Задача об определении многомерного ядра уравнения вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 4, С. 18-43

УДК 517.958

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ МНОГОМЕРНОГО ЯДРА УРАВНЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Д. К. Дурдиев, Ж. Д. Тотиева

Рассматривается интегро-дифференциальная система уравнений вязкоупругости. Прямая задача заключается в определении вектора смещений из начально-краевой задачи для этой системы. Предполагается, что ядро, входящее в интегральный член уравнения, зависит как от временной, так и от пространственной переменной х2 • Для его отыскания задается дополнительное условие относительно первой компоненты вектора смещения при х3 = 0. Обратная задача заменяется эквивалентной системой интегральных уравнений для неизвестных функций. Исследование проведено на основе метода шкал банаховых пространств аналитических функций. Доказана теорема локальной разрешимости обратной задачи в классе функций, аналитических по переменной х2 и непрерывных по t.

Ключевые слова: обратная задача, устойчивость, дельта-функция, коэффициенты Ламе, ядро.

1. Постановка задачи

Рассмотрим при x = (x\,Х2 ,Хз) G R3, t G R, Ж3 > 0 систему интегро-дифференциальных уравнений

d2Ui

Р-

dt2

у© 9Тд

j=1

dx,

i = 1,2,3,

при следующих начальных и граничных условиях:

Ч<0 — 0,

Тз,\X3=+o = Si,S'(t)/2, j = 1,2,3,

(1.1)

(1.2)

(1.3)

где u(x,t) = (u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t)) — вектор смещений, S'(t) — производная дельтафункции Дирака; S, — символ Кронекера; Т, — тензор напряжений:

Tij(x,t) = Oij[u](x,t) + y k(x2,t - r)oij[u](x,T) dr,

(1.4)

од — напряжения, для которых согласно закону Гука имеет место представление

dui du,

Oij[u\(x,t) = д --------h +^'Adivn.

dx, dx

(1.5)

Система уравнений (1.1)—(1.5) возникает в теории вязкоупругих сред с переменными плотностью р и коэффициентами Ламе А, д. В данной работе предполагается, что р =

© 2015 Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д.

р(хз), р = р(хз), А = А(жз) являются функциями одной переменной и принадлежат множеству

Л := {р(хз),А(хз),р(хз) G C2([0, то)) :

р(жз) > 0, р(хз) > 0, А(хз) > 0; р'(+0) = ф(+0) = А'(+0) = 0|.

При сделаннв1х предположениях из равенств (1.1)—(1.5) следует, что иДхД) =

ui (х2, хз, t) = 0 U2 = из = 0 и функция А(хз) не будет входить в остающиеся уравнения [1]. Обратная задача заключается в определении ядра к(х2,t), t > 0, входящего в (1.1) посредством формулы (1.4), если относительно решения задачи (1.1)—(1.5) известна дополнительная информация

и\(х2,хз,t) |хз=+0 = д(х2,t), t> 0, (1.6)

д(х2,t) — заданная функция.

Данная постановка обратной задачи без учета зависимости ядра уравнения к от х2 была рассмотрена в (2]. При решении применялся принцип сжатых отображений в пространстве непрерывных функций с весовыми нормами к системе интегральных уравнений, которая является эквивалентной обратной задаче. Доказана теорема глобальной однозначной разрешимости и получена оценка устойчивости решения задачи определения ядра. Для исследования обратной задачи поставленной в этой статье используется метод шкал банаховых пространств аналитических функций, развитый в работах Л. В. Овсянникова (3, 4] и Л. Ниренберга [5]. В. Г. Романов с некоторыми модификациями применял этот метод к решению многомерных коэффициентных обратных задач (6-8]. В работах (9-11] на основе этого метода исследованы обратные задачи определения многомерного ядра в гиперболических уравнениях. Здесь вводится шкала аналитических по х2 функций и устанавливается локальная теорема существования решения рассматриваемой обратной задачи.

2. Предварительные построения и основной результат

Определим билинейный интегральный оператор L по формуле

t

L [к(х2Д),и(х2, хз, t)] = и(х2,хзД)+ / к(х2,t - т)и(х2,хз, т) dr.

0

В дальнейшем, для сокращения записи, иногда не будем в операторе L указывать зависимость функций от переменных, подразумевая зависимость первой функции от переменных х2, t, а второй — от х2, хз, t.

Перепишем равенства (1.1)—(1.5) относительно ненулевой компоненты вектора смещений и (х2, хз, t):

р(хз)

д2щ

dt2

d

дхз

P^)L

ди1

дхз

+ р(хз)

д

дх2

L

к,

Ui |t<0 = 0

L

к,

ди1

дхз

хз=0

2р(0).

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Далее индекс «2» у переменной x будет опущен.

Введем в рассмотрение новую переменную у по формуле

хз

у = ф(х3) := J v{Жз) :=

Ы(хз)

р(хз)'

Через ф 1(у) обозначим функцию, обратную к ф(х3). Пуств

vix v t) ■= .,(„)■= ,/_____1/<+°>')<+°>

и\х’У’1)- „Г,л ’ пГл-h

s(y)

v (ф-1(У)) Р (ф-1 (У))'

Тогда обратная задача (2.1)Д2.3), (1.6) в терминах вновв введенных функций и переменной у принимает вид

d2v dt2

L

d2v

^2 +

1 2 д T + v2—L , dv к, ——

dx dx

у > 0, (x, t) £ R2

v(x,y,t)|t<0 = 0,

ALikvi __am

дуЬ[к,в\у=+0- 2 ,

v(x, y, t) |y=+0 = g(x, t), t> 0, x £ R,

(2.4)

(2.5)

(2.6) (2.7)

4 (у)

s(V)

1 2

a = ф(+0)р(+0)] 2 . В уравнении (2.4)

где введенв1 обозначения q(y) := sg^ —2

и далее под v понимается функция v (ф-1(у)) .

Рассмотрим операторное уравнение относительно функции v(x, уД)

L [k, v] = exp (k(x, 0)t/2) w(x, у, t). Нетрудно проверить, что v через w выражается по формуле

v(x, у, t) = L [r, exp (k(x, 0)t/2) w],

где

t

r(x, t) = —k(x, t) — J k(x, t — т)r(x, т) dr.

(2.8)

(2.9)

Относительно функций w(x, уД), v(x,y,t) и r(x,t) уравнения (2.4)-(2.7) принимают

вид

d2w d2w

dt2 ду2

t

+я (x,y)w-j h(x_t — r )w(x,y,т) dr

d

+ г/2 ехр(г(ж, 0)t/2) — L

1 dv

к’ 7Г dx

dx

w(x,y,t)|t<0 = 0,

у > 0, (x, t) £ R2

dw

аУ (t) a . .....

2 +4^°^

(2.10)

(2.11)

(2.12)

w\y=+0 = L [ko, g(x,t)] , (2.13)

где

r2 (x 0)

Я (ж, у) := q(y) Н----^-------rt (ж, 0), h(x, t) := ru{ х, t) exp (г (ж, 0)f/2) ,

#(ЖЛ := + g0(x,t)e(t), go(x,t) := с/0(ж, t) exp (г(ж, 0)f/2) ,

k0(x, t) := k(x,t) exp (r(x, 0)t/2) , r0(x, t) := r(x,t) exp (r(x, 0)t/2) .

В последних уравнениях использовано равенство k(x, 0) = —r(x, 0), вытекающее из (2.9). В дальнейшем уравнения (2.10)—(2.13) будем рассматривать в совокупности с равенством (2.8).

Решение прямой задачи (2.8), (2.10)—(2.12) представим в виде

a

w(x, y,t) = - S(t -y) + 0(i - y) w(x, y, t), (2.14)

где w(x, y,t) — регулярная функция. Тогда, как следует из (2.8), функция v имеет следующий вид:

a

V(x, y,t) = - exp (k(x, 0)y/2) S(t - y)

a 2 (2-15)

+ -г(ж, t - y) exp (k(x, 0)y/2) e(t ~y) + e(t - y)v(x, y, t),

где

g(x, y, t) = L0 [r, exp (k(x, 0)t/2) гг] .

