CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
УДК 574.76
В. С. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА и-ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ СЕМЕЙСТВЕ ОСНАЩЕННЫХ КОЛЛИНЕАЦИЙ И-МЕРНЫХ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВ
С использованием компьютерной программы автоматического поиска геометрических объектов (см. [1; 2]) найдены поля геометрических объектов на п-пара-метрическом семействе П п оснащенных коллинеаций п п-мерных проективных пространств Рп и рп [3].
Дана геометрическая характеристика полученных тензоров и квазитензоров. На проективных пространствах Рп и рп определены четыре типа инвариантных оснащений Бортолотти, позволяющих задавать инвариантные связности.
§1. Фундаментальные геометрические объекты семейства Пп
Пусть Рп и рп — два я-мерных проективных пространства с заданными в них областями ип с Рп и ип с рп.
Определение 1.1. Семейством П п называется п-парамет-рическое семейство коллинеаций п: Рп ^ рп, однозначно определяемых парой соответствующих точек М0 и т0 = п (М0), пробегающих соответствующие области ип -эМ0 и ип эт0.
88
В. С. Малаховский
Совместим вершину А0 репера { А0, Д,..., Ап} проективного пространстваРп с точкой М0, а вершину а0 репера {а0,а^...,ап} пространства рп с точкой т0. Тогда в неоднородных координатах коллинеация п еПп определится соотношениями
х (1.1)
1 - рх
Здесь и в дальнейшем ', у, к,...; I, 3, К,... пробегают значения 1, 2,..., п.
Деривационные формулы реперов {Аа } и {аа} (а - 0, п) имеют вид:
ёА,— О3А3 + А,, ёа0 —а'а1 + 0°а0, (1.2)
ёе/ ёе/
о1 — О, ©'—©0. (1.3)
Так как точки А0 е ип, а0 е ип описывают п-мерные области, то
О1 лО2 л... лОп Ф 0, © л©2 л... л©п Ф 0. (1.4)
Обозначим символом 8 дифференцирование по вторичным параметрам, а символами П£ , пк (I', 3', К, '', у ', к ' — 0,1, 2,..., п)
— значения форм Пфаффа О , ©к при фиксации образующего элемента — коллинеации п, т. е. при П1 — 0, п' — 0.
Дифференцируя (1.1) с использованием условий стационарности точек М — А" + Х1А1 и т — а0 + х'а{, убеждаемся, что формы Пфаффа
е
О1, ©, УМ], Щ +О0 -М3©0 — АР1 (1.5)
являются структурными формами коллинеации п еПп.
Здесь и в дальнейшем символ V означает абсолютное дифференцирование с учетом прибавления членов с диаго-
89
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
нальными формами 0°, с С, взятыми со знаком плюс для нижних индексов и со знаком минус для верхних индексов с кратностью, равной числу индексов.
Учитывая (1.4), примем формы Пфаффа о1 за базисные и запишем систему пфаффовых уравнений семейства П п в виде
сои = л; о1, ум; = М'и о и, лр = Ри ои. (1.6)
Осуществляя с помощью компьютерной программы моделирования исследования дифференцируемых многообразий и ассоциированных связностей [1, с. 77—107] последовательные продолжения системы (1.6), находим
УЯ = Я'и ои, ЛМ'и = М'ик 0К, ЛРи = Рик 0К, (1.7) ЛХи = Як0К, ЛМ'ик = М'икьо', ЛРик = Р^, (1.8)
где
е
лли =чЯи + Я о?+л о0и - (л;лЯ +ЯЯ )С, лМи = чМ'и + Ми о0 + М\ ои-(м;я + М^к; )с,
ЛРи = УРи + Рио0 + Ро°и -МисС, (1.9)
/ \ ЛМ\Ж =УМ\Ж - 2 (Ми ок + М]к о0 + М\к о) +
+{лтк +ЯМ{К + Милк + Милк - Млик - МЯЯк )С,
ЛРик = УРик - 2 (Ри ок + Рк о0 + Рик ои )+ М^.
Здесь и в дальнейшем величины Я симметричны по всем нижним индексам, а величины М и Р — по любой паре нижних индексов начиная со второго.
Системы величин {к;}, {М\}, {Р,М\}, {к; ,Я'Ж },
{Я, мк , М£}, {р
, Мик, Рш
}, ... образуют последовательность фундаментальных геометрических объектов семейства П п. 90
В. С. Малаховский
§2. Поля геометрических объектов, охватываемые полями фундаментальных геометрических объектов
Из (1.6) и (1.7) следует, что системы величин {Л]} и {М'}
являются тензорами. В работе рассматриваются только невырожденные семейства П п, характеризуемые неравенствами
аег (Л; )ф 0, аег (мз )Ф 0. (2.1)
Соотношения
ЛЛ лк —8К, М\МК —8К (2.2)
определяют пару взаимных тензоров {Л]}, {М]}, которые вместе
с основной парой тензоров {Л]}, {М]} определяют аффиноры
* * * *
ВК —ЛКМ3, ь; — л; МК, ВК — МК Л; , ь; — МК Л;. (2.3) Следы аффиноров
В — ВI, В — ВI, ь — ь', ь — ь' (2.4)
являются абсолютными инвариантами семейства П п.
Рассмотрим системы величин
* *
ЛI —ЛК ЛК!, МI — МКМК]. (2.5)
Имеем:
ЩЛI —Л 33 о3 +(п+1)(Л©0-О0),
УМ1 — М33О3 - (п + 1)(Л;©! - О|). (2.6)
Следовательно, система величин
С1 —Л 3 + М1 (2.7)
образует тензор, который определяет тензоры
91
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
тг — СкМК, Л— С; Л] .
