акватории Охотского моря. На территории Западной Сибири аномалии силы тяжести с редукцией в свободном воздухе заданы в 27 произвольно расположенных точках земной поверхности. На акватории Охотского моря использованы значения аномалий силы тяжести с редукцией в свободном воздухе, заданные в 54 трапециях размером 5 х 5'.
Таблица 1
Спутниковые модели гравитационного потенциала
№ п/п Модель Год выхода Степень N0 Миссия
1 go cons gcf 2 tim r3 (Модель 1) 2011 250 S(Goce)
2 go cons gcf 2 tim r4 (Модель 2) 2014 250 S(Goce)
3 go cons gcf 2 tim r5 (Модель 3) 2014 280 S(Goce)
Сравнение моделей геопотенциала Земли с наземными гравиметрическими данными выполнялось по следующей формуле:
5g^ ^) = Agr ^ A)-Ags ^ А), (2)
где AgT (ф, А) - аномалии силы тяжести с редукцией в свободном воздухе, полученные из обработки результатов наземных гравиметрических измерений;
Ags (ф, А) - аномалии силы тяжести с редукцией в свободном воздухе, вычисленные по данным спутниковых моделей гравитационного потенциала.
Вычисление аномалий силы тяжести с редукцией в свободном воздухе по сферическим гармоникам спутниковых моделей гравитационного потенциала Земли на исследуемых участках выполнялось следующим образом [16]:
. fM
Ags =v z
N / \п
ae'
r 2 n=2'
11
(n - 1) Z (nm cosmA + Snm sin mA)m (sin ф) , (3)
m =0
24
Геодезия и маркшейдерия
где ACnm = Cnm - C°m, здесь C(°m - коэффициенты нормального поля силы тяжести, вычисляемые по параметрам соответствующего эллипсоида;
Cnm и Snm - набор нормированных коэффициентов разложения геопотенциала Земли в ряд шаровых функций, представленный на сайте ICGEM, для исследуемых моделей: go cons gcf 2 tim r3, go cons gcf 2 tim r4 и go cons gcf 2 tim r5.
Так как всякая непрерывная, дважды дифференцируемая функция с неограниченным спектром на сфере ю единичного радиуса (т. е. в интервале широты ф от -л/2 до +л/2 и долготы X от 0 до 2л) может быть представлена бесконечным рядом Фурье по системе сферических функций в каждой точке этой сферы [17], то аномалии силы тяжести с редукцией в свободном воздухе AgT (ф, X), полученные из обработки результатов наземных гравиметрических измерений, можно представить в виде:
Ag
T
^ Zf—] (n - 1)Z(ACnm cosmX + Snm sin m
Г 2 n=2
X)Pnm (sin ф). (4)
m=0
Ряды (3) и (4) описывают аномалии силы тяжести в одной и той же точке сферы ю, поэтому в результате сравнения этих рядов по формуле (2) получим погрешность моделирования, которая оценивается суммой отброшенных членов ряда (4)
Sg = Щт Ё(~ (n - 1)Z(ACnm cos mX + Snm sin mX)Pnm (sin ф) . (5)
n=N
m=0
Применяя к выражению (5) равенство Парсеваля - Стеклова [17], получим средний квадрат погрешности, обусловленной ограничением ряда (5) степенью N
fM_
V r2 J
(n -1)2 Z f
n=N + V r
2n
Z (
m=0
Выражение
Dn
fM \ 2 f ae 1
V r2 J Vr J
2n 2 n
(n - 1)2 Z
AC
nm
m=0
(6)
(7)
- степенная дисперсия аномалий силы тяжести.
На рис. 1 приведены графики зависимости отношения степенных дисперсий гармонических коэффициентов Cnm и Snm к их погрешностям от степени n для моделей: go cons gcf 2 tim r3, go cons gcf 2 tim r4 и go cons gcf 2 tim r5 соответственно.
25
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
Вычисления выполнены по следующей формуле:
dn =
1
£(a ( + a S 2
'nm
m=2
)
n
V (C2 + S2 )
nm nm
m=2
(8)
где a Cnm и a Snm - погрешности гармонических коэффициентов модели геопотенциала.