Оператор Lo отличается от оператора L лишь тем, что в интеграле в определении L нижний предел равен у.

Подставляя функции (2.14) и (2.15) в уравнения (2.10)—(2.13), воспользуемся методом выделения особенностей. При этом прямые вычисления показывают, что последнее слагаемое в (2.10) принимает вид

v 2а

^жж(ж,0)| + А;2(ж,0)^ 5(t — у) kxx(ж,0)| + kx(ж, 0)yjy^ k(x, t — у) + kx(x, 0)kx(x, t - y)

d

+ v2 exp (г(ж, 0)f/2) — L0

d d

k, — {r(x,t-y)exp(k(x,0)y/2)) + —v

2

0(t — y) o(t — y).

Заметим, что w = W при t > у > 0. При фиксированном x G R обозначая в(x, у) :=

w(x, у, у) и приравнивая коэффициенты при одинаковых особенностях, получим дифференциальное уравнение для нахождения в(x, у)

д_

ду

в(x,y)

|я(ж, у) + ^ (кхх(ж, 0)| + А;2(ж, 0)у ^

с начальным условием

a

/?(ж, 0) = --г(ж,0).

Откуда, найдем

в (x,y)

|г(ж,0) + ^А;жж(ж,0)^- + А;2(ж,0)^

у

+ |/ я(ж,о^е.

0

(2.16)

Следовательно, функции w(x,y,t), k(x, t) в области t > y > 0 удовлетворяют уравнениям

d2w d2w тт, . a,. n , / ■.

~оД~ = +H{x,y)w - -/уж, t — у) + koo(x,y,t)

f d

— h(x, t — t)w(x, у, t) dr + v2 exp (r(x, 0)t/2) —— Lo / dx

1 Ov

k, Too + д-dx

(2.17)

w(x,y,t)|t=y = e (x,y),

dw

dy

0,

y=+0

w\y=+o = ^k0(x,t) + L[k0,g0],

где в уравнении (2.17) введены обозначения

v 2a

koo(x,y,t) := —

кХх(х, 0)| + /с2 (ж, 0)у- ) k(x,t- у) + kx(x,0)kx(x,t - у)

roo(x,y,t) := тж, / — у) exp (ft (ж, 0)у/2) j .

Требуя непрерывности функций w{y,t), (ж,y,t) при у = t = 0 из соотношений

(2.18)-(2.20) несложно выразить r(x, 0) rt(x, 0) через известные функции:

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

4

4

4

г(ж,0) = - до (ж, 0), п(ж,0) = -q{ 0)-----у 5о(ж,0) + - got( ж,0).

(2.23)

При выводе последних равенств были использованы следующие равенства:

kt(x, t) = —rt(x, t) - r(x, 0)k(x, t) -J rt(x,t - т)k(x,T) dr, kt(x, 0) = -rt(x, 0) + r2(x, 0).

t

В дальнейшем будем считать, что вместо r(x, 0) rt(x, 0) подставлены их значения с помощью формул (2.23), и что они известные функции. Отсюда следует, что функции k(x, 0), kx(x, 0) kxx(x, 0) kt(x, 0), а следовательно, и koo(x,y,t), roo (x,y,t) при t = y являются также известными.

Построим систему интегро-дифференциальных уравнений для функций w, v, h, ko-С помощью формулы Даламбера из равенств (2.17), (2.19), (2.20) вытекает уравнение

y t+y-£

w(x,y,t) = w0(x,y,t) + ^ J J |я(жД)ад(ж,фт) - ^h(x,T-£)

o t-y+£ т-£

+ koo(x, ф т) - J h(x, y)w(x, £, т - у) dy

d

+v2 exp (г(ж, 0)r/2) —L0

, dv

ft,nx> + y-dx

(x, £, т) > dr d£, x G R, 0 < y < t,

где

1 \ а

t+y

Wo (x,y,t) = -^-(ko(x,t + y) + ko(x,t-y)) + go(x,t + y)

t-y

+ J ko(x, т)go(x,t + y - T) dr + go(x,t - у) + J ko(x,r)go(x, i - y - т) dr

Переходя в формуле (2.24) к пределу при i ^ у + 0, с учетом условий (2.19), (2.20), находим

у 2у-£

2Й(,,,) - .»(*,* » + ») = // | H(x,()w(x, f, т) - f*(a, г - О + М*. «. г)

(x,f,rn dr df.

o £

т-£

d

- h(x,y)vj(x,^,T - y)dy + г/2 exp (г(ж, 0)т/2) — Ь0

Дифференцируя по у последнее равенство, получим:

, dg

к,гоо + д-dx

|^(ж,у) - + °) = J | H{x,i)w{x,i,2y -f)

о '■

2(у-0

h(x, 2(у - f)) + koo(x,f, 2у - f) - J h(x,y)w(x,f, 2у - f - 7) dy (2'25)

д

+г/2ехр (г(ж, 0)(2у — £)/2) — L0

. dg

A:, r00 + х-dx

(x,f, 2у - m df.

у

Уравнение для h получается дифференцированием по у равенства (2.25) после замены переменной во втором интеграле 2(у - f) на f7:

h(x,y) = h0(x,y) + ko{x,i)gou{x,y-i)di + ^ J j H(x,£)wt(x, ф у - f)

o o ^

У-2?

1 f dw

+ koot(x,C,y ~0 ~ ^h(x,y ~ 2£)/3(жД) - Цх,т)-(х,£,у-£-т)Ут

д

+ г/2 exp (г(ж,0)(у-О/2) <!

dx

Lo

k(x,y~0, + ) (ж,фу-ф

dg

*(ж, У — О, { Пх) + ^ ) (ж, ф у - О

r(x, 0) d 2 <9ж

“2«) (г“ + £) <*•«•»]} к-

у

где

h0(x, у) = k0tt(x, у) + - 9о(х, 0)км(х, у) + к0(х, y)g0t(х, 0) + g0tt(x, у)

2 д2 ду 2

2 д 2 2

— + ~н(х,у/2)Р(х,у/2) + —коо(х, у/2, у/2)

a ду a

2

-I

a

+-v exp (г (ж, 0)у/ 4) (т'оох (ж, у/2, у/2) + /ДДж, у/2)) .

Для вычисления функции wt воспользуемся равенством (2.24). Применяя эквивалентное описание области интегрирования в виде {(£,т) : t — у ф т ф t + у, 0 ф £ ф у — |t — т|}, дифференцируем (2.24) по t. Вводя замену переменной интегрирования т — t = £, находим:

у

Wt(x,y,t) = wot(x,y,t) + ^ J|я(ж,у - |£|)и>(ж, у — |£|,£ + т)

-у

- о/1(ж> £ + * - У + If I) + коо(х, у - If I ,t + |£|)

t-y+?+|?|

J h(x, y) w (x, у — |£|,t + £ — y) dy + V2 exp(r(x, 0)(£ + t)/2)

0

3 Г

:yrLo

dx

dv \

ЦхД + t), ( r00 + ^ J (x,y- |£|,£ + i)

sgn(£) d£,

(2.27)

где

1 I a 2(2'

t+y

Wot = 77i y(kot(x,t + y) + kot(x,t- y)) + go(x,0)[ko(x,t + y) + k0(x,t - y)} +got(x,t + y)

t-y

+ J ko(x, т)vot (x,t + у — т) dT + got(x,t — у) + J ко(х,т)got (x,t — у — т) dT

0

0

Для замыкания системы (2.24), (2.26), (2.27) используем следующие очевидные равенства:

t 2

го(жД)=г(ж,0)+гДж,0Д+J(y-0 (h(ж,£)+г(ж,0)гоДж,£) - Г г0(ж,£)^ d£, (2.28)

гофжД) = г*(ж,0) + J ^/фж,£) + г(ж,0)гоДж,£) - Г ^’°^0(ж,£)^ d£, (2.29)

А:0(жД) = —г(ж, 0) + -гДж,0)^ t + J(t -£)Aytt^,£)d£

(2.30)

t

t

km{x,t) = -h(x,t) + - гу(ж,0)^ k0(x,t) - j h(x,t - Qko(x,Q d£, (2.32)

вытекающие из введенных ввние обозначений для k, r, ko, То, а также равенство (2.15), переписанное в виде:

v(x, y, t) = exp (k(x, 0)t/2) L0 [r0, w] , (2.33)

которое при дифференцировании no t позволяет вычислить vt:

k (x 0)

Vt(x, у, t) = exp (k(x, 0)f/2) ( —[ro, w] + L0 [r0, wt] + r0(x, t - y)/3(x, y) ) . (2.34)

t

Пусть c0 (x) в области

r2(x,0) 4

Dt =

— rt(x, 0). В дальнейшем систему (2.17)-(2.20) будем рассматривать Gt х R, Gt = {(y,t) : 0 ф у ф t ф T — y} , T> 0.

