CC BY
4
В. С. Малаховский
V. Malakhovsky
ABOUT ONE CLASS OF SURFACES IN 3-DIMENSIONAL PROJECTIVE SPACE
In 3-dimensional projective space P3 a smooth non linear surface c with parabolic line congruences of the first and the second directrexes of Wilcynski is considered. It is proved, the existence of such surfaces and sum special cases are investigated.
УДК 514.75
В. С. Малаховский, Н. В. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта)
ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА т-МЕРНОМ НЕВЫРОЖДЕННОМ МНОГООБРАЗИИ КВАДРАТИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В п-МЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (т<п)
В п-мерном проективном пространстве Рп рассмотрено т-мерное многообразие Ут (п - 2)-мерных невырожденных квадрик Qn_2 (квадратичных элементов) (п > 3, т < п) в предположении, что гиперплоскости
квадрик также образуют m-параметрическое семейство и что характеристика гиперплоскости не пересекается со своим полярным относительно Qn_2 подпространством.
С использованием компьютерной программы нахождения продолжений и охватов полей геометрических объектов на дифференцируемом многообразии [3, с. 77—107] найдены тензорные и квазитензорные поля на Ут и рассмотрены определяемые ими геометриче-
87
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ские образы. Для каждого Qn-2 £ Ут найдены в Рп две инвариантные точки, определяющие на Ут два инвариантных оснащения.
§ 1. Система пфаффовых уравнений многообразия Ут
Определение 1.1. Многообразие Ут квадратичных элементов Qn_2 при т < п называется невырожденным, если характеристическое подпространство гиперплоскости квадратичного элемента Qn_2 не пересекается со своим полярным
относительно Qn_2 подпространством.
Невырожденное многообразие Ут отнесём полярно канонизированному реперу {Ла, Лп+1} , расположив вершины Лг в полярном подпространстве, Ла — в характеристическом подпространстве, а вершину Лп+1 — вне гиперплоскости квадратичного элемента. Здесь и в дальнейшем индексы принимают следующие значения:
г, 7, к, к, I = 1, т , а, Ь, с, ё = т +1, п, а, в, У = 1, п. (1.1) Уравнения квадратичного элемента Qn_2 приводятся к виду:
аг]хгх] + аЬсхЬхс = 0, хп+1 = 0 . (1.2)
Обозначим символом Ута^а тензорную часть дифференциальной формы без слагаемого с множителем таа а , т. е. Утр1р2...ро = ётр1р2 .р' -тр1р2 .р' - -т+
а1а2...ар а1а2...ар уа2...ар а1а2...ар-1у (1 3)
ур2...ра р1р2...ра-1у
+ Ш а + ... + Ш а .
а1а2...ар а1а2...ар
Система пфаффовых уравнений многообразия Ут запишется в виде:
88
В. С. Малаховский, Н. В. Малаховский
2 2
Va1} — аг]апп+ = bkak, Vabc — abcv"n++l = bkbcak, ®a = 0, n n
X = h®, ® = K® J, (1.4)
где
def
(1.5)
В силу нормировки
(A A.A+1 ) = 1, det (aap) = 1, (1.6)
получим:
X + ®2 +... + ®n + X = 0, (1.7)
ab + abcbkbc = 0. (1.8)
Продолженная система уравнений (1.4) имеет вид
Ч - ^хя n sfasfa jx = щ®,
vкь -— baxm +2 a® = baXj, (L9)
n n
Vhl -hX = hfa,, vka -kfXj + 5{а° = kfak,
a a n+1 a k' г г n+1 г n+1 г k'
причём
1 \am] (hl:kf - h^kf ) + am( hl:kf - hfkf )]. (1.10)
bk] = -г 2
§ 2. Поля геометрических объектов на многообразии Ут
Используя компьютерную программу продолжений и охватов [3, с. 77—107], убеждаемся, что на невырожденном многообразии Ут квадратичных элементов определяются различ-
89
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ные поля линейных геометрических объектов (тензоров и квазитензоров), определяющие в проективном пространстве Рп
инвариантные точки, линейные подпространства, конусы и невырожденные квадрики, заданные в инвариантных подпространствах.