Рис. 1. Графики зависимости отношения степенных дисперсий гармонических коэффициентов моделей геопотенциала: go cons gcf 2 tim r3 (а), go cons gcf 2 tim r4 (б) и go cons gcf 2 tim r5 (в), соответственно от степени n
Предельное значение на графиках а), б), в) рис. 1, равное 1, соответствует случаю, когда погрешности гармонических коэффициентов a Cnm и a Snm равняются по величине абсолютным значениям коэффициентов Cnm и Snm. Кривая зависимости ошибок коэффициентов от степени n модели go cons gcf 2 tim r3 (см. график а) рис. 1) пересекает предельное значение при n = 236. Кривая зависимости ошибок коэффициентов от степени n модели go cons gcf 2 tim r4 (см. график б) рис. 1) пересекает предельное значение при n = 246. Кривая зависимости ошибок коэффициентов от степени n модели go cons gcf 2 tim r5 (см. график в) рис. 1) пересекает предельное значение n = 257.
Таким образом, согласно приведенным оценкам, наилучшая разрешающая способность из перечисленных моделей наблюдается у модели go cons gcf 2 tim r5, которая на графике ограничена порядком сферической гармоники n = 257, что соответствует пространственному разрешению моделей (полудлиной волны)
26
Геодезия и маркшейдерия
около 75 км. Гармонические коэффициенты более высоких степеней, погрешности которых превосходят абсолютные значения коэффициентов Cnm и Snm , в значительной степени являются параметрами согласования результатов наблюдений.
На рис. 2 приведены гистограммы распределения разности в 27 пунктах земной поверхности на участке Западной Сибири между аномалиями силы тяжести, полученными из гравиметрических измерений и вычисленными по формуле (4), для моделей go cons gcf 2 tim r3, go cons gcf 2 tim r4 и go cons gcf 2 tim r5, соответственно.
e)
Рис. 2. Гистограмма распределения разности 8g(ф, в 27 пунктах земной
поверхности на участке Западной Сибири между наземными AgT (ф, ^) и спутниковыми Ags (ф, ^) аномалиями силы тяжести модели: а) go cons gcf 2 tim r3; б) go cons gcf 2 tim r4; в) go cons gcf 2 tim r5
27
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
В табл. 2 приведены статистические параметры распределения разности Sg(ср, А) в 27 пунктах земной поверхности на участке Западной Сибири между
наземными AgT (р, А) и спутниковыми Ags (р, А) аномалиями силы тяжести,
вычисленными по формуле (4) для моделей go cons gcf 2 tim r3, go cons gcf 2 tim r4 и go cons gcf 2 tim r5.
Таблица 2
Статистические параметры распределения разности на участке Западной Сибири между наземными AgT (р, А)
и спутниковыми Ags (р, А) аномалиями силы тяжести
Модель 1 Модель 2 Модель 3
Количество точек (k) 27 27 27
Сумма ^Sg 12,321 21,342 18,551
Min Sg -18,992 -21,888 -20,344
Max Sg 22,858 20,870 18,407
Диапазон 41,850 42,758 38,751
Среднее арифметическое Ag 0,456 0,790 0,687
Стандартная ошибка SESg 1,793 1,845 1,862
95-процентный доверительный интервал 3,687 3,794 3,829
99-процентный доверительный интервал 4,984 5,128 5,175
Дисперсия DSg 86,838 91,939 93,646
Стандартное отклонение ESg (СКО) 9,319 9,588 9,677
Ассиметрия -0,200 -0,425 -0,317
Эксцесс 0,845 0,355 0,005
Kolmogorov-Smirnov stat 0,135 0,130 0,143
Critical K-S stat, alpha = 0,10 0,229 0,229 0,229
Critical K-S stat, alpha = 0,05 0,255 0,255 0,255
Critical K-S stat, alpha = 0,01 0,306 0,306 0,306
Из табл. 2 видно, что наилучшими статистическими параметрами обладает модель go cons gcf 2 tim r3 (Модель 1), у которой стандартное отклонение ESg = 9,32 мГал, стандартная ошибка SESg = 1,80 мГал и среднее значение
Sg = 0,46 мГал. Гистограмма распределения разности Sg(р, А), приведенная на
рис. 2, а, имеет распределение, близкое к нормальному.