Введем в рассмотрение банахово пространство As(r), s > 0, функций p(x), x G R, аналитических в окрестности начала координат, для которых справедливо соотношение

! (r) := sup

|x|<ra=0

а!

ga

dxa

P(x)

< то,

a

s

r > 0, s > 0.

В дальнейшем параметр r будет считаться фиксированным, в то время как, параметр s рассматривается как переменный параметр. При этом возникает шкала банаховых пространств As (r), s > 0. Очевидно следующее свойство: если p(x) G As(r), то p(x) G Ay (r) для всех s G (0, s), следовательно, As(r) C Ay (r), толи s G (0, s), и

справедливо неравенство

da

dxa

P(x)

ф a

ЫШ

(s-s'T

s

(V a).

(2.35)

Так как параметр r фиксирован, будем в дальнейшем опускать его и использовать ||p||s, As вместо ||p||s(r) и As(r). Через C(y,t) (Gt; As0) обозначим класс функций, непрерывных по переменным (у, t) в области Gt со значениями в As0. При фиксированных (у, t) норму функции / (x,y,t) в As0 будем обозначать через “/||so (y,t). Норма функции / в C(y,t) (Gt; As0) определяется равенством

“f^„.«(GtA,)= (у™р& llf(y-t).

С целью удобства дальнейших исследований, введем в рассмотрение вектор-функцию (р с компонентами

Pi(x,y,t)

t+y

w(x,y,t)

1

2

a

—(Ло(ж, i + 3/) + Ло(ж, i — г/)) t-y

+

k0 (x, т)V0 (x, t + y — т) dr +

k0 (x,r)v0 (x, t — y — т)dr L

Р2 (X,y,t) = v(x,y,t),

1 a

<Ps(x,y,t) =wt(x,y,t) - -l -(kot(x,t + y) + kot(x,t - y)) + go(x,0)[ko(x,t + y)

t+y t-y ч

+ ko(x,t - y)] + J ko (x,T)got (x,t + y - т)dr + J ко (х,т)got(x,t - y - т)dr>,

. . dg , .

m{x,y,t) = —(x,y,t),

2

(рь{х,у) = 2h(x,y) - c0(ж)Ay(ж, y) - - [g0(x,0)kot(x,y) + &о(ж, у)<Ыж> °)] > Pa(x,y) = ro (x,y), р (x,y)= rot (x,y), Ps(x,y) = ко (x,y), р (x,y) = ко t (x,y). Пусть

¥>i(a,j/,i) = ^\g0(x,t + y) + g0(x,t - y)\, p°3(x,y,t) = * + у) + <7ot(®>i - j/)],

2

d 2

<Рь(х>У) = ~ 9ott(x,y) - —^Дх,у/2)+Н(х,у/2)Дх,у/2) + k00(x,y/2,y/2)

a г ' " dy2 ,2

+v exp(r(x,0)y/4)(^гоох(x,y/2,y/2)+ fixx(x,y/2)

P (x, y) = r(x, 0) + rt (x, 0)y, ро (x) = rt(x, 0),

y) = -r(x, 0) + (Г - rt(x, 0)^ у, (р°Дх) = Г - rt(x, 0).

2

Исключая из уравнения (2.26) неизвестную функцию кои(x,y) (эта функция входит в определение Но) с помощью (2.32), перепишем систему уравнений (2.24), (2.26)-(2.34) в терминах вектор-функции р :

y t+y-i

Ых-у't] = lf°ix' y't)+1z J 1 {я(ж> °wix'т) “ т “ 0 + ^т)

о t-y+£

т-£

5 т

dx

-J ЦХПMx,CT - Y)dY + v exp(r(x0)т/'2)

о

р8(ж,т)ехр(-г(ж,0)(т)/2), (r00 + ^ j (ж,фт)

dr d£,

(2.36)

y

Ps(x,y,t) = p°3 + ^ J|я(ж,у - |£|)и>(ж, у — |£U + t)

-y

- 2 ■h(x, £ + t - у + \£\) + k00(x,y - \£\,t + |f |)

t-y+£+|£|

/■ d

h(x, y)w(x, у - |f I, - 7) dy + г/2 exp (г(ж, 0)(f + t)/2) —L0

р8(ж,£ + А)ехр(-г(ж,0)(£ + А)/2), ( r00 + ^ ) (x,y - |f|,f + i)

dx sgn(^) d£,

1

Н— a

ip5(x,y) = ip°5(x,y) + J (^gott(x,V-0-h(x,y-£)^ <ps(x,£)d£ о

У/2,

J Ы(х, Ого*(х, 0 у - О + k00t(x, 0 г/ - О - У - 2^)/3(ж, О

г/-2£

J h(x, т)ш*(ж, f, y - f - т) dr + v2 exp (r(x, 0)(y - 0/2)

Ar

<9ж 0

¥>8 (ж, у — О ехР (—ж(ж, 0)(у — 0/2) > (root + ^ ) (ж, О У - О

г(ж, 0) 5 2 <9ж^

Lo

^8(ж, У — О ехР (—ж(ж, 0)(у — 0/2) > ( Г°° + ^“Г ) (ж>0г/-0

1_д_

^2 <9ж

<^8(ж, у - 20 ехр (-г(ж, 0)(г/ - 20/2) ( г00 + ) (ж, О О)

дрд

(2.38)

df,

(Рб{х, у) = <^°(ж, у) + j(y- О ^/г(ж, О + г-(ж, 0)</?7(ж, О - Г ^’°^6(ж, о) (2-39)

<р7{х,у) = <д?(ж) + j ^/г(ж,0 +г(ж,0)у7(ж,О ~ Г ^’°^б(ж,0^ (2-40)

<Ps(x,v) = p(x,y) + p9(x)t + J (y - 0(co(x)^8(x,f) - L[p,h])(x,f) df,

0

(2.41)

P9 (x,y)= p9 (x) + J (co (x)^8 (x,f) - Lp ,h]) df, 0

(2.42)

где вместо функций рд, Р4 подразумеваются их соответствующие представления (2.33)-(2.34), а

1 (a

w(x, у, t) = cpi(ж, V,t) + -< ~Ых, t + y) + ipa(x,t- у))

t+y t-y

+ J P8 (x,T)yo (x,t + y - r) dr + J p8 (x, т)go (x,t - y - r) dr 0 o

1 (a

Wt(x,y,t) = ip3(x,y,t) + -<- (lP9(x,t + y) + ip9(x,t-y))+go(x,0)[ips(x,t + y)

t+y t-y

+ p>8(x,t - y)] + J p8(x,r)yot(x, t + y - r) dr + J p8(x,r)got(x, t - y - r)drj, 0 0

h{x, y) = h(pb{x,y) + с0(ж)р8(ж,у)] + - [уо(ж,0)р9(ж,у) + <д8(ж, у)у0фж, 0)] .

