CC BY
67
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ИДЕЯ МЕТОДА ГАЛЁРКИНА Давронов Ж.Р. Email: [email protected]
Давронов Жавлон Рустам угли - преподаватель кафедра дифференциальных уравнений, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотaция: в этой статье показано применение метода Галёркина для численного решения краевой задачи, поставленной дифференциальному уравнению. Суть метода показана на примере. Численное решение дифференциальных уравнений на сегодня вызывает большой интерес. Не каждое дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, так как дифференциальные уравнения выражают конкретный, естественный процесс, их приближённое решение приближенно отображает изучаемый процесс. Это показывает прикладной характер изучаемой задачи.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, краевые условия, численное решение, метод Галёркина, погрешность.
THE IDEA OF THE GALERKIN METHOD Davronov J.R.
Davronov Javlon Rustam ugli - Teacher, DEPARTMENT OF DIFFERENTIAL EQUATION, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this article shows the application of the Galerkin methodfor the numerical solution of the boundary value problem posed to the differential equation. The essence of the method is shown with an example. The numerical solution of differential equations is of great interest today. Not every differential equation has an analytical solution, since differential equations express a specific, natural process, their approximate solution approximately reflects the process under study. This shows the applied nature of the problem under study.
Keywords: differential equations, boundary conditions, numerical solution, Galerkin method, error.
УДК 519.652
Пусть задано уравнение
£[у]=/0) (1)
где L [у] = у'' + р (х) у' + q (х) у, и краевые условия:
Га М = а0у(а) + аху'Са) = А (2.1) Гь М = /?„ У (Ь) + fty' (Ь) = В; (2.2) |ао| + К1*0 |/?„l + l/?il*0; (2.3) Выберем конечную систему базовых функций { / (х) } ( i = 0 , 1 , • • -,п) , состоящую из части полной системы, и функцию //0 (х) , которая удовлетворяет неоднородные краевые условия
Г[Ц0] = А , Г[У0] = В и функции удовлетворяют однородные краевые условия
Г[1/г]0, Г[[/г] = 0 (i = 1,2,••• ,п) Ищем решение краевой задачи ( 1 ) — (2 . 3 ) — следующим образом
п
y(x) = U0(x)+YjCiUi(x) (3)
¿=1
В выбранных нами базовых функциях / (х) , функция y определяется формулой (3), видно, что она удовлетворяет граничным условиям (2.1) - (2.3) при произвольном
выборе коэффициентов С¿. (3) - выражение подставляем в уравнение (1). Это дает следующую ошибку.
п
R (х, C1,C2,-,Cn) = L[U0]+YjCiL [Ut] - f{x)
i=1
Согласно методу Галёркина, мы требуем, чтобы ошибка R была ортогональна базисным функциям U(х) ( ¿ = 1 , 2 ,• • -,п) , достаточно большое количество таких функций обеспечивает умеренно малую погрешность. Насколько близко такое приблизительное решение к конкретному - одна из задач, которая в целом остается открытой. Таким образом, чтобы найти коэффициенты Сг ( i = 1,2, • ■ -,п) приходим к линейной системе уравнений
-ь
U1(x)R(x,C1,C2, ...,Cn)dx = О
f
Ja
I U2(x)R(x,C1,C2,...,Cn)dx = J a
Un(x)R(x, Cu C2,..., Cn)dx =
yjn
или при
^С,I и^хщи^х = I ¿/¿(х){/(х) - Ь[и0Шх 1=1 а а Пример: Решите методом Галёркина однородное уравнение, заданное следующими граничными условиями,
У" + У = _х у( 0) = 0 у( 1) = 0
Решение: На основе метода Галёркина выбираем приближенное решение в следующем виде
Уг
(X) = YjClUl(x)
i=1
где, если берём и ' (х) = х' ( 1 — х) , которые удовлетворяют граничным условиям. Для простоты расчета рассмотрим случай п = 2,
у2(х) = ад(х) + С2 и2 (х) у2(х) = С\х( 1 - х) + С2х2 (1 - х) у2'(х) = Сх( 1 - 2х) + С2(2х - Зх2) У2"00 = -2СХ + 2С2 - 6С2х теперь подставим эти равенства в уравнения.
Уп = У2"00 + У200 = -2СХ + 2С2 + х(Сх - 6С2) + х2(С2 - С\) - х3С2 и .
Теперь вычислим следующие интегралы, чтобы найти коэффициенты Сх va С2 :
I Уп^л (x)dx = I f(x)U1(x)dx Jo Jo
I ynU2(x)dx = I f(x)U2(x)dx Jo Jo
после использования первой из этих систем, получим следующее равенство
[ (-2Сх + 2С2 + х(Сх - 6С2) + х2(С2 - С\) - х3С2)(х - х2)с?х = [ -х(х - х2)с?х -'о -'о
Вычисляя интеграл, получим
18CV + 9С2 = 5
Теперь мы упростим второе уравнение системы, сделав то же самое, из чего следует следующее: 6 3 Ci + 5 2 C2 = 2 1 .
