CC BY
46
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ
Вадим Федорович Канушин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, к. т. н., доцент кафедры астрономии и гравиметрии, тел. (383-3)-61-01-59, е-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Ирина Геннадьевна Ганагина
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, к. т. н., доцент кафедры астрономии и гравиметрии, тел. (383-3)-61-01-59, е-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Рассматривается краевая задача с подвижной границей и динамическими граничными условиями, моделирующие кинематику с учетом динамики межфазового перехода и десорб-ционных процессов на поверхности.
Ключевые слова: определения динамической составляющей гравитационного потенциала, краевые задачи динамической геодезии, дифференциальное уравнение параболического типа.
APPLICATION OF THE DIFFERENTIAL EQUATION OF PARABOLIC TYPE FOR THE SOLUTION OF REGIONAL PROBLEMS OF DYNAMIC GEODESY
Vadim F. Kanushin
The Siberian state geodetic academy, 630108, Russia, Novosibirsk, Plakhotnogo St., 10, to. so-called, associate professor of astronomy and gravimetriya, ph. (383-3)-61-01-59, e-mail: kaf. astronomy@ssga. ru
Irina G. Ganagina
The Siberian state geodetic academy, 630108, Russia, Novosibirsk, Plakhotnogo St., 10, to. so-called, associate professor of astronomy and gravimetriya, ph. (383-3)-61-01-59, e-mail: kaf. astronomy@ssga. ru
The regional task with mobile border and the dynamic boundary conditions, modeling kinematics taking into account dynamics of interphase transition and stripping processes on a surface is considered.
Key words: definitions of a dynamic component of gravitational potential, regional problems of dynamic geodesy, differential equation of parabolic type.
Природные геодинамические, а также техногенные явления по-разному влияют на результаты геодезических измерений, либо непосредственно через изменения положения пунктов на земной поверхности или опосредовано через временные изменения гравитационного поля, поскольку большинство геодезических измерений зависят от направления или модуля вектора силы тяжести. Кроме того системы координат, используемые для описания положения пунктов земной поверхности нестабильны: начала координат и направление осей земной системы координат изменяются в зависимости от действия эндогенных и экзогенных геодинамических процессов; таким образом, в координатах точек на земной поверхности проявляются дополнительные временные вариации.
Путём регистрации временных изменений результатов геодезических измерений можно исследовать пространственно-временную структуру геодина-мических процессов. Основным геодезическим вкладом в геодинамические ис-
следования является контроль в сфере мониторинга временных вариаций гравитационного поля и смещения пунктов на поверхности Земли относительно выбранной системы координат.
В принципе, строгий четырёхмерный подход к этой проблеме ведёт к постановке пространственно-временной краевой или начально-краевой задачи с зависящими от времени граничными данными, требующий описания всех динамических процессов, являющихся результатом антагонистического действия процессов двух видов, вызванных эндогенными и экзогенными силами.
Так как эти процессы крайне сложны и недостаточно изучены, то решение пространственно-временной задачи представляется далеко не простым и однозначным. Большинство предлагаемых в геодезической литературе [1, 2] подходов к решению этой задачи основаны на сведении четырёхмерной задачи к временной последовательности трёхмерных краевых задач. Допуская, что граничные данные в некоторую дискретную эпоху заданы на деформируемую краевую поверхность, ставится и решается обычная, не зависящая от времени краевая задача для любой эпохи, Такой конечно -разностный метод, в котором учитывается линейная аппроксимация кинематического поведения краевой поверхности, формально схож с классическими не зависящими от времени краевыми задачами. В зависимости от типа краевых данных и предположений относительно кинематического поведения краевой поверхности формулируются различные типы зависящих от времени краевых задач. Например, если известна геометрия краевой поверхности на любую эпоху, а неизвестным является изменение потенциала силы тяжести и его дериват, то возникает так называемая фиксированная краевая задача. Если временные вариации краевой поверхности неизвестны, а известны лишь на этой поверхности временные изменения гравитационного потенциала, а также модуль и направления силы тяжести, то возникает обратная краевая задача динамической геодезии со свободной краевой поверхностью. Эта поверхность изменяет свою форму и положение в пространстве (Х,У,7) со временем 1
Каждому моменту 1 в трёхмерном пространстве (Х,У,7) соответствует своя поверхность . Пусть две поверхности 80(Х,У,7,1;0) и Б^ХД^,^) согласованы
между собой тем, что любая точка Р0 е Б0 (Х,У,7,1;0) связана с точкой Р1 е Б1 (Х,У,2,1^). И пусть в результате геодинамических процессов масса перераспределится так, что ни геометрия поверхностей Б0 и 81, ни потенциалы силы тяжести '0 и '1 в точках Р0 и Р1, отнесённые к эпохам ^ и ^ не совпадают. Разность между геоцентрическими радиусами-векторами г0 = Ор и Г = Ор представляет собой вектор смещения (рис. 1).
(1)
8г(Рх -^,^ -,о) = гх(Ръ,1)- ro(P0,,0)
(2)
Рис. 1. Определение вектора смещения 5г = Р0Рі
Этот вектор можно записать в виде
0 X 1
8т = 1
0 N 1 кГ
Разность между значениями потенциалов '0 и '1 в точках Р0(Х,У,7) и
Р1(Х,У,г)
и(Д -Р0,Ч -^o) = ЩЦ,?1)-№0(Г0,10) (4)
- временная вариация потенциала силы тяжести.
Так как вектор силы тяжести равен
ё = %гайи, (5)
то разность
= ё1(Ръ 1- ёор ^ = ёаи (6)
- разность временной вариации силы тяжести.