2 a

y

y

Основной результат статьи составляет теорема локальной однозначной разрешимости в классе функций, аналитических по переменной Ж2-

Теорема. Пусть (р, д, A) e Л, кроме того

(go(x, 0), got(x, 0)) e Aso,

(go(x,t),got(x,t),gott(x,t)) e Ct ([0,T]; ),

max {||go||so(t), llgot||so(t), llgottIk} ф R, max {||ф|к(y), ||So (y), max(l,v2)|| exp(±r(x, 0)t/2)|so(t)} ф R,

max {||^°||so (t)} ф R, i = 5,6, 7,8,9,

Vo = maxT v2 (ф-1(у)) , t e [0,T], y e [0,T/2], R> 0.

Тогда найдется такое b e (0, T/2) , что для любого s e (0, so) в области = Dt П {(x, у, t) : 0 ф у ф b(so — s)} существует единственное решение системы уравнений (2.36)-(2.42), для которого

причем

Ti(x,y,t),^3(x, у, t) e C(y,t) (PsT; Aso),

Ti(x, t) e Ct ([0,b(so — s)]; Aso), i = 5,6, 7,8,9,

PsT = Gt П {(y,t)| 0 ф y ф b(so — s)} ,

>i — To||s Ф R, i = 1, 6, 8,

'i Ti ||s

R

Ф------, %

so — s

IIT5 — ф5 lls ф

R

(so - s)2’

(y, t) e PsT.

3, 7, 9,

3. Доказательство теоремы

В условиях теоремы

To e C(y,t) (GT; Aso ),

>o||s(y, t) ф R, i = 1,3, (y, t) e Gt, 0 < s < so.

Пусть bn являются членами монотонно убывающей последовательности, определяемой равенствами

bn+1

Ьп

1 + l/(n + l)2 ’

n

0,1,2,...

Обозначим

b = lim bn

n—— ^O

bo П (1 + 1/(n + 12^ '

n=o

Число bo e (0, T/2) будет выбрано подходящим образом.

Построим процесс последовательных приближений по схеме

y t+y-£

</?”+1(x,y,t) = (p4(x,y,t) + 7

Н(х,£)тп(х,£,т) - -hn{x,r -f) + к%0(х,£,т)

0 t-y+£

т-£

— J hn(x,y)wn(x, f,r — y) dy + v2 exp(r(x, 0)т/2)

о

ir

dx 0

.n

<Ps(x, t) exp (~r(x, 0)(т)/2), (r%0 + г£1)(ж, f, r)

dx

dr df,

^3+1(x,y,t) = ip°(x,V,t) + ^ j^H(x,y- \i\)wn{x,y- |f|,f + i) - |/i”(x,£ + t -y+ |£|)

-y

t-y+£+|£|

+ k0o(x,y — |f|,t + |f|) — J hn(x,y)wn(x,y — |f|,t + f — У) dY

d

+ г/2 exp (г(ж, 0)(£ + i)/2) —L0

^n(x,f +t)

exp (—г(ж, 0)(£ + t)/2) , ( r^o + ) (ж, у - |f|,f + i)

dx

sgn(f)df,

2

</?” (®.г/) = <^б(ж,г/) + J ^-5ой(ж.г/-0-лга(ж,г/-0)¥’8(ж,0^

о

y/2

1

+ - {H{x^)w't{x,i,y-i) + K?m{x,i,y-i)--Kn{x,y-2i)l3{x,i)

о

y-2$

J hn(x,r)wtn(x,f,y — f — T) dr + v2 exp (r(x, 0)(y — f)/2)

0

dx °

Vs(x,y -Qexp(-r(x,0)(y -0/2), ( ^oot + ) (x,Z,y-Q

r(x, 0) d H--т——-do

2 dx

dx

Ч>8(х,У -6ехр(-г(ж,0)(у -0/2) , ( ?"oo + ) (х,£,У~£)

1 _d_

2 dir

d^'2

^2 (ж, У — 2£) exp (—г(ж, 0)(y — 2£)/2) ( roo + ) (x, f, 0

r2(x, 0)

df,

¥&+1(ж>г/) = <^б(ж, г/) + j{y-0 (hn{x,0 + г(ж,0)у?(ж,О - Г ^’°^б(ж,0^

¥’n+1(x,y) = ^7(x)+ / ( hn(x, f) + r(x, 0)^n(x,f) —

r2(x, 0)

<(x,f) df

^n+1(x,y) = Vs(x,y) + I (y — f) (co(x)^n(x,f) — L[^n,hn]) (x,f) df,

y

y

4

y

<Pg+1(x,y) = Ко(x) + У(со(ж)^п(х,0 - Ь[Д^,hn])(ж,0 Д,

где

if a

wn(x, у, t) = Д1 (ж, у, t) + -1 - (iflg (ж, t + у) + (ж, i - у))

t+y t-y

+ J K(x,r )g0 (x,t + y - T) dr + J tpg (x, т )go (x,t - y - т) drj,

о 0

a 1

w't(x,y,t) = <P3(x,V,t) + ^ [<^д(ж,t + y) + </?g(x,t -y)] + -уо(ж,0)[<д^(ж^ + y)

/t+y t-y N

+ <Ps(x,t-y)] + ^l J (Ps(x,t-T)got(x,T)dT+ J 4%{x,t - т)дм(х,т) dr Vo 0

hn(x,y) = \[<рДх,у) + сДх)(рДх,у)} + - [уо(ж,0)<д^(ж,у) + <р%(х,у)дм(х,0)] ,

2 a

Ф\n(x, У, t) = exp (k(x, 0)t/2) Lo [Дп, wn],

¥>'2 (x, У, t) = exp (k(x, 0)t/2) (k^X^L0 [(fie, wn} + L0 [Д1, го”] + (p2(x, t - y)/3( x, y)) ,

v 2a

Ко (x,y,t) = — exp(k(x,0)(t-y)/2)

dyn

X ipl(ж,t - у) + kx(ж,0)-g-(ж,t-y) d

KoKiVit) = ^ «(ж, t-y) ex p (k(x,0)t/2)),

2

4

2

v 2a

Kot(x,y,t) = k<yX2°^ K0(x,y,t) + exp(k(x,0)(t - y)/2)

kxx(x,oK + kx(x, 0) д-

2

4

+ (ж, t — у) + kx (ж, 0) м (ж, t - у) + t _ y)

exp(k(x, 0)t/2) ( (рДх, t-y)+ ^’°^б(x, t - y)

Kot(x,y,t) = ^

Определим функцию sf(y) формулой

s,,!() = £±|Mi 7«w = »0-f.

(3.i)

Введем обозначение ДП = Дп+ —Д^1 i = i, 3, 5, 6, 7, 8, 9. Тогда справедливы следующие соотношения:

y

y t+y-£

V’i (ж, У) t) = - J J |я(ж,^)ад°(ж,фт) - |/1°(ж,г-0 + *оо(ж,£,т)

о t-y+£ т-£

— J h0(x,Y)w0 (x,£,r — у) dy + v2 exp(r(x, 0)r/2)

о

±Т

дх 0

г) ехр (-г(х, 0)(т)/2), (г£0 + ^)(ж, f, г)

дж

У

Ф(Цх ,y,t) = ^ У"{я(ж,г/ - |£|)ш°(ж,з/ - |f|,f + т) - ^Л°(ж, ^ 1 -у + |f|)

-у

t-y+?+|?|

+ koo(ж,у -|f|,t + |f|) - J h0(x, 7)w°(ж,у -|f|,i + f - 7) d7

д

+ v1 exp (г(ж,0)(£ + i)/2) — Ь0[^°(ж, f + i)

д^2

(2.36)

x exp (-г (ж, 0) (f +1)/2), (r00 + - (ж, У - If |, f + *)]} sgn(f) df,

y

Ф5(x,y) = J (^9ott(x,y~0 ~ h°(x,y-£)j ips(x,Z)d£

1

У/2.

+ 7 \ H(x,Owt{x,C,y-0 + koot(x,£,V-0 - yh°(x,y-2£)p(x,£)

a

°

У-2?

