К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2019, Том 21, Выпуск 2, С. 58^66

УДК 517.958

DOI 10.23671/VNC.2019.2.32117

К ВОПРОСУ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТРИЧНОГО ЯДРА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ АНИЗОТРОПНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Ж. Д. Тотиева1'2

1 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22;

2 Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46 E-mail: jannatuaeva@inbox.ru

Аннотация. Рассматривается обратная задача определения матричного ядра K(t) = (K1, K2, K3)(t), t £ [0,T], входящего в систему интегро-дифференциальных уравнений анизотропной вязкоупруго-сти. Прямая начально-краевая задача состоит в определении вектор-функции смещения u(x,t) = (u1,u2,u3)(x,t), x = (x1,x2,x3) £ R3, x3 > 0. Предполагается, что коэффициенты уравнений системы (плотность и модули упругости) зависят только от пространственной переменной x3 > 0.

x3 = 0

дельта-функцию Дирака (граничное условие Неймана специального вида). Обратная задача сводится к изученным ранее задачам определения скалярных ядер Ki(t), i = 1, 2, 3. В качестве дополнительного условия задается значение преобразования Фурье по x2 от функции u(x, t) на поверхности

x3 = 0

ной задачи. Идея доказательства глобальной разрешимости состоит в применении принципа сжатых отображений к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода в банаховом пространстве с весовыми нормами.

Ключевые слова: обратная задача, устойчивость, дельта-функция, модули упругости, матричное ядро.

Mathematical Subject Classification (2010): 35L20, 35R30, 35Q99.

Образец цитирования: Тотиева Ж. Д. К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости // Владикавк. мат. журн.—2019.—Т. 21, вып. 2.—С. 58-66. DOI: 10.23671/VNC.2019.2.32117.

1. Введение

Многим средам (материалам) свойственна зависимость процессов деформирования от скорости и времени, которая отсутствует в уравнениях теории упругости. Такие среды проявляют как мгновенную, так и замедленную реакцию на нагрузку. Это свойство называют памятью. Другая особенность состоит в том, что в средах с памятью сочетаются способности запасать энергию подобно упругим телам и рассеивать подобно средам с вязкими свойствами. Такие среды (материалы) называются вязкоупругими. Более точное исследование с помощью математических методов процесса распространения электромагнитных, акустических и упругих волн в вязкоупругих средах требует учета памяти (предыстории) процесса. Для электромагнитных волн это связано с явлением дисперсии

©2019 Тотиева Ж. Д.

волн, а для акустических и упругих волн — с наличием вязкости среды. Сама теория линейной вязкоупругости достаточно развита и доступна для широкого применения (см. [1-4] и цитированную там литературу). Но, как отмечается в работе [5], «многие математические свойства линейного определяющего соотношения вязкоупругости — даже напрямую связанные с моделированием классических реологических эффектов и типичных кривых поведения материалов — еще малоизвестны, полный арсенал возможностей линейной теории не выявлен, область ее адекватности до сих пор не очерчена достаточно четко и явно, а компьютерное моделирование нередко остается без необходимого фундамента».

Необходимость разработки методов решения обратных задач теории волновых процессов в вязкоупругих средах обуславливает актуальность данного исследования.

Статья обобщает результаты работы [6] на случай матричного ядра. В ней определялось одномерное скалярное ядро интегрального оператора типа свертки, входящего в систему изотропной вязкоупругости для сосредоточенного источника возмущений, локализованного на границе рассматриваемой области. При этом в качестве дополнительной информации задавался след решения прямой задачи на поверхности хз = 0. В работах [6-9] приводится подробный обзор имеющихся публикаций по данному направлению исследований. Можно добавить к имеющемуся обзору работы [10, 11], в которых решены задачи по определению скалярных ядер для интегро-дифференциальных уравнений акустики и БН-волн в вязкоупругой пористой среде соответственно. Работы [12, 13] содержат результаты по определению матричных ядер для системы уравнений анизотропной вязкоупругости для однородной среды и для случая изотропной вязкоупругости с источником возмущения типа направленного взрыва для неоднородной среды.