В табл. 3 приведены статистические параметры распределения разности между наземными AgT (р, А) и спутниковыми Ags (р, А) аномалиями силы тяжести, вычисленными по формуле (4), в 54 трапециях размером 5 х 5' в акватории Охотского моря. 28
28
Геодезия и маркшейдерия
Таблица 3
Статистические параметры распределения разности на акватории Охотского моря между наземными AgT (ф, А) и спутниковыми Ags (ф, А)
аномалиями силы тяжести
Модель 1 Модель 2 Модель 3
Количество точек (k) 54 54 54
Сумма ^Sg -144,959 -121,234 -139,067
Min Sg -19,716 -18,371 -19,840
Max Sg 20,256 17,650 17,625
Диапазон 39,973 36,021 37,465
Среднее арифметическое Ag -2,684 -2,245 -2,575
Стандартная ошибка SESg 1,162 1,071 1,013
95-процентный доверительный интервал 2,332 2,147 2,032
99-процентный доверительный интервал 3,106 2,860 2,706
Дисперсия Dg 72,948 61,883 55,397
Стандартное отклонение ESg (СКО) 8,541 7,867 7,443
Ассиметрия -0,068 -0,280 0,139
Эксцесс 0,168 -0,025 0,336
Kolmogorov-Smirnov stat 0,096 0,101 0,080
Critical K-S stat, alpha = 0,10 0,164 0,164 0,164
Critical K-S stat, alpha = 0,05 0,182 0,182 0,182
Critical K-S stat, alpha = 0,01 0,218 0,218 0,218
Из табл. 3 видно, что полученные статистические характеристики оценки точности исследуемых моделей геопотенциала в акватории Охотского моря имеют минимальное стандартное отклонение E5g = 7,44 мГал, стандартную ошибку SESg = 1,01 мГал при среднем значении Sg = 2,57 мГал модель go cons gcf 2 tim r5.
Статистические параметры, приведенные в табл. 3, вычислены по следующим формулам:
1 k
i=1
Sg А); (9)
Sg = —VSgi - среднее значение разности
SE;
E,
Sg
Sg
yfk
стандартная ошибка;
(10)
E
стандартное отклонение;
(11)
29
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
DSg
к
1 к _ 2
—_ Sg) - дисперсия разности Sg(cp, X), (12)
- 1 i-1
где к - количество трапеций.
На рис. 3, 4, 5, приведены картосхемы распределения в акватории Охотского моря: наземного исходного поля аномалий силы тяжести Agr, в трапециях размером 5 х 5' (рис. 3, а, 4, а, 5, а); восстановленного c помощью формулы (4) поля аномалий силы тяжести Ags по данным моделей: go cons gcf 2 tim r3 (рис. 3, б), go cons gcf 2 tim r4 (рис. 4, б) и go cons gcf 2 tim r5 (рис. 5, б); SAg - AgT - Ags - разности между наземными и восстановленными аномалиями силы тяжести (рис. 3, в, 4, в, 5, в).
Рис. 3. Картосхемы распределения в акватории Охотского моря:
а) AgT наземного исходного поля аномалий силы тяжести; б) AgS восстановленного c помощью формулы (4) поля аномалий силы тяжести по данным модели: go cons gcf 2 tim r3; в) SAg - AgT - Ags - разности между наземными и восстановленными аномалиями силы тяжести модели go cons gcf 2 tim r3; г) гистограмма распределения разности Sg (p, X)
30
Геодезия и маркшейдерия
Рис. 4. Картосхемы распределения в акватории Охотского моря:
а) AgT наземного исходного поля аномалий силы тяжести; б) Ags восстановленного c помощью формулы (4) поля аномалий силы тяжести по данным модели: go cons gcf 2 tim r4; в) 8Ag = AgТ - Ags - разности между наземными и восстановленными аномалиями силы тяжести модели go cons gcf 2 tim r4; г) гистограмма распределения разности Sg(cp, X)
Анализ выполненных исследований по сравнению моделей между собой (см. табл. 2, 3) и точности представления геопотенциала при сравнении моделей, приведенных в табл. 1, с наземными данными показал, что на двух разных участках наблюдается неплохое согласие между моделями по стандартному отклонению и стандартной ошибке при распределении, достаточно близком к нормальному.