J h°(x, T)w°(ж,0у - f - r) dr + V2 exp (г(ж, 0)(y - f)/2) °

Ar

<9ж 0

Vsix, У — О exp (—г(ж, 0)(у — f)/2), ( r*So* + ^ ) (z,f,j/-f)

дж

г(ж, 0) д Н---——L0

2 дж

У — О ехР (~г(х> о) (у — 0/2) > К°0 + ^) (х,£,у-0

1д_

^ 2 дх

Ых, У ~ 2f) ехр (-г(ж, 0) (г/ - 20/2) г00 + —— (ж, О О

„° , д^2,

дж

df,

У

^°(ж,у) = J(у - f) (л°(ж,0 + г(ж,0)^?(ж,о -°

у 2

$(x,v) = J (h°(x,0 + r(x,0)ip°7(x,O - Г (^’0)у°(ж,о) df,

°

y

^8(ж,у) = J (y- f) (с°(ж)^8(ж,0 - L^°,h°])df,

°

У

(ж, у) = J (с°(ж)^°(ж,0 - L[<p°,h°]) df,

У t+y—f

Д?+1(х,уД) = J ^Н(х,Дтп(х,Дт) - |лга(ж,т-Д + к'£0(х,Дт)

0 t—y+f

т—f

J (jin(x,y)wn+1(xД,т — y) — hn(x,y)wn(xД,т —

d

+v2 exp (r(x, 0)t/2) — <!Lo

dx

(x, r) exp (—r(x, 0)(r)/2), ( г%0 + ^-)(х,Дт)

т —f

- J Ф» {x, y) exp(—г(ж, 0)y/2) (ж, f, т - y)^T j-j- dr df,

0

У

^з+1(ж>У^) = y [ 1Н(Х,У ~ \Z\)wn(x,y- |^U + r) - %п(хД + Ь-у+\ф

-y

t-y+(+\(\

+ k00 (x,y — |f|,t + |f|) — J (hn(x,Y)wn+1 (x,y — |f|,t + f — Y)

0

— hn(x, Y)wn(x, y — |^i,t + f — Y))dY + v2 exp (r(x, 0)(f +1)/2)

+ *)ехр(-г(ж,0)(£ + i)/2) , frSo + (x,y- |f|,f + i)]

5ж Гип"8 t—y+f+\f\

j.n

dx

дД

0

фДх, y) exp(—г(ж, 0)y/2) ( гоо + д^~) (Х>У~ £,£+t~l) ^т}} sgn(£) d£,

y

i’5+1(x,y)=J (^^(x,Ogott(x,y -Д - hn{x,y -ДД%+1{х,д + hn(x,y - ДЖДД^Д

y/2

+ - 11 H(x, ДьД(х, Ду-Д + koot(x, Ду-Д- \кп{х, у - 2ДДх, Д

0

y-2f

J (hn(x, т)w°+1 (x, f, y — f — т) — hn(x, т)w°(x, f,y — f — т)) dr

I

exp (г(ж,0)(з/-О/2)

Д°+1 (x, y—f) exP (—r(x, 0)(y—f)/2) > yn0t+

d^4

dx

+

(x,f,y — f)

r(x, 0) d

2 аж

y—2f

y—2f

дД4

L0

^8(ж,т)ехр(-г(ж,0)г/2) ( root + ) (х,£,у-£-т)<1т

<^8+1(ж,'г)ехр(—г(ж,0)(з/-О/2), (^оо + ^ ) (хД,У~0

дД2

фДх, y) ехр(—г(ж, 0)т/2) ( г£0 + ) (ж, f, у - £ - т

0

1 _а_

2 аж ^

-фДх,у-2Д (^oo + ^f )(Х,Ш

дф

ехр (—г(ж, 0)(у — 2Д/2) (^+1(ж,у-2^) ( ^оо + ) (ж, 6 6

df,

С+1 (ж, у) = J (у -О (hn(x, О + г(х, ОЖ(х, О ~ о) <%,

0

у

Ф7+1(х,у) = J (hn(x,Z) + r(Lx,0)ffl(x,Z) - Г ^’0^б(ж>£)) d

0

у / £

Ф’п+1(х,У) = J(У - О I со(ж)^п(ж,^) - L[^n,hn] - j ^П(ж,^ - т)hn+l (х,т) <т J <%, о V о

^n+1 (ж, у) = J fco(x)^n(x,£) - L[^n,hn] - J ^(x.f - т)hn+1(x,r) <т^ df,

где

v 2a

koo(x,y,t) = — ехр(к(ж,0)(* - j/)/2)

3^1

2

4

2

tps(x,t- у) + кж(ж,0) — (ir,t - у)

d

foo(x,y,t) = — (ip%(x,t-y)exP (к(ж, 0)t/2))

v 2 a

koot(x,y,t) = kiX20)kUx,y,t) + ^ехр(к(ж,0)(* -j/)/2)

kXx(x,0)jr + k2( ж,0)^-

+

kX(x, 0)(t - y)

2

, , , . d^/ \ k2 (x, 0)

,*-?/) + кж(ж, 0)-^-(ж, i - j/) H--—

^n(x,t - У)

d

rmtix,y,t) = ^

ехр(к(ж, 0)t/2) (фт(х, t - у) + ^у^<(ж, i - j/)

1 fa

wn(x, y, t) = tp™(ж, у, i) + - j -(^8 (ж> ^ + у) + V>8 (ж> * - у))

t+y t-y

+ J ^n(x,r)50(x,t + у - т) dr + J ^n(x, т)50(x,t - у - т) <т|,

0 0

a 1

w't(x,y,t) = ^S(x,y,t) + j [i/>g(x,t + y)+il)9(x,t- y)] + -9o(x,0) ['i/jg(x,t + y)+tlj'g(x,t -y)\

1

+ 2

t+У t-y

^n(x,t - т)g0t(x, т)<т + J (x,t - т)g0t(x, т)d^,

hn(x,y) = \[фь{х,у) + с0(хЩ(х,у)} + - [5о(ж,0)^(ж,у) + ^(ж,у)^(ж,0)] , 2 a

^n(x,y,t) = exp(k(x, 0)t/2) | L0[^n+1 ,wn] - J C(x,t - т^(x.y^) <т| ,

i)2(x,y,t) = к<уХ' грДх, у, t) + ехр(&(ж, 0)t/2) (L0[yg+1, уД]

t

- J Де(x, y - т)wn(x, y, т) dr - Ф6(х, t - У)в(х, y)

Покажем, что можно выбрать bo £ (0, T/2) так, что для любого n = 0,1, 2,... будут выполнены неравенства

An = ma« sup "дп

[(y,t,s)eFn _

\\\з{у^)^-Щ------ , sup II

У J (y,t,s)£Fn _

Ms (y)

in(y) - s

У

i = 6, 8,

sup \m\s(v,t)mv) S)21, sup \\m\s{y){T{V] S?

(y,t,s)eFn L y J (y,t,s)eFn L y

sup

(y,t,s)£Fn -

nMs(y)

(7 n(y)~s)

У

, i = 7,9 > < to,

°n+1 - ^3 Ms(y,t) <

'n+1 - <P?Ms(y,t) < R ||<+1 - <poMs(y) < R i = 6, 8

, IK+1 - <д0Ms(y) <

R

So - s

R

So - S

, i = 7,9,

^n+1 - ^5Ms(y) <

R

r, (y,t,s) £ Fn+1,

где

(so - s)2’

Fn = j(y,t,s) : (y,t) £ Gt, 0 ^ y ^ bn(so - s), 0 < s < so}.

Действительно, используя соотношения для ДП при n = 0, получим:

(3.2)

(3.3)

!||,(v)«/fo-o{« KIL + f

o

0lls + friL + IICIL + TriUKiL

+ R

A r

dx 0

^8(x,r)exp(-r(x,0)r/2), roo +

n , d^2

dx

(£,rU d£

где

^Д1^ + Д(1 + ^

W°||s^i?(l + | + 2Ti?),

(V, i) < Д(1 + RT) ||w° ||s < R{ 1 + i?T)i? Q + R (i + ^)

СЦЫК|д2И(1 + ^] +

(41

T

2

d^8

dx

, s £ (0, so), (y, t) £ GT.