Рассмотрим тензор
s^1 — М]-Л; , $1 — М-Л;
В общем случае
det (S1 )ф 0, det (^ )ф 0
и можно определить соотношениями
* *
у; у; —8;, ¿ку —8;
(2.8)
(2.9) (2.10)
(2.11)
взаимные им тензоры {ук }, {Ук } . Рассмотрим системы величин
(2.12)
п +1
* — УК |Рк Л; I, — ^К \ Рк +~МК ,,
Я3 — 8К
п +1
п+1
ЛК Л к - МКРк
Т3 — УК
п + 1
лКМк + МКРк
Так как
(2.13)
(2.14)
(2.15)
то системы величин {* }, {,}, {Я3}, {Т3} являются квазитензорами.
Используя компьютерную программу автоматического поиска геометрических объектов, находим тензоры
v* — г3 О3 + ©°, v' — i 3 О3 + ©°,
щ3 — я13 о3 +о° , уг1 —т13 о3 +о° ,
иг —л; Л; ; +Л3М] М3,
к, — л3М I луз + М зм' М3,
(2.16)
92
*
*
*
В. С. Малаховский
H1 = Ми ли + мКми ЯМ,
кт =Яими +Як ЯиМК, (2.17)
ии = лилкЯк -лим*ми-(п+1)Ли,
ги = л Як лик + ли Як кик-(п+1)Лии, (2.18)
туКи пЬ п и пк о к пк пЬ пи п к Р =Ли Я Лк Л1Ь -ли Я Лк Л1Ь,
дки = м'м} мКкмки - мкм)м1мки. (2.19)
Тензоры (2.8), (2.16), (2.18) порождают восемь дважды ко-вариантных симметрических тензоров
н} = НЩи), ки = кЦи), ¿и = Щи), ми = тЩи), (2.20) ни = К^ии), к}2 = ку'и), ¿3=;^), М{и)= ту'и). (2.21)
§3. Геометрические образы, ассоциированные с семейством Пп
Одновалентные тензоры (2.8), (2.16) определяют в пространстве рп четыре инвариантные гиперплоскости, проходящие через вершину а0:
т.Х = 0, Лхи = 0, КХ = 0, к хи = 0. (3.1)
1 ' 1 ' 1 ' 1 V /
Квазитензоры (2.12), (2.13) определяют в пространствах рп и Рп пару инвариантных гиперплоскостей, не проходящих соответственно через точки а0 и А():
ГХ +1 = 0, ' +1 = 0, (3.2)
Я1Х1 +1 = 0, Г1Х1 +1 = 0. (3.3)
93
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Следовательно, в пространствах рп и Рп индуцируется пара оснащений Бортолотти. Дважды ковариантные симметрические тензоры (2.20), (2.21) определяют в пространстве Рп инвариантные гиперконусы, проходящие через вершину А0 :
И{1 Х3Х3 — 0, К§Х3Х3 — °,
¿3Х3Х3 — 0, М$Х3Х3 — °, (3.4)
нЗ Х3Х3 — °, к3 Х3Х3 — °,
¿2Х3Х3 — 0, МЗХ3Х3 — 0. (3.5)
Обратная коллинеация
п-1: Рп ^Рп (3.6)
определяется формулами
Х1 . (3.7)
1 - РМх'
Используя в формулах (3.1), (3.2) коллинеацию п (1.1), а в формулах (3.3), (3.4) и (3.5) коллинеацию п"1, получим соответствующие инвариантные геометрические образы в пространствах Рп и рп .
Например, пара инвариантных гиперплоскостей в пространстве Рп, отличных от (3.3) и задающих оснащение Бортолотти, определяется уравнениями:
(М -Рг)Х1 +1 — 0, М' -Р1)Х1 +1 — 0. (3.8)
Инвариантные гиперконусы пространства рп с вершиной в точке а° — образы гиперконусов (3.4), (3.5) — задаются уравнениями:
ух'хЯ — 0, к(°х'Х — 0, Ях'хЯ — 0, т®х'хЯ — 0, (3.9)
(2)х'хЯ — 0, к(2)х'хЯ — °, /(2)х'хЯ — °, т(2)х'хЯ — °, (3.10)
Я 'Я 'Я 'Я IV/
(2)
^^ х х — о, к.. х х — о, 1.. х х — о, тт
Я 'Я ' Я '
94
В. С. Малаховский
где
* * * *
f = HJ Mi mJ , k« = kJ Mi mJ ,
* * * *
f= LJ MiMj, nj}= mJ MiMj. (3.11)
* * * *
j> = hJ MIMJ, kf = KJ Mi mJ ,
42>= LJ M'MJ, m(2)= Mi?) M/ Mj .
Список литературы
1. Малаховский Н. В. Компьютерное моделирование исследования дифференцируемых многообразий и ассоциированных связно-стей // Диф. геом. многообразий фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2006. Вып. 37. С. 77—107.
2. Малаховский Н. В. Компьютерное моделирование метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева // Диф. геом. многообразий фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2008. Вып. 39. С. 96—101.
3. Малаховский Н. В. О семействах коллинеаций многомерных проективных пространств // Диф. геом. многообразий фигур / Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1989. Вып. 20. С. 50 —57.
V. Malakhovsky
FIELDS OF GEOMETRICAL OBJECTS ON THE «-PARAMETRIC FAMILY OF THE FRAMED COLLINEATIONS OF THE «-DIMENSIONAL PROJECTIVE SPACES
Using computer programs [1; 2] some fields of geometrical objects on the n - parametric family of the framed collineations of the n - dimensional projective spaces Pn and pn are found. Geometric characteristic of these objects is obtained. On each of the spaces Pn and pn four types of the Bortolotti's equipment are found.
95
