CC BY
4
УДК 514.75
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ
ТОЧКИ ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Б.А. А н д р е е в
(Калининградский государственный университет)
В работе показано, что регулярное гиперполосное распределение в n-мерном проективно-аффинном пространстве порождает несколько семейств точечных отображений проективно-аффинных пространств. Это приводит к появлению структур теории точечных соответствий [1], [2] в геометрии гиперполосных распределений [3]. В частности, введен ряд новых понятий и геометрических образов, обобщающих характеристические направления и главные точки точечных соответствий. Доказаны предложения, в которых дана геометрическая характеристика введенных понятий. Применяемые в работе индексы принимают следующие значения:
J,... = 0,n; J,...= 1,n; i,...= 0,m; u,...= m + 1,n - 1; a,...= 1,n - 1; a,...= m + 1,n; v = 0,4.
Символ (а, b) [c] указывает на формулу (а, b) статьи [c].
В работе [3] определено регулярное гиперполосное распределение H в n-мерном проективном пространстве Рп, состоящее из пары распределений xe U ^ Рп ^ Пп-1 и xe U ^ Рп ^ Пт, где U -область в Рп, а Пп-1, Пт - содержащие точку x подпространства пространства Рп размерностей n-1 и m< n-1, причем Пт ^ Пп-1. В репере 1-го порядка [3, c.122] дифференциальные уравнения распределения H согласно (1.16) [3] имеют вид:
®n=лпк®k, юv=Mvkюо, юv = AVa®a, юv= Nvk®к, (1)
где ю K - компоненты инфинитезимальных перемещений подвижного репера {Aj} пространства Рп, в котором Ао = x.
Фиксация в Рп такой гиперплоскости Рп-1, что Рп-1 п U = 0, в качестве несобственной гиперплоскости превращает Рп в проективно-аффинное пространство [4, c.483]. Поместив в Рп-1 вершины Ад репера, имеем: ю °° = 0. При этом точки Ад
образуют подвижный репер проективного пространства Рп-1; пусть Pn*_1 - двойственное ему пространство, а P п_1 - реализация последнего как пространство всех (^2)-плоскостей в Рп-1.
Определим на множестве всех подпространств Л ^ Рп отображение ст: Л^ Л п Рп-1, т.е. ст(Л) состоит из несобственных точек этого подпространства. Пусть отображение а: х e U ^ Пп-1 задается распределением H и f = ст-а. Отображение
£ х е и с Рп ^ А(х) е РП-1 является локальным отображением проективных пространств. Таким образом, оно относится к объектам изучения теории точечных отображений [1], [2], что приводит к появлению структур этой теории в геометрии гиперполосных распределений.
В [5] получено и геометрически охарактеризовано поле х ^ L нормалей 1-го рода L гиперполосного распределения х ^ Пп-1. Репер, в котором для каждого х е и выполняется Ап = ст(Ь) обозначим RL; в этом репере, как вытекает из (2.18), (2.20) [5], выполняется: ЛПп = 0, а уравнения нормали L принимают вид ха = 0.
Фундаментальный объект 2-го порядка определяет для каждой точки Ао е и инвариантные алгебраические многообразия Jо и 11:
^ - Л"жх'1хк - 2Л"шха = 0, Ф„ - - 2Л"шхи = 0, (2)
Лп^хк - 2Лп)х-' = 0, ху = 0, хп = 0, (3)
где А^ = , а также алгебраические многообразия 12, 1з, 14, задавае-
мые соответственно системами:
а) ^ =0; б) ^ =0, хп = 0; в) ^ =0, Фу =0, хп = 0. Для каждого V = 0,4 имеем: А0 е IV; в общем случае ^ является алгебраическим многообразием размерности 1, 0, п - т, п - т - 1, 0 и порядка 2а, 2т, 2т, 2т, 2а соответственно. Для выяснения геометрической характеристики многообразий Jv рассмотрим соответствующую точке А0 прямую L и точку ст (L) = Ап, которая определяет в Рп-1 структуру про-ективно-аффинного пространства Ап-1, т.е. задает в ней несобственную (п - 2)-плоскость Рп-2, которая реализуется в Р п-1 как множество (п - 2)-плоскостей, инцидентных точке ст Пусть Ап-1 = Рп-1\ ст (L) и (а{, ау) - неоднородные тангенциальные координаты точки ^е Ап-1. Рассмотрим аффинное отображение п: Ап-1 ^ Ап-1, определяемое формулой п(^) = (ш, ау), где aу = 0. Пусть П п-т-1 - характеристика гиперплоскости Пп-1[3, с.123]. Легко доказывается
Предложение 1. Геометрически отображение п характеризуется как проекция в Ап-1 вдоль подпространства К* с Ап-1 на подпространство Jmп, причем К* и 1тп реализуются в Р ¡1-1 как множества всех неинцидентных точке ст (п -
2)-плоскостей, содержащих все точки (т - 1)-плоскости ст (Пт) и все точки (п -т - 2)-плоскости ст (Пп-т-1) соответственно.