Воспользуемся неравенством (2.35) для оценки

d^8

Эх

|ro I I'ool

дД

dx

II T II • ’ 11 Эх 11 s'

dx

, , R n o и , N R2

Ar

dx 0

^8 exp(-r(x, 0)(t ± y т £)/2),roo +

o , d^2

dx

(y,t)

<

s'(y) - s

.'+||Ь+2Гй2(к»|1.' + д!зто

))

R2 +n ^2II/ 2

^ . .. "i (1 + 2TR2).

(s'(y) - s)2

s

s

s

s

s

s

1

0

Взяв функцию s'(£) го (3.1) для n = 0, с учетом вышеприведенных неравенств, имеем:

у

У - С

llL (y,t) ^ iM)(a,T,R,s0) I ^п/дЛ s сД ф boiio(a,T,R,so)

У

(т0(у) - s)2

Y° (У) - s'

Далее,

у

СМ) < i/{яIKII, +1ГII, + на. + зт\\h\\\w

-у

+R

Аг

<9ж 0

^8(ж,С + t)exp(-r(x, 0)(с + t)/2),[ roo +

,о , д^2

00 " дх

(а’ Т’ R’ g°) ф Д! (а, Т, Д, go) у

(у - kU + tU

2J (y°(У) - s)2 -у

(70(у) - s)2’

у у/2

0|ls (у) ^ 2 f R (aR+ ^ + ~ I {^KIL + 2^ "!'°1

+

voot

+Т ||Ло|в KIL + R

1_ г

дх 0

о , д^4

V>8(х, У - О exp(-Дх 0)(у - 0/2),root +

дх

+R

Аг

<9ж 0

1

+ 2

д

^8(х,У - О^РМх 0)(у - С)/2),гоо +

„о , М

дх

о , д^2

дх

^ ( М%, У ~ О ехр(-г(ж, 0){у - 0/2) ( г00 +

dC,

где

«d°IL < R (l + \ + Д(1 + т)) > II^IL < Д(1 + TR) (Д||«/)||в + \\w°t\\s) + Д

feootIL (y,t) < Д IICIL + дД2 ( Д(1 + TR) + Д2 +

К«11,(мк^ДД

s 2

д<д9

д^9

дх

(у)

дх

R

(г/) < s G (Мо), (г/Д) е GT.

Из вышеприведенных оценок следует, что

(у) Ф Ma,T,R,so)

Поступая аналогично, имеем у

У

(Т°(У) - s)2

ф s°p2(a,T, R, s°)

(Y°(y) - s)3'

/.on

;e|| s

'°ll s

(y) < J(y ~ О (||Л° IL + 2Д2) ^ ДТ (l/2 + 2Д + Д (l + £))

о

у

(у) J (|| ||s + 2Д2) d£ ф5дД^1/2 + 2Д+Д^1Н—^ ^

a// Y°(у) - s’

a// (Y°(y) - s)2’

о

о

s

s

0

s

s

s

s

s

s

s

У

У

о

||Щ0 Is (y) (y - 0 (R2 + IIh0 ||s(1 + TR)) Д

0

< s0RT (R + (4/2 + Я (l + !)) (1 + TR))

y

||€||s(y)<J (R2 + R(1/2 + R(1 + t)) (i + RR))^

0

<^(ii+(i/2 + ii(i + i))(i + r«))^L.

Из этих оценок следует выполнение неравенств (3.2) при n = 0. Кроме того, для (y, t, s) £ Fi находим

y

llvi - V°ils(y,t)

Ilv3 - ^0|s(y,t)

llvi - v0lls(y) = Ilv6 - v0lls(y) =

lji\\s(y,t) < n

A0y

<

A06i

Y0(y) - s 1 - 61/60

= A060,

|Щ3 Шу^ <

’5 I\s(V,t) <

A0 y

<

2A060

(7°(y) - s)2 ^ s0 - s’ A0y ^ 4A0 60

<

’6 lls^^ <

(Y0(y) - s)3" (S0 - s)3’ A0 y ^ A06i

<

Y0(y) - s 1 - 61 /60

= A060,

llvi - v? Is(y) llvi - v8 Is(y) llvi - v9 Is(y)

,0|s(y,t)

,8|s(y,t)

’9|s(y,t)

Aq У < 2Aq6q

(Т°(У) -s)2 > ^ > 1 О CO V/

АоУ / Ao6i

Y°(y) - s "" 1 - 61/60

Ao У ^ 2Aq6q

(y°(y) -s)2 ^ So- s'

A0 60,

Если вв1братв 60 так, чтобы 4A060 ^ R, то неравенства (3.3) будут выполняться для n = 0. Покажем методом индукции, что неравенства (3.2), (3.3) имеют место и для других n, если 60 выбрать подходящим образом. Пусть неравенства (3.2), (3.3) справедливы для n = 0,1, 2,..., j. Тогда для (y, t, s) £ Fj+i

Щ

j+i

a

(y^K J (y - Os R|fyIs+y

0 ^

+t

hj

w

j+i I

+ l|hj I ||wj I + R

I S II 11 s

Аг

<9x 0

s 2

j+i

hj

+

k00

vi+i exp(-r(x, 0)6/2), fg0 + ^

+T

_d_

dx

Щ exp(-r(x, 0)t/2) rj0 +

dv2

00 <9x

d£.

y

s

s

s

s

s

s

Нетрудно видеть, что

К ||s(y,t) <

+ - (a + Tii)||^g||s ^ (1 + (a + TR)/2)

Aj y

Yj (y) - s’

s

1 2

wuy) ф ми,+дн^н, + -R(m\s+ii^ii.)

2 а

ф (1/2 + R(1 + 2/a)so + 2Rso)

Aj У

(Yj (У) - s)3:

Ю0lls(

Ы)ф-^((1 + ТЯ/2)||ф2||5 + ^

j Is

Ф -R2(3 + TR/2)-

Aj У

Aj У

s'(y) - s) 2 (Yj(y) - s)2:

^oolUy^) Ф RT7T~\------'Z" if \---7’

00 (s'(y) - s)(Yj (У) - s)

j||s(y,t) ф R(\\wj||s(1 + 2RT) + T||^6|s|wj|s)

Ф R(( 1 + 2i?T)(l + a/2 + ГД/2) + TR(2 + a + 2ГД)) -

дф2

_ ЛоУ

' lj{y) -s

d_T

dx 0

exp(—г(ж, 0)t/2), rdo +

дж

1

ык;7оР^1 + гн)|

00

j Is

s + s'(г/) -*

ф рз(а,Т, R)

Aj у

(Yj (y) - s)3’

где

KHs{y,t) Ф ||^||s + -\\(fs\\s +ГД||^||Я ф R{2 + (1 + 2TR).

s

Здесь и в дальнейших промежуточных выкладках функция sf определена равенством (3.1) при n = j и использованы неравенства

i lls

ф 2R, i = 1, 6, 8; ||^5||s ф R

1 + s0

'(s0 - s)2’

Ы\\з Ф R1 + S°, i = 3,7,9,

S0 — s

справедливые согласно индуктивному предположению, а также очевидные неравенства bj ф 6(0, Yj+1(y) Ф Yj(У) И|s(y,t) Ф R(1 + 2RT)||wj||s ф R2(1 + 2RT)(2 + а + 2TR),

и Д и ^ T>(T>\\„.j\\ (л I от1 ЕЛ I IL,, II ы i r,nrr\ i о е>2о ^ /^4(й, Т, R, So)

•Д lls

ф R(R|K ||s (1 + 2TR) + ||s (1 + 2RT) + 2R2) ф

S0 - s

К lls ф

R(1 + s0)(1 + aR/2) + 2R2 s0(1 + T)

s0 - s

Окончательно для ^j+1 получаем

|Ф1 ||s(y,t) ф^ (У - ^)^5(a,T,R,s0) 0

Aj e

А; Ф \jbliJ,5(a,T, R, so) —

(Yj (e) - s)3 ’ ’ ’ Yj+1(y) - s'

