CC BY
4
УДК 514.75
ПОЛЯ ГИПЕРКВАДРИК, ПОРОЖДЕННЫЕ СЕМЕЙСТВОМ
КОЛЛИНЕАЦИЙ
Н.В. М а л а х о в с к и й
(Калининградский государственный университет )
Продолжается начатое в [1]-[3] исследование ^параметрических семейств Пп коллинеаций тс:Рп ^ рп п-мерных проективных пространств. Доказано ряд предложений, в которых получены и геометрически охарактеризованы поля гиперквадрик, порожденные в Рп семейством Пп. В работе используются обозначения и формулы из [1]-[4]. Символ (a,b)[c] указывает на формулу статьи
[с].
Рассмотрим ^параметрическое семейство коллинеаций тс:Рп ^ рп п-мерных проективных пространств, отображающих заданную точку Л0 е Рп в заданную точку а0 е рп, причем точки Л0 и а0 описывают ^мерные области.
В реперах |ЛГ} и {аг} (I',1' = 0,п) семейство Пп задается системой уравнений (1.6),(1.8)[1]. Гиперплоскости у(о) с рп, N(0) с Рп(см.(1.1),(1.2)[3]) определяют нормализации пространств рп и Рп.
Для каждой, произвольно заданной точки Л0 е Рп и соответствующей ей точки а0 = тс(Л0) рассмотрим многообразия Q(Л0) и ~(а0) всех гиперквадрик Q е Q(А) и q е ~(а0) таких, что А е Р и а0 е q, причем А и а0 являются неособыми точками указанных гиперквадрик. В дальнейшем, если ясно, о какой точке Л0 (а0) идет речь, указания на нее в обозначении многообразия
А) (~(а0)) будем опускать. В реперах и Га [3] уравнения произвольных гиперквадрик Р е Р и q е ~ имеют соответственно вид
Р1КХ:ХК + = 0, (1)
llJ
qlJx1xJ + 2^хх = 0 (I,i,... = 1,п) , (2)
причем
= Пь , УР1 = р^ПК;
к - ; (3)
vqlJ = qlJ,k ю , Vql = ql,jю J.
Пусть Н (11) - связка всех гиперплоскостей, инцидентных точке А0 (точке а0).
Уравнение элементов Ы е Н и 1 е И запишутся в виде
(0 ^
Ых1 = о V ы = о , (4)
V у
Г 0 \
(5)
1Х1 = 0 V1 = о
V у
Многообразие естественным образом расслаивается над пространством Н : слой над Н е Н состоит из всех ( е , для которых гиперплоскость Н является касательной к гиперквадрике Q в точке А0. Обозначим указанное расслоение символом (((,Н,Т). Аналогичным образом имеет место расслоение (т)
многообразия ~~ над И.
В [3] для каждой точки А е Рп и нормали v(ст) определены и геометрически охарактеризованы четыре инвариантных алгебраических многообразия
ст ст ст ст
(5.1)[3], названные Г -, О -, у - и g-индикатрисами. Пусть
ст ст ст ст
" (Г** (Г** (Г**
*Г , 3О , 3у ' 3
ст ст ст ст
?. Уравнения каждой из индикатрис (5.1)[3] имеют вид
( о Л з^хК - 2ХЬ = о V3t = о
чК
1К
V у
(6)
суЬ т^Ь /-л Ь Ь Г
где 31К принимают значения из Г 1К, О1К, у 1К, gIK.
Предложение 1. Каждая из четырех индикатрис 3 определяет сечение £ расслоения (((,Н,Т).
Доказательство. Положим
(1 = - Н1 > (1К = НЬ 31К •
о о
Из уравнений (4), (6) имеем : V (1К = о , V (1 = о. Таким образом, уравнение
Н (з^Х1ХК - 2ХЬ ) = о (7)
определяет элемент ( = 3(Н) слоя над Н расслоения (((,Н,Т). Многообразие
всех ( = Б(Н), Н е Н для данного 3 является ^-^-мерным линейным семейством гиперквадрик.
Построенный так элемент (= 3(Н) многообразия (~ будем обозначать символом ((3,Н, ст).
Если гиперплоскость Н имеет геометрическую интерпретацию, то, тем самым, в силу предложения 5.1 работы [3] гиперквадрика Р(3,И,а) также оказывается геометрически охарактеризованной : в ^-^-мерном линейном семействе = 0, определяемом индикатрисой 3, это единственная гиперквадрика, имеющая гиперплоскость Н своей касательной гиперплоскостью в точке Л0. При этом системы величин Иь и 3^к охватываются фундаментальными объектами семейства Пп и уравнения (1), (3) задают поле гиперквадрик Л0 а Р е р(Л0), А0 е Рп.
Рассмотрим струю 2-го порядка [3,^56], определяемую семейством
Пп. Пусть И е И и у е^Ао. Пучок Н(И^(а)) гиперплоскостей, в которых лежит (п-2)-плоскость И О N(0), будем рассматривать как одномерное расширенное аффинное пространство с несобственным элементом N(0). Обозначим символом Рн отображение, которое точке Р е Рп ставит в соответствие инцидентную ей гиперплоскость пучка
Н( И,Ца)). Пусть К( р ) - связка дробно-линейных отображений, касательных к одному из следующих отображений [3,с.55] : Рн о тс-1 оф , рн о тс-1 о у , рн оф -1оао у , Рн оф -1 о у.
Следующие два предложения вытекают из определения главных точек [4] и предложения 5.1 статьи [3].
