CC BY
6
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
A. Kuleshov
SIX TYPES OF INDUCED GROUP CONNECTION ON THE FAMILY OF CENTRED PLANES IN PROJECTIVE SPACE
Family of centered planes in projective space is investigated. Factor-bundles of the principal bundle, associated with this bundle, are described. It is shown, that composite equipment of this family induces 6 bunches of group connection. In each of this bunches one connection is allocated.
УДК 574.76
В. С. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ПРАВИЛЬНАЯ ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ СИСТЕМЫ ПФАФФОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ ОСНАЩЕННЫХ И ИНДУЦИРУЮЩИХ ФИГУР
(К столетию со дня рождения Г. Ф. Лаптева)
Показано, что установленный Г. Ф. Лаптевым закон о правильной продолжаемости системы уравнений Пфаффа дифференцируемого многообразия в однородных и обобщенных пространствах [1, с. 323—326] необходимо соблюдать и при рассмотрении вырожденных многообразий [2, с. 41—43] оснащенных и индуцирующих фигур [3, с. 186—187].
В п -мерном аффинном пространстве А рассмотрены правильно продолжаемые системы уравнений Пфаффа т -мерных вырожденных многообразий некоторых типов линейных и квадратичных пар фигур , ^ } , когда фигура ^ описывает т -мерное многообразие, а фигура ^ — г-мерное многообразие (г < т < п).
84
В. С. Малаховский
Несоблюдение закона Г. Ф. Лаптева о правильной продолжаемости при исследовании вырожденных многообразий оснащенных или индуцирующих фигур приводит к некорректным результатам.
§1. Система уравнений Пфаффа вырожденного
многообразия пар фигур в однородном пространстве
Рассмотрим в п -мерном однородном пространстве Еп [1, с. 285] вырожденное т -мерное многообразие простых неинцидентных пар фигур Ц = , ^ } ранга N, N [3, с. 181, 187].
Такое многообразие можно рассматривать как многообразие оснащенных фигур ^, так как задание фигуры ^ по определению пары фигур однозначно определяет оснащающую фигуру . Обозначим его символом (Ц,)тг [2, с. 42].
Пусть фигура ^ описывает т -мерное многообразие М ^, а оснащающая фигура — г -мерное многообразие
М !2) (Г < т) .
Обозначим через О1, О/2 структурные формы соответственно фигур ^1,(/1,Jl,К = 1,/2,J2,К2 = 1,N).
Так как система уравнений стационарности каждой из фигур ^, вполне интегрируема [1, с. 288], то
а О/1 = ОК 1 л О/^ , d О/2 = ОК2 л , (1.1)
где формы Пфаффа О^ , О/2 ^ однозначно определены структурными уравнениями фундаментальной группы О однородного пространства Ея [1, с. 281].
Не умаляя общности, можно считать формы Пфаффа О^ линейно независимыми формами многообразия М ^, а формы
85
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Пфаффа С1'2 — линейно независимыми формами многообразия М(г2) {г,],к=\тЛ,]Л = \г^.
Система пфаффовых уравнений многообразий М ^, М ^ запишется соответственно в виде
Ц = ЛаО[ (а, Ь, с = т +1, N ), (1.2)
а;=/т2 [а,ь,с = г+. (1.3)
Так как задание фигуры ^ однозначно определяет фигуру , то
а2=0(тос1О;,...,ОГ)- (1-4)
Следовательно, система уравнений Пфаффа многообразия (^, ) состоит из уравнений (1.2), (1.3) и уравнений
Замыкание уравнений (1.2), (1.3), (1.5) имеет вид:
АД" лЦ =0, Щ ла2= 0, Аг/ лЦ =0, (1.6)
где
(1.7)
А у^УУ'-У^У^+^У^,
а символы V означают ковариантное дифференцирование.
Замечание. При исследовании вырожденного многообразия индуцирующих фигур в случае если структурные формы индуцируемой фигуры /• , являются частью структурных форм
индуцирующей фигуры ^, можно положить 0,2 = О]2 и уравнения (1.5) исключить.
86
В. С. Малаховский
Многообразие (Ц, ^ )тг (г < т) нельзя задавать системой уравнений Пфаффа
о; = , о!;- = . (1.8)
так как для ее подсистемы
& = (1.9)
нарушается закон Лаптева о правильной продолжаемости и она не определяет дифференцируемого многообразия М(2) фигур .
Действительно, замыкание уравнений (1.9) имеет вид
0/2 лО = 0, (1.10)
где
с?ейе/ , . .
©^ ©7; + (1.11)
(р, д = г +1, т) .
Разрешая (1.10) по лемме Картана [4, с. 14—15], получим
©^=/¿0/,©^=/^ (/£=/#). (1.12)
Из (1.12) следует, что вторая группа уравнений (1.11) устанавливает нетривиальные связи на фундаментально независимые групповые параметры фундаментальной группы О пространства Е . Приходим к противоречию. Из (1.10), (1.11) следует, что система пфаффовых уравнений (1.9) относительно неинвариантна, а значит, не определяет многообразия М (2) (см. [6, с. 75—76].
