ГИПЕРКВАДРИКА ЧЕХА ТОЧЕЧНОГО СООТВЕТСТВИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Б.А. Андреев

(Калининградский государственный университет) ГИПЕРКВАДРИКА ЧЕХА ТОЧЕЧНОГО СООТВЕТСТВИЯ

Изучается локальное соответствие проективно-аффинных пространств. Найдены и геометрически охарактеризованы возникающие во 2-й дифференциальной окрестности инвариантные геометрические образы. Доказаны предложения, в которых изучаются свойства этих образов и их связь с введенным ранее автором понятием главных точек отображения.

Пусть £ Рп^ Рп - локально определенное дифференцируемое отображение проективно-аффинных [1, а 483] пространств, отнесенных соответственно к подвижным реперам R={A,EI} и г={а, ei}, деривационные формулы которых имеют вид:

ал = П1Б1, ёЕ1 =ПКЕк, аа = ю1е1, ае1 = ю^(1,... = 1,п; I,... = 1,п), (1)

где формы Пфаффа подчиняются известным уравнениям структуры. Поместив начало А в произвольную точку Р области определения отображения £ а начало а - в точку р=^Р), получим дифференциальные уравнения отображения f в виде

ю1 = Л\ П1. (2)

Двукратное продолжение системы (2) приводит к фундаментальному объекту 2-го порядка Г2={ Л11, Л^ }. Обозначим несобственные гиперплоскости пространств

Рп и Рп соответственно Пп-1 и яп-1. Для каждой точки Р объектом Г2 определяется введенное автором [2] инвариантное алгебраическое многообразие

Л\КХ:ХК - 2Л1[Х1 = 0, (3)

названное индикатрисой I в точке Р. Имеем: Ре! Геометрический смысл индикатрисы I состоит в том, что задаваемые ею главные точки, т.е. точки множества 1\{Р}, характеризуются условиями: 1) существует касательная к f в Р коллинеа-ция, принадлежащая связке коллинеаций К(Р1):

х1 = ^КХ^ (4)

1 - Р1Х1

такая, что прямая [РМ] (Ме 1\{Р}) является для нее главной [3] и 2) К(Р1)(М) етсп-1. Рассмотрим струю 2-го порядка ^^:

х1 = Л11х1 +1 Л\Кх1хК + < 3 > . (5)

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Предложение 1. Главные точки Mе IX и только они обладают свойством: если М* - точка, симметричная точке М относительно точки Р, то для сужения ф | [р^, где фе , выполняется ф | [pM]( М*)=р.

Замечание 1. Указанное свойство можно было бы положить в основу определения главных точек. Однако выбранное нами определение обладает тем преимуществом, что в отличие от другого сохраняется при переходе от проективно-аффинного пространства Рп к проективному пространству.

Рассмотрим объект связности Г.Врэнчану [3; 6] отображения £

Г к = V11 Л1Ж, (6)

где Vй определяется системой 5 ^. Объект (6) удовлетворяет соотношениям

(5.2) [3] и в нашем случае, как легко показать, определяет в Рп аффинную связность. Э. Чех ввел в рассмотрение [4] коллинеацию KcеK(PI), для которой выполняется:

1 а 1 т

^=—7 ГI = — ГТ (7)

п +1 п + 1

и которая называется локальной коллинеацией Чеха. Непосредственным подсчетом доказывается

Предложение 2. Локальная коллинеация Чеха характеризуется условием: точка Р является стационарной точкой якобиана отображения К С1 ° f.

Легко видеть, что система (3), определяющая многообразие I, эквивалентна системе

Г1ЖХ1ХК - 2Х1 = 0. (8)

Объектом Г2 для каждой точки Р определяется инцидентная ей гиперквадрика Qc:

Г (Г:ж ХТХК - 2Х1) = 0, (9)

которую будем называть гиперквадрикой Чеха. Заметим, что гиперквадрика Qc содержит все главные точки и точку Р. Кроме Qc коллинеация Кс определяет также для каждой точки Р гиперплоскость Пс:

Г^и+1. (10)

Пусть х - линейное отображение, касательное к f в каждой точке Р. Предложение 3. Гиперплоскость Чеха отображения f является прообразом

несобственной гиперплоскости яп_1С Рп при отображении х-1 ° Кс.

Доказательство вытекает из формул (4); (7); (10).

Предложение 4. Касательная гиперплоскость в точке Р к гиперквадрике Чеха Qс параллельна гиперплоскости Чеха Пс. Ее уравнение имеет вид:

Г^=0. (11)

Обозначим гиперплоскость (11) символом П**. Рассмотрим связку гиперквадрик вида

аТ(ГТКХ1ХК - 2ХТ) = 0. (12)

Б.А. Андреев

Предложение 5. Единственной гиперквадрикой в связке (12), касательная к которой в точке Р параллельна гиперплоскости Чеха Пс, является гиперквадрика Чеха Qc.

Замечание 2. Проведенные рассуждения показывают, что при заданном множестве х характеристических прямых в точке Р множество 1\{Р} главных точек можно в нашем случае получить тремя способами: 1) с помощью К(Р1) - главных пря-

# 2

мых; 2) при помощи струи ; 3) с помощью гиперквадрики Чеха Qc.

Список литературы

1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1979.

2. Андреев Б.А. К геометрии дифференцируемого отображения f:Pm^Pn (m>n) // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1987. №18. С. 5 - 9.

3. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Геометрия. 1963. Итоги науки / ВИНИТИ. М., 1965. С. 65 - 107.

4. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между пространствами // Чехосл. мат. журн. 1952. №1. С. 91 - 107.

5. Vranceanu G. Sul tensore associanto ad una corrispondenza fra spazi proettivi // Boll. Unione mat. ital. 1957. Vol.12. №4. P. 489 - 506.

В. Andreev

THE CECH S HYPERQUADRIC OF THE POINT CORRESPONDENCE

The local point mapping of progective-affine spaces is studied. Geometrical images based on the notion of the Cech's local collineation are found and interpreted geometrically. Propositions are proved about properties of this images and their connection with the notion of the principal points, defined by the author.

УДК 514.763.8

М.Б. Банару

(Смоленский гуманитарный университет) ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Найден простой критерий принадлежности произвольного почти эрмитова многообразия классу AH-многообразий с J-инвариантным тензором Риччи. Указано семейство нетривиальных примеров 6-мерных почти эрмитовых многообразий с J-инвариантным тензором Риччи.

Почти эрмитовы (almost Hermitian, AH-) структуры относятся к числу наиболее содержательных дифференциально-геометрических структур. Их изучению посвящено огромное количество публикаций, характеризующих эти структуры как с