Полная система дифференциальных уравнений для неоднородной анизотропной вязкоупругой среды состоит из следующих уравнений:

д2щ ' М2

\ ^ дТу дх 7-

.7=1

г = 1,2,3.

(1.1)

Здесь х = (х1,х2,хз) € М3, р = р(х) — плотность неоднородной среды, р(х) > 0, и = (и1(х, ¿), и2(х, ¿), и3(х, ¿)) — вектор смещений.

В вязкоупругих материалах для тензора напряжений имеют место представления:

Т. = £ .

к,1=1

ь

Яы + IК(г - т)Яы(х,т) йт

г = 1,2,3,

3 = 1, 2, 3,

(1.2)

где

Як1 =

дик дщ\ дхг дхк)

к = 1,2,3, I = 1,2,3,

е.к1 = с.к1 (х) — модули упругости, К(¿) = (К1, К2, Кз)(*) _ функция релаксации среды. Симметричность тензора напряжений уменьшает число независимых модулей упругости с 81 до 21. Если принять, что са^ = с.и, где а = (гз) и в = (к1), в соответствии с обозначениями (11) ^ 1, (22) ^ 2, (33) ^ 3, (23) = (32) ^ 4, (13) = (31) ^ 5, (12) = (21) ^ 6, то матрице независимых модулей упругости можно придать вид симметрической матрицы порядка 6 х 6, поскольку в паре индексов (г, 3) порядок не играет роли и существует только шесть различных парных комбинаций. Будем рассматривать анизотропные среды с матрицей независимых модулей упругости следующего вида:

С-а/З

С11 С12 С12

С12 С11 С12 О(зхз)

С12 С12 С11

С44 0 0

О(зхз) 0 С44 0

0 0 С44

(1.3)

2. Постановка задачи

Рассмотрим при х = (ж1,ж2,жз) € R3, t € R, хз > 0, систему интегро-дифференциальных уравнений динамической вязкоупругости (1.1)—(1.2)

ф = Zip г = 1,2,3, Жз>0, (2.1)

j=i j

при следующих начальных и граничных условиях:

ui<0 = 0, j = 1, 2, 3, (2.2)

Tj3|x3=+c = fj(xi,t), j = 1, 2, 3. (2.3)

Далее предполагаем, что модули упругости сц, С12, С44 и плотность р являются функциями только одной переменной Хз, а вектор-функция (сц, С12, С44, р) принадлежит классу A(m), m = const:

Л(т) ^ |(сц(хз),С12(хз),С44(хз),р(хз)) :

c11 ^ m > 0, с44 ^ m > 0, с11 > с12, с11 + 2с12 > 0, р ^ m > 0, с'ц(+0) = 0, с44(+0) = 0, р'(+0) = 0,

С11,С44,р € C2(R+), С12 € C(R+)}, R+ :=[0, к>).

Определим билинейный интегральный оператор Ь по формуле

г

т (г),ф,г)] = чмн/ к „ -.)

о

(здесь К(Ь), и(ж, Ь) - скалярные функции). В дальнейшем для сокращения записи иногда

Ь

зависимость первой — от а второй — от ж, Ь.

Равенства (2.1)—(2.3) для анизотропных сред с матрицей (1.3) могут быть переписаны в следующем виде:

d2U1

д i du А д2из д ( диз

Ki, т;— С44-— + С12-.—^--Ь т;— С44-—

дхз \ дхз / дх1дхз дхз \ дх1

d2ui д2и^ д2и2

+ С44 —— + Си—-о- + (с 12 + С44) —-—

дх2 дх| дх1дх2

(2.4)

д2и2

Ь

К»

дхз

с44

ди^\ д2из д / диз\

- 1 + С\2--1--1 Глл- I

дхз

дхэдхз ^ дхз

с44

дх2

д2ио д2и2 + ~ + Сц — — + (с 12 + с44)

дх21

дх2

д2и1 дх1дх2

(2.5)

д2из г

9 / <9-и3 дхз \И<9ж3

д2и1 д ь -— Н--

дх1дхз дхз

кз, т— си— + с44 ——---ь т— С12Т—

ди1

д2и2 , д / ди^\ д2из д2из

+ с44——---ь т;— с12т;— + с44 9 + с44 9

дх2дхз дхз \ дх2 / дх2 дх2

(2.6)

Ь

Ь

диз ди1

Л1, с44 —--Ь с44-—

дх1 дхз

диз ди2

к2, с44 —--ь с44-—

дх2 дхз

= /1(х1,^),

хз=+0

= /2(х1, ¿),

хз=+0

Ь

дит дио диз

Кз,С12~--Ь С12—--Ь сц——

дх1 дх2 дхз

= /з(х1,£),

и<0

хз=+0

= 0, г = 1,2,3.