Из (1.4) следует, что системы величин {а. } , {аЪс} являются тензорами. Так как
ёе1 (ау.) • ёе1 (аЪс) = ёе1 (аар) = 1, (2.1)
то
ёй (а. )* 0, ёе1 (аЪс )* 0. (2.2)
Используя неравенства (2.2), соотношениями
а1как =8, аыаЛс =81 (2.3)
можно определить взаимные тензоры {а1}, {аЪс}, которые
вместе с тензорами {а.} и {аЪс} назовём базовыми тензорами. Обозначим:
Ъ1 = а]кЪ)к, а1 = аЧкк . (2.4)
Наряду с базовыми тензорными полями на многообразии Ут определены следующие геометрические объекты: 1) тензоры
{с1 } , {К } , К } , И } , К } , {Ъук } , {ПаЪ } , {? },
к }, {и }, {V }, Ик }, {.}, {Vя}, К }, к }, {иа}, (2.5) где
с1 = 2(п - т)а1 + (2 - тп - п)Ъ, г1} = КаЦ]к? - тк^ 1к\а'), а = к(а.1 кЪ> - ткИ.
= к^к'» - тк)а1%> ] 1 ^ ]
90
В. С. Малаховский, Н. В. Малаховский
. \ 2(п -1) \
. = 01 (1Ъ.к)- п(т +1)-2^),
(2 - тп - п)Ь(аЬр. - 2Ъ.ааЬ, г1 = К§- тк^'кН1),
У .....(»"у )к - к\-1]
= ткРа.)к -к\аа., и1' = ЪЪ +(т -пУЬас^ъЫ
у1]а = тк\а('а']\ - ка1а1], (2.6)
саук = (т - пК;кЪаЪаЪс - кк'кЪЪсаЪс, г. = ка^^ - тка'|И|к\Ъ|1*, са = Ъфс1к, Vя = ау.у'а, = а\а, иа = и'^; 2) квазитензоры
{ка}, {а11 Ь1 (2.7)
где
= ^а л =„ч'Ъ. Ь = а Ь .
]к'
ка = к1а1, а1 = а1]Ь1п, V = а]кЬ\, . (2.8)
§ 3. Геометрические образы, порождённые тензорными и квазитензорными полями на ^
Дважды ковариантные тензоры {а. }, {аЪс} определяют в гиперплоскости квадратичного элемента Qn-2 е Кт невырожденные квадрики
а11х1х' = 0, ха = 0, хп+1 = 0, (3.1)
аЪсхЪхс = 0, х1 = 0, хп+1 = 0 (3.2)
соответственно в полярном и характеристическом подпространствах.
Пары квазитензоров {а1, ка} {ъ1 , ка} определяют в проективном пространстве Рп инвариантные точки
п 1
А = Ап+1---г-а1А1 +—каАа, (3.3)
п(т +1) - 2 т
91
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
п 1
В = Ап+1 -г Ь'Л1 +-каАа, (3.4)
2(п - т) т
не лежащие в гиперплоскости квадратичного элемента Qn_2.
Точки А и В позволяют произвести дальнейшую канонизацию репера многообразия Ут двумя способами: путём совмещения точки Ап+1 либо с инвариантной точкой А (репер 1-го рода), либо с инвариантной точкой В (репер 2-го рода). Из уравнений
За1 + а]П -аПЦ++1 = —(тп + п
= -(тп + п - 2)л'п+1,
п+1
п
2
ЗЬ + ЬП] -ЬПп+1 = -(п-тПп+1, (3.5)
п
Зка + кЬП - к] =-тП+1 следует, что такая канонизация корректна:
1)а1 = 0, ка = 0 ^ П+1 = 0; 2)Ь' = 0, ка = 0 ^ = 0. (3.6) При этом к системе (1.4) присоединяются пфаффовы уравнения
®„+1 = а ®г или ®„+1 = Ь ®г , (3.7)
продолжения которых имеют вид:
-2аа10'п+- = йа}®] или УЬа' -2Ъатп- = Ьа1]®]. (3.8)
Из уравнений (3.8) следует, что система величин \ат } и, соответственно, {Ьа } являются тензорами, включающими под-
тензоры а} аЬ1} или ь } ь а1}.