Аналогичные рассуждения для ^j+1, i = 3, 5, 6, 7, 8, 9, приводят к неравенствам

1 > a . e

1^з+1||я(г/>*) Ф Y д6(а,Т, Д,в0)^ .^2 d£ Ф \jbopo{a,T, R, s0)

У

(Yj (e) - s)3

(Yj+1(y) - s)2’

-y

У

У

/ (оД+ 1У||5 I \\Y8Us

+ У УКУ, d

1

н—

a

y/2

/{(r+y\wiun I,+(r/2+y\H+'i) pj ii, + psj,

+R

Ь0Д8+ exp(-r(x,0)(y-Д/2),ДШ +ДД

уr2 11 У IL (I 1г<ЫУУЫШ + R

s'(£) - s

Ь0Д8+1 exp(-r(x,0)(y - 0/2),Д00 + ^

■s'(0 - s

УЩШ\К1 +

21L/P11 ..............Mm Д2 и<ni+l

+

s'(£) - s

svii-ooiim llaS'lls) + IksLvil'ooiim

^nlL + ll®IL) + II^IL(lknlL + ll#l

s'(£) - s y

^ ( У7(a,T, R, so)- ^

(Yj (£) - s)4

s'(£) - s Д ^ Xjb0p7(a,T, R, So)

У

(Yj+1(y) - s)3’

где

\,(y,t) <

3||s + 2 H^sIL + + ^)IIV’l|L < (l + - + s0ii(l +

Aj У

(Yj (У) - s)2’

Poot||s(j/.*) < R\\ko\\s+2R2

(1+гй/2+уУ

+

R

9 lb т 2 M V^S ||s

Aj У

^ — R2 (sqR(3 + TR/2) + sq(1 + TR/2) + 2R + SqR2) ^ ;

root ||3(y,t) < 2R(1 + sqR)-

Aj У

Ir0ot\,(y,t) <

2 R2 (1 + so + 2Rso)

(7J(y) -s)3’ 11 (s0 - з)(Д(у) - s) ’

У4\\в(У>*) < RK\\,(У.*) + ^(1У II, + \\wj У (1 + 2TR) + N\\,((II, + \wj У T + R)].

Далее

y

и i+iH Г /\jZ(l/2 + R(l + 2/a)so + 2Rs0) A^R

lift H.toKjto №'(i/)-.03 +(ft(0-

+

Aj £R

(Yj (£) - s)2 Yj (£) - s

^ AjДв(Ьо, a, R, so)

(Yj+1 (У) - s)’

\К+1,(у) <

Aj £(1/2 + R(1 + 2/a)so + 2Rso)

(Yj (У) - s)3

+

Aj £R

+

Aj £R

(Yj (£) - s)2 Yj (£) - s

^ Aj60Ve(bo,a,R, so)

У

(Y,?'+1(У) - s)2’

\№+1\\s(v) < \jfig(bo,a,R, s0,T) V _ g,

УУ11» < АДо Уэ(Ьо, ^0, R, Г) .+1 ^ _ s)2, Из полученных оценок следует

(УД,Д £ Rj+1.

Aj+1 ^ Ajp, Aj+1 ^ то, p = max(p5,p6,p7, max(1,601 )ps, max(1,60 1)pg).

y

5

j

j

У

y

Вместе с тем, для (y, t, s) £ Fj+2 j+1 j-

IlF2 - v?ii, «£ ll^nis <E

j+1 j+1 ,

.rail ^ \ ^ ЛПУ

г ПД ^ ||e ^ 2^ ya(v\ _s

n=0 n=0 Y (У)

j+1 X h- j+1 j+1

^ ^2 1 _ b.J+//) ^ ^ ^ A06o ^p”(n+ l)2, * = 1,6,8,

n 1 hi+2/hn n

n=0 n=0

n=0

j+1

j+1

l^5+2 - ^5|s(y) ^ ^ IICIIsM <

n=0 n=0

j+1

Xny

(Yn(y) - s)3

1

j+1

И+2 - ^0 !L < lls

n=0 (1 - hi+2 /hn

j+1 j+1 A

n\\ ^ Xny

АЛ+2 ^ , Ao6o,^p"(n+ l)f

(s0 - s)2 ^ (1 - bi+2/bnf ^ (s0 - s)2

n=0

<

‘ '''■ tir' t0(Yn(y) - s)2

£

j+1

< — £ Yj+;, f"(n + 1A i = 3,7,9.

s0 - s 5=0 (1 - h'+2/hn)2 s0 - s 5=0

Выберем теперь h0 £ (0,T/(2s0)) таким, что

ГО

P ^ 1, A0h^^ pn(n + 1)6 ^ R.

n=0

Тогда

v1+2 - vj’IUy^ < R; ^vP2 - < R, i = 6,8; IK+2 -v0|s(y) <

R

v3+2 - v3|s(y,t) <

R

S0 - s

|vj+2 -v0|L(y) <

R

s0 - s

(s0 - s)2’ i = 7,9; (y, t, s) £ Fj+2.

Так как выбор h0 не зависит от номера приближений, то последовательные приближения v5, i = 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, принадлежат

C(y,t) (F; As), F = f) Fn

n=0

и для них имеют место неравенства

К - ^1|s(y,t) < R; |^п - v0|s(y) < R, i = 6,8; 11^5 - v0|L(y) <

R

IK - v3 |s(y,t) ^

При s £ (0, s0) ряды

R

s0 - s

v5 - v0lL(y) <

R

s0 - s

(s0 - s)2’ i = 7,9; (y, t, s) £ F.

£(v? - v5-1)

n=0

сходятся равномерно в норме пространства

C(y,t) (PsT; As) , PsT = GT n{(y,t): 0 ^ y ^ h(s0 - s)}

поэтому фО ^ фг. Предельные функции фг являются элементами C(y,t) (PsT; As) и удовлетворяют уравнениям (2.36)-(2.42). Докажем теперв, что найденное решение единственно. Пусть фг и фг — любые два решения, удовлетворяющие неравенствам

Pi - Pi\4(V,t) ф R, Ы - (fli Уч(у) ф R, г = 6,8, \\р5 - ¥5\\Лу) ф

R

|рз - р3\s(V,t) Ф

R

si - s

I Рг - Piys(y) ф

R

si - s

(si - s)2' i = 7, 9, (y,t,s) G F.

Обозначим через фг = рг - рг и пусть

A :=

max < sup I (y,t,s)eFL

1ЫЦ2/Д)——- , sup ||р3|Цг/>*)-7^ ^

sup

(y,t,s)£F _

sup НРгШг/)^-^——

(y,t,s)GF L y

y J (y,t,s)GF L

Y(V) - s

V

ll<FilU(y)-

V

i = 6, 8,

i = 7,9, sup ||p5||s(y)

(y,t,s)GF _

(т(г/) - sf у

< oo,

L/o 1

где у(y) = si - y/b, b = bi ]ф (1 + 1/(n + 1)2) . Тогда для функций рг можно получить

П=1

соотношения

4>i(x,y,t) = ^

y t+y-Z

a-

Н(хД)т(хД,т) - -h{x,T-i) + к00(хД,т)

i t-y+Z т — Z

J (h(x, Y )w(x,f,r - Y) - h(x,y)w(x,i,r - 7)) dy

0

d

dx

+ Д exp (r(x, 0)t/2) —1фо <д8(ж,т)ехр(-г(ж,0)(т)/2), f00 + — (ж^д)

дф 2

т — Z

- / y) ехр(—г(ж, 0)y/2) (r00 + -7^-) (ж, £, т —

др2

dx dr d£,

y

Фз(x,y,t) = ^ J^H(x,y- \£\)wn(x,y- leu + r) - |(Лга(ж,£ + i -3/+ Ifl)

—y

t—y+Z+|Z|

+ koi(x,V - KM +

h(x,Y)w(x,y -|f|,t + £ - 7)