§2. Вырожденное многообразие (А, В) в Ап
Рассмотрим в п -мерном аффинном пространстве А -вырожденное многообразие пар точек { А, В}.
87
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Определение 2.1. Многообразием (А, Вназывается
т-мерное вырожденное многообразие пар точек {А, В}, когда точка А описывает т -мерную поверхность, а точка В — г -мерную поверхность (г <т) .
Отнесем многообразие (Л, 2?) к реперу {А,^) (/, J, К = 1, п) , совместив начало с точкой А, а конец вектора еп — с точкой В, т. е.
В = А + еъ. (2.1)
Имеем
йА = со1е1, с1В = 61е1, (2.2)
где
ае/
в1 = 0 + а/ . (2.3)
Из (2.2) следует, что формы Пфаффа а1 ,в являются структурными формами соответственно точек А, В. Не умаляя общности, можно считать
О ло2 л... лат Ф 0, в1 лв2 л... лвг Ф 0. (2.4)
Тогда
соа = , ва = , (2.5) где индексы принимают следующие значения
i,í,k = \,m\ i ,j,k =\,r ; a,b,c = m + \,n ;
(2.6)
a, b, с =r + \,n.
Так как при фиксации точки А (т.е. при со' = 0) точка В фиксируется, то формы Пфаффа в' являются линейными комбинациями форм а', т. е.
в'=^а>к. (2.7)
88
В. С. Малаховский
Система пфаффовых уравнений (2.5), (2.7) определяет вырожденное многообразие пар точек — многообразие (А, В) .
Ее замыкание имеет вид
ЛЯ/1 л со' = О, Щ л в' = 0, А4 л сок = 0, (2.8)
где
(2.9)
а символом V обозначено здесь и в дальнейшем ковариантное дифференцирование.
Из (2.8) следует, что система пфаффовых уравнений (2.5), (2.7) правильно продолжаема.
Замечание. Система пфаффовых уравнений
©7 = //со' (2.10)
не определяет г -мерного дифференцируемого многообразия, описанного точкой В , так как она приводит, как было отмечено в §1, к нетривиальным связям на свободные параметры аффинной группы преобразований пространства А ■ Проиллюстрируем это на примере двумерного многообразия (А, В )21 в трехмерном аффинном пространстве А3 . Замыкая уравнения ©1 =£а>1 (I = 1,2,3) (2.11)
с использованием уравнений структуры аффинного пространства [5, с. 11—12] и формул (1.1), (1.2), со3 = Л3С + Л3ю2, получим
(^ - мЛС ) л ю1 (с + ЛсС ) Л с2 = 0 . (2.12)
Разрешая это уравнение по лемме Картана, приходим к уравнениям Пфаффа
89
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Vrf - ¡¡^О = о1 + hz(о1 ; (2.13)
-U ( + ) = h2 с1 + hL о2. (2.14) Обозначим
def def
Я =оМ 2 , tTK = af\ 2 . (2.15)
О1 = 0,о2 = 0 1 1 О1 = 0,о2 = 0
В силу выбора репера
я1 = 0, Я2 = 0, Я3 = 0, Я = 0, Я2 = 0, я3 = 0, (2.16) Я * 0, Я2 * 0, Я3 * 0, я1 * 0, Я22 * 0, Я23 * 0. (2.17) Но из (2.14) следует
¡¡Я\ = 0. (2.18)
Так как |U| + |и2| + |и3| * 0 (точка B описывает линию), то
я1 = 0, (2.19)
что противоречит неравенствам (2.17).
§3. Вырожденное многообразие ( А,ф) в Pn
Определение 3.1. Многообразием (A,p)mr в n-мерном
проективном пространстве Pn называется m -мерное многообразие, образующим элементом которого является точка A, описывающая m-мерную поверхность, и неинцидентная ей гиперплоскость р, описывающая r -параметрическое семейство (r < m < n).
Отнесем многообразие ( А,р)тг к реперу | A} (а,р,у = 0, n), совместив вершину A с точкой A и расположив
вершины A (i, J, K = 1, n) в гиперплоскости р . Обозначим символом S дифференцирование по вторичным параметрам (т. е. при фиксации образующего элемента {A,p} ), а символами
90
В. С. Малаховский
кР — значения компонент деривационных формул репера при фиксации образующего элемента. В силу выбора репера
¿А =к00Д; 34 =КАк . (3.1)
Следовательно, формы Пфаффа
II 0 /"!
т0 = т , т = т (3.2)
являются структурными формами фигуры | А,р} .
