Локальная разрешимость задачи определения пространственной части многомерного ядра в интегро-дифференциальном уравнении гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.37

ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЧАСТИ МНОГОМЕРНОГО ЯДРА В ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Д. К. Дурдиев1, Ж. Ш. Сафаров2

1 Бухарский государственный университет,

705018, Узбекистан, Бухара, ул. М. Икбала, 11.

2 Ташкентский университет информационных технологий,

700000, Узбекистан, Ташкент, ул. А. Тимура, 108.

E-mail: durdiev65@mail. ru

Исследуется многомерная обратная задача определения пространственной части ядра интегрального члена в интегро-дифференциалъном волновом уравнении. При этом прямую задачу представляет начально-краевая задача для этого уравнения с нулевыми начальными данными и граничным условием Неймана в виде дельта-функции Дирака, сосредоточенной на границе области (х, t) £ Rn+1, z > 0. В качестве информации для решения обратной задачи на границе рассматриваемой области задаются следы решения прямой задачи. Существенным моментом постановки задачи является то обстоятельство, что все заданные функции предполагаются вещественными аналитическими функциями действительных переменных х £ Rn. Основной результат работы заключается в получении теоремы локальной однозначной разрешимости обратной задачи в классе функций, непрерывных по переменной z и аналитических по остальным пространственным переменным. Для этого с использованием метода выделения особенностей прямая задача заменяется начально-краевой задачей для. регулярной части решения этой задачи. Далее прямая и обратная задачи сводятся к решению эквивалентной системы интегро-дифференциальных уравнений вольтерровского типа. Для решения последней применяется метод шкал банаховых пространств вещественных аналитических функций действительного переменного.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, обратная задача, единственность, оценка устойчивости, импульсный источник, характеристика.

Рассмотрим начально-краевую задачу

Utt—Uzz — Au= / k(t — т, z,x)u(t, z,x)dr, (х, t) € Rra+1, 2 > 0, (1)

Jo

u\t<0 = o, uz\z=0 = ~5'(t) + f(t, x)9(t), (x, t) € Mra+1. (2)

Здесь A — оператор Лапласа по переменным {х\,х2, - ■ ■ , хп) = х, S'(t) — производная дельта-функции Дирака, d(t)— функция Хевисайда, / — заданная гладкая функция. Предполагается, что ядро интегрального члена уравнения (1) имеет вид

k(t, z, х) = ko(t)p(z, х),

где ko(t) — известная функция. Обратная задача заключается в определении функции p(z, х) по известному дополнительному условию относительно ре-

Дурдимурод Каландарович Дурдиев (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математической физики и анализа.

Журабек Шакирович Сафаров, инженер-программист, центр информационных технологий.

шения прямой задачи (1), (2):

u\z=o = ~5(t) +g(t,x)9(t), (х, t) € Rra+1, (3)

g(t,x) — заданная достаточно гладкая функция.

Идея применения метода шкал банаховых пространств аналитических функций, развитая в работах JI. В. Овсянникова [1] и JI. Ниренберга [2], к многомерным обратным задачам принадлежит В. Г. Романову. В работах [3-5] он применил этот метод (с некоторыми модификациями) к вопросам локальной разрешимости многомерных обратных задач. На основе данного метода в [6] изучена задача определения функции к в уравнении (1), когда она не зависит от переменной z. В данной работе исследуется обратная задача (1)-(3) об определении (п + 1)-мерной пространственной части функции k(t,z,x). Доказывается, что поставленная задача локально однозначно разрешима в классе функций, аналитических по переменной х.