а а а
Предложение 2. Гиперквадрика Р(3,И, а) где
( 3 = 3
3=3„
г ^ — , ^ — ,
а
3 = 3 ) является единственной гиперквадрикой в Рп, содержащей все главные
точки отображения тс 1 оф (тс 1 о у, ф 1 оао у, ф 1 о у) и касающейся гиперплоскости Н в точке Л0.
Предложение 3. Точка М е Рп, М Ф Л0 принадлежит гиперквадри-
а
ке Р(3,И, а), где 3 = 3 (3 = 3 > 3=3 > 3=3 ), в том и только в том случае, если для всех отображений К(р ), для которых прямая [ Л0 М] является К( р) -главной прямой отображения Рн о тс 1 оф, (Рн о тс 1о у ,
р И оф-1 оао у , Р И оф-1 о у ) , выполняется : К(р )(М) = N(a).
Что касается гиперплоскостей Н, необходимых для геометрической интерпретации гиперквадрик Р(3,И, а), то, как показывают следующие два предложения, семейство Пп позволяет получить целый ряд гиперплоскостей И е И с
и и и /—ч и
известной геометрической характеристикой. Одной из них является гиперплос-
а
кость М:Х' = 0 (3.4)[1]. Рассмотрим определенные и проинтерпретированные в [2] отображения К и ф из Рп в рп. Пусть — и Ь2 - две гиперплоскости в Рп, из которых по крайней мере одна не инцидентна точке А0. Обозначим символом — * гиперплоскость Н е Н пучка гиперплоскостей, содержащих (п-2)-плоскость — О —. Очевидно, гиперплоскость — *Ь2 единственна. Аналогично определяется гиперплоскость И = ^ *12 е И по гиперплоскостям ^ ,12 ^ Рп • Предложение 4. Гиперплоскость п 0)) *Ь 1^(0)),
(Ь"'(Ц0)) *К-'(Ц1)), п-'(у( 0)) * п-1(у(1)), ь-(у(0)) * п-'(п(1)), п->(у(0))*К-1(у(1)), п-1 (у(0))*К(а), К-1(у(1))*К(а), Ь-1 (у(0))*Ца))
определяется уравнением НХ1 = 0, где Н = Г +
/" * Л * *
(Н = ~ТА +§Т мт, Н = ~Тм;мт, н = ~Т(^м;-гта\)+
ЧУ
*
Н = ~Т (гТм; - оТ а)+г, н = ~Т Гм!, Н = ~Т ГА - ,
*
= АТ От А - Г)■
Доказательство вытекает непосредственно из уравнений отображения К [2,^52], отображения Ь [2,^54], отображения п (1.4) [1] и нормалей "у(а), ^а) [3,с.53].
Пусть А - определяемое аффинором | [1,c.54] преобразование центро-аффинного пространства (Рп, А0 •
Предложение 5. Гиперплоскости N 0) и Ко1 ^(0) * у(1)) связаны
соотношением
N 0) *N(1) = а( К-1 (v(0) * v(l))) .
Доказательство. Для гиперплоскостей N(0) *Ц1) и 0) * v(l))
находим соответственно :
* *
~Т ММ|Х! = 0 , ~Т мА\Х: = 0 •
Доказываемое равенство вытекает теперь из (2.14) [1].
Замечания: 1. Для гиперплоскости тс-1(^1)) *К-1 (v(l)) имеем:
п-1(Ч1)) *К0' (\{1)) = я-1^( 0)) *Ь-1 (v(0)).
2. Всего в предложениях 2-5 с учетом гиперплоскости (3.4) [1] для каждого а е К получена геометрическая характеристика 44-х инвариантных гиперквадрик вида Р(3,И, а).
3. Применение оператора А в общем случае позволяет из любой внутренним образом присоединенной к семейству П для точки Л гиперквадрики
Р(3,И,а) е Р получить ряд гиперквадрик р(3,Лт(И),а) е Р, где т е Z.
4. С той же целью можно использовать коллинеации к = Ь 1 оК0, к2 = тс-1 оЬ, к3 = К-1 о тс и к т, к т, к т пространства Рп.
5. Для каждой точки Л0 гиперквадрики Р е Л) имеем: Ь^) е ~(ао), К (Р) е ~(ао ), тс(Р) е ~(ао ). При этом выполняются уравнения (2), (3), которые определяют в рп поля гиперквадрик.
Библиографический список
1. Малаховский Н.В. О семействах коллинеаций многомерных проективных пространств // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1989. Вып. 20. С. 50-57.
2. Малаховский Н.В. Нормализации проективных пространств и характеристические числа , порожденные семейством коллинеаций // Там же, 1990. Вып. 21. С. 50-56.
3. Малаховский Н.В. Аффинные связности, порожденные семейством коллинеаций // Там же, 1992. Вып. 23. С. 53-59.
4. АНДрееВ Б.А. К геометрии дифференцируемого отображения ^рт ^ Рп ^>п) // Там же, 1987. Вып. 18. С.5-9.
N.V. M a l a k h o v s k y
FIELDS OF HYPERQUADRICS, GENERATED BY THE FAMILY OF COLLINEATIONS
Nondegenerated n-parameter family In of collineations tc: Pn ^ pn of two n-dimensional projective spaces is considered, mapping the given point A0 e Pn into the given point a0 e p , where points A0 and a0 describe n-dimensional domains in the corresponding spaces. Four invariant algebraic manifolds - indicatrixes and invariant hyperquadrics Q 3 A0 and q 3 a0 are associated with the family In at each point A0.
It is shown that each of the four indicatrixes defines section S of the fibering (Q, H, T) where Q is a set of hyperquadrics Q, H is a set of hyperplanes, tangent to the hyperquadrics Q at A0. Properties of geometric forms and induced mapping are obtained, defined by there fiberings.