Пусть V - алгебраическое многообразие в Рп и А0 е V. Обозначим символом [V] множество прямых связки {А0}, пересекающих V в двух точках, или касающихся его в точке А0.
Определение 1. Прямые множества XV = [-М называются характеристическими прямыми распределения Н, а задаваемые ими в А0 направления - ^-характеристическими направлениями распределения Н
Предложение 2. ^-характеристические направления распределения являются характеристическими направлениями отображения где £з = £ й = п • f | П , £2
Пт
= п • £, = п • £ | П , £4 = £ | П . Это означает, что направление, задаваемое в точ-
Пп-1 Пп-1
ке Ао некоторым вектором, является ^-характеристическим направлением распределения Н в том и только том случае, если для любой кривой I в области определения отображения задающей в Ао это направление и имеющей в Ао инфлексионную точку, кривая ^ I имеет в Ао) инфлексионную точку или точку остановки.
Доказательство этого предложения проводится так же, как доказательство теорем 1 [6] и 4.1 [7].
Из предложения 2 вытекает, что в общем случае в данной точке имеется 1-параметрическое ((п - т)-параметрическое, (п - т - 1)-параметрическое) семейство ^-характеристических ф-, £з-характеристических) прямых, 2т - 1 £1-характеристических и 2а - 1 £4-характеристических прямых распределения Н
Определение 2. Отличная от точки Ао точка В многообразия Jv называется ^-главной относительно точки Ао точкой распределения Н, если число общих точек прямой [Ао В] и многообразия J V равно 2.
Рассуждая как при доказательстве предложения 1 [6], получаем
Предложение 3. Точка В является ^-главной относительно Ао точкой распределения Н в том и только том случае, если существует касательная к отображению ^ коллинеация К [1], для которой прямая [Ао В] является главной [1], причем К(В) е Рп*_ 2.
Следствие. На каждой прямой, определяющей ^-характеристическое направление в точке Ао, существует единственная ^-главная точка относительно точки Ао.
Если ^-главная точка В не лежит в Рп-1, то можно говорить о ^-главном векторе АоВ. Если ^-главная точка В несобственная, то [АоВ] является главной прямой для касательного к отображению ^ линейного отображения.
Библиографический список
1. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Геометрия 1963. Итоги науки /ВИНИТИ. М., 1965. С.65-Ю7.
2. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Алгебра, топология, геометрия 1970. Итоги науки /ВИНИТИ. М., 1971. С.153-174.
3. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения // Проблемы геометрии /ВИНИТИ. М., 1975. Т.7. С. 117-151.
4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979.
5. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве //Тр. геом. семинара /ВИНИТИ. М., 1973. Т.5. С.169-193.
6. Андреев Б.А. О распределении линейных элементов, порожденных отображением f: Pm ^An (m>n) //Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1979. Вып. 10. С.5-9.
7. Андреев Б.А. Структуры теории точечных соответствий в геометрии гиперполос //Там же, 1996. Вып.27. С. 9-16.
B. A. A n d г e e v
CHARACTERISTIC DIRECTIONS AND PRINCIPAL OF A HYPERSTIP DISTRIBUTIONS
It is shown that a regular hyperstrip distribution in the n-dimensional projective-affine space generates some families of point maps of projective-affine spaces. This fact leads to the appearance of structures of the theory of point correspondences in the geometry of hyperstrip distributions. In particular, a number of new notions and geometric images are introduced, which generalize characteristic directions and principal points of point correspondences. Some theorems are proved, which demonstrate a geometric interpretation of the introduced notions and relations between them.
УДК 514.763.8
О ГОЛОМОРФНОЙ БИСЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЕ 6 - МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБРЫ КЭЛИ
М. Б. Б а н а р у
(Смоленский государственный педагогический институт)
Голоморфная бисекционная кривизна является одной из важнейших характеристик почти эрмитова многообразия, поскольку она во многом определяет не только его геометрию, но и топологию. Напомним, что понятие голоморфной бисекционной кривизны многообразия ввели С.Гольдберг и Ш.Кобаяси [1], а
под почти эрмитовым понимают многообразие M2n, наделенное почти ком-
U U Т U U / \
плексной структурой J и римановой метрикой g = (у у, при выполнении условия
(JX, JY^ = (X, Y, X,Ye (M2n). Если при этом еще выполняется условие
[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]=0, то многообразие называют эрмитовым.