(2.7)

(2.8)

(2.9) (2.10)

Задачу определения вектора смещения и(х,£), удовлетворяющего (в обобщенном смысле) равенствам (2.1)—(2.3) при заданных функциях р(хз), с11(хз) с12(хз), с44(хз), К.(¿), /7(х1, ¿), 3 = 1, 2, 3, будем называть прямой задачей.

Зам ечание. Так как коэффициенты уравнений и граничные условия в системе (2.4)—

х2 и

х2

Запишем соотношения (2.4)^(2.10) в терминах преобразования Фурье по перемен-х1 .

д2Щ

д ( диЛ . диз . д , гг. 2 г '

Кь т— С44 —— + гиси---Ь ги—— (С44С/3) - ъ> сц111

дхз дхз дхз дхз

д2и2 т

К 9 ( д11*\ 2 тт

к2, т— С44 —- - V С44С/2

дхз дхз

д2Уз ' сЯ2

Ь

„ д ( дЦЛ . д^1 . д , ггл 2 г '

Кз, -— I ситг— ) + гис44---Ь IV-.— (с^СД) - V с44£/3

дхз

дхз )

Ь

К1, гс44 + с44

дхз

дИг дхз

дхз = ^(М),

Ь

К2, с44

д^2

Ь

дхз

Кз, г^с^и + сц

хз=+0

=

хз=+0

диз

дхз

= *з(М),

хз=+0

и.

7 1ь<0

= 0, 3 = 1, 2, 3,

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16) (2.17)

где

те

и,и(ж1, ж3, £) exp(гvж1) j

= 1, 2, 3,

С»

^/, (жl,í)exp(гvжl) ^жь j = 1,2,3,

—те

V — параметр, функции и, € С 1(М; С (!)), I) = {(ж3, : ж3 ^ 0, 0 ^ £ ^ Т}, Т > 0.

Систему (2.11)—(2.17) можно рассматривать как совокупность двух подсистем. Пер-

и1

и3. Вторая — (2.12), (2.15), (2.17) определяет функцию и2. Обратная задача. Пусть

/, (жь*) = ¿'(¿Жж^, ; = 1, 2, 3;

где — производная дельта-функции Дирака, ¿(ж!) — дельта-функция Дирака. Определить ядро К(£) = diag(K1, К2, К3)(£), £ > 0, входящее в равенства (2.1) посредством формулы (1.2), если относительно вектор-функции (и1,и2,и3) решения прямой задачи известна дополнительная информация

и,-(ж3,V)|хз=+о,^=+о = (£), £> 0, ; = 1,2,3, где (£) — заданные функции.

(2.18)

3. Решение обратной задачи

Из равенств (2.11)—(2.17) для функций

и,1 = и,(ж3, V) |^=+о, j = 1, 2, 3, получаем независимо решаемые задачи (3.1)—(3.2), (3.3)-(3.4) и (3.5)-(3.6)

д2и\

ь

' д ( диг дж3 \ дж3

и1 и - 0 ь

К1,С44

дж3

ь

и114<о - 0 ь

хз=+0

а (сшди*\

2' <9ж3 \ 44 дх3 )

ди '

К2,С44

дж3

ь

д

Кг, т— i си

дж3 дж3

хз=+0

ди3

и114<о - 0 ь

К3,сп

диз

дж3

хз=+о

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Введем в рассмотрение новые переменные у гпо формулам

хз г

У = ФЛх3) := I У1(ж3) := Ф

г\ '

С44(Ж3)

р(хз) :

хз г

г = ф2(ж3) := ! у2(ж3) :=

г\ '

Сц(ж3) р(хз) .