Не умаляя общности, можно считать формы Пфаффа со' и ох (/,/,/с = 1,/»;/,/,/с = 1,/^ линейно независимыми. Система уравнений Пфаффа многообразия (А,а) запишется в виде
со" = Яасо', со- = и1со , со, = у,,сок (3.3)
г ? а г а г ? г гк ^ '
(а,Ь,с = т + \,п; а,Ь,с = г +
Замыкая (3.3), получим:
ЛЯ/1 л со' = О, А/4 л®. =0, лю* =0, (3.4)
где
А ^ = ^ + -- /4.
Из (3.4) следует, что система пфаффовых уравнений (3.3) многообразия (А, ср)т правильно продолжаема.
§4. Конгруэнция квадратичных элементов в Ап с вырождающейся поверхностью центров
Определение 4.1. Конгруэнцией квадратичных элементов в п-мерном аффинном пространстве А называется
(п -1) -мерное многообразие невырожденных (п - 2) -мерных
квадрик 0П-2 е Ап .
91
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
(т)
Определение 4.2. Многообразием называется конгруэнция центральных квадратичных элементов, гиперплоскости
которых образуют (п —1) -параметрическое семейство, а цен-
(т)
тры квадрик е описывают т -мерную поверхность (т < п — 1).
[п) I Л I —\
Отнесем многообразие ¥п_х к реперу {А,ё1^ [1^,К = \,п \, где А — центр квадратичного элемента Оп 2. а векторы е1 (г, ], к = 1, п — 1) расположены в его гиперплоскости.
Уравнения квадратичного элемента 0Я_2 запишутся в виде
1а„х'х1 — 1 = 0,
\ 1 , (4.1)
[ хп = 0.
В силу выбора репера
0 ж/
х1 = 0, ж' = 0, V а,1 =5ау — а^ — аЛп) = 0. (4.2) Обозначим
йе/
С = сопг . (4.3)
Так как гиперплоскости квадрик 0я_2 образуют (п — 1) -параметрическое семейство, то
щлщл... лщ ^ Ф 0. (4.4)
Принимая формы Пфаффа щ, являющиеся частью структурных форм квадрики 0я_2, за базисные формы многообра-(т)
зия , запишем его систему пфаффовых уравнений в виде: V а, = Щщ, соа= Г со\со{= //*а>к (4.5)
(7,],к = \,т; а,Ъ,с = т + \,п^.
92
В. С. Малаховский
Замыкание уравнений (4.5) имеет вид
Щ АС0к= О, ДА" А со1 =0, А//к АСОк = 0,
к
А
(4.6)
где
АЬк = йЬк — ЬЮ — (аы5к + а. 5) )С ,
У V V п V и/ 1 и з ! » '
А№ =с!Ха-Ха£со1+(оа,
г г ] г о г '
Ди* = У//а - /Аэяя + Ц!лзксо\ .
(4.7)
Из (4.6) следует, что система уравнений Пфаффа многообра-
Из изложенного вытекает, что при исследовании вырожденных многообразий оснащенных и индуцирующих фигур необходимо соблюдать закон Г. Ф. Лаптева о правильной продолжаемости системы уравнений Пфаффа для многообразий каждой из фигур, составляющих оснащение фигуры ^ или индуцируемых ею. Некорректности, приводящие к нарушению правильной продолжаемости системы пфаффовых уравнений г -мерного многообразия оснащающих фигур Г2, когда основная фигура ^ описывает многообразие размерности т > г, возникают, как правило, тогда, когда все структурные формы фигуры линейно выражаются через г структурных форм фигуры ^, тогда как эти структурные формы не являются частью структурных форм фигуры . Хотя формально множество фигур Г2 при таком задании г -мерно, но оно не является дифференцируемым многообразием, так как задается относительно неинвариантной системой пфаффовых уравнений.
1. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. М., 1953. Т. 2. С. 275—382.
(т)
зия правильно продолжаема.
Заключение
Список литературы
93
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
2. Малаховский В. С. О вырожденных многообразиях пар фигур в трехмерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1973. Вып. 3. С. 41—49.
3. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1969. Т. 2. С. 179—206.
4. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм I. Калининград, 1978.
5. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм II. Калининград, 1980.
6. Малаховский В. С. О голономном расслоении реперов на дифференцируемом многообразии // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2004. Вып. 35. С. 69—78.
V. Malakhovsky
TAME PROLONGATION OF SYSTEM OF PFAFFIAN EQUATIONS OF DEGENERATE MANIFOLDS OF EQUIPPED AND INDUCED FIGURES
It is shown that the rule of G. F. Laptev of tame prolongation of the system of pfaffian equations of differentiable manifold in homogeneous and generalized spaces is necessary fulfill also for degenerated manifolds of equipped and induced figures.
УДК 514.75
О. М. Омельян
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
О СВЯЗНОСТИ 1-ГО ТИПА, ИНДУЦИРОВАННОЙ
НА СЕМЕЙСТВЕ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ, ОБОБЩАЮЩЕМ ПОВЕРХНОСТЬ
В работе способом Лаптева — Лумисте задана ассоциированная связность в расслоении, ассоциированном с семейством центрированных плоскостей, обоб-
94