Если разности и и 5g получены из повторного нивелирования и гравиметрических измерений в точках Р0 е (Х,У,7,1;0) и Р1 е (Х,У,7,^) и отнесены к поверхности 80(Х,У,7,1;0), то, возможно, вследствие малости этих величин в сравнении с абсолютными координатами и параметрами гравитационного поля
возникает зависимая от времени обратная краевая задача динамической геоде-
зии со свободной границей для определения вектора смещения 5 г и изменения потенциала силы тяжести И во внешнем пространстве по граничным условиям И(Р0,1;0) и 5g (Р0,1:0) на поверхности 80(Х,У,7Д0).
Эта задача имеет внешнее сходство с краевой геодезической задачей М. С. Молоденского [1, 3].
Таким образом, разнообразие формулировок, зависящей от времени обратной краевой задачи обусловлено тем, что в настоящее время ещё не разработана общая концепция решения задач динамической геодезии.
В лаборатории физической геодезии кафедры астрономии и гравиметрии СГГА для решения дифференциальных уравнений динамической геодезии разработано несколько методов их численного решения на ЭВМ [4-7].
В данной работе рассматривается один из методов составления и решения дифференциального уравнения параболического типа для определения динамической составляющей гравитационного потенциала.
Пусть функция U(M,t) = U(X1,X2,X3,t) - динамическая составляющая потенциала силы тяжести, которая в каждой фиксированной точке пространства (X1,X2,X3) изменяет свое значение с течением времени.
Пусть at изменение уровенной поверхности, соответствующее функции U(M,t) = a(t) и n (t) - вектор внешней нормали к этой поверхности с направляющими косинусами cos(«,X1), cos(n,X2), cos(n,X3).
Тогда интеграл
“Я cos(n’ X1 ) + ^ cos(n’ X2 )+JU cos(n> X3 ) da = -jj gradUnda (7)
ayXi 2 dX3 J a
- является потоком вектора grad Un, через поверхность a, в направлении, противоположном вектору n в момент t.
За промежуток времени dt поток вектора grad Un через поверхность at будет равен
K = -dt Ц grad Unda, (8)
at
или применяя к формуле (8) теорему Гаусса-Остроградского [1] получим:
K = -dt Ц grad Unda = -dtjjj div grad Undr (9)
at rt
где xt - объем тела, ограниченного поверхностью at.
Такое же количество силовых линий поля grad Un за промежуток времени dt можно получить по формуле:
K = -dt jjj^UdT- (Ю)
rt
Приравнивая правые части формул (9) и (10), будем иметь:
jjj ~~dr = jjj div grad Undr . (11)
rt rt
При произвольном объеме должно иметь место соотношение:
dU
dt j
jjj fdU - div grad Un dr = 0, (12)
rt
откуда получим дифференциальное уравнение эволюционного (параболического) типа [2]:
dU
div grad Un = 0. (13)
dt
Метод конечных разностей, аппроксимирующий дифференциальное уравнение (13), в котором используется метод дробных шагов, разработанный в работе [8], позволяет обеспечить наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Постановка проблемы динамической геодезии, как решение геодезической краевой задачи М.С. Молоденского с краевыми условиями и граничной поверхностью, изменяющимися во времени. Отчет о НИР (промежуточный), руководитель Бузук В.В. N ГР.0196.00012360, №b.N 02. 97.0005664, СГГА. - Новосибирск. -1997. - 49с.
2. Неск В. Time - Dependent Geodetic Boundary Value Problems. Proc. Int.Symp. Figure and Dynamiok of the Earth, Moon, and Planets Pra gue. - 1988. - p. 195-225.
3. Молоденский, М.С. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли // М.С. Молоденский, В.Ф. Еримеев, М.И. Юркина // Труды ЦНИИГАиК, вып. 131. - 1960. - 251 с.
4. Современные проблемы физической геодезии: учебно-методич. пособие по выполнению курсовой работы / И.Г. Ганагина, В.Ф., Канушин, Д.Н. Голдобин. - Новосибирск: СГГА, 2012. - 76 с.
5. Канушин В.Ф., Ганагина И.Г., Голдобин Д.Н. Определение когерентных составляющих физических полей Земли в представлении рядами Фурье // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск: СГГА, 2008. Т. 1. - С. 37-41.
6. Канушин В.Ф., Вахрушев А.Г., Румянцева Е.Д. Решение краевой задачи типа Дирихле с помощью вевлет-анализа // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1, ч. 1. - С. 173-177.
7. Канушин, В.Ф. Применение метода вириала для решения задач динамической геодезии // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1, ч. 1. - С. 182-185.
8. Бузук, В.В. О применении метода конечных разностей для решения краевых задач динамической геодезии / В.В. Бузук, В.Ф. Канушин, А. C. Горбунов // Тез. докл. 50 НТК преподават. СГГА, -Новосибирск. - 2000. - С. 34-35.
9. Ганагина И.Г., Канушин В.Ф. Анализ изменений гравитационного поля и высот квазигеоида, обусловленных сейсмической активностью // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 3. - С. 8-13.
10. Исследование динамики физической поверхности и гравитационного поля Земли, обусловленных производством горных выработок на Малевском месторождении / В.Ф. Канушин, И.Г. Ганагина, Д.Н. Голдобин, И.А. Басова // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 3. - С. 14-18.
11. Канушин В.Ф., Ганагина И.Г., Голдобин Д.Н. Моделирование аномального гравитационного поля в арктическом бассейне // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1, ч. 1. - С. 178-181.
12. Канушин В.Ф. Применение интегральных уравнений типа Вольтерра для решения задач динамической геодезии // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 3. - С. 19-24.
© В.Ф. Канушин, И.Г. Ганагина, 2013