Точность нормированных гармонических коэффициентов моделей геопотенциала V(p, X, r), приведенных в табл. 1, оценивается числом 10-9. Эта величина характеризует и внутренние погрешности моделей, и отличие коэффициентов в различных моделях, и масштаб плохо прогнозируемой нестационарно-
31
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
сти геопотенциала, и разрешающую способность. Гармонические коэффициенты высоких степеней в значительной степени являются параметрами согласования наблюдений.
Рис. 5. Картосхемы распределения в акватории Охотского моря:
а) AgT наземного исходного поля аномалий силы тяжести; б) AgS восстановленного c помощью формулы (4) поля аномалий силы тяжести по данным модели go cons gcf 2 tim r5; в) 8Ag = AgT - Ags - разности между наземными и восстановленными аномалиями силы тяжести модели go cons gcf 2 tim r5; г) гистограмма распределения разности 8g (cp,
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-27-00068).
32
Геодезия и маркшейдерия
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Косарев Н. С. Восстановление фазы несущей: проблемы и пути решения // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 53-60.
2. Косарев Н. С., Щербаков А. С. Статистический анализ точности определения положений спутников систем ГЛОНАСС и GPS // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 2 (26). - С. 9-18.
3. Barthelmes F. ICGEM - The International Centre for Global Earth Models, General Assembly European Geosciences Union (EGU) [Electronic resource]. - 2011. - Англ. - Режим доступа: http://www.iag-aig.org/attach/d12ad2a68ef6298d1cb03ea913ce3806/Travaux_ICGEM.pdf
4. http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/ICGEM.html
5. Непоклонов В. Б. Об использовании новых моделей гравитационного поля Земли в автоматизированных технологиях изысканий и проектирования // Автоматизированные технологии изысканий и проектирования. - 2009. - № 3 (34). - С. 28-35.
6. Непоклонов В. Б. Определение высот с использованием моделей геоида // Автоматизированные технологии изысканий и проектирования. - 2007. - № 3 (26). - С. 56-61.
7. Сугаипова Л. С. Сравнение современных моделей глобального гравитационного поля Земли // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2011. - № 6.- С. 14-20.
8. Современные глобальные модели гравитационного поля Земли и их погрешности /
B. Н. Конешов, В. Б Непоклонов, Р. А. Сермягин, Е. А. Лидовская // Гироскопия и навигация. - 2013. - № 1 (80). - С. 107-117.
9. Ву Хонг Куонг. Исследования моделей гравитационного поля Земли по наземным и спутниковым измерениям // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 1. -
C. 20-25.
10. AIUB-CHAMP02S: The influence of GNSS model changes on gravity field recovery using space borne GPS [Electronic resource] / L. Prange, A. Jaggi, R. Dach, H. Bock, G. Beutler, L. Mervart // Advances in Space Research. - 2010. - Режим доступа: D0I:10.1016/j.asr.2009.09.020.
11. The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008) [Electronic resource] / N. K. Pavlis, S. A. Holmes, S. C. Kenyon, J. K. Factor // J. of Geoph. Res. -2012. - Режим доступа: doi:10.1029/2011JB008916.
12. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г., Голдобин Д. Н. Использование космических технологий для выявления связи гравитационного поля с внутренним строением Земли на акватории Арктического бассейна // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2014. Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 8-18 апреля 2014 г.). - Новосибирск: СГГА, 2014. Т. 1. -С.192-197.
13. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г., Голдобин Д. Н. Моделирование аномального гравитационного поля в Арктическом бассейне // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1, ч. 1. - С. 178-181.
14. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г. Применение дифференциального уравнения параболического типа для решения задач динамической геодезии // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. К Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. - С. 214-219.
15. Исследование динамики физической поверхности и гравитационного поля Земли,
обусловленных производством горных выработок на Малёвском месторожении / В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин, И. А. Басова // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012.
VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 3. - С. 14-18.
33
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
16. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г., Голдобин Д. Н. Анализ изменений гравитационного поля и высот квазигеоида, обусловленных сейсмической активностью // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. 1Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 3. - С. 3-8.
17. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука. - 1979. -
416 с.
Получено 01.09.2014
© В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин, Е. М. Мазурова, А. М. Косарева, Н. С. Косарев, 2014
34