Будем рассматривать многообразие Ут в репере 1-го рода (Ап+1 = А) (для репера 2-го рода рассуждения аналогичны). Инвариантная точка В определяется формулой
п
В = Ап+1 -,Ь'Аг. (3.9)
2 ( п - т )
92
В. С. Малаховский, Н. В. Малаховский
Из (3.9) следует, что точка А совпадает с точкой В тогда и только тогда, когда тензор {Ь1}- нулевой. Исключая этот случай, рассмотрим инвариантную прямую АВ . Она пересекает гиперплоскость квадратичного элемента Qn-2 в точке
В* = ЬАг, (3.10)
(п - 2) -мерная поляра которой относительно квадратичного элемента Qn-2 определяется уравнениями:
аЪх1 = 0, хп+1 = 0. (3.11)
Для конгруэнции невырожденных коник в Р3 (случай п = 3) точки В и В* однозначно определяют геометрически фиксированный репер, если В * £ Q1 : А4 = А; А3 = В*; А1 и А2 — точки пересечения с коникой С1 поляры В * относительно С1. Используя тензоры (2.5) и базовые тензоры {а. }, {аЪс}, {ау} {аЪс}, находим:
Ь1 = ауЬ , п1 = аЪсп1Ъс , * а = "яь"1^ , * = ааЪаи^а ,
са = ЬуксО1, с1 = У , Ка = "А , и1 = 1 ,
иа = "аЪ^ , Vа = aaЪvЪ , ^ = \ (3.12)
к\ cd а > /-) 1 ->\
Г11 = а1ка'\Г , ^аЪ = "асаЪа^ , ^ = сА , ^ = . (3.13)
Одновалентные тензоры (3.12) определяют в Рп инвариантные гиперплоскости:
саха = 0, каха = 0, 5аха = 0, иаха = 0, vaxa = 0, (3.14)
Ь х = 0, сгх = 0, пх1 = 0, пх1 = 0, (3.15)
содержащие соответственно характеристические и полярные подпространства квадратичного элемента Qn-2.
95
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Двухвалентные базисные тензоры {а.}, {аЬс} и тензоры (3.13) определяют квадратичные гиперконусы
аЬсхЬхс = 0, sbcxbxc = 0, a.x'xJ = 0,
1 (3.16)
r,x'x] = 0, s,,x'xJ = 0, t..x'x1 = 0
V V V
с плоскими (соответственно) га-мерными и (и — да) -мерными вершинами.
Трёхвалентный тензор {b.} определяет в Pn инвариантный гиперконус третьего порядка
bi1kxix'xk = 0 (3.17)
с (и — т) -мерной плоской вершиной.
Список литературы
1. Малаховский В. С. Многообразия алгебраических элементов в и-мерном проективном пространстве // Геометрический сб. № 3. Труды Томского университета. 1968. Т. 168. С. 28—42.
2. Малаховский В. С. Инвариантное построение дифференциальной геометрии многообразий плоских алгебраических элементов // ДАН СССР. 1963. Т. 152. № 3. С. 550—552.
3. Малаховский Н. В. Компьютерное моделирование исследования дифференцируемых многообразий и ассоциированных связностей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 77—107.
V. Malakhovsky, N. Malakhovsky
FIELDS OF GEOMETRICAL OBJECTS ON да-DIMENSIONAL NONDEGENERATE MANIFOLD OF QUADRATIC ELEMENTS IN n-DIMENSIONAL PROJECTIVE SPACE (m<n)
In n-dimensional projective space Pn an да-dimensional manifold Vm of (n-2)-dimensional nondegenerate quadrics Qn—2 (quad-
94
В. С. Малаховский, Н. В. Малаховский
ratio elements) (n > 3, m < n) is considered, in the assumption,
that hyperplanes of quadrics also form m-parametrical family, and that the characteristic of a hyperplane is not intersect with its polar subspace relative to Qn-2.
Using computer program of finding of continuations and scopes of fields of geometrical objects on differentiable manifold, tensor and quasitensor fields on Vm are found and geometrical images determined by them are considered. For every Qn 2 e Vm two invariant points are found in Pn which determine on Vm two invariant equipments.
УДК 514.756.2
А. М. Матвеева
(Чувашский государственный педагогический университет)
КОНФОРМНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СФЕРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Дается понятие сферического распределения М гиперплоскостных элементов конформного пространства Сп, и изучаются некоторые вопросы дифференциальной геометрии указанного распределения.
Во всей работе индексы принимают следующие значения:
К, Ь = 1, п; 7, у, к, 5, t = 1, п -1; 7 = 0, п -1; а = 0, п .
1. В конформном пространстве Сп рассмотрим распределения [2] М и Н (п- 1)-мерных и одномерных линейных элементов (А0,Ьп-1) и (А0,Ь1) соответственно; при этом будем
95