Следуя [7, с. 92], введём в рассмотрение банахово пространство As аналитических функций h(x), х € К, для которых конечна норма

Здесь г > 0, s > 0 и Da = dxafagxan , (У. = (cKi, «2, • • • an), щ — неотрицательные целые числа, |ск| = ai + cx2 + ' ■ ' + скга, al = (ai)!• (0:2)!.(скга)!. В дальней-

шем параметр г будет считаться фиксированным, в то время как параметр s рассматривается как переменный параметр. Далее для простоты параметр г будем опускать в обозначениях норм пространства As. При изменении параметра s возникает шкала банаховых пространств As, s > 0. Очевидно следующее свойство: если h(x) € As, то h(x) С As/ для всех s' € (0,s), следовательно, As с As/, если s' < s. Кроме того, если h(x) € As, то Dah(x) С As/ для s' € (0, s), и в частности, справедливо неравенство

/ Атт

11АЛ11-<(^)11ЛИ-> s/>s>°- (4)

Пусть Dqt = {(t,z) | 0 ^z^t^T — t},T> 0 — фиксированное число и DT = Dot х Мга.

Определение. Функция w = w(t, z,x) € С (Д,, Dot), если w € As для всех (t, z) G Dot, непрерывна в Dot как элемент пространства As и, кроме того, удовлетворяет условию

sup |M|s(t, z) < 00.

(t,z)£Dor

Из равенств (1), (2) следует, что ■u = 0,0<t<z,æ€RT\ Функция u(t, z, х) как решение задачи (1), (2) имеет в окрестности характеристической поверхности t = z следующую структуру:

u(t, z, х) = —S(t — z) + v(t, z, x)0(t — z),

где у(1;,г,х) — функция, непрерывная при переходе через поверхность Ь = г. Из последнего уравнения следует равенство

Из вышесказанного следует, что обратная задача (1)-(3) эквивалентна задаче определения функции р(г, х) из следующих уравнений:

гЬ—г

Уц — = Ау + ко(Ь — г)р(г,х) + р(г,х) / ко(а)ь(Ь — а, г, х)с1а, (5)

Jo

Построим исходя из этих равенств систему интегро-дифференциальных уравнений для неизвестных функций. Функция и удовлетворяет уравнению:

А(г, £) = {(£, т) | 0 ^ ^ г, £ + £ — г ^ т ^ — £ + £ + г} — характеристический

треугольник в плоскости (£, т) с вершиной в точке (г, ¿) и основанием на оси т. Выше была использована формула Даламбера с данными Коши на плоскости г = 0. Из формулы (8), являющейся решением прямой задачи (5), (6), с использованием условия (7) на характеристике при £ —>■ г + 0 имеем

Полагая в (9) г = 0, находим условие, которому должна удовлетворять функция д:

у (г + 0, г, х) = 0.

(¿, г, х) Є -О = {(¿, г, х) | 0 < г < х Є М™}, у\г=о = д(х,Ґ) , уг \г=0 = /(М) , і > 0, ж Є М™ и\і=г+о = 0, х Є М™.

(6)

(7)

,х) / ко(а)ь(т — а, £, х)сІа сітсі^, (8)

\

в котором

+ р((,х) ко(а)у(т — а, £, х)с1а с?£. (9)

д(+0, х) = 0.

Дифференцируем равенство (9) по г, получаем

(і Гг

—уо(х + 0,х,х) = / [Ау(2г - (,(,х) + р((,х)к0[2(г - ()} +

Из (8) следует, что d

—Vo{z + О, z, ж) = gt(t, x) \t=2z + /(2-г, ж).

Отсюда и из предыдущего равенства находим условие согласования для заданных функций:

gt(+0,x) = /(+0, ж).

Интегральное уравнение для неизвестной функции p(z, х) находим дифференцированием по ,г соотношения (10):

2 fz

p{z, х) = po{z, х) - -j^-щ j^ [Avt(2z - £, £, х) + р(£, x)k0 (2z - 2£)+

,-2z-2£

+ p(£ix) / ko(a)vt(2z — £ — a, £, x)da\d£>, (11)

Jo

где

Id? 2

Po(z,x) = fco(0) ^2^ + °’^) = -j^jl9tt(t,x) + ft(t,x)]t=2z.