- h(x,y)wn(x,y - |^|,t + f - t)Jdy + v2 exp (r(x, 0)(f +t)/2)

X J“{Lo[<?8(a:,^ + t)exp(-r(a:,0)(^ + t)/2), (г£0 + ^)(ж,у - |f|,f + *)]

t-v+%+|%|

$8(x,Y) exp(-r(x,

roo + ^-)(x,y-t,t+t-

sgn(f) df,

ф5(х,у) = J (^ф8{х^)дои{х,у - о - h(x,y - £))(ps(x,£) + h(x,y - £)tps(x,0 )

0

У/2

+ ~ J {H(v * * * * x>0™t(x,£,V - 0 + koot(x,£,y - 0 - ^h(x,y-2£)/3(x,£)

0

V-2(

h(x, T )wt (x, f,y - f - T) - h(x, t )wt (x, f, y - f - т ) dr

+ г/2exp (г(ж, 0)(y—£)/2) <{ ^-<j L0 <ps(x,y-£)exp(-r(x,0)(y-£)/2) , (r%ot

dx

(hp4

dx

V-2%

+

(x,f,y - f)

r(x, 0) d 2 <9ж

V-2%

$8(x,T) exp (-r(x, 0)r/2) root +

t^4

dx

Lo

</?8(x, T) exp ( r(x, 0)(y - f)/2), (foo +

dj>2

dx

f,y - f - r)dr

f,y - f)

$8(x, y) exp(-r(x, 0)т/2) ( roo +

dy>2

dx

,f,y - f - T

l_d_ ' 2 <9ж .

exp ( -r(x,0)(y - 2^/2) - 2£)(Voo + ^)(ж,£,0

^8(ж,г/-20(г00 + ^)(ж,00) }*;>

$6(x, y) = (y - f) h(x, f) + r(x, 0)$7(x, f) -

r2(x, 0) 4

$6 (x,f) df

$7(x,y)= h(x,f)+ r(x, 0)$^7 (x,f) -

г2(ж, 0) 4

$6 (x,f) df,

v / %

$8(x,y) = J(y - f) I Co(x)$8(x, f) - L[^8,f] - J $8(x, f - T)ft(x,T) | df,

o V o

V / %

$9(x, y) = y"(co I $8(x,f) - L[^8,f] - J $8(x,f - T)h(x, T) | df, o V o

где

v 2 a

koo(x,y,t) = — exp(k(x,0)(t~y)/2)

, d$8

2

4

2

tps(x,t- y) + /сж(ж,0) — (ж,£ - у)

V

V

V

f00(x,y,t) = ^ (ф6(хД - у) exp (k(x,0)t/2)^ ,

~ , . k(x, 0), , . Да . . . . . .

hm{x,y,t) = —-—k00{x,y,t) + — ехр{к{х, 0)(i - у)/2)

кХх(х,0)У- + к2Д х,0)У-

2

4

+ ^Ж’°У——^9(x,t- у) + kx(x,0)^p-(x,t- у) + kx^’°^s(x,t - у)

2

dx

2

foot(x,y,t) = ^

ехр(к(х, 0)4/2) ( ф7(ж, t - у) + f - у)

2

1 (а

t+y

w(x,y,t) = <фДх,y,t) + -< -(ф8(жД + у) + ф8(жД-у)) + i)8(x,T)go(x,t + у - т) dr

2 2

t-y

+ / ^/’e(x,T)go(x,t - y - T) dr L

0

~ а г ~ ~ i 1 г ~ ~

Wt(x,y,t)=tl)3(x,y,t) + - |ф9(жД + у) + ф9(жД - y) J + -уО(ж,0) |ф8 (ж, t + y) + ф8 (+ t - y)

1

t+y

t-y

+ 2» / M+t-r)yot(+T)dT + / ip8(x,t - T)got(x,T)dT

Кх,у) = \ д(х,у) + со(хД8(х,у) +- уо(ж,0)/9(ж,у) + ф8(ж,у)уш(ж,0) 2 l j а

tp2(x, y,t) = exp(k(x, 0)t/2) | Lo[+6,Wt] - J фб(x,t - t)w(x,y,T) | dr,

y

~ k (x 0) ~

фДх, у, t) = —~ ~'ip2(x, y, t) + exp(k(x, 0)4/2) ( Ьд[фДх, у), wt(x, у, i)] - ф6(ж, t - y)/3(x, y)

- J фб (x, y - T )w(x, y, r) dr j .

y

Применяя к ним оценки, приведенные выше, находим неравенство

А ф А р, р = max (ур!5,р!б, д7, max(1,b-1 )д8, max(1,b-1 )дд) <р< 1,

ГДе Д5,б,7 = ^5,6,7(M,R,S0/ д8,9 = d8,9(b,a,R,S0,T).

Следователвно, А = 0. Поэтому ^ = <+,. Теорема доказана.

t

t

Литература

1. Туаева Ж. Д. Многомерная математическая модель сейсмики с памятью // Мат. форум. Т. 1, ч. 2. Исследования по диф. уравнениям и мат. моделированию.—Владикавказ: ВИЦ РАН, 2008.— С. 297-306.—(Итоги науки. ЮФО).

2. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости // Сиб. журн. индустр. матем.—2013.—Т. 16, № 2.—С. 72-82.

3. Овсянников Л. В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств // Докл. АН СССР.— 1965.—Т. 163, вып. 4.-С. 819-822.

4. Овсянников Л. В. Нелинейная задача Коши в шкалах банаховых пространств // Докл. АН СССР.—1971.—Т. 200, вып. 4.-С. 789-792.

5. Nirenberg L. Topics in Nonlinear Functional Analysis.—N. Y.: Courant Institute Math. Sci., New York Univ., 1974.-259 p.

6. Романов В. Г. О локальной разрешимости некоторых многомерных обратных задач для уравнений гиперболического типа // Диф. уравнения.—1989.—Т. 25, № 2.—С. 275-284.

7. Романов В. Г. Вопросы корректности задачи определения скорости звука // Сиб. мат. журн.— 1989.—Т. 30, вып. 4.-С. 125-134.

8. Романов В. Г. О разрешимости обратных задач для гиперболических уравнений в классе функций, аналитических по части переменных // Докл. АН СССР.—1989.—Т. 304, вып. 4.—С. 807-811.

9. Дурдиев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн.— 1994.—Т. 35, вып. З.-С. 574-582.

10. Durdiev D. К. Some multidimensional inverse problems of memory determination in hyperbolic equations // Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom.—2007.—Vol. 3, № 4.—C. 411-423.

11. Дурдиев Д. К., Сафаров Ж. Ш. Локальная разрешимость задачи определения пространственной части многомерного ядра в интегродифференциальном уравнении гиперболического типа // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.—2012.—Т. 4, вып. 29.—С. 37-47.

Статья поступила 9 февраля 2015 г.

Дурдиев Дурдимурод Каландарович

Бухарский государственный университет, проректор по учебной работе УЗБЕКИСТАН, 200117, Бухара, ул. М. Икбол, 11 E-mail: durdiev65@mail .ru

Тотиева Жанна Дмитриевна

Центр геофизических исследований ВНЦ РАН,

старший научный сотрудник

РОССИЯ, 362002, Владикавказ, ул. Маркова, 93 а;

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]

THE PROBLEM OF DETERMINING THE MULTIDIMENSIONAL KERNEL OF VISCOELASTICITY EQUATION

Durdiev D. Q., Totieva Zh. D.

The integro-differential system of viscoelasticity equations is considered. The direct problem of determining of the displacements vector from the initial-boundary problem for this system is formulated. It is assumed that the kernel in the integral part depends on both the time and the space variable x2. For its determination an additional condition relative to the first component of the displacements vector with x3 = 0 is posed. The inverse problem is replaced by the equivalent system of integral equations. The study is based on the method of scales of Banach spaces of analytic functions. The theorem on local unique solvability of the inverse problem is proved in the class of functions analytic on the variable X2 and continuous on t.

Key words: inverse problem, stability, delta function, Lame’s coefficients, kernel.