Решаем полученную систему линейных уравнений относительно Cx и C2:
Г 18 С1 + 9С2 = 5 { 63CV + 52С2 = 21
71 7
Получим, Cx = — и C2 = — e коэффициенты подставляем в приближенное решение
Уп (х) = ( 1 — х) + ¿х2 ( 1 — х) .
sivi(x') л
Точное решение у (х) = ■—-— х. Погрешность в этом случае е < 3 • 1 0" 4. Если увеличим число коэффициентов, то погрешность стремится к нулю.
Это метод можно использовать при решении прямых и обратных задач, поставленных дифференциальным уравнениям [1]-[4], [6], [9], [11,12], [14-18].
Список литературы /References
1. Меражова Ш.Б. Обратная задача определения ядра для одного модельного интегро-дифференциального уравнения параболического типа. // Тезисы докладов XV Международной научной конференции, 2019. С. 138-139.
2. Меражова Ш.Б., Нуриддинов Ж.З., Меражов Н.И., Хидиров У.Б. Методы решений задачи Коши для уравнения волны в случае n = 2 и n = 3 // Academy. 4 (55), 2020. С. 21.
3. Меражова Ш.Б. Решение методом продолжения задач математической физики в полуограниченных областях // Молодой учёный. 12(116), 2016. С. 43-45.
4. Меражова Ш.Б. Постановка обратной задачи для параболических интегро-дифференциальных уравнений с интегральным членом типа свертки // Ученый XXI века. № 5-3, 2018. 47-49.
5. Merajova Sh.B. Numerical solution of the second boundary value problem for an equation of mixed-composite type // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6 (10), 2019.
6. Меражова Ш.Б. Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы // Молодой учёный. 10 (114), 2016. С. 14-16.
7. Меражова Ш.Б. Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа // Молодой учёный. 8 (112), 2016. С. 21-23.
8. Меражова Ш.Б., Маматова Н.Х. Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа // Молодой учёный. 12 (116), 2016. С. 42.
9. Меражова Ш.Б. Тексиликда аралаш турдаги модел тенгламага куйилган биринчи чегаравий масала ечими хасида // "Тадлилнинг долзарб муаммолари ва татбщлари" Илмий конференция материаллари, 2019. 173-174 бб.
10. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды от временной частоты // Сибирские Электронные Математические Известия. 17 (2020). С. 179-189.
11. Durdiev U.D. A problem of identification of a special 2D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation. // Eurasian journal of mathematical and computer applications. 7:2 (2019). Pp. 4-19.
12. Durdiev U.D. An Inverse Problem for the System of Viscoelasticity Equation in the Homogeneous Anisotropic Media // Journal of Applied and Industrial Mathematics -Springer, 13:4 (2019). Pp. 1-8.
13. Меражова Ш.Б. Теорема об устойчивости разностной модели для первой краевой задачи поставленную в уравнению смешанного типа // Ученый XXI века. № 5-3, 2018. С. 49-51.
14. Меражова Ш.Б., Мардонова Ф.Я. Эквивалентность задачи для уравнения смешанного типа и задачи Коши для уравнений симметрической системе // Учёные XXI века. № 6-1 (53), 2019. С. 20-23.
15. Меражова Ш.Б., Маматова Н.Х. Постановка обратных задач в математической физике // Ученый XXI века № 5-3,(2018), 43-45.
16. Меражова Ш.Б., Мадатова Г.А. Использование метода Фурье для решения смешанной задачи для гиперболической системы // "Молодой учёный", 2017. 15. ЧАСТЬ II. Стр. 106-109.
17. Маматова НХ., Норова М. Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве // Молодой ученый, 2016. № 12 (116). С. 31-32.
18. Маматова Н.Х., Меражова Ш.Б. Постановка задачи для построения оптимальной интерполяционной формулы в пространстве С.Л. Соболева непериодических функций // Молодой ученый, 2016. № 10 (114). С. 13-14.
OPERATIONS ON TOPOLOGICAL SPACES Beshimova D.R. Email: [email protected]
Beshimova Dilorom Ruzinazarovna - Teacher, DEPARTMENT OF DIFFERENTIAL EQUATION, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: от of the most important sections of modern general topology is the theory of cardinal-valued invariants of topological spaces. Among these invariants, the second most important is density. In the hierarchy of spaces determined by the density, the spaces of the least infinite density occupy the central place, i.e. spaces that contain countable everywhere dense subspaces. Historically, these spaces are called separable. In this paper T zero topological space, T one topological space, Hausdorff space, regular spaces, full regular space, normal spaces are studied.
Keywords: topological space, Hausdorff space, regular space.
ОПЕРAЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Бешимова Д.Р.
Бешимова Дилором Рузиназаровна - преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотaция: одним из важнейших разделов современной общей топологии является теория кардинальнозначных инвариантов топологических пространств. Среди этих инвариантов вторым по значимости является плотность. В определяемой плотностью иерархии пространств центральное место занимают пространства наименьшей бесконечной плотности, т.е. пространства, которые содержат счетные всюду плотные подпространства. Исторически сложилось так, что эти пространства называются сепарабельными. В этой статье изучаются T ноль топологическое пространство, T один топологическое пространство, пространство Хаусдорфа, регулярные пространства, полное регулярное пространство, нормальные пространства.
Ключевые слова: топологическое пространство, Хаусдорфово пространство, регулярное пространство.