Воспользуемся формулой (8) для вычисления Vt- Дифференцируя это уравнение по t, получим

vt{t,z,x) = Vot(t,Z,x)~

1 fz

~2 Jo {Av^+t-z’^z")+ko(t-z")P(^x")+P(^x") Jo ko(a)v(£+t-z-a,£,x)da-- Av(-£ + t + z,£,x)~ ko(t + z- 2 £>(£, x)-

ft+z-2?

— p(^x) / ko(a)v(t + -г — £ — a, £, x)da\d£>, (12)

Jo

где

Vot(t,Z,x) = ^Vo(t,Z,x) =

= \ \gt{t + z,x)+ gt(t - z, x)} + i [/(i + 2, x) - f(t - z, x)}.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема о локальной разрешимости поставленной задачи.

Теорема. Пусть ko(t) € С1[0,Т], к{0) / 0 и выполнены условия согласования д(+0,ж) = 0, gt{+0,ж) = /(+0,ж), ж € М™, кроме того,

[/(£, ж), <?(i, x),gt(t, ж), /¿(t, x),gtt(t, ж)] € C(ASo, [0,Т]),

max|ll5llS0(i),max(l,^)||/||S0(i), ||&||в0(*)} ^ -y>

Яо —известное положительное число. Тогда найдется а € (О, Т/2) такое, что для любого в € (0, «о) в области Г^т := -ОтП {(¿, 8) | 0 ^ г ^ а(зо — •§)}

существует единственное решение системы уравнений (8), (11), (12), для которого (у,у^ € С(А30,Р), р е С(у180, [0, а(«0 -8)]),

Доказательство. Для удобства дальнейших исследований введём обозначения:

фг^, г, ж) = у(г, г, ж), ф2^, г,х) = у^, г,х), ф3 (г, х) = р (г, х),

ф\{г,г,х) = у0^,г,х), ф02{Ь,г, х) = у0^, г, ж), ф°3 (г, х) = р0 (г, х).

Уравнения (8), (11), (12) образуют полную систему равенств для неизвестных функций в области Бт = {(£, 2, ж) |0 ^ ,г ^ ^ Т — ,г, ж € М™ }. Согласно

введённым обозначениям для вектор-функций ф = (ф1,ф2,фз) запишем эту систему в операторном виде

где В = (В\, В2, В3), и компоненты оператора В в соответствии с интегро-дифференциальными уравнениями (8), (11), (12) определяются по формулам

Т = {(¿, 2, в) | (і, г) Є Ахг, 0 < ^ < а(в0 - 8)},

причем

у - Уо\\3(і,г) ^ Е0,

Ко

80-8

Ф = вф,

(13)

+ фз(£,х) ко(а)фі(т — а,(,х)с1а сітсі£,

1 Ґ "

В2д = до(і, г,х)— І А6л(£+і — г,£,х) + (кп(і — г) — кп(і + г — 2£)6?.(£,х)

Jo

ко(а)фі(і + г — £ — а,£,х)с1а с1£,

ВзФ = Ф°3(г, ж) - ^ Аф2{2г - £, £, ж) + ф3(£, х)к'0(2г - 2£) +

Пусть убывающая числовая последовательность {ап}^=0 определена соотношениями

Ога+1 — О«. +

а число а — формулой

1 \ —1

{п + \у

а = Ит ага = ао ТТ (1 +

п.—АХ \

га=О

{п + \у

-1

Положительное число ао < Т/(2«о) будет выбрано позже. Для уравнения (13) построим последовательные приближения:

фп+1 = Вфп, п = 0,1,2,..., Г = №,<%,<%),

и обозначим

Г = фп+1_фп гг = 0,1,2,..., Г = №,№Ж)-Определим функцию 8;(2) формулой

//Л 8 + ^(-г) га/ \ -г

в'(г) =--—Vй(г) = з0 - —.

" (¿п

(14)

В дальнейшем нижний индекс у ф означает номер компоненты вектор-функции ф, а верхний индекс — номер приближения. Докажем, что при подходящем выборе ао выполнены следующие неравенства:

Хп = тах<( вир

'ШЪ*)

уп(г) — ,в

вир

(М,«)€-Р,

вир

\Ш\8(г)

Ко

Ы8(Ъг)

(уп(г) — в)3

6™+1 — ф°Л (¿,-г)^---------——:—т-, г = 1,2,3,

г||зд1 ' (5о-8)г~1

(ьп(г) — вУ х

< +оо, (15) (16)

для (г, 2,5) € Тга+1. Здесь

Тга = {(¿, -г, 8) I (¿, г) € О от, О < 2 < ап(во - в), 0 < 8 < ¿0}. На самом деле для п = 0 имеем

Здесь использована оценка (4) и введено обозначение к\ = ||&о(£) Нс^о ту Ис-пользуя функцию из (14), для п = 0 получим

1^1 1|Д*) < [ (2-0

, '2 + + Ш)

< То [167Г + 5^(1 + Т0Т)] Г <

/о (и0 (О - 8)

^ То [іб7Г + (1 + ТоТ)]

г>°(,г) — в ’

(М,5) Є Т0.

Поступая аналогично, находим

87ГІЇ0

1^2 ||Д*) < її

.(з'(0-зУ

+ 2/гіДо(1 + 2Тоі)

^ То [іб7Г + (1 + 2ТоТ)]

2воЯо

[іб7Г + /сі (1 + 2ТоТ)]

(г>°(,г) — 8)

2 ’

(і,-г,«) Є Т0,

І^о(0)| 1 и У_| (у°(г) — з)3

В последних оценках были использованы неравенства

, (¿,2^)єТ0.

1

<

1

у (£) — в у°(г) — в

, у°(г)-8<80,

справедливые для £ € (0,-г), в € (0, «о), (¿,г,з) € То. Из полученных оценок следует выполнение неравенства (15) при п = 0. Кроме того, для (¿, 2, 8) € Т1 находим

Ао-г

(у°(г) - .в)1 («о - ¿0

2і 1аоАо £----------г = 1,2,3.

При выборе ао так, что 4аоАо ^ Т, неравенства (16) будут выполняться для п = 0. Покажем методом индукции, что неравенства (15), (16) имеют место и для других п, если выбрать ао подходящим образом. Пусть неравенства (15), (16) справедливы для п = 1,2,3,... ^. Тогда для (і, г, в) Є Fj+\

і г* г*+г-£. 70 </і—г-\-£

\\*Ф{\\ы)+к1тю+

+ М^з11Д)

гт-І

г7"—?

/о

Ь{+1\\{т - а,£)<1а + кі\\ф{\\ / \\ф{\\{т - а,£)<1а

+■

^ гг гі+г-І

2 Уо .г+§ Л;і А^-^Д0(1 + {у3{0 - з)(во - ,вУ

4ттА^

кіХ^ 2кіЕ0Х^£

' , .... . ъ ' , .... . з ~т~

Ь(вЧО - Д Д(£) - 5) Д(£) - Д Д (£) - Д

^ АД [1б7г + к\ (1 + ЗКоТ + То^оТ)]

г^’+Д) — ,в' 43

Здесь в промежуточных выкладках функция в;(£) взята в виде (14) при п = ] и использованы неравенства

(«о - ¿0

2 ’

справедливые согласно индуктивному предположению, а также очевидные неравенства ец ^ ао, у^+1(г) ^ у\г). Аналогичные рассуждения для "02+\ "0з+1 приводят к следующим неравенствам:

<4+1\

8тгЛ^

+

2кг\£ 2к1К0Х^

+

+

&1А.,-^До(1 + (^'(0 - в)(«о - в)2

-(«'(О - в) (^'(0 - в) №(£) - в) (уз(0 ~ з)

с1£ ^ Л^-ао [167Г + к\ (1 + 2КоТ + Ков^Т)]

+

(г^+1(,г:) — в)

2 ’

М>)|

4ттЛ^

+

К^(0 - 5)2(^(0 - ^)2 МО-*)3

+

+

2к1гЕо^(1 + в0)£ 2кг^г£Ко(1 + вд

МО - *Г(*о - + МО - *Г(*о - в?!

<

2\j(lQ

[167Г + /£1во + 2к\КоТ (2 + §о + ¿>о)]

г, (t,z,s)eFj+1.

|^о(0)| '■ " " “ (^'(-г) - «)г

Из ПОЛучеННЫХ ОЦеНОК Следует ^ А-/Р, < оо,

р = ао [167Г + тах(1, «о) &1 + 2к\КоТ(2 + во + «о)] тах(1, ао,2|/го(0)|-1). Вместе С тем ДЛЯ (¿, 2, 8) € Fj+2 имеем

¿7+2 ,0

7 + 1

7 + 1

</>°|ЦМ^£||^+1-</>?1и(М) =

га=0 7 + 1

£1кШм)<£

Л„2

(г^(з) - в)г ' (в0 - в)г 1 ^ (1 - а^+гай1) 7 + 1

-1\г

п=О

<

Аоао

(«о - «)

г-1

£рга(п + 1)2г, ¿ = 1,2,3.

п=О

Выберем ао € (О, Т/2) таким, что

СЮ

р ^ 1, Л0а0 ^ рп(п + I)6 ^ Д0.

Тогда

п=О

Так как выбор ао не зависит от номера приближения, последовательные приближения фп = (0™,05,0з) принадлежат С(Р,А3), Т = П^іо^7« и Для них имеют место неравенства

\\Фі - ФіІІзІЇ’*) ^ 7-Д°чг-1’ (М,5)єТ, г = 1,2,3.

^О^)*

При в Є (0, во) ряды Х^1о (0? — 0?_1)> * = 1)2,3, сходятся равномерно в норме пространства С(Р,А3), поэтому фп = (0™,02,0™) —> ф = (0і,02,0з) предельная функция ф является элементом С(Р,А3) и удовлетворяет уравнению (13).

Покажем, что найденное решение единственно. Пусть ф^ = (0^, 0^, ф^)

и ф^ = (0^, 0^, 0^)—любые два решения, удовлетворяющие неравенствам

Н0?} - 0°ШМ) < До, ¿ = 1,2,3; і = 1,2, (і, 2, в) Є К

Обозначим Юі = ф^ — ф^\ г = 1, 2, 3, и пусть

(Ф) - «)

А = max < sup

ЫКЗ I (t,z,s)&F

< оо,

о° , х-1

где г»(г) = во — s/a, a = ao П (1 + 7—) • Тогда из формулы (13) для

п=о ^ (га+1) '

функций и)і можно получить соотношения

W\(t, z, х) = —

A (z,t)

Awi(t,£,x) + ко(т - £)w3(C,x)+

fT~i (1)

+ ws(£,x) / ко(а)ф\ (т — а, {,ж)с?а+

J о

(2) Г“?

+ 0з (£,ж) / ko(a)w\(T — a,£,x)da

Jo

drd£,

w2(t,z,x) = ~\ J

[T-t m

— Aw\(£ + t — z, £, x) + ws(£, x) / ко(а)ф\ ({ + t + z — a, £, x)da—

Jo

Aw і (£ + i - z,£,x)+(ko(t - z) - ko(t + z- 2£))ги3(£,ж)-

Т-І

(2) ft+Z~2?

— 03 (С,ж) / ko(a)w\(t + z — £ — a, £, x)da Jo

W3(t,x) = -

Ао(0)

Aw2(2z - £, £, x) + k'0(2z - 2£)w3(£, ж) +

+ ws (£, х) ко{а)ф^ (2z — £ — а, £, ж)с?а+

/2)

+ 0з (£,ж) ko(a)w2(2z — £ — a,£,x)da d£

Применяя к ним оценки, приведённые выше, имеем неравенство Л ^ Хр1, где

р' = а [167Г + max(l, so)k\ + 2kiRoTo(2 + sq + Sg)] max(l, ao, |&o(0)| *) < p < 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Овсянников Л. В. Нелинейная задача Коши в шкалах банаховых пространств // Докл. АН СССР, 1971. Т. 200, №4. С. 789-792; англ. пер.: Ovsyannikov L. V. A nonlinear Cauchy problem in a scale of Banach spaces // Sov. Math., DokL, 1971. Vol. 12. Pp. 1497-1502.

2. Nirenberg L. Topics in nonlinear functional analysis. New York: Courant Institute Math. Sci., New York University, 1974. viii+259 pp.

3. Романов В. Г. О локальной разрешимости некоторых многомерных обратных задач для уравнений гиперболического типа// Дифференциальные уравнения, 1989. Т. 25, №2. С. 275-283; англ. пер.: Romanov V. С. Local solvability of some multidimensional inverse problems for equations of hyperbolic type // Differ. Equ., 1989. Vol. 25, no. 2. Pp. 203-209.

4. Романов В. Г. Вопросы корректности задачи определения скорости звука // Сиб. ма-тем. журн., 1989. Т. 30, №4. С. 125-134; англ. пер.: Romanov V. С. Questions of the well-posedness of a problem of determining the speed of sound // Siberian Math. J., 1989. Vol. 30, no. 4. Pp. 598-605.

5. Романов В. Г. О разрешимости обратных задач для гиперболических уравнений в классе функций, аналитических по части переменных // Докл. АН СССР, 1989. Т. 304, №4. С. 807-811; англ. пер.: Romanov V. С. On the solvability of inverse problems for hyperbolic equations in a class of functions analytic in some of the variables // Sov. Math., DokL, 1989. Vol. 39, no. 1. Pp. 160-164.

6. Дурдиев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. матем. журн., 1994. Т. 35, №3. С. 574-582; англ. пер.: Durdiev D. К. A multidimensional inverse problem for an equation with memory // Siberian Math. J., 1994. Vol. 35, no. 3. Pp. 514-521.

7. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный Мир, 2005. 296 с. [Romanov V. С. Stability in inverse problems. Moscow: Nauchniy Mir, 2005. 296 pp.]

Следовательно A = 0. Поэтому ф^ = ф^\ i = 1,2,3. Теорема доказана. □

Поступила в редакцию 22/VI/2012; в окончательном варианте — 04/IX/2012.

MSC: 35R30; 35L10, 35R10, 35L20

THE LOCAL SOLVABILITY OF A PROBLEM OF DETERMINING THE SPATIAL PART OF A MULTIDIMENSIONAL KERNEL IN THE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF HYPERBOLIC TYPE

D.K. Durdiev1, J.Sh. Safarov2

1 Bukhara State University,

11, M. Ikbol str., Bukhara, 705018, Uzbekistan.

2 Tashkent University of Information Technology,

108, A. Timur str., Tashkent, 700000, Uzbekistan.

E-mail: durdiev65amail.ru

The multidimensional inverse problem of determining spatial part of integral member kernel in integro-differential wave equation is considered. Herein, the direct problem is represented by the initial-boundary problem for this with zero initial data and Neyman’s boundary condition as Dirac’s delta-function concentrated on the boundary of the domain (x, t) £ Rn+1, z > 0. As information in order to solve the inverse problem, on the boundary of the considered domain the traces of direct problem solution are given. The significant moment of the problem setup is such a circumstance that all given functions are real analytical functions of variables x £ Rn. The main result of the work is concluded, in obtaining the local unique solvability of the inverse problem in the class of continuous functions on variable z and, analytical on other spatial variables. For this, by means of singularity separation method, the inverse problem is replaced by the initial-boundary problem for the regular part of the solution of this problem. Further, direct and, inverse problems are reduced to the solution of equivalent system of Volterra type integro-differential equations. For the solution of the latter, the method of Banach space scale of real analytical functions is used.

Key words: integro-differential equation, inverse problem, uniqueness, estimate of stability, pulse source, characteristic.

Original article submitted 22/VI/2012; revision submitted 04/IX/2012.

Durdimurod K. Durdiev (Dr. Sei. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of Mathematical Physics & Analysis.

Jurabek Sh. Safarov, Engineer Programmer, Center of Information Technology.