Через ф- 1 обозначим функцию, обратную к ф-, 3 = 1, 2. Пусть

щ (^Щ) , ,

У1 (ФГЧу)) р (ФГ1 (у))

У2(+0)р(+0)

У2 (ф^СЮ) р(ф2г1(^))-

Тогда обратная задача в терминах вновь введенных функций и переменных у, г приводится к задаче определения матричного ядра К(*) = diag(Kl, К2, Кз)(*) из следующих соотношений:

д2-у-

Ь

Ь

д2^ ' ТГТ +

ду2

кз -

ду

У=+0

Ь

Ь

кг, +

Кз

дг2

дг

, у > 0, * € М, = ай'(*), 3 = 1, 2,

, г > 0, * € М,

= ьг'(*),

г=+0

V

7 1ь<0

= 0, 3 = 1, 2, 3,

V- (+0, *) = (*), 3 = 1, 2, 3,

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

где

Ау) _ ^_

, <?(г) :=

Р(г)

2

_р(г) _

а := [с44(+0)р(+0)]-2 , 6 := [Сц(+0)р(+0)]"з .

Задача (3.7)—(3.12) распадается на три независимые задачи по определению К1(*), К2 (*), Кз(*) соответственно. Решение каждой задачи может быть проведено аналогично исследованию обратной задачи, изученной в [6].

Таким образом, из [6] следует справедливость следующих теорем однозначной глобальной разрешимости и устойчивости обратной задачи определения матричного ядра (доказательство проводится по аналогии для каждого элемента КД*), г = 1, 2, 3):

Теорема 1. Пусть функция д. (*) представима в виде

д.-(*) = А-¿(*) + 0(*)д0,-(*), (Аь А2, Аз) := (а, а, Ь)

и до,(£) € С2 [0, Т] , j = 1, 2, 3; — функция Хевисайда. Кроме того, (р, с44) € С3 [0, ——1 (Т/2) , с11 € С3 [0, —— 1(Т/2)]. Тогда существует единственное решение обратной задачи К(£) = diag(K1, К2, К3)(£) £ € С2[0, Т], при любом фиксированном Т > 0.

Пусть Г(Ло) — множество скалярных функций К(£) € С2[0, Т], удовлетворяющих для £ € [0,Т] неравенству ||К(£)||с2[о,т] ^ Ло с фиксированной положительной постоянной Ло-Эта постоянная определена в [6].

Теорема 2. Пусть К(£) = diag(Kl, К2, К3)(*), К*(£) = diag(KÍ, К|, К|)(£), К, (£), К1 (£) € Г(Ло,), j = 1, 2, 3, — решения обратной задачи с набором данных

{Р(-Гс44—1 (У)), с11(-—1(г)) #о,(£)} ,

{р1^—!(у)), с14(-—!(у)), cÍl(-—1 (г)), ,)} соответственно. Тогда найдется такое положительное число С = С(т, Ло, Лоо, Т),

Лоо = т^{ |р|Сз[о,^-1(Т/2)], |с44|сз[о,^-1(Т/2)], ||с11 |С3[о,^-Т1(Т/2)] , Н^о, (£)|С2[о,Т], что справедлива оценка устойчивости

£\\K (t) - K*(i)||C3 [о>г ] < C j=i

\\p - P*\c3[0,^-1(T/2)j + ||c44 - C44\c3[0,^-1(T/2)j

+ \\cll - Cil|c3[0,^2-1(t/2)j + y1 ||g0j - \\c2[0,T]

j=1

< Из [6] следуют оценки У К1(£) - К1= (£) У С2 [о,Т] ^ С У р - Р1 У У сз [о,^-1 (Т/2)] + У с44 - с44 У Сз [о,^-1 (Т/2)] У^о 1 - 5о 1 У С2 [о,Т]

||К2(£) -К21(£)Ус2[о,т] ^ С УР-Р1Усз[о,^11(т/2)] + ||с44 -с44^[о,^-1^)] У#о2 -#о2У с2 [о,т]

||К3(£)-К31(£)|с2[о,т] ^ С ||Р-Р1Усз[о,^11(т/2)] + Ус11 -с11Усз[о,^11(т/2)] + У^о3-5,о3||с2[о,т] Складывая почленно эти неравенства, мы получаем требуемую оценку. >

Литература

1. Кристенсен Р. М. Введение в теорию вязкоупругости.—М.: Мир, 1974.—340 с.

2. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.—М.: Наука, 1977.—384 с.

3. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.—М.: Наука, 1988.—712 с.

4. Pipkin А. С. Lectures on Viscoelasticity Theory.— Berlin: Springer, 1986.—199 p.

5. Хохлов А. В. Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Наука и образование. МГТУ им. Н. Э. Баумана.—2016.— № 5.—С. 187-245.

6. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости // Сиб. жури, ипду стр. Mil I f'M. 2013. Т. 16, № 2—С. 72-82.

7. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении многомерного ядра уравнения вязкоупругости // Владикавк. мат. журн.^2015.^Т. 17, № 4.-С. 18-43. DOI: 10.23671/VNC.2015.4.5969.

8. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра электровязкоупругости // Сиб. мат. журн.—2017.—Т. 58, № З.-С. 553-572. DOI: 10.17377/smzh.2017.58.307.

9. Тотиева Ж. Д., Дурдиев Д. К. Задача об определении одномерного ядра уравнения термовязко-упругости // Мат. заметки.^2018.^Т. 103, № 1.-С. 129-146. DOI: 10.4213/mzml0752.

10. Сафаров Ж. Ш.; Дурдиев Д. К. Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения акустики // Диф. уравнения.—2018.—Т. 54, № 1—С. 136-147.

11. Дурдиев Д. К., Рахмоиов А. А. Обратная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений SH-волн в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость // Теор. и мат. физика.— 2018.^Т. 195, № З.-С. 491-506. DOI: 10.4213/tmf9480.

12. Durdiev D. К., Durdiev U. D. The problem of kernel determination from viscoelasticity system integro-differential equations for homogeneous anisotropic media // Наносистемы: физика, химия, математика.^2016.—Т. 7, № 3—С. 405-409. DOI: 10.17586/2220-8054-2016-7-3-405-409.

13. Durdiev D. К., Totieva Zh. D. The problem of determining the one-dimensional matrix kernel of the system of viscoelasticity equations // Math. Meth. Appl. Sci—2018—Vol. 17, № 17—P. 8019-8032. DOI: 10.1002/mma.5267.

14. Туаева Ж. Д. Многомерная математическая модель сейсмики с памятью // Исслед. по диф. уравнениям и мат. моделированию.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.—С. 297-306.

Статья поступила Ц июня 2018 г. Тотиева Жанна Дмитриевна

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, старший научный сотрудник отдела математического моделирования РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22;

Северо-Осетинский государственный университет им. К. JI. Хетагурова, доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46 E-mail: jannatuaeva@inbox.ru

Vladikavkaz Mathematical Journal 2019, Volume 21, Issue 2, P. 58 66

THE PROBLEM OF DETERMINING THE MATRIX KERNEL OF THE ANISOTROPIC VISCOELASTICITY EQUATIONS SYSTEM

Totieva, Zh. D.1'2

1 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Marcus St., Vladikavkaz 362027, Russia; 2 North Ossetian State University, 44-46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia E-mail: jannatuaeva@inbox.ru

Abstract. We consider the problem of determining the matrix kernel K(t) = diag(K1; K2, K3)(t), t > 0, occurring in the system of integro-differential viscoelasticity equations for anisotropic medium. The direct initial boundary value problem is to determine the displacement vector function u(x,t) = (u1,u2,u3)(x,t), x = (xi,x2,x3) £ R3, x3 > 0. It is assumed that the coefficients of the system (density and elastic modulus) depend only on the spatial variable x3 > 0. The source of perturbation of elastic waves is concentrated on x3 = 0

kind). The inverse problem is reduced to the previously studied problems of determining scalar kernels Ki (t), i =1, 2, 3. As an additional condition, the value of the Fourier transform in x2 of the function u(x, t) is given

x3 = 0

are given. The idea of proving global solvability is to apply the contraction mapping principle to a system of nonlinear Volterra integral equations of the second kind in a weighted Banach space.

Key words: inverse problem, stability, delta function, elastic moduli, coefficients, matrix kernel.

66

ToTHSBa A\. /J.

Mathematical Subject Classification (2010): 35L20, 35R30, 35Q99.

For citation: Totieva, Zh. D. The Problem of Determining the Matrix Kernel of the Anisotropic Viscoelasticity Equations System, Vladikavkaz Math. J., 2019, vol. 21, no. 2, pp. 58-66 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2019.2.32117.

References

1. Kristensen, R. M. Vvedenie v teoriyu vyazkouprugosti [Introduction to the Theory of Viscoelasticity], Moscow, Mir, 1974, 340 p. (in Russian).

2. Rabotnov, Yu. N. Elementy nasledstvennoj mekhaniki tverdyh tel [Elements of Hereditary Mechanics of Solids], Moscow, Nauka, 1977, 384 p. (in Russian).

3. Rabotnov, Yu. N. Mekhanika deform,iruemoyo tverdoyo tela [Mechanics of a Deformable Solid], Moscow, Nauka, 1988, 712 p. (in Russian).

4. Pipkin, A. C. Lectures on Viscoelasticity Theory, Berlin, Springer, 1986, 199 p.

5. Khohlov, A. V. The Qualitative Analysis of Theoretic Curves Generated by Linear Viscoelasticity Constitutive Equation, Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E.Baumana [Sience and Education], 2016, no. 5, pp. 187-245.

6. Durdiev, D. K. and Totieva, Zh. D. The Problem of Determining the One-Dimensional Kernel of the Viscoelasticity Equation, Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2013, vol. 16, no. 2, pp. 72-82 (in Russian).

7. Durdiev, D. Q., Totieva, Zh. D. The Problem of Determining the Multidimensional Kernel of Viscoelasticity Equation, Vladikavkaz Math. J., vol. 17, no. 4, pp. 18-43. (in Russian). DOI 10.23671/VNC.2015.4.5969.

8. Durdiev, D. K. and Totieva, Zh. D. The Problem of Determining the One-Dimensional Kernel of the Electroviscoelasticity Equation, Siberian Mathematical J., 2017, vol. 58, no. 3, pp. 427-444. DOI: 10.1134/S0037446617030077.

9. Durdiev, D. K. and Totieva, Zh. D. The Problem of Finding the One-Dimensional Kernel of the Thermoviscoelasticity Equation, Mathematical Notes, 2018, vol. 103, no. 1-2, pp. 118-132. DOI: 10.1134/S0001434618010145.

10. Safarov, Zh. Sh. and Durdiev, D. K. Inverse Problem for Integro-Differential Equation of Acoustics, Differencial'nye uravnenija [Differential Equations], 2018, vol. 54, no. 1, pp. 136-147 (in Russian).

11. Durdiev, D. K. and Rahmonov, A. A. Inverse Problem for A System of Integro-Differential Equations for SH Waves in a Visco-Elastic Porous Medium: Global Solvability, Theoretical and Mathematical Physics, 2018, vol. 195, no. 3, pp. 923-937. DOI: 10.1134/S0040577918060090.

12. Durdiev, D. K. and Durdiev, U. D. The Problem of Kernel Determination from Viscoelasticity System Integro-Differential Equations for Homogeneous Anisotropic Media, Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2016, vol. 7, no. 3, pp. 405-409.

13. Durdiev, D. K. and Totieva, Zh. D. The Problem of Determining the One-Dimensional Matrix Kernel of the System of Viscoelasticity Equations, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2018, vol. 17, no. 17, pp. 8019-8032. DOI: 10.1002/mma.5267.

14. Tuaeva, Zh. D. Multidimensional Mathematical Model of Seismic Memory, Issledovaniya po differen-cial'nym uravneniyam i matematicheskomu modelirovaniyu [Research on Differential Equations and Mathematical Modeling], Vladikavkaz, VNC RAN, 2008, pp. 297-306 (in Russian).

Received June 14, 2018 Zhanna D. Totieva

Southern Mathematical Institute VSC RAS,

22 Marcus St., Vladikavkaz 362027, Russia,

Senior Researcher of the Department of Math. Modeling;

North Ossetian State University,

44-46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia,

Associate Professor of the Department of Math. Analysis

E-mail: jannatuaeva@inbox